第五章微扰理论
- 格式：pdf
- 大小：94.64 KB
- 文档页数：6
2b 2 2 nπx 2b nπx ( 0 )∗ (0) = ∫ψ n H 'ψ n dx = − sin dx + sin 2 dx ∫ ∫ a 0 a a a a 0
a a 2 nπ
a
2b ＝− nπ
＝−
2b sin ydy + ∫ nπ 0
2
2
nπ
n
∫ sin π
2
2
ydy ⎞ ⎟＝0 。 ⎠
−n
2 3
)
[1 − (− 1) ] sin mLπ x
m+ n
。
⎧− b,0 ≤ x ≤ a / 2, 例 4、粒子处于宽为 a 的一维无限深势阱中，若微扰为 H ' = ⎨ 试求粒子 ⎩ b, a / 2 ≤ x ≤ a, ，
能量和波函数的一级修正。 解： （1）能量的一级修正，按公式
E
(1) n
m+ n
−1
] [
，
所以波函数的一级修正为：
(1) (x ) = ψn
∑
m
'
2 μL2 4 Lamn (− 1)m+ n − 1 ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 π h (n − m ) (m − n ) π
]
2 mπ sin x L L
4
8μL3 an ＝ 4 2 π h
2 L
∑
m
'
(m
m
2
2
。
E ( 0) + b a ⎞ ( 0) ˆ ( 0) 表象中的表示为 H = ⎛ ⎜ 1 ⎟ ，其中 E1 例 1、设体系的哈密顿在 H , E (20) 为 (0) ⎜ a ⎟ E2 + b⎠ ⎝
H ( 0) 的能级， a , b 为小实数量。试用非简并定态微扰公式计算体系能量的二级近似值。
(0) (0) ⎛ E1 +b a ⎞ ⎛ E1 ⎜ ⎜ ⎟ =⎜ 解： H = ⎜ E (20 ) + b ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ 0
跃迁速率(即单位时间的跃迁几率)为：
ω=
dW 2π 2 = H' mk ρ(m) ——— (黄金规则) 。 dt h
(3) 周期微扰情况：
ˆ ' (t ) = F ˆ (e iωt + e −iωt ) ， H
跃迁几率为： Wk →m = 跃迁速率为： ω k →m =
2π t 2 Fmk δ (ε m − ε k ± hω ) h
，
dw mk t →∞ 2π 2 = Fmk δ(ε m − ε k ± hω) 。 h dt
(4) 能量和时间的测不准关系： ΔEΔt ~ h (5) 光的发射与吸收：
。
设原子由 k 态跃迁到 m 态(并设 E m > E k )，吸收系数 Bkm 等于受激发射系数 Bmk ，即
Bkm = Bmk =
( 0) n
+H
' nn
+∑
m
'
| H nm | 2 ， 0) E (n0 ) − E (m
( 0) +b+ 所以： E1 = E1
a2 (0) E1 − E (20) a2 ( 0) E (20 ) − E 1
，
E 2 = E (20) + b +
。
ˆ ( 0 ) 的能级为各不相等的 E ( 0 ) , E ( 0 ) , E ( 0 ) ，并且微扰哈密顿在 例 2、设在体系的哈密顿中 H 1 2 3
0 ⎞ ⎛b a ⎞ ⎟+⎜ ⎟ = H0 + H' ， ⎟ (0) ⎟ ⎜ E2 ⎠ ⎝a b⎠
⎛b a ⎞ 其中： H ' = ⎜ ⎜a b⎟ ⎟ ⎝ ⎠
，
即微扰哈密顿的矩阵元为： H '11 = H ' 22 ＝ b ， H '12 = H ' 21 ＝ a ， 而能量的二级近似公式
En = E
ˆ H
(0)
⎛ ε ⎜ 表象中的表示为 H ' = ⎜ − ε ⎜ − 2ε ⎝
−ε 0
ε
− 2ε ⎞ ⎟ ε ⎟ ，其中 ε 为小实参量，试用微扰理论计算体 ε /2⎟ ⎠
系能量的二级近似值。 解： E1 = E1( 0) + E1(1) + E1( 2)
= E1( 0) + ε + ∑ '
m
| H m1 | 2 ε2 4ε 2 ( 0) = E + ε + + 1 (0) ( 0) E1( 0 ) − E 2 E1( 0 ) − E3( 0) E1( 0) − E m
L
2
nπ
＝
aL nπ
2 2
nπ
∫ y(1 − cos 2 y )dy = n π
2 0
aL
2
⋅
1 2 y 2
nπ 0
=
1 aL 2
，
可见能量的一级修正与 n 无关，即任何能级都有相同的一级修正值。
(0) H mn ( 0) ψm + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (0) ( 0) En − Em
H' mn << 1 0) E − E (m
(0) n 0) (E (n0 ) ≠ E (m ) ；
(1)非简并情况： En = E
(0) n
+ H' nn + ∑ '
m
H' nm
2
0) E (n0 ) − E (m
+ ⋅⋅⋅
，
ψ n = ψ (n0 ) + ∑ '
m
H' mn 0) ψ (m + ⋅⋅⋅ 0) E − E (m
(1) (0) 零级近似波函数由 ∑ ( H ' li − E n δ li )ci( 0 ) = 0 ( l = 1,2,3,..., k )解出 c i( 0 ) ，代入ψ n = ∑ ci( 0 )φi i =1 i =1
k
得出。 2、变分法：
1
ˆ 在 ψ(λ) 态下的平均值 H (λ ) ，对 H (λ) 求极 选取尝试波函数 ψ = ψ (λ) ,计算哈密顿 H
0 0
πx
b
a 2
πx
+
b b πx πx cos(k − n ) dx − ∫ cos(k + n ) dx ∫ aa a aa a
a a 2 2
＝−
b b π π sin (k − n ) + sin (k + n ) (k − n )π 2 (k + n )π 2 − b b π π sin (k − n ) + sin (k + n ) (k − n )π 2 (k + n )π 2
，
(1) (x ) = ∑ ' 其一级修正为：ψ n
m
' H mn (0) ψm (0) (0) En − Em
L
，
微扰的矩阵元： H
' mn
= ∫ψ
0
L
( 0 )∗ m
Hψ
'
(0) n
2a mπx nπx dx ＝ x sin sin dx ∫ L 0 L L
=
(m
4 Lamn
2
−n
2 2
)π
2
[(− 1)
(0) n
；
(2)简并情况：能量的一级修正 E (n1) 由下列久期方程解出：
(1) H '11 − E n
H '12 H ' 22 − E ... H 'k 2
(1) n
... ... ...
H '1k H '2k ... =0
H ' 21 ... H ' k1
k
，
(1) ... H ' kk − E n
，
(0) (1) ( 2) E2 = E2 + E2 + E2
3
=E
( 0) 2
+0+∑
m
'
| H m2 |2 ε2 ε2 ( 0) = E + + 2 (0) ( 0) (0) ( 0) E2 − Em E2 − E1( 0 ) E 2 − E3( 0 )
，
( 0) ( 2) E3 = E3 + E3(1) + E3
，
其中
' (0) H kn = ∫ψ k( 0 )∗ H 'ψ n dx 0 a
a
2b 2 kπx nπx 2b kπx nπx ＝− sin sin dx + sin sin dx ∫ ∫ a 0 a a a a a a
a 2
＝−
b a
a 2
∫ cos(k − n ) a dx + a ∫ cos(k + n ) a dx
2b 1 nπ 2b 1 ⎛ nπ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎜ nπ − 2 nπ 2 2 nπ 2 ⎝
即能量的一级修正为 0 。 （2）波函数的一级修正按公式为
(1) =∑' ψn k ' H kn 2 μa 2 (0) = ψ k 0 En π 2h 2 − E k0 ' H kn kπx 2 ' sin ∑ 2 2 a k n −k a
' =0 。 当 k + n 及 k − n 为偶数时，ψ n
]
，
6
(0) (x ) = ψn (0) n
π 2h 2 2 = n ， 2μL2
其波函数为
2 nπx sin ， n = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ L L
