第二章层流强制对流换热
§2-1 层流对流换热边界层微分方程的物理数学性质 由于对流换热基本方程组的非线性与耦合性，求解异常困难，在19世纪，对粘性流动与换热进行求解几乎是不可能的。
自从1904年德国的著名力学家Prandtl提出边界层的理论后，借助于该理论对N-S 方程进行简化，在某些简单的情况下可进行理论求解，从而为现代流体力学的发展奠定了基础，同时也推动了对流换热理论的发展。
到目前为止，已获得了十几个层流对流换热问题的分析解。
下面介绍边界层理论的要点及边界层微分方程的数理性质。
一、边界层理论要点
1.流动边界层
绕流固体壁面的粘
性流体流场可分为
边界层区、主流区（势流
区）两个特征不同的流动
区域：
(a). 壁面附近边界层：在垂直于壁面方向，速度变化剧烈，存在很大
的速度梯度，粘性应力起重要作用。
速度分布，粘性
(b). 离壁面较远的主流区：速度梯度很小，可以忽略粘性应力，视为
理想流体的流动。
δ 。
(尺度)
(c). 边界层厚度δ远比流过的距离L小得多，即L
(d). 边界层内存在层流、湍流、过度流等不同流态。
（流态）
2.热边界层
(a). 壁面附近的热边界层：垂直于壁面方向，存在很大的温度梯度，
沿壁面法向的导热起主要作用。
(b). 离壁面稍远的主流区：混合剧烈，温度梯度很小，可忽略导热。
δ 。
(c).热边界层厚度t L
(d). tδ与δ的关系，起决于流体物性。
(r P数)
(e). 热边界层的流动状态对换热起着决定性作用。
从物理本质上看，边界层是扩散效应(微观热运动)起主要或重要作用的区域；或者说是扩散效应的影响区域。
层流热边界层内：沿壁面法向的热流传递方式主要是导热。
湍流边界层内：粘性底层靠导热，湍流核心区的脉动对流占主要地位。
二、层流边界层对流换热的分析求解方法
层流边界层对流换热的分析求解方法主要有两种：
1). 建立边界层动量、能量积分方程— 近似解法。
2). 建立边界层微分方程— 相似解法。
边界层积分方程：是对包括整个边界层厚度的有限控制体应用守恒原理建立的，不能保证边界层内任意小的微元体满足守恒关系；同时，求解过程中需假定速度、温度分布函数，我们称其解为近似解。
就方程本身的性质而言，在数学上其解称为”弱解”。
边界层微分方程：尽管比原始方程简单，但由于是针对边界层内任意小的微元体建立的守恒关系，其解仍称为精确解。
∆需要说明：对大多数层流强制对流换热，往往忽略体积力和粘性耗散效应。
因为，一般情况下，体积力对强制流动速度场的影响较小，而当
Eckert 数 21()
c p w u E c T T ∞∞=<−时，µΦ很小，可忽略。
如空气，以300/u m s ∞=掠过平壁时，当100w T T K ∞−=，1000J/kg K p c =⋅，时0.9c E =，而一般工业上的流速远低于声速。
三、层流边界层微分方程的数理性质与边界条件
1.物理性质
以常物性、不可压缩牛顿流体强制绕流等温平壁的二维稳态层流对流换热为例，不考虑粘性耗散效应、内热源及辐射换热(以下均不考虑这些因素)。
其基本控制方程组为：
0u x y υ
∂∂+=∂∂ 22221()u
u p u u
u x y x x y υνρ∂∂∂∂∂+=−++∂∂∂∂∂
22
221()p
u x y y x y υυυυ
υνρ∂∂∂∂∂+=−++∂∂∂∂∂ (
2.1.1)
22
22()T
T
T T
u a x y x y υ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂
应用边界层理论，借助于数量级分析，可简化得到边界层对流换热微分方程组：
u (2.1.2) 2
2T T T u a x y y
υ∂∂∂+=∂∂∂ 物理性质分析 (a). 动量方程：x 向动量方程中22
22u u x y
∂∂∂∂ 而被忽略。
说明在边界层流动中，下流的速度变化对上游的速度分布没有影响，也就是说 边界层流动在主流方向上呈现出步进性。
y 向动量方程中对流项、扩散项均比x 向动量方程中的小得
多而被忽略。
即y 向的动量变化很小，此时边界层方程简化为：
0p y
∂=∂ (2.1.3) 这说明，边界层内：压力P 沿y 方向几乎无变化，而仅是x 的函数，在任何x 处截面上，各点压力相等，等于边界层外主流压力。
在主流区： 0u y
∂=∂、u u ∞=，又忽略粘性力，有Bernoulli 方程： 1du dp u dx
dx ρ∞∞=− (2.1.4) 由()u f x ∞=的具体函数关系，可求解()p x 。
(b). 能量方程： 2222T T x y
∂∂∂∂ 而被忽略，说明在热边界层内y 向的导热作用与对流作用的数量级相同，而x 向的导热很小，可忽略。
由于边界层对流换热中，流体沿x方向流动，下游的温度变化对上游的影响只能通过导热（扩散）来实现，若x方向导热可忽略，那么下游温度变化对上游无影响，就象一个一维非稳态导热问题一样。
x坐标与τ坐标一样成为单向坐标—单通道坐标
．．．．．：扰动仅沿一个方向转递，该坐标方向上任一点的物理量仅受来自上游一侧的影响”。
(c). 概括评述
由于边界层流动和换热的特点，使动量方程和能量方程由原来的平衡问题或说稳态问题描述形式转变为步进问题或说是非稳态问题描述形式，而沿主流流动方向的坐标成为与时间坐标τ类似的单向坐标。
2. 数学性质
从数学上看，边界层动量方程与能量方程都由原来的椭圆型方程转化为抛物型方程，所描述问题由边值问题转化为初值问题。
二元二阶偏微分方程：
(,)xx xy yy x y A B C D E F G x y Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ= (2.1.5) 其中， ,,,,,,A B C D E F G 均为x 、y 的函数。
当 240B AC −<时 为椭圆方程 (无实的特征线) 240B AC −>时 为双曲型方程 (有两条实的特征线) 240B AC −=时 为抛物型方程 (有一条实的特征线) 椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程代表着一类物理问题。
椭圆型方程：代表物理上的平衡问题，或稳态问题，其物理量是双向坐标变化，数学上称为边值问题。
抛物型方程：代表的是一类问题在物理上称为步进问题或非稳态问题，其物理量沿某个坐标单向变化，数学上称为初值问题。
椭圆型方程中的自变量是双向坐标，因变量的求解需在一个闭区域内进行，并依赖于包围求解区域的封闭边界，称为依赖区
．．．。
求解域
内每点物理量的变化对整个求解区域都有影响，即任一点的影响区
．．．是整个求解域。
这样，求解域内的各点是相互影响的，所以必须对所有的点联立求解，所以椭圆型方程的求解较难。
抛物型方程的求解域是从初值出发的开区间，求解域内任一点P
的依赖域是该点上游的区域边界，影响区
．．．是该点的下游区域，二者以特征线为界截然分开，由于求解域内每点仅受其上游物理量变化的影响，所以可采用逐步向前推进的解法。
3.边界条件
描述一般二维稳态层流对流换热的微分方程是椭圆型方程，其解的依赖域是整个求解域的封闭边界，这意味着边界条件须给出求解域四条边界线上所有因变量的值、或分布函数、或导数。
而描述二维层流边界层稳态对流换热的微分方程是抛物型方程.不需给出下游边界上的条件。
如对绕流等温平壁的二稳态层流边界层对流换热： 0u x y
υ∂∂+=∂∂ 22()u u u u x y x
υν∂∂∂+=∂∂∂ 22T T T u a x y y
υ∂∂∂+=∂∂∂ 相应的边界条件为：
00,0,(),()0,,0,,,,w y u u y T T y y x x u v T T y x x u u T T ∞∞<<∞==⎧⎪
=>===⎨⎪=∞>==⎩
0入口处：壁面处：主流：x=x (2.1.6)
速度分量u ：
其对x 的最高阶导数为一阶u x
∂∂.所以在x 方向只需一个边界条件，但在y 方向，导数最高阶为22u y
∂∂，所以需两个边界条件。
速度分量v ：
仅需y 向一个条件。
温度T ：
与u 一样，x 向需一个边界条件， y 向需2个边界条件。
由于在入口处，,,()0.u
u T T x δ∞∞===，而通常求解中，给出的是()u y f u δ∞=、()w w t T T y f T T δ∞−=−的形式，所以x=x 0处的条件通常不再给出。
