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量子力学第五章微扰理论

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第5章 微扰理论-量子跃迁

第5章 微扰理论-量子跃迁

§6.含时微扰论前面，我们解决的是H ˆ与t 无关，但不能直接求解，而利用020V m2P H ˆ+=有解析解，并且01V V H ˆ-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ˆ,r (H ˆψψ=的近似结果。

有时也能用试探波函数，通过变分来获得。

现在要处理的问题是：体系原处于0H ˆ的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ˆ1附加到该体系。

显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ˆ在一段时间中不变），在0H ˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。

而且无法获得解析结果。

有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0H ˆ的本征态的几率又不随时间变化。

当然，这与作用前的几率已有所不同。

也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。

这就需要利用含时间的微扰论。

总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。

H ˆ与t 有关，体系原处于)P ˆ,r (H ˆ0，随t 加一微动)t (V ψψH ˆti =∂∂ , )t (V H ˆ)t (H ˆ0+= 因0H ˆ不显含t ，而有 )r (E )r (H ˆn0n n 0ϕϕ= 则 ψψ0H ˆti =∂∂的通解为 ∑-=ψnt iEn n 0nea )t ,r (ϕ 0H 的定态∑=nn )t ,r (a ψt iEn ne )r ()t ,r (ϕψ=而 n a 是常数))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=ϕψ 不随t 变当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ϕ时)t ,r (e )r ()t ,r (k t iEk kψϕ==ψ-即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。

当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0H ˆ的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。

第五章微扰理论

第五章微扰理论

2b 2 2 nπx 2b nπx ( 0 )∗ (0) = ∫ψ n H 'ψ n dx = − sin dx + sin 2 dx ∫ ∫ a 0 a a a a 0
a a 2 nπ
a
2b ＝− nπ
＝−
2b sin ydy + ∫ nπ 0
2
2
nπ
n
∫ sin π
2
2
ydy ⎞ ⎟＝0 。 ⎠
−n
2 3
)
[1 − (− 1) ] sin mLπ x
m+ n
。
⎧− b,0 ≤ x ≤ a / 2, 例 4、粒子处于宽为 a 的一维无限深势阱中，若微扰为 H ' = ⎨ 试求粒子 ⎩ b, a / 2 ≤ x ≤ a, ，
能量和波函数的一级修正。 解： （1）能量的一级修正，按公式
E
(1) n
m+ n
−1
] [
，
所以波函数的一级修正为：
(1) (x ) = ψn
∑
m
'
2 μL2 4 Lamn (− 1)m+ n − 1 ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 π h (n − m ) (m − n ) π
]
2 mπ sin x L L
4
8μL3 an ＝ 4 2 π h
2 L
∑
m
'
(m
m
2
2
。
E ( 0) + b a ⎞ ( 0) ˆ ( 0) 表象中的表示为 H = ⎛ ⎜ 1 ⎟ ，其中 E1 例 1、设体系的哈密顿在 H , E (20) 为 (0) ⎜ a ⎟ E2 + b⎠ ⎝

量子力学微扰理论

量子力学微扰理论

(a + b )n = a n + na n - 1b + + nab n - 1 + b n
9
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等:
0 : 1 : 2 :

( ( ( ˆ H ( 0 ) n0 ) E n0 ) n0 ) ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H ( 0 ) n1) H (1) n0 ) E n0 ) n1) E n1) n0 ) ˆ ˆ H ( 0 ) ( 2 ) H (1) (1) E ( 0 ) ( 2 ) E (1) (1) E ( 2 ) ( 0 ) n n n n n n n n
18
讨论
（1）在一阶近似下： 表明微扰态矢ψn 可以看成是无微 扰态矢ψm(0)的线性叠加。
( 0) n
n
H mn ( ( 0) m0) (0) m n En Em

（2）展开系数 Hmn /(En(0) - Em(0)) 表明第m个态矢ψm(0)对第n 个 态矢ψn 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间 隔，所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计 算无限多项，只要算出最近邻的有限项即可。 （3）由En = En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态 能量En(0)加上微扰Hamilton量 H在无微扰态ψn(0)中的平均值组 成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。
8
代入Schrö dinger方程得：
( ( ( ˆ ˆ ( H ( 0 ) H (1) )( n0 ) n1) 2 n2 ) )
( ( ( ( ( ( ( En0 ) En1) 2 En2 ) )( n0 ) n1) 2 n2 ) )

第5章 微扰理论

第5章 微扰理论

(0)* 左乘，并积分， 以 ψm (m ≠ n ) 左乘，并积分，并注意 ψ l(0) 的正交归 (0)* 得到： 一性 ψm ψl(0)dτ = δml 得到：
∫
∑
l
′
( ( ( (El(0) En0) )al(1)δml = ∫ψ m0)*H′ψ n0)dτ
（17） 17） （1８） 1
令微扰矩阵元 则 :
10
5.1 非简并定态微扰理论（续4）
Chapter 5. Perturbation Theory
为求 En
(0)* n
(1)，以 ψ ( 0 )左乘（9）式两边，并对空间积分： 左乘（ 式两边，并对空间积分：
n
(0)* (0) (0)* (0) (0) E (0))ψ(1)dτ = En(1) ψn ψn dτ ψn H′ψn dτ ∫ ∫ ∫ψ (H n n
将此式展开， 将此式展开，便得到一个两边均为 λ 的幂级数等 式，此等式成立的条件是两边 λ 同次幂的系数应相 于是得到一列方程： 等，于是得到一列方程：
8
5.1 非简并定态微扰理论（续2）
Chapter 5. Perturbation Theory
λ: 1 λ : (H(0) En(0) )ψn(1) =(H(1) En(1) )ψn(0)
( ( ( ′ E n1) = ∫ψ n0 )* H ′ψ n0 ) dτ = H nn
( ( ( ( ( ( ψ n0)* (H (0) En0) )ψ n1)dτ = ∫[(H (0) En0) )ψ n0) ]*ψ n1)dτ = 0 ∫
( ′ 在 ψ n0)态中的平均值。 能量的一级修正值 E 等于 H 态中的平均值 。
是基本部分， 其中 H (0) 是基本部分，与它对应的本征值和本征函 数由以下方程求出

大学课件 量子力学 微扰理论

大学课件 量子力学 微扰理论

a(1) kn
[
E
(0 k
)
E
(0 n
)
]
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E n( 1 )
]
|
(0 n
)
k 1
左乘 <ψm (0) |
a(1) kn
[
E (0) k
E (0) n
]
(0) m
|
(0) k
(0) m
|
Hˆ (1)
|
(0 n
)
E (1) n
(0) m
|
(0) n
k 1
考虑到本征基矢的正交归一性：
2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰。
2. 非简并定态微扰理论
（1）微扰体系方程 （2）态矢和能量的一级修正 （3）能量的二阶修正 （4）微扰理论适用条件 （5）讨论 （6）实例
（1）微扰体系方程
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的 天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算 中需要考虑其他行星影响的二级效应。
|
(1) n
|
(0 k
)
(0 k
)
|
(1) n
a (1) kn
|
( 0 )
k
k 1
k 1
代回前面的第二式并计及第一式得：
akn(1) = <ψk (0) |ψn (1) >
[ Hˆ (0) En(0) ]
a (1) kn
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E n( 1 )
]
|

微扰理论

微扰理论

( a + b ) = a + na
n
n
n- 1
b + L + n ab
n- 1
+ b
9
n
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等 应该相等:
λ0 : λ1 : λ2 :
LL
( ( ( ˆ H ( 0 )ψ n0 ) = E n0 )ψ n0 ) ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H ( 0 )ψ n1 ) + H ( 1 )ψ n0 ) = E n0 )ψ n1 ) + E n1 )ψ n0 ) ˆ ˆ H ( 0 )ψ ( 2 ) + H ( 1 )ψ ( 1 ) = E ( 0 )ψ ( 2 ) + E ( 1 )ψ ( 1 ) + E ( 2 )ψ ( 0 ) n n n n n n n n
其中H 所描写的体系是可以精确求解的， 其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解的， 本征值E 其本征值En(0) ，本征矢 Ψn(0) 。则：
ˆ ( 0)ψ ( 0) = E (0)ψ (0) H n n n
6
ˆ (0)ψ (0) = E(0)ψ (0) H n n n
时引入微扰，使体系能级发生移动， 当 H ′≠ 0 时引入微扰，使体系能级发生移动， 状态由ψ 由 En(0) → En ，状态由ψn(0)→ψn 。
8
代入Schrödinger方程得： 方程得： 代入 方程得
( ( ( ˆ ˆ ( H ( 0 ) + λH (1) )(ψ n0) + λψ n1) + λ2ψ n2) + L)
( ( ( ( ( ( = ( En0 ) + λEn1) + λ2 En2) + L)(ψ n0) + λψ n1) + λ2ψ n2) + L)

周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章

周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章

E(2) n

l
a(1) l
Hˆ
(1) nl

l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n

E(0) l

l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n

E(0) l
其中： Hˆ l(n1) Hˆ n(1l)*
(因 Hˆ l(n1)

(0)* l
Hˆ
(1)
(0) n
dx

[
Hˆ
(1)

E(1) n
)
(0) n
（2）
2 :
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)

E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
（3）
逐级求解。
6
一级近似：
（1）能量一级近似 由（2）式：
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(1) n

(Hˆ n(1)

E(1) n


En(0)
(1) n

2 En(0)
(2) n


En(1)
(0) n

E2 (1) (1) nn

E3 (1) (2) nn
L
5
比较的同次项
0 :
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(0) n

0
（1）
1 :
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(1) n

量子力学第五章微扰理论

量子力学第五章微扰理论

H
'ψ
(0) n
dx
=
〈ψ
(0) k
H
'
ψ
(0) n
〉
(5 .1.14)
并将它代人(5.1.13)式，当 n = k 时，得
当 n ≠ k 时，得
E
(1) n
=
H
' nn
a (1) k
=
k
(5.1.15) (5.1.16)
注意(5.1.16)式只在
n
≠
k
时成立。对(5.1.11)式右端中的展开系数，还有
第五章 微扰理论
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可 数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、 变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用 于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微 扰理论以及光的发射和吸收等问题。
在后面再详细说明。由于 H 不显含 t，因此，无论 H (0) 或是 H ' 均不显含 t。
(2) H (0) 的本征值和本征函数已经求出，即 H (0) 的本征方程
ψ ψ H = E (0) (0) n
(0) (0) nn
(5.1.4)
中，能级
E
(0 n
)
及波函数ψ
(0 n
)
都是已知的。微扰论的任务就是从
(1) n
+
λ2ψ
(2) n
+ ...)

量子力学 第五章 微扰理论

量子力学 第五章 微扰理论

分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ

量子力学微扰理论

量子力学微扰理论

E ( 2) n
E(0) n
H nn
m
Hm n 2
E(0) n
E(0) m
(23)
第五章 微扰理论 5.1、 非简并定态微扰理论
5.1.3、讨论
5.1.3、讨论
微扰理论适用的条件：级数收敛
Hm n 2 1
E(0) n
E(0) m
(
E(0) n
E(0) m
)
因此，要求，
a) 矩阵元 Hm n 很小，即： H 是一个小的扰动；
5.1.3、讨论
为求解能级 Enj
E(0) n
E (1) nj
所对应的零级近似波函数，
可以把
E (1) nj
的值带回(3)式，
k
( H li
E (1) n
il )ci(0)
0，
l 1,2,L ,k 。
(3)
i1
k
解出一组
c(0) i
，再带入(2)式，
(0) n
ci(
0) i
，即可。
i1
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
斯塔克(Stark)效应：将原子置于外电场中，它发射的光谱
线会发生分裂的现象。
氢原子：能级的裂距 E1(外电场)一级斯塔克效应
碱金属：… …
E2
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
无外场时，氢原子中，库仑势( es2 r )具有球对称性，
5.1.2、 非简并情况下的微扰
(b) 波函数的一级修正
当k
n
时，由
C (1) k

量子力学第五章微扰理论

量子力学第五章微扰理论

。
(1) n al(1) l(0) l 1

上式可以选取 a (1)
n
( ，使得展开式中不含 n0) 项，即 0
( ( 使 an1) n0) 0 ，则上展开式可改写为
8
( n1) al(1) l(0) l n
or
(1) n al(1) l(0) l
五、求非简并定态微扰步骤 ˆ 1 写出体系的哈密顿算符 H n En n ˆ ˆ ˆ 2 把哈密顿算符写成 H H (0) H
( ˆ ˆ 3 写出或求出 H (0) 的本征值与本征函数 En0) 及 ψ n H ˆ H ( ( ˆ ( 4 利用 En1) n0 )* H n0 ) d H nn 及 H mn (1) ( n m0) 求能级及波函数的一级近似 ( ( En0) Em0) m n
0: 1:
ˆ ( H (0) En(0) ) n(0) 0 ˆ ˆ ( H (0) En(0) ) n(1) ( H (1) En(1) ) n(0)
ˆ ˆ 2: ( H (0) En(0) ) n(2) ( H (1) En(1) ) n(1) En(2) n(0)
求零级近似波函数
组 Cij0 的值，即可求得零级近似波函数
将能量一级修正 En1的 k 个根分别代回方程（4），可得 k
nj0 C ji0i
i
(7)
17
即
(1) ' H '11 Enj H 12 (1) H '21 H '22 Enj H' H 'k 2 k1
2 2 e2 ˆ H 2m r

量子力学第5章 周世勋

量子力学第5章 周世勋

,
(0)

(0) k
Ek Ek
(0)
k k
(0)
2. 一级近似 ( H 0 E
0
( 0)
)
(1)
(E
(1)
W )
(0)
为求 E n1 ，以 n 左乘上式两边，并对空间积分：
n
( 0 )*
ˆ (H
0
n
( 0)
E n ) d E n
5.1 非简并定态微扰理论
问题：求解非简并的能量本征值和能量本征态 方法：用微扰的近似方法求解定态薛定谔方程
设体系的哈密顿算符 H不显含时间
其能量本征值方程为 : H E
系统满足以下条件：
1.假定体系的哈密顿算符 H 可以分成两部分：
H H 0 H H 0 W
1
ˆ H
(0)
n
(0)
En
(0)
(0) n
(3)
ˆ 而 H 相对很小，可视为加在 Hˆ ( 0 ) 上的微扰。现在的 ˆ 和 0 ，求出相应的修正项以得到 任务是通过 H n E 和 的近似解，为此，引入一个很小的实数 ， ˆ 并将 H 表示为
(4) ˆ H W 相应地,将 E n 和 n 表为实参数 的级数形式：
Transition Probability
5.6与时间有关的微扰理论
Perturbation theory with time
5.7 跃迁几率
Transition Probability
5.8光的发射和吸收
Light emission and absorption
5.9选择定则
Selection rule

第五章 微扰理论1

第五章 微扰理论1

13
例2 二维空间哈密顿算符 H 在能量表象中的矩阵表示为
E1( 0) a b H (0) b E2 a
其中 a, b 为实数。
（1）用微扰公式求能量至二级修正； （2）求能量精确解。

分析
微扰问题的关键是求出 H mn

ˆ 本问题的核心：从 H 的矩阵中找到 H 的矩阵元 H mn 。

波函数一级修正


H mn ( m0) ( ( En0) Em0)
( H n0) d
H mn
( 0) * m
核心计算！！
8
一级近似: (3) 二级近似
( ( En En0) En1)
( ( n n0) n1)
由方程
利用
: ( H E )
(1 Enj ) ( j 1,2, k ) 所以简并情况下能级的 上可解出 k 个根：
一级近似为
En E
( 0) n
E
(1) nj
(1) 若 k 个 Enj 各不相等，则简并能级
E n分裂成
k 个，简并完全消除
21
(1) 若 Enj 的 k 个根中仍有重根，则简并只是部分消除。
改写为线性方程组
( E1( 0) a E ) b 0 ( b ( E20) a E ) 0
、
有非零解的条件是
E1( 0) a E b 0 ( 0) b E2 a E
（久期方程）
16
由此可得关于本征值 E 的二次方程
( ( E 2 ( E1(0) E20) 2a) E [( E1(0) a)( E20) a) b 2 ] 0

山东大学量子力学 第五章 微扰理论

山东大学量子力学 第五章 微扰理论

(0) n
H kn ( 0) ( 0) k ( 0) k n En - Ek
(14)
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
| ck | 1,
即
( 0) ( 0) || En | Hkn - Ek |
(15)
(0) 如果紧靠着 En 存在别的 Ek(0) ，即使 H H 0 ，
-
n 2
1 ( 0) n -1 ( 0) (0) E n - E n -1
n1 2
-
e
n 2
1 (0) n -1
1
3
n1 2
1 (0) n1 -
(0) - n n -1
e
2
n 1
(0) n1
微扰论也不适用。
例
带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场 的微 扰 H -ex 作用 试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。
将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两部分，在弱电 场下，上式最后一项很小，可看成微扰。 （1）电谐振子Hamilton 量
2 2 d ˆ H 2 2 dx 1 2
n 1,2,Lk L
(3)
(6)
( 0) ( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E ( En H c k k n k n n n k k k n k n
用 n
(0)*
左乘（6）式并积分就得到
(0) c k H nk En H nn En k n
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n
(4)
ˆ H ˆ )( ( 0) C ( 0) ) E ( ( 0) c ( 0) ) (H k k k k 0 n n n

§5 微扰理论

§5 微扰理论
l ≠n
∧
∧
用ψ n( 0)∗ 左乘两边后对整个空间积分得：
∫ψ n ( H
( 0 )∗
∧
∧ ( 0)
− E n )ψ n dτ = − ∑ al H ′ nl + E n
(0 ) ( 2) ' (1) l≠ n
(1 )
∑
l≠ n
'
al δ nl + En
(1)
( 2)
同样因 H ( 0) 是厄密算符，等式左边为零，而右边第二项也等于零， 所以能量微扰二级修正等于 ： ．．．．．．．．．．
(H
∧ ( 0)
∧
∧
− E n )ψ n = En
( 0) (1 )
(1 )
∑ c i ϕ i − ∑ ci H ′ ϕi
(0 ) ( 0) i =1 i =1
k
k
∧
以 ϕ i∗ 左乘上式，并对整个空间积分，得：
∑(H ′ − E
li i =1
k
∧ (1) n
δ li ) ci
( 0)
=0
l = 1, 2, L, k
( 0) H (0 ) ϕ i = E n ϕi ∧
∧
i = 1,2,L , k
(5.1.23)
把零级波函数ψ n(0 ) 写成 ϕ 的线性组合
ψ n = ∑ ci ϕ i
( 0) (0 ) i =1 k
(5.1.24)
代入 ( H ( 0) − E n( 0) )ψ n(1) = −( H (1) − En(1) )ψ n( 0) 式得
1) a (m =
H′ mn ( 0) E − Em
( 0) n
(5.1.17)

量子力学第五章微扰理论

量子力学第五章微扰理论
学
目
的
1.掌握非简并定态微扰理论波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算。
2.对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的研定和一级能量修正的计算。
3.能解释氢原子一级斯塔克效应。
4.了解定态及其对氦原子基态的研究
6.关于与时间有关的微扰论要求如下：
a．了解由初态 跃迁到末态 的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；
b．理解由微扰矩阵元 可以确定选择定则；
c．理解能量与时间之间的不确定关系： 。
d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由 态跃迁到 态的辐射强度均与矩阵元 的模平方 成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定则。。
教
学
重
点
重点：非简并定态微扰理论
难点：简并态微扰，变分法及含时微扰
理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由i?态跃迁到f?态的辐射强度均与矩阵元fir的模平方2fir成正比由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定则
南华大学课程教案
课程名称：量子力学与电动力学授课教师：路兴强
量子力学部分
章次名称
第五章微扰理论
授课学时
总学时：8课堂讲授：8实验：上机：
教
教
学
方
法
在采用的教学
手段中：打（√）
课堂讲授
√
使用教模（具）
挂图
参观
现代化手段
幻灯机
投影仪
电视录像
多媒体
√
CAI情况
软件名称
上机学时
教
学
内
容
本章重点讨论两种应用最广的近似方法：微扰论和变分法。微扰论是各种量子力学近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部分。变分法则特别适用于研究体系的基态。变分法可以和微扰论配合使用，得出精确度的较高的结果。本章重点是非简并定态微扰理论，对于简并态微扰，变分法及含时微扰等要基本了解。

第五章 微扰理论

第五章 微扰理论

第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rE d re E d r e r U ⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(822030020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Z e 。

∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε 2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 20302452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

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)
(0) n
9
2:
(Hˆ (0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(1) n
E (2) (0) nn
10
M
M
k:
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
(k) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(k n
1)
En(2)
( k 2) n
L
En(k
)
(0) n
11
5
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和
1 写出体系的哈密顿算符 Hˆn Enn
2 把哈密顿算符写成 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
3
写出或求Hˆ 出 Hˆ
(0)
的 本Hˆ 征值与本征函数
E (0) n
及
ψ (0) n
4 利用 En(1)
(0)* n
Hˆ
(0) n
d
Hnn
及
(1) n
mn
H m n
E (0) n
E (0) m
(0) m
能量的一级修正值 En(等1) 于 在Hˆ 态中n(0)的平均值。
已知 En后(1) ，由（９）式可求波函数的一级修正 。n(1)
将 n(1)按 Hˆ的(0本) 征函数系 展l(0开)
(1) n
a(1) (0) ll
l 1
上式可以选取
a (1) n
，0使得展开式中不含
项，n(0即)
使 an(1) n(0)，则0 上展开式可改写为
mn
H m n
E (0) n
E (0) m
(0) m
三、高级修正（能量的二级修正）
由二级近似方程可以求得能量的而二级近似
（19） （20）
10
E(2) n
(0)* n
Hˆ
(1) n
d
m
Hm n
E(0) n
E(0) m
(0)* n
Hˆ
(0) m
d
∑ =
m
′| Hn′m |2 En(0) Em(0)
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
(2)
其中 Hˆ (0)是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以 下方程求出
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
(3)
3
而 Hˆ 相对很小，可视为加在 Hˆ (0上) 的微扰。现在的任务是
通过 Hˆ 和 n0，求出相应的修正项以得到 E和 的近 似解，为此，引入一个很小的实数 ，并 将Hˆ 表示为
8
(1) n
a (1) l
(0) l
or
ln
代入（9）式得
(1) n
a(1) (0) ll
(1６)
l
El(0)al(1)
E (0)
(0)
l
n
a(1) (0) ll
E(1) (0) nn
Hˆ
(0) n
l
l
以
(0)* m
(m左 乘n)，并积分，并注意
的正交l(0归) 一性
得到：m(0)* l(0)d ml
E (1) n
2
E(2) n
L
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
)
(7)
将此式展开，便得到一个两边均为 的幂级数等式，此等式 成立的条件是两边 同次幂的系数应相等，于是得到一系列
方程：
0:
(Hˆ (0)
E(0) n
)
(0) n
0
8
1:
(Hˆ (0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
(El(0) En(0) )al(1)ml
(0)* m
Hˆ
n(0)d
l
令微扰矩阵元
Hm n
(0)* m
Hˆ
(0) n
d
（17） （1８）
9
则:
( En(0) Em(0) )am(1) H m n
a (1) m
H m n
E(0) n
E(0) m
代入（１６）式，得波函数的一级修正为
(1) n
n
n(0)d
n(0)*Hˆ n(0)d
注意到 Hˆ 是0 厄米算符， 是En实0 数，则有
（15）
(0)* n
(
Hˆ
(0)
En(0) ) n(1)d
[(Hˆ (0)
En(0)
)
(0) n
]*
n(1)d
0
7
再注意 n的0 正交归一性，由（1５）式得
En(1) n(0)*Hˆ n(0)d Hnn
于是，能量的二级近似
En
E(0) n
Hnn
m
| Hnm |2
E(0) n
E(0) m
波函数的一级近似
n
(0 n
)
m
Hm n
E(0) n
E(0) m
(0 m
)
（2２） （２３）
11
四、微扰理论适用的条件
H
′
mn
En(0) Em(0)
<< 1
(En(0) Em(0) )
（26）
五、求非简并定态微扰步骤
Hˆ Hˆ (1)
(4)
相应地,将 En和 表n 为实参数 的级数：
EnE(0) n来自E(1) n2
E(2) n
L
kE
(k) n
L
(5)
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
k n (k) L
(6)
将以上几式代入（1）式得：
4
(Hˆ (0)
Hˆ
(1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
)
(
E(0) n
En2、
2
n
为二级修正
Enk
、
k
n
为 k级修正
6
二、一级修正
当 En0 非简并时，En0的本征函数只有一个，它就是波函数
的零级近似 。n0 （设 n是0 归一化的）。
为求 E，n1以 左乘n0（9）式两边，并对整个空间积分：
(0)* n
(
Hˆ
(0)
En(0) ) n(1)d
En(1)
(0)*
求能级及波函数的一级近似
∑ 5 利用
E
(2 n
)
=
m
′| Hn′m |2 En(0) Em(0)
求能级的二级近似
12
5.2 简并情况下的微扰理论
若 En(是0) 度k 简并的，则有 k个本征函数 1,2 , k
满足方程
波函数的近似解. 的引入只是为了从方程（７）按数量级
L 分出（８）、（9）、 、（11）等方程，达到此目的后，
便可省去 。
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
L
E
(k) n
L
n
(0) n
(1) n
(2) n
L
n (k) L
(12) (13)
Hˆ (1) Hˆ
(14)
En1、
1
n
为一级修正，
Chapter 5 微扰理论
Perturbation Theory
1
引言
前面已讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定谔方 程求得了一些简单问题的解。
在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求 出薛定谔方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子 体系就难以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似 方法求薛定谔方程近似解就显得尤为重要。
近似方法很多，微扰方法和变分法就是其中两种重要 的近似方法。微扰方法是通过简单问题的精确解来求得 复杂问题的近似解。微扰方法又视其哈密顿算符是否与 时间有关分为定态和含时两大类。
2
5.1 非简并定态微扰理论
一、基本方程
设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定谔方程为
Hˆ n Enn
(1)
当Hˆ比较复杂，方程(1)难求解时，将 H写ˆ 成：