空间几何体的投影与视

Ｖｏ】．５．Ｎｏ．１　Ｍａ　ｒ．．２００２　Ⅲ　Ｎ　ＴＨＥＭ川ｃｓ　３９　

空间几何体求解平面投影的分类与总结’　

潘俊君　（西北Ｉ业大学１Ｉ系　西安７１００７２）　

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这娄　问题，高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类．给出了　结。　（ａ）空间曲线在平面上投影的求法　通常先将空间曲面方程联立，消去ｚ，Ｙ，　中的一个变元得到一个二元方程　再附上此投影面的　解析式，最后得到一个含有两个方程的方程组　例如“两个空间曲面方程分别为　（ｒ，　，　）＝０和　Ｇ（　，Ｙ，　）一０，设ＦＧ（ｘ，　）是两个方程联立消去２后的解析式，则该空间曲线在ｘｏｙ平面上的投影　就为｝ＦＧ（ｘ一’ｙ　一ｕ。这类问题的解法较为简单。　Ｉ２一ｕ　（ｂ）空间立体在平面上投影的求法　通常这类问题比较复杂，依据投影曲线的封闭性还要细分成两种情况，它是本文讨论的重点。　’膊况（１）：一般先把空间立体两截交面相交而成的空间曲线求出来。再求出空间曲线在平面上　的投影，方法与求解空间曲线的投影相同　最后把所得的二元方程组构造成适当的不等式组。这时　它表示的便是投影曲线在平面上所围的点集，也就是立体的投影。此方法便是高等数学书中给出的　常用解法，但它对投影曲线为封闭时的情况往往适用，而当其为非封闭曲线时，情况（２）中的方法　则可能更为有效。　情况（２）：先将所围立体看成几个立体的交，求出每个立体在平面上的投影，再求出各投影面的　交集　即把各不等式联立成不等式组，则此不等式组的解便是立体在平面上的投影。　例１：求上半球体：０≤。≤ｖ／　＝＿＝　刁与圆柱体　下Ｙ　≤ａｘ（ａ＞０）的公共部分在　平面上和　０２平面上的投影　解　分析：这是求立体的投影，所以投影是面而不是线　（１）在ｘｏｙ面上的投影：依据（ｂ）中情况（１）的方法：先求出上　半球面与圆柱面所交的空间曲线（图１所示ＡＢＣＤ）为：　ｊｚ一　①　Ｉ　＋Ｙ　一日ｚ一０　②式中无变元　，故　＋　一　ｚ一０直接就为ｘｏｙ面上的投　影曲线。又ｘｏｙ平面方程为＃＝０，所以联立得　ｆ　＋ｖ２一ｄ　一０　它为闭血线，投影面就为此啦线所围的圆。因　

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高考资源网版权所有，侵权必究！ 1.2.1空间几何体的三视图

教学目的：使学生掌握柱、锥、台、球的正视图、侧视图和俯视图，会画它们的三视

图，会画简单组合体的三视图。

教学重点：会画柱、锥、台、球、简单组合体的三视图。

教学难点：由三视图画出空间几何体是教学的难点。

教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

创设情境导入新课 1.如何将空间几何体画在纸上，用平面图形来表示.

2.我们常用三视图和直观图表示空间几何体.

三视图：观察从三个不位置观察同一空间几何体而画出的图形.

直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体面画出的图形. 师：要解决这个问题，我们需要将我们看到的画下来，这就取决于我们怎样去看.

生1：我们可以从前后角度，左右角度，上下角度看.

生2：我们也可站在某一点观察.

师总结空间几何体表示方法，点出主题. 让学生发现知识源于实践，又可应用于实践，培养学生应用意识，激发学生学习的激情.

探索新知 教学中投影与平行投影.

中心投影：光由一点向外散射形成的投影.

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.

讨论：三角形在平行投影和中心投影后的结果. 师：要学习三视图，首先我们要学习两个知识.

中心投影与平行投影

……

生1：联想到棱柱的结构特征，无论是正投影还是斜投影，三角形在平行投影后为结果是与原三角形全等的三角形.

生2：三角形在中心投影后得到了一个相似的放大了

以旧带新，提高知识的系统性和思维的严谨性. 高考资源网（） 您身边的高考专家

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探索新知 教学柱、锥、台、球的三视图：

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潘俊君　(西北工业大学11系　西安　710072)

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这类问题,高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类,给出了总结。(a)空间曲线在平面上投影的求法通常先将空间曲面方程联立,消去x,y,z中的一个变元得到一个二元方程。再附上此投影面的解析式,最后得到一个含有两个方程的方程组。例如“两个空间曲面方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0,设FG(x,y)是两个方程联立消去z后的解析式,则该空间曲线在xoy平面上的投影就为FG(x,y)=0z=0。这类问题的解法较为简单。(b)空间立体在平面上投影的求法通常这类问题比较复杂,依据投影曲线的封闭性还要细分成两种情况,它是本文讨论的重点。情况(1):一般先把空间立体两截交面相交而成的空间曲线求出来。再求出空间曲线在平面上的投影,方法与求解空间曲线的投影相同。最后把所得的二元方程组构造成适当的不等式组。这时它表示的便是投影曲线在平面上所围的点集,也就是立体的投影。此方法便是高等数学书中给出的常用解法,但它对投影曲线为封闭时的情况往往适用,而当其为非封闭曲线时,情况(2)中的方法则可能更为有效。情况(2):先将所围立体看成几个立体的交,求出每个立体在平面上的投影,再求出各投影面的交集。即把各不等式联立成不等式组,则此不等式组的解便是立体在平面上的投影。例1:求上半球体:0≤z≤a2-x2-y2与圆柱体x2+y2≤ax(a>0)的公共部分在xoy平面上和xoz平面上的投影。

图1解　分析:这是求立体的投影,所以投影是面而不是线。(1)在xoy面上的投影:依据(b)中情况(1)的方法:先求出上半球面与圆柱面所交的空间曲线(图1所示ABCD)为:z=a2-x2-y2x2+y2-ax=0①②②式中无变元z,故x2+y2-ax=0直接就为xoy面上的投影曲线。又xoy平面方程为z=0,所以联立得x2+y2-ax=0z=0它为闭曲线,投影面就为此曲线所围的圆。因

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 1.2.1 中心投影与平行投影

1.2.2 空间几何体的三视图

【课时目标】 1．知道空间几何体的三视图的概念，初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．

1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是____________，而中心投影的投影线________________．

2．三视图包括____________、____________和____________，其中几何体的____________和____________高度一样，____________与____________长度一样，____________与____________宽度一样．

一、选择题

1．下列命题正确的是( )

A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．两条相交直线的投影可能平行

D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点

2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图(

)

3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

)

A．①②B．①③C．①④D．②④

4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(

)

小初高试卷教案类

K12小学初中高中

5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(

)

6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是(

)

二、填空题

7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．

(1)对应________；(2)对应________；

(3)对应________；(4)对应________；

(5)对应________．

8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．