空间几何体的投影与展开

Ｖｏ】．５．Ｎｏ．１　Ｍａ　ｒ．．２００２　Ⅲ　Ｎ　ＴＨＥＭ川ｃｓ　３９　

空间几何体求解平面投影的分类与总结’　

潘俊君　（西北Ｉ业大学１Ｉ系　西安７１００７２）　

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这娄　问题，高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类．给出了　结。　（ａ）空间曲线在平面上投影的求法　通常先将空间曲面方程联立，消去ｚ，Ｙ，　中的一个变元得到一个二元方程　再附上此投影面的　解析式，最后得到一个含有两个方程的方程组　例如“两个空间曲面方程分别为　（ｒ，　，　）＝０和　Ｇ（　，Ｙ，　）一０，设ＦＧ（ｘ，　）是两个方程联立消去２后的解析式，则该空间曲线在ｘｏｙ平面上的投影　就为｝ＦＧ（ｘ一’ｙ　一ｕ。这类问题的解法较为简单。　Ｉ２一ｕ　（ｂ）空间立体在平面上投影的求法　通常这类问题比较复杂，依据投影曲线的封闭性还要细分成两种情况，它是本文讨论的重点。　’膊况（１）：一般先把空间立体两截交面相交而成的空间曲线求出来。再求出空间曲线在平面上　的投影，方法与求解空间曲线的投影相同　最后把所得的二元方程组构造成适当的不等式组。这时　它表示的便是投影曲线在平面上所围的点集，也就是立体的投影。此方法便是高等数学书中给出的　常用解法，但它对投影曲线为封闭时的情况往往适用，而当其为非封闭曲线时，情况（２）中的方法　则可能更为有效。　情况（２）：先将所围立体看成几个立体的交，求出每个立体在平面上的投影，再求出各投影面的　交集　即把各不等式联立成不等式组，则此不等式组的解便是立体在平面上的投影。　例１：求上半球体：０≤。≤ｖ／　＝＿＝　刁与圆柱体　下Ｙ　≤ａｘ（ａ＞０）的公共部分在　平面上和　０２平面上的投影　解　分析：这是求立体的投影，所以投影是面而不是线　（１）在ｘｏｙ面上的投影：依据（ｂ）中情况（１）的方法：先求出上　半球面与圆柱面所交的空间曲线（图１所示ＡＢＣＤ）为：　ｊｚ一　①　Ｉ　＋Ｙ　一日ｚ一０　②式中无变元　，故　＋　一　ｚ一０直接就为ｘｏｙ面上的投　影曲线。又ｘｏｙ平面方程为＃＝０，所以联立得　ｆ　＋ｖ２一ｄ　一０　它为闭血线，投影面就为此啦线所围的圆。因　

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高考资源网版权所有，侵权必究！ 1.2.1空间几何体的三视图

教学目的：使学生掌握柱、锥、台、球的正视图、侧视图和俯视图，会画它们的三视

图，会画简单组合体的三视图。

教学重点：会画柱、锥、台、球、简单组合体的三视图。

教学难点：由三视图画出空间几何体是教学的难点。

教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

创设情境导入新课 1.如何将空间几何体画在纸上，用平面图形来表示.

2.我们常用三视图和直观图表示空间几何体.

三视图：观察从三个不位置观察同一空间几何体而画出的图形.

直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体面画出的图形. 师：要解决这个问题，我们需要将我们看到的画下来，这就取决于我们怎样去看.

生1：我们可以从前后角度，左右角度，上下角度看.

生2：我们也可站在某一点观察.

师总结空间几何体表示方法，点出主题. 让学生发现知识源于实践，又可应用于实践，培养学生应用意识，激发学生学习的激情.

探索新知 教学中投影与平行投影.

中心投影：光由一点向外散射形成的投影.

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.

讨论：三角形在平行投影和中心投影后的结果. 师：要学习三视图，首先我们要学习两个知识.

中心投影与平行投影

……

生1：联想到棱柱的结构特征，无论是正投影还是斜投影，三角形在平行投影后为结果是与原三角形全等的三角形.

生2：三角形在中心投影后得到了一个相似的放大了

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探索新知 教学柱、锥、台、球的三视图：

⾼⼀数学知识点总结_空间⼏何体的结构知识点

⾼⼀数学怎么学?　学⽣学习期间，在课堂的时间占了⼀⼤部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!

⾼⼀数学知识点总结(⼀)

空间⼏何体的结构知识点1、 静态的观点有两个平⾏的平⾯，其他的⾯是曲⾯;动态的观点：矩形绕其⼀边旋转形成的⾯围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。2、 定义：以矩形的⼀边所在直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的的曲⾯所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯叫做圆柱的底⾯;平⾏于圆柱轴的边旋转⽽成的⾯叫圆柱的侧⾯，圆柱的侧⾯⼜称圆柱的⾯。⽆论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧⾯的母线。

表⽰：圆柱⽤表⽰轴的字母表⽰。

规定：圆柱和棱柱统称为柱体。3、 静态观点：有⼀平⾯，其他的⾯是曲⾯;动态的观点：直⾓三⾓形绕其⼀直⾓旋转形成的⾯围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。4、 定义：以直⾓三⾓形的⼀条直⾓边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转⽽形成的⾯所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯成为圆锥的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫圆锥的侧⾯，圆锥的侧⾯⼜称圆锥的⾯，⽆论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧⾯的母线。

表⽰：圆锥⽤表⽰轴的字母表⽰。

规定：圆锥和棱锥统称为锥体。5、 定义：以半直⾓梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的曲⾯所围成的⼏何体叫圆台。还可以看成⽤平⾏于圆锥底⾯的平⾯截这个圆锥，截⾯于底⾯之间的部分。旋转轴叫圆台的轴。垂直于旋转轴的边旋转⽽形成的圆⾯称为圆台的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫做圆台的侧⾯，⽆论转到什么位置，这条边都叫圆台侧⾯的母线。

表⽰：圆台⽤表⽰轴的字母表⽰。

规定：圆台和棱台统称为台体。6、 定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转⼀周所形成的曲⾯称为球⾯，球⾯所围成的旋转体称为球体，简称为球。半圆的圆⼼称为球⼼，连接球⾯上任意⼀点与球⼼的线段称为球的半径，连接球⾯上两点并且过球⼼的线段称为球的直径。

几何体中投影的概念

几何体的投影是指将三维空间中的一个物体或图形在某个平面上所产生的影子或映像。投影在我们日常生活中无处不在，例如当太阳光通过云层投射到地面上时，我们可以看到地面上的云层的阴影；或者当我们在平面上画一个三维图形的投影时，我们可以更清晰地观察到这个图形的形状和特征。投影在建筑设计、工程制图、航空航天等领域都起着重要的作用。

几何体的投影可以分为平行投影和透视投影两种。平行投影是指物体上的所有点通过平行线投射到平面上，使得投影保持原来的形状和大小不变。透视投影则通过视点和物体上的点之间的直线来进行投影，使得近处的物体投影较大，远处的物体投影较小，呈现出透视效果。

在平行投影中，光线是平行于彼此且垂直于投影平面的。常见的平行投影有正交投影和斜投影两种。正交投影的光线与投影平面垂直，投影结果是一个等边形，即保持长度和角度不变。斜投影的光线与投影平面有一定的夹角，投影结果是一个相似形，即保持长度不变但会改变角度。

透视投影是模拟人眼视觉效果的一种投影方式。在透视投影中，物体通过一条视线与视点相交，从而产生投影。透视投影也分为单点透视投影和多点透视投影。单点透视投影是指物体上的点通过视线在投影平面上的交点投影，而多点透视投影则是根据视点的不同将物体上的不同点分别投影至不同的投影平面上。

投影的概念主要包括以下几个要点：

1. 投影平面：投影平面是指用来接收和显示投影的平面。投影平面可以是水平的、垂直的或倾斜的。根据需要，我们可以选择不同的投影平面来观察物体的投影效果。

2. 投影点：投影点是指物体上的点在投影过程中与投影平面的交点。通过投影点，我们可以确定物体在投影平面上的位置。

3. 投影线：投影线是指从投影点引出的光线或投影线段。投影线在投影过程中起着重要的作用，它们描述了物体上各个点的位置关系。

4. 投影形状：投影形状是指物体在投影平面上所呈现出的形状。根据物体的形状和投影平面的位置，投影形状可以是点、线、面等不同的形式。