空间几何体及投影

Ｖｏ】．５．Ｎｏ．１　Ｍａ　ｒ．．２００２　Ⅲ　Ｎ　ＴＨＥＭ川ｃｓ　３９　

空间几何体求解平面投影的分类与总结’　

潘俊君　（西北Ｉ业大学１Ｉ系　西安７１００７２）　

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这娄　问题，高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类．给出了　结。　（ａ）空间曲线在平面上投影的求法　通常先将空间曲面方程联立，消去ｚ，Ｙ，　中的一个变元得到一个二元方程　再附上此投影面的　解析式，最后得到一个含有两个方程的方程组　例如“两个空间曲面方程分别为　（ｒ，　，　）＝０和　Ｇ（　，Ｙ，　）一０，设ＦＧ（ｘ，　）是两个方程联立消去２后的解析式，则该空间曲线在ｘｏｙ平面上的投影　就为｝ＦＧ（ｘ一’ｙ　一ｕ。这类问题的解法较为简单。　Ｉ２一ｕ　（ｂ）空间立体在平面上投影的求法　通常这类问题比较复杂，依据投影曲线的封闭性还要细分成两种情况，它是本文讨论的重点。　’膊况（１）：一般先把空间立体两截交面相交而成的空间曲线求出来。再求出空间曲线在平面上　的投影，方法与求解空间曲线的投影相同　最后把所得的二元方程组构造成适当的不等式组。这时　它表示的便是投影曲线在平面上所围的点集，也就是立体的投影。此方法便是高等数学书中给出的　常用解法，但它对投影曲线为封闭时的情况往往适用，而当其为非封闭曲线时，情况（２）中的方法　则可能更为有效。　情况（２）：先将所围立体看成几个立体的交，求出每个立体在平面上的投影，再求出各投影面的　交集　即把各不等式联立成不等式组，则此不等式组的解便是立体在平面上的投影。　例１：求上半球体：０≤。≤ｖ／　＝＿＝　刁与圆柱体　下Ｙ　≤ａｘ（ａ＞０）的公共部分在　平面上和　０２平面上的投影　解　分析：这是求立体的投影，所以投影是面而不是线　（１）在ｘｏｙ面上的投影：依据（ｂ）中情况（１）的方法：先求出上　半球面与圆柱面所交的空间曲线（图１所示ＡＢＣＤ）为：　ｊｚ一　①　Ｉ　＋Ｙ　一日ｚ一０　②式中无变元　，故　＋　一　ｚ一０直接就为ｘｏｙ面上的投　影曲线。又ｘｏｙ平面方程为＃＝０，所以联立得　ｆ　＋ｖ２一ｄ　一０　它为闭血线，投影面就为此啦线所围的圆。因　

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 学生园地空间几何体求解平面投影的分类与总结Ξ

潘俊君　(西北工业大学11系　西安　710072)

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这类问题,高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类,给出了总结。(a)空间曲线在平面上投影的求法通常先将空间曲面方程联立,消去x,y,z中的一个变元得到一个二元方程。再附上此投影面的解析式,最后得到一个含有两个方程的方程组。例如“两个空间曲面方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0,设FG(x,y)是两个方程联立消去z后的解析式,则该空间曲线在xoy平面上的投影就为FG(x,y)=0z=0。这类问题的解法较为简单。(b)空间立体在平面上投影的求法通常这类问题比较复杂,依据投影曲线的封闭性还要细分成两种情况,它是本文讨论的重点。情况(1):一般先把空间立体两截交面相交而成的空间曲线求出来。再求出空间曲线在平面上的投影,方法与求解空间曲线的投影相同。最后把所得的二元方程组构造成适当的不等式组。这时它表示的便是投影曲线在平面上所围的点集,也就是立体的投影。此方法便是高等数学书中给出的常用解法,但它对投影曲线为封闭时的情况往往适用,而当其为非封闭曲线时,情况(2)中的方法则可能更为有效。情况(2):先将所围立体看成几个立体的交,求出每个立体在平面上的投影,再求出各投影面的交集。即把各不等式联立成不等式组,则此不等式组的解便是立体在平面上的投影。例1:求上半球体:0≤z≤a2-x2-y2与圆柱体x2+y2≤ax(a>0)的公共部分在xoy平面上和xoz平面上的投影。

图1解　分析:这是求立体的投影,所以投影是面而不是线。(1)在xoy面上的投影:依据(b)中情况(1)的方法:先求出上半球面与圆柱面所交的空间曲线(图1所示ABCD)为:z=a2-x2-y2x2+y2-ax=0①②②式中无变元z,故x2+y2-ax=0直接就为xoy面上的投影曲线。又xoy平面方程为z=0,所以联立得x2+y2-ax=0z=0它为闭曲线,投影面就为此曲线所围的圆。因

教案：《平面立体的投影》

作者：陈菁

科目 《机械制图》 课型 新授课 第10讲

课题 §2—6平面立体的投影 备课时间 2010年11月

授课班级 采掘电钳工

授课时间

教学

目的 ①知识目标：让学员熟练掌握平面立体三视图的作法。学会平面立体表面上点的投影的作法。

②能力目标：通过精讲多练，提高学员的空间思维想象能力；加强看图能力和绘图能力的培养。

③情感目标：通过学习培养学员理论联系实际的工作作风和认真工作的态度。

重点 平面立体三视图的作法

难点 ①平面立体三视图的投影特征。

②平面立体表面上点的投影的作法。

方法 启发式教学法、讲练结合法、演示法（模型、课件）

课时 2学时（90分钟）

教具 实物模型、多媒体设备

教学过程 教学

内容 教学

手段 教师活动 学员活动 设计意图 - - 2 复 习

引

入

2 分 钟 基本几何体概念的引入 复习提问 前面我们学习了点、线、面的投影知识，它是构成基本几何体的基本元素。在这部分的内容中我们得知：将两点的同面投影连接起来，即构成什么的投影？而将几个平面的同面投影连接起来，即为某一基本几何体的投影。提出问题：点、线、面的投影与基本几何体投影有什么关系？

回忆

回答 引起学员注意，使学员积极主动进入学习状态

教学过程 教学

内容 教学

手段 教师活动 学员活动 设计

意图

新

课

引

入

3 分 钟 基

本

几

何

体

概

念

的

引

入 展示课件 设问：看一下这些机件上有你认识的几何体吗？ 回答：棱柱、圆柱等 激发学员的学习兴趣

直观的启发，轻松引入新课 总结 机器上的零件，由于其作用不同而有各种各样的结构形状，不管它们的形状如何复杂，都可以看成是由一些简单的基本几何体组合起来的 联想一下常见的机件

设问 如果掌握这些基本几何体的画法，是不是为画零件的视图打下了基础？ 思考期盼学习新知识

引入 引出基本几何体的投影图

新

课

教

学 平

空间几何体的投影计算

投影是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和分析三维空间中的几何体。本文将讨论如何计算空间几何体的投影，并介绍常见几何体的投影计算方法。

1. 直线的投影计算

在三维空间中，一条直线可以用参数方程表示为：

x = x0 + t * a

y = y0 + t * b

z = z0 + t * c

其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。

直线在平面上的投影可以通过将直线的参数方程代入平面的方程来计算。设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，则直线在平面上的投影为：

x = x0 + t * a - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * a / (a^2 + b^2 + c^2)

y = y0 + t * b - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * b / (a^2 + b^2 +

c^2)

z = z0 + t * c - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * c / (a^2 + b^2 + c^2)

2. 球体的投影计算 球体在三维空间中的投影是一个圆。以球心为原点建立球坐标系，球心到球上任意一点的向量可以表示为：

x = r * sinθ * cosφ

y = r * sinθ * sinφ

z = r * cosθ

其中r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。

球体在平面上的投影也是一个圆，其圆心和半径可以通过球坐标系中的坐标转换得到。设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，球的投影圆的半径为R，则圆心在球坐标系中的极角和方位角可以通过以下公式计算：

cosθ = -D / √(A^2 + B^2 + C^2)

sinθ * cosφ = -A / √(A^2 + B^2 + C^2)