港澳台联招辅导班考前综合试题：数学2含答案
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2014.11.01数学测试（含答案）
1．已知集合{}0|=-=m x x A ，{}01|=-=mx x B ，若B B A = ，则m 等于（）
A ．1
B ．0或1
C ．﹣1或1
D ．0或1或﹣1
【答案】D.
2．已知222,0()1
,0
x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（）
（A ）[-1,2]（B ）[-1，0]（C ）[1，2]
（D ）[0,2]
【答案】D
3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，
x x x f -=2
2)(，则()f 1=（）.A ．-3B ．-1
C ．１
D ．3
【答案】A.
4．已知0,1a b a b <<+=，则
221
,,b a b +的大小关系是A ．221
2
a b b <+< B.
221
2
b a b <<+C.22
12
a b b +<<
D.无法确定
【答案】A
5．已知集合0)(:},1,0,1{},,,{=→-==b f Q P f Q c b a P 满足映射的映射的个数共有个
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
【答案】D
6．设函数()cos()3),(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><，且其图像相邻的两条对称轴为0,2
x x π==，则
A ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)π上为增函数
B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)π上为减函数
C ．()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2
π
上为增函数
D ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,π
上为减函数
【答案】D
7．在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为c b a ,,，则""b a ≤是"sin sin "B A ≤的（）
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
【答案】A
8．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD ＝2DC ，则AD
＝（
）．
A ．23b ＋13
c
B ．53c －23b
C ．23b －13
c
D ．13b ＋23
c
【答案】A ．
9．等边数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项的积为n T ，若2012
20121⎪⎭
⎫
⎝⎛=T ，则20112a a +的最小值为
A.1
B.
1
C.4
D.2
【答案】A
10．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）
A ．(1)n n +
B ．(1)
n n -C ．
(1)n n +D ．
(1)n n -【答案】A
11．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
（
）
A ．24种
B ．96种
C ．120种
D ．144种【答案】B
12．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有()A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【答案】B
13．关于x 的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3-≤m .
14．数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________.
【答案】
22
2
n n ++15．已知数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈，其前n 项和为n S ，则数列}{n
S n
的前10项的和为【答案】75
16．在ABC ∆中，下列三角表达式：①()sin sin A B C ++，②()cos cos B C A ++，
③tan tan 22A B C +，④cos cos 22A B C +，其中恒为定值的有_____________（请将你认为正确的式子的序号都填上）．
【答案】②③
17．1＋3＋32＋…＋399被4除，所得的余数为________．【答案】0
18．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙
两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为（用数字作答）.
【答案】6.
19．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.（1）求证：,,a b c 成等比数列；
（2）若1,2a c ==，求△ABC 的面积S.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
7=
S 20．从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。
（1）若抽取后又放回，抽3次，①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；②求抽到红球次数的分布列.
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望.
【答案】（1）①
12524,
12536；②5
6
；（2）4．21．已知正项数列{}n a 满足:2
2
2
(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11b =，
21n n S b =+()n N +∈．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(21)n
n n
n b c a +=
，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．【答案】（1）2
n a n n =+.数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1
(1).
n n b -
∴
=-；
（2）见解析.
在数列{}n a 中，已知121,4,a a ==当3n ≥时，1232.
n n n a a a --=-（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求2lim .
n
n n
a →∞解析：()121121232222n n n n n n n n n a a a a a a a a a -------=-⇔-=-=-1
12
2
n n n n a a a a ----⇔
=-因213a a -=，故数列{}()12n n a a n --≥是首项为3，公比为2的等比数列，故()21322n n n a a n ---=∙≥，
则利用“累加法”即得()211132321n n n n n a a a a ---∑-=∑∙⇒-=∙-，1322
n n a -=∙-2
12222lim .3223
132n n n n n n
a --→∞===∙-⎛⎫
- ⎪⎝⎭。
