第五章自然对流换热
当流体内部的温度分布或浓度分布不均匀时，会造成密度分布的不均匀，在体积力场的作用下，形成浮升力，而引起流体的流动与换热，这种现象称为自然对流。
在自然界与工程技术中，自然对流现象很多，譬如：地面与大气间温度差引起的复杂大气环流，工业排烟在大气中的混合与蔓延，工业废水在水域中的混合与扩散，各种电子器件的散热冷却，建筑物内的采暖，炉中的火焰与烟气的蔓延等。
在铸造、温控等涉及固/液相变的技术过程中，自然对流也是重要的物理过程。
与强制对流换热一样，自然对流也有层流与湍流，内部流动与外部流动的区别。
5-1 自然对流边界层分析
一、自然对流边界层的特点
以放置于静止流体中的竖壁为例。
流体温度为T ∞，壁面温度为w T ，当w T T ∞>时，壁面附近的流体被加热，温度升高，密度变小，在重力场作用下产生浮力，使流体向上运动，如图。
(a) Pr 1=, ()T δδ=
(b)Pr >>1, ()T δδ>
一般来说，不均匀的温度场仅出现在离壁面较近的流体层内，表现出边界层的特性。
与强制对流不同，离壁面较远的流体静止不动。
对不同类的流体，其边界层内的速度分布、温度分布及控制机理有所不同。
(a) 当Pr 1=时，T δδ=，温度分布单调，速度分布在离壁面一定距离
处取得较大值，从壁面到速度极大值处，浮升力克服粘性力产生惯性力（速度）。
随着离开壁面的距离的增加，浮升力减小，但粘性力以更快的速度减小，直至为零，即在此处取得极大值。
从该点向边界层外缘，由于浮升力进一步减小，不足以维持如此大的惯性，所以速度又逐渐降低。
(b)Pr >>1时，T δδ>。
在T y δ<区域，浮升力克服粘性力产生惯性；在T y δ>区域浮升力为零，流体靠消耗惯性力来克服粘性力。
此时，温度分布与速度分布的宽度不同。
(c) Pr <<1时，T δδ<，热扩散能力大于粘性扩散能力。
在y δ<区域，
浮升力克服粘性力产生惯性力（速度），而在y δ>区域，粘性力很小，浮升力直接产生惯性力。
虽然这种情况下，两种边界层的发展速度不同，但温度分布与速度分布的宽度相同。
如图。
(c) Pr <<1, ()T δδ<
二、自然对流边界层微分方程组
以沿竖壁向上的层流自然对流为例，考虑二维稳态情况，无内热源及辐射换热，忽略粘性耗散、压缩功影响。
体积力g ρ向下作用于x −方向，即：x B g ρ=−。
则边界层微分方程组为：
（5.1.1） 在边界层外，流体静止，有压力梯度关系：
（5.1.2）
于是，动量方程变为：
（5.1.3） 式中：()g ρρ∞−即为浮升力。
可看出：
浮升力＝（密度差）•（体积力）
即流体内部不仅要有密度差，而且要受体积力的作用，二者缺一，不会产生浮升力。
三、Boussinesq 假设
由于浮升力与流体的密度变化密切相关，必须联立求解连续方程、动量方程和能量方程，即流场与温度场是强烈耦合的，使求解变得非常复杂。
Boussinesq 提出在一定条件下，可以简化。
简化条件：
(1) 温度不均匀引起的容积膨胀较小，即()1w T T β∞− ；
在上述条件下，进行如下简化：
(1) 除浮升力项外，方程中其它各项的密度可视为常数，即忽略ρ变化对惯性力、连续性及对流热量传递的影响。
同时忽略其它物性，如µ，p c ，λ随温度的变化。
(2) 密度变化仅为温度的函数，即
（5.1.4） 由()(p T d dT dp T p
ρρρ∂∂=+∂∂，在(1T dp p ρ∂∂ 的条件下得出。
引入容积膨胀系数：
（5.1.5） 将密度变化表示为：d dT ρρβ=−⋅⋅。
当p 和T 变化不很大时，近似地有：()T T ρρρβ∞∞−=−⋅−。
于是，可将浮升力项表示为：
()()g g T T ∞∞−=⋅⋅−ρρρβ （5.1.6）
于是，在Boussinesq 假设下，竖壁自然对流边界层微分方程组为：
（5.1.7）
z Boussinesq 假设的物理含义：
布氏涅斯克假设说明，在流体内部，ρ变化很小，以至于方程中各项的ρ可用常物性代替，但即使这样小的ρ变化，也足以使浮升力项()g ρρ∞−与粘性力()u y y
µ∂∂∂∂、惯性力[]u u u v x y ρ∂∂+∂∂量级相当。
是否采用B 氏假设应注意：
(1) 大温差()w T T ∞−或β较大时，布氏涅斯克假设不成立，应按变物
性处理。
(2) 布氏涅斯克假设仅是为了分析方便提出的，数值计算中不必采
用。
