第20讲 一次函数的单元复习

第二十一章 一次函数总复习【基础知识汇总】1、正比例函数：一般表达式y=kx （k 为常数且k ≠0）；图像为过（0，0）与（1，k ）的一条直线2、一次函数：一般表达式y=kx+b （k 、b 为常数，且k ≠0）；图像是一条经过（0，k b -）与（0，b ）的直线。

其中（0，kb -）为直线与x 轴交点，（0，b ）为直线与y 轴交点。

对一次函数（包括正比例函数）的基本要求：必须为整式函数，自变量项的系数k 不为0，自变量的最高指数为1。

3、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积：如右图所示： S △AOB=2OBOA ⋅=2b kb ⋅- 4、k 、b 与图像所在象限及增减性：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.若两直线k 值相同，则两直线平行。

6、图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

一次函数练习：1、如图，已知一次函数y =kx +b 的图像经过点A （5,0）与B （0,-4），那么关于x 的不等式kx +b <0的解集是………………（ ）答案：A（A ）x <5； （B ）x >5； （C ）x <-4； （D ）x >-4．2、如图14，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点． (1)求方程0=-+xmb kx 的解（请直接写出答案）； (2)求不等式0<-+xmb kx 的解集（请直接写出答案）. 答案：（1）x=-4或2 （2）-4＜x ＜2例2-1、如图所示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行使过程随时间变化的图象，根据图像下列结论错误的是（ ）答案：DA 、轮船的速度为20千米/时B 、快艇的速度为40千米/时C 、轮船的比快艇先出发2小时D 、快艇不能赶上轮船例2-2、随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场．一水果经销商购进了AB ，两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售．预计每箱水果的盈利情况如下表：A 种水果/箱B 种水果/箱甲店 11元 17元 乙店9元13元有两种配货方案（整箱配货）：方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中A 种水果两店各5箱，B 种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A 种水果甲店 箱，乙店 箱；B 种水果甲店 箱，乙店 箱．（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； （2）请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？答案：（1）按照方案一配货，经销商盈利：5×11+5×9+5×17+5×13=250（元）（2）设A 种水果给甲x 箱，B 种水果给甲y 箱，则给乙店分别是（10-x ）箱，（10-y ）箱，xyBAO（第1题图）Oy （千米）x 小时快艇轮船816080642xO-1y l 2l 13根据题意得：11x+17y=9（10-x）+13（10-y），即2x+3y=22，则非负整数解是：第一种x=2,y=6，第二种x=5,y=4 ，第三种x=8，y=,2则第一种情况：2，8，6，4；第二种情况：5，5，4，6；第三种情况：8，2，2，8．按第一种情况计算：（2×11+17×6）×2=248（元）；按第二种情况计算：（5×11+4×17）×2=246（元）；按第三种情况计算：（8×11+2×17）×2=244（元）．答：方案一比方案二盈利较多．练习：1、小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：（1）小文走了多远才返回家拿书？（2）求线段AB所在直线的函数解析式；x 分钟时，求小文与家的距离。

编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题07 一次函数的规律探究性问题（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点1A ，2A ，3A ，…在直线l 上，点1B ，2B ，3B ，…在x 轴的正半轴上，若11AOB ，212A B B △，323A B B △，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第10个等腰直角三角形是10910A B B ，其点10B 的横坐标为（ ）A ．512B ．1023C ．2047D ．20482．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（4-，5），点B 坐标为（0，3），点D 在x 轴上．若线段DB 交直线12y x =-于点C ，当点D 从点O 向x 轴负半轴方向运动时，△ABC 面积的变化趋势是（ ）A ．先变大再变小B ．先变小再变大C ．无法确定D ．保持不变3．如图，在直角坐标系中，正方形111A B C O 、2221A B C C 、…、1n n n n A B C C -按如图所示的方式放置，其中点1A 、2A 、3A 、…、n A 均在一次函数1y x =+的图象上，点1C 、2C 、3C 、…、n C 均在x 轴上，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()2021202121,2-B ．()2020202021,2-C ．()2021202021,2- D ．()2020202121,2-4．如图所示，已知点1B ，2B ，3B ……在直线2y x =-+上，点1A ，2A ，3A ……在x 轴上，点1C ，2C ，3C ……分别在y 轴、11A B 、22A B 上，四边形111A B C O 、2221A B C A 、3332A B C A ……都是正方形，则下列说法：①点1B 的坐标是(1,1)；①11222A B A B =；①点n B 的横坐标是112n⎛⎫- ⎪⎝⎭；①正方形1n n n n A B C A -的边长是112n -⎛⎫⎪⎝⎭其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个5．如图所示，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，…都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…都在直线y x =上，①11OA B ，①112B A A ，①212B B A ，①223B A A ，①323B B A ，…都是等腰直角三角形，如果11OA =，则点2021B 的坐标是（ ）A ．()2021202122，B ．()2020202022，C ．()2019201922，D ．()2018201822，6．如图，正方形AOCD 、正方形111A CC D 、正方形2122A C C D 的顶点A 、1A 、2A 和O 、C 、1C 、2C 分别在一次函数1y x =+的图象和x 轴上，若正比例函数y kx =则过点5D ，则k 的值是（ ）A ．6332B ．3263C ．3116D ．16317．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C ，、正方形1n n n n A B C C -，使得点123,,,A A A 在直线l 上，点123,,,C C C 在y 轴正半轴上，则点2021B 的坐标为（ ）A ．()201920202,21-B ．()202020202,2C ．()202020212,21-D ．()201920202,21+8．如图，直线1:1l y x =+与直线211:22l y x =+相交于点()1,0P -．直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点1B 处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点1A 处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点2B 处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点2A 处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，…照此规律运动，动点C 依次经过点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，…，2014B ，2014A ，…则当动点C 到达2021A 处时，运动的总路径的长为（ ）A ．22021B ．202122-C ．202021+D ．202222-9．如图，在平面直角坐标系中，四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ，…都是菱形，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,C C C ，…都在直线33y x =+上，且11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=，则点nC 的横坐标是（ ）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+10．如图所示，直线y x =y 轴相交于点D ，点1A 在直线y =1B 在x 轴上，且11OA B 是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过1B 作121B A OA ∥与直线y x =2A ，点2B 在x 轴上，再以12B A 为边作等边三角形221A B B ，记作第二个等边三角形；同样过2B 作231B A OA ∥与直线y x =3A ，点3B 在x 轴上，再以23B A 为边作等边三角形332A B B ，记作第三个等边三角形；…依此类推，则第n 个等边三角形的顶点n A 纵坐标为（ ）A ．12n -B ．22n -C ．12n -D ．22n -二、填空题11．如图在平面直角坐标系中，①P 1OA 1，①P 2A 1A 2，①P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3…均在直线143y x =-+上，则点P 2021的纵坐标是 ___．12．正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置，点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…分别在直线1y x =+和x 轴上，已知点()11,1B ，()23,2B ，则n B 的横坐标是_____．13．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,A A A ，都在x 轴正半轴上，点123,,,B B B ，都在直线y kx =上，1130B OA ∠=︒，112223334,,,A B A A B A A B A ∆∆∆，都是等边三角形，且11OA =，则点6B 的横坐标是_______．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、…在直线l 上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点2021B 的坐标是__________．15．正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，正方形3332A B C C ，…按如图所示放置，点1A ，2A ，3A ，…在直线y kx b =+上，1C ，2C ，3C ，…在x 轴上，已知()11,1B ，()23,2B ，则n B 的坐标为______．16．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，⋯和1B ，2B ，3B ，⋯分别在直线15y x b =+和x 轴上，①11OA B ，①122B A B ，①233B A B ，⋯都是等腰直角三角形，如果点1(1,1)A ，那么点2020A 的纵坐标是__．17．平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，……和B 1，B 2，B 3，……分别在直线y ＝13x +23和x 轴上，①OA 1B 1，①B 1A 2B 2，①B 2A 3B 3，……都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），则点A 2021的纵坐标是 ___．18．如图，已知直线a ：y x =，直线b ：12y x =-和点()1,0P ，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ，过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ，过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ，过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的横坐标为________．19．如图，在平面直角坐标系中，点()11,1A 在直线y x =图象上，过1A 点作y 轴平行线，交直线y x =-于点1B ，以线段11A B 为边在右侧作正方形1111D C B A ，11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ，交y x =-的图象于点2B ，再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D 依此类推，按照图中反应的规律，第2020个正方形的边长是_______．20．如图，点B 1在直线l ：y ＝12x 上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1①l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形A n B n B n +1C n 的边长为 ___（结果用含正整数n 的代数式表示）．三、解答题21．在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数y=-｜x｜-2的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整:(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表:①n= ；①如图，在所给的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；(2)当一2＜x≤5时，y的取值范围是；(3)根据所画的图象，请写出一条关于该函数图象的性质.22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2a b =±，如何将5±222±=完全平方的形式，材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)和Q(x ，y’)给出如下定义：若(0)y (0)y x y x ≥⎧=⎨-<'⎩则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为 ，点()2--的“横负纵变点”为 ；（2（3）已知a 为常数（1≤a≤2），点M(m)是关于x 的函数1y x=-图像上的一点，点M’是点M 的“横负纵变点”，求点M’的坐标．23．小东同学根据函数的学习经验，对函数y =1x - +3x +进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知x ＝-3时3x += 0；x ＝1 时1x -= 0，化简： ①当x ＜-3时，y ＝ ； ①当-3≤x ≤1时，y ＝ ； ①当x ＞1时，y ＝ ．（2）在平面直角坐标系中画出y ＝|x ﹣1|+|x +3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质： ；24．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y 1（元）与复印页数x （页）的关系如下表：（1）y1与x的函数关系是否满足一次函数关系？（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y2（元）与复印页数x（页）的函数表达式；（3）你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由．25．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)．（1）求k、b的值；（2）填写下列各点的坐标：B3( ，)，B n( ，)．26．平面直角坐标系中，设一次函数y＝（2a﹣1）x+3﹣b的图象是直线l1．（1）如果把l1向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1，求a，b的值；（2）当直线l1过点(m，6﹣b)和点(m+3，4a﹣7)时，且﹣3＜b＜12，求a的取值范围；（3）点P(﹣2n+3，3n﹣1)在直线l2上运动，直线l2与直线l1无交点，求a、b所需满足的条件．27．一个水库的水位在最近5h内持续上涨．表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y 表示水位高度．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？（3）据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米．28．小明根据学习函数的经验，对函数43kxy x b-=++进行了探究，已知当0x=时，13y=；当2x=时，1y =．探究过程如下，请补充完整：（1）k ＝ ，b ＝ ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质：； （3）若函数21y mx =+的图象与该函数有两个交点，则m 的取值范围为 ． 29．如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点B 顺时针旋转到A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线y 上，再将A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线yx 上，依次进行下去…，若点A 的坐标是(0，1)，点B 的坐标是1)，则点A 2020的横坐标是__．30．在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2…A k 是k 个互不相同的点，若这k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p=m+n 则称p 为这k 个点的“平面特征值”，记为T ＜A 1，A 2，…A k ＞＝p ．如：点M （2，1）点N （3，1），则T ＜M ，N ＞＝2+1＝3如图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，直线l 与直线AC ，CD 交y 轴于点E ，已知O 为AB 的中点，点B 的坐标为（4，0）．（1）T＜A，B＞＝，T＜A，B，E＞＝；（2）点F（0，b）为y轴上一动点，过点P作直线l//x轴，直线BD的交点记为P，Q，请直接写出T＜A，B，C，D，E，F，P，以及相应的b的取值范围．。

一次函数知识点复习讲义基础巩固：定义及基本概念：一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。

其中x 是自变量，y是因变量，k为一次项系数，y是x的函数。

其图象为一条直线。

正比例函数：当b=0时，y=kx+b即y=kx，原函数变为正比例函数，其函数图象为一条通过原点的直线。

所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法.与坐标轴的交点：一次函数y=kx+b交y轴于(0,y),交x轴于(-b/k,0).图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行，其中，b大则图像在上方，b小则相反；当k不同，且b相等，图象相交于y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直.图像作法：通过如下3个步骤：（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表，（2）描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理；（3）连线：可以作出一次函数的图象——条直线。

因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-与（-b/k，0），0与b）k，b与函数图象所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限；当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限；当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限；当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

函数的平移：将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向平左移n格，函数解析式为y=k(x+n)+b，将函数向平右移n 格，函数解析式为y=k(x-n)+b.用待定系数法求函数的解析式.难点突破：难点一画函数图像例1 作出函数y=6x-5的图像难点二观察函数图像例2 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，达到乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往返速度是否相同？请说明理由(2)求返程中y与x之间的函数关系式；(3)求这辆汽车从甲地出发4h后与甲地的距离.难点三一次函数图像性质难点四分段函数例3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？难点五一次函数的方案选择例4 某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变．并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润．问该集团该如何设计调配方案．使总利润达到最大？难点六一次函数与方程、不等式例5 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=0的解为，当x 时，kx+b＜0．一次函数和方程关系:一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根.若两条解析式为y=kx+b的直线相交，交点坐标为(x,y).函数和不等式:解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

《一次函数》单元知识复习知识点一：变量与常量例1：已知鬪的半径为R,则圆的面积S与半径R Z间的函数关系式为 _______________ ，其中常量为________ ，变量为________ ;知识点二：函数的概念例1：下列图象屮，y不表示兀的函数的是( )知识点三：求函数值；例1： (1)当x=~2时，函数y=―的值为_______________________ ；x +1(2)_____________ 当兀= 时，函数= -2x + 4的值为0；知识点四：函数自变量的取值范围例1： (1)函数y = -2x2+l的口变量的収值范围为_______________ ；(2)函数y =—-—的自变量的取值范围为______________ ；2x4-1(3)函数)=后刁的自变量的取值范围为________________ ；(4)函数y= / 1 -的自变量的取值范围为_______________ ；如-1例2：—个正方形的边长为5沏，它的各边长减少x cm得到的新正方形的周长为yew；(1)求y与兀的函数关系式；(2)指出自变量的取值范围；(3)当x = 2cm时，新正方形的周氏是多少？知识点五：函数的图象X12346y注：x能取0吗？为什么例用列表法曲出函数y=- ((x > 0)的图象;2 2例2：判断点(0,2), (2,—), (3,1)是否都在函数)匸——(x>0)的图像上;3 x + \例3：已知点(2,0)在函数y = -2x + Z?的图像上,求方的值;例4：小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10 分钟后，用15分钟返回家里•下面图形屮表示小红爷爷离家的时间与外出距离之间的关系是( )例5：小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s (米)耳散步所用吋间t (分)Z间的函数关系.你能根据图象说岀小明散步过程中的一些具体信息吗？(1)小明什么时候开始看报，看了多少时间？(2)小明看完报后，往前走了多少米？平均速度是多少？(3)小明回家的平均速度是多少？知识点六：正比例函数1.正比例函数的解析式：y = kx(£工0)2.正比例函数的图象：经过原点的一条直线；3•正比例函数的性质：(1)_____________________________ 当£>0时，直线经过_______ 象限；图象从左到右_____ , y随兀的增人而______________________(2)____________________________ 当kvO时，直线经过 ______ 象限；图彖从左到右 _____ , y随兀的增大而_____________________ 例(1)己知正比例函数的图象经过点(-1,3)，则正比例函数的x解析式为_________:(2)已知正比例函数的图象如图所示，则正比例函数的解析式为_________；例2：写出一条满足条件的正比例函数的解析式： (1) ________________________________ 图象经过第一、三象限： ________________ : (2) y 随兀的增大而减小： _______________________ ；(3) _____________________________ 经过点(一1, —1)： ;例3、若y + 3与3工一 2成正比例，且当兀=一2时，j = 17 ,求y 与x 的函数关系式 知识点七：一次函数1.一次函数的解析式：y = kx + b ( k , b 为常数,k ^0) 2•—次函数的图象：经过点(0小)的一条直线;3•- •次函数的性质:求图象与兀轴、y 轴的交点处标； 求图象与坐标轴围成的三角形的面积; 例2： (1)函数y = -2x + 5和y = -2兀的位置关系是 ________ ；(2) ______________________ 直线y = -3兀+1向 平移 个单位，得到y = -3x ；(3) __________________________________________________ 宜线y = *兀一 3向上平移4个单位得到直线 _________________________________________ :例3： (1)—次苗数y = 2x-6与x 轴的交点地标为 ____________ ，与y 轴的交点处标为 ______ : (2) 一次函数y = -2x + 3的图象不经过第 _____ 彖限；(3) 由函数y = 4x-1的图彖町知：①y 的值随x 的增大而 __________ ；②图彖打兀轴的交点坐标(1) 当£〉0时，图象从左到右(2) 当EvO 时，图象从左到右,y 随兀的增人而(3) k. b 的符号和人致图象分布:k>O,b>dAXAX ：k>0,b<0RvO 上 vO例1： (1) (2)画出函数y = -2x + 2的图象; y yXk<O,b>OAX为_________ ,与y轴的交点坐标为________ :③若一个正比例两数的图象与y = 4x-l的图象相互平行，贝眦正比例函数的解析式是 _________ ;例4：根据下列要求写出一个一次函数：(1))，的值随兀的增大而减小：_________________ : (2)经过第一、三象限：______________ ； (3)不经过第二象限： ______________ ;(4)____________________________ 与y = _3兀平行：；例5：求一次函数的解析式:(1)已知一次函数的图象经过点A(-2,1), B(0,-2),求一次函数的解析式;(2)已知直线y = kx + b的图象经过点(3,3)和(1,-1),求直线的解析式;(3)Q知一次函数的图象如下图，写岀这个函数的关系式。

一次函数的复习资料一次函数的复习资料一次函数是数学中的基础概念之一，也是初中数学中最早接触到的函数类型之一。

它的表达形式为y = ax + b，其中a和b是常数，x是自变量，y是因变量。

在这篇文章中，我们将以复习资料的形式，回顾一次函数的定义、性质和应用。

定义：一次函数是指函数的表达式中只包含一次幂的项，即x的最高次数为1。

它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为常数。

一次函数的图像通常是一条直线，斜率a决定了直线的倾斜方向和程度，截距b决定了直线与y轴的交点。

性质：1. 斜率：一次函数的斜率表示了直线的倾斜程度。

斜率为正时，直线向右上方倾斜；斜率为负时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线水平。

斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。

2. 截距：一次函数的截距表示了直线与y轴的交点。

当x=0时，直线与y轴的交点坐标为(0, b)。

截距可以为正、负或零，它决定了直线与y轴的位置关系。

3. 解析式：一次函数的解析式y = ax + b中，a称为一次函数的系数，b称为常数项。

系数a的绝对值决定了直线的斜率，常数项b决定了直线与y轴的交点。

应用：一次函数在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 直线运动：一次函数可以用来描述物体的直线运动。

例如，一个物体以恒定的速度匀速直线运动，其位移与时间的关系可以用一次函数来表示。

2. 成本与产量：在经济学中，一次函数可以用来描述成本与产量之间的关系。

成本通常包括固定成本和变动成本，其中固定成本可以看作是常数项，变动成本与产量成正比。

3. 温度变化：一次函数可以用来描述温度的变化规律。

例如，一个物体在一定时间内的温度变化可以用一次函数来表示，斜率表示了温度的变化速率。

4. 人口增长：一次函数可以用来描述人口的增长情况。

例如，一个城市每年的人口增长率可以看作是常数，通过一次函数可以推断未来的人口数量。

总结：一次函数是数学中的基础概念，它的定义、性质和应用都是我们需要掌握的知识点。

一次函数知识点汇总一次函数是数学中的重要概念，在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。

下面我们来详细梳理一下一次函数的相关知识点。

一、一次函数的定义一般地，形如$y ＝ kx ＋ b$（＄k$，＄b$是常数，＄k≠0$）的函数，叫做一次函数。

当$b ＝ 0$时，即$y ＝ kx$（＄k$为常数，＄k≠0$），这时称$y$是$x$的正比例函数。

二、一次函数的图像一次函数$y ＝ kx ＋ b$（＄k≠0$）的图像是一条直线。

当$k>0$时，直线从左到右上升；当$k<0$时，直线从左到右下降。

＄b$的值决定了直线与$y$轴的交点位置。

当$b>0$时，直线与$y$轴交于正半轴；当$b<0$时，直线与$y$轴交于负半轴；当$b ＝0$时，直线经过原点。

例如，函数$y ＝ 2x ＋ 1$，＄k ＝ 2 ＞ 0$，直线从左到右上升，＄b ＝ 1 ＞ 0$，直线与$y$轴交于正半轴。

三、一次函数的性质1、当$k>0$时，＄y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，＄y$随$x$的增大而减小。

2、直线$y ＝ kx ＋ b$（＄k≠0$）与$x$轴的交点坐标为$（＼frac{b}｛k}， 0)＄。

四、求一次函数解析式的方法通常使用待定系数法来求一次函数的解析式。

步骤如下：1、设出一次函数的解析式$y ＝ kx ＋ b$。

2、根据已知条件列出关于$k$，＄b$的方程组。

3、解方程组，求出$k$，＄b$的值。

4、将$k$，＄b$的值代入解析式，得到一次函数的表达式。

例如，已知一次函数的图像经过点$（1, 3)＄和$（－2, －3)＄，设该一次函数的解析式为$y ＝ kx ＋ b$，将两点坐标代入可得：＄＼begin{cases}k ＋ b ＝ 3 ＼＼－2k ＋ b ＝－3\end{cases}＄解这个方程组，得到$k ＝ 2$，＄b ＝ 1$，所以该一次函数的解析式为$y ＝ 2x ＋ 1$。

一次函数知识点总结1．一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。

二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x的正比例函数。

2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第20讲一次函数的图象及性质（2）第一局部知识梳理知识点一：函数图象上坐标〔1〕、判定点能否在函数图象上〔或函数图象能否经过点〕的方法：将这个点的横坐标代入函数解析式，失掉的函数值假设等于点的纵坐标，这个点就在函数的图象上，假设不满相等，这个点就不在其函数的图象上．〔2〕、是经过〔，0〕与〔0，b〕两点的直线。

因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b〔3〕、〔，0〕是直线与x轴的交点坐标，〔0，b〕是直线与y轴的交点坐标。

这两．．点也是求．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直线与坐标轴围成的三角形面积时要用到的两点描点法画函数图形的普通步骤〔通常选五点法〕第一步：列表〔依据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值〕；第二步：描点〔在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点〕；第三步：连线〔依照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线衔接起来〕。

知识点二：函数图象与几何变换〔1〕直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系：〔a〕两直线平行：k1=k2且b1≠b2 〔b〕两直线相交：k1≠k2〔c〕两直线重合：k1=k2且b1=b2 〔d〕两直线垂直：即k1﹒k2=－1〔e〕两直线交于y轴上同一点: b1=b2〔2〕图象平移效果b>0,向上平移，b<0,向下平移。

反之，b>0,向下平移，b<0,向上平移。

关于点的距离的效果方法：点到x轴的距离用纵坐标的相对值表示，点到y轴的距离用横坐标的相对值表示；恣意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()A B A B x x y y -+-；假定AB ∥x 轴，那么(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；假定AB ∥y 轴，那么(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y 到原点之间的距离为22A A x y +知识点三：待定系数法求函数解析式普通步骤(一设二代三解四恢复)：〔1〕依据条件写出含有待定系数的函数关系式；〔2〕将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中失掉以待定系数为未知数的方程；〔3〕解方程得出未知系数的值；〔4〕将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.第二局部 考点精讲精练考点1、函数图象上点的坐标例1、假定正比例函数为y=3x ，那么此正比例函数过〔m ，6〕，那么m 的值为〔 〕A 、－2B 、2C 、−23D 、23例2、如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y=33x 上，那么A 2021的坐标是 ．例3、P 1〔1，y 1〕，P 2〔2，y 2〕是正比例函数y=x 的图象上的两点，那么y 1 y 2〔填〝＞〞或〝＜〞或〝=〞〕．例4、如图，在平面直角坐标系中，点C 〔0，4〕，射线CE ∥x 轴，直线y=21-x+b 交线段OC 于点B ，交x 轴于点A ，D 是射线CE 上一点．假定存在点D ，使得△ABD 恰为等腰直角三角形，那么b 的值为 ． 例5、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为〔0，6〕，将△OAB 沿x 轴向左平移失掉△O′A′B′，点A 的对应点A′落在直线y=43-x 上，那么点B 与其对应点B ′间的距离是多少？例6、如图，在平面直角坐标系中，点A 〔2，n 〕，B 〔m ，n 〕〔m ＞2〕，D 〔p ，q 〕〔q ＜n 〕，点B ，D 在直线121+=x y 上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD 是矩形． 举一反三：1、在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是〔 〕A 、M 〔2，－3〕，N 〔－4，6〕B 、M 〔－2，3〕，N 〔4，6〕C 、M 〔－2，－3〕，N 〔4，－6〕D 、M 〔2，3〕，N 〔－4，6〕2、如图，直线y=32x+4与x 轴、y 轴区分交于点A 和点B ，点C 、D 区分为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点P 的坐标为〔 〕A 、〔﹣3，0〕B 、〔﹣6，0〕C 、〔23- ，0〕D 、〔25-，0〕 3、点M 〔1，a 〕和点N 〔2，b 〕是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，那么a 与b 的大小关系是〔 〕A 、a ＞bB 、a=bC 、a ＜bD 、以上都不对4、在一次函数y=﹣2x+5的图象上有两个点A 〔X 1，y 1〕、B 〔X 2，y 2〕，X 1＞X 2，那么y 1－y 2 0．5、一次函数y=kx+b 的图象经过点A 〔2，－3〕及点B 〔1，6〕．〔1〕求此一次函数解析式；〔2〕画出此一次函数图象草图；〔3〕求此函数图象与坐标围成的三角形的面积．6、在平面直角坐标系中，过一点区分作坐标轴的垂线，假定与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，那么这个点叫做谐和点.例如，图中过点P 区分作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，那么点P 是谐和点.〔1〕判别点能否为谐和点，并说明理由； 〔2〕假定谐和点在直线上，求点的值.考点2、函数图象与几何变换例1、将函数y=－2x 的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为〔 〕A 、y=－2〔x+3〕B 、y=－2〔x －3〕C 、y=－2x+3D 、y=－2x －3例2、在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后失掉直线a ，那么直线a 对应的函数表达式为〔 〕A 、y=xB 、y=x －1C 、y=x+1D 、y=－x+1例3、将直线y=21x+1向右平移4个单位长度后失掉直线y=kx+b ，那么k ，b 对应的值是 例4、如图，直线834+-=x y 与x 轴、y 轴区分交于A 、B 两点，点M 是OB 上一点，假定直线AB 沿AM 折叠，点B 恰恰落在x 轴上的点C 处，那么点M 的坐标是例5、如图，一条直线经过点A 〔0，2〕、点B 〔1，0〕，将这条直线向左平移与x 轴、y 轴区分交与点C 、点D ．〔1〕求直线AB 的表达式；〔2〕假定DB=DC ，求点C 坐标及直线CD 的表达式．例6、如图，在平面直角坐标系中，直线l ：434+-=x y 区分交x 轴，y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后失掉△A′OB′。