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第四课函数应用[核心速填]1．函数的零点(1)我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)对于连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点．反之，不一定成立．2．二分法(1)二分法的概念每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的步骤：给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．3．解决函数应用题的步骤函数建模经历审题、建模、解模、还原四个过程．[体系构建][题型探究]函数的零点及应用(1)设函数y ＝x 2与y 12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是()【导学号：60712395】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 12－的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3[思路探究](1)将其转化为函数的零点所在区间的判断．(2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解．[解](1)＝x 2－2消去y 得x 2－2令f (x )＝x 2－2，则x 0是函数y ＝f (x )的零点．又f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，由零点存在性定理知，x 0∈(1,2)．故选B.(2)因为f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以y ＝f (x )至少有一个零点．又因为y ＝f (x )是增函数，所以，y ＝f (x )有唯一零点，故选B.[答案](1)B (2)B[规律方法]确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.[跟踪训练]1．已知函数f (x )x ≥2，－1)3，x ＜2若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．(0,1)[在同一坐标系中作出f (x )x ≥2，－1)3，x ＜2及y ＝k 的图像(如下图)．可知，当0＜k ＜1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图像有两个交点，即方程f (x )＝k有两个不同的实根．]二分法的应用求32的一个近似值．(精度为0.01)【导学号：60712396】[思路探究]利用转化与化归思想求解．[解]设x ＝32，∴x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则f (x )的零点即为32的近似值，下面用二分法求解．由f (1)＝－1＜0，f (2)＝6＞0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值[1,2] 1.5 1.375＞0[1,1.5] 1.25－0.0469＜0[1.25,1.5]1.3750.5996＞0[1.25,1.375] 1.31250.2610＞0[1.25,1.3125] 1.281250.1033＞0[1.25,1.28125] 1.2656250.0273＞0[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01＜0[1.2578125,1.265625]由于1.265625－1.2578125＝0.0078125＜0.01，故区间[1.2578125,1.265625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即32的一个近似值是1.265625.[规律方法] 1.看清题目的精度，它决定着二分的次数．2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n，b n)中，a n与b n按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．[跟踪训练]2．用二分法求5的近似值．(精度为0.1)[解]设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.实际问题的函数建模提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【导学号：60712397】[思路探究]理解题意―→列出函数关系式―→求出最值[解](1)由题意知：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，a＋b＝0，a＋b＝60，＝－13，＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)，0≤x<20，200－x)，20≤x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)x，0≤x<20，(200－x)，20≤x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003.所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10000 3.又1200＜100003，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．[规律方法] 1.解函数应用题可归纳为四步：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．[跟踪训练]3．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)由题设，每年能源消耗费用C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)在f (x )＝8003x ＋5＋6x 中，令3x ＋5＝t ，则3x ＝t －5，∴g (t )＝800t＋2t －10＝10，∵0≤x ≤10，∴t ∈[5,35]，由函数的单调性知，g (t )在t ∈(0,20]上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴g (t )在t ＝20时有最小值．∴当3x ＋5＝20，即x ＝5时，f (x )min ＝70.∴当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元.化归与转化思想的应用设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数.【导学号：60712398】[思路探究]先将对数方程转化为二次方程，再将参数a 与未知数x 分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题．[解]原方程可化为－1>0，－x >0，x －1)(3－x )＝a －x ，x <3，＝－x 2＋5x －3画出函数y ＝－x 2＋5x －3，(1<x <3)，的图像，如下：所以，当a <1，或a >134时，无解；当a ＝134，或1≤a <3时，一解；当3≤a <134时，两解．[规律方法]转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.[跟踪训练]4．已知函数f (x )＝mx 2－x －1在区间(0,1)内有零点，求实数m 的取值范围．[解]令f (x )＝0，得mx 2－x －1＝0.又x ∈(0,1)，则m ＋1x，令t ＝1x ，则t ∈(1，＋∞)，∴m ＝t 2＋t －14，∴m >2.。
第2课时全集与补集必备知识基础练知识点一补集的运算1．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________．2．已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁U A＝{2，4，6}，∁U B＝{1，4，6}，则集合B＝________．知识点二集合交、并、补的综合运算3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T＝( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}4．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )A．{3，4，5} B．{1，3，4}C．{1，2，5} D．{3，4}5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝_________________，(∁R A)∩B＝________________．知识点三利用集合的运算求参数6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．关键能力综合练1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁U M＝( )A．{x|－2≤x≤2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁U A)＝( )A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}3．已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a的值是( ) A．－1 B．1 C．3 D．±14．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅5．(多选题)已知全集U＝R，集合M，N的关系如图所示，则( )A．N∪M＝MB．(∁U M)∩N＝∅C．(∁U M)⊇(∁U N)D．(∁U M)∩(∁U N)＝∁U N6．(探究题)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则( )A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3C．0＜k＜3 D．－1＜k＜37．设全集U＝R，A＝{x|x≤4}，B＝{x|x＜1}，则∁U B＝________，A∩(∁U B)＝________．8．(易错题)设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(∁U M)∩N＝________．9．(结构不良型)已知A＝{x|x2－6x＋5＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝1，求A∩(∁Z B)；(2)从①A∪(∁R B)＝R；②A∩B＝B；③B∩(∁R A)＝∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．问题：若________，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．核心素养升级练1．(新定义型)(多选题)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列说法正确的是( )A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B.如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B关系如图所示，则B－A＝A∩∁U BD．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 2．(学科素养—逻辑推理)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．第2课时全集与补集必备知识基础练1．答案：{x|x<－3，或x＝5}解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3，或x＝5}．2．答案：{2，3，5，7}解析：解法一A＝{1，3，5，7}，∁U A＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁U B＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．解法二借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2，3，5，7}．3．答案：C解析：∵S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．4．答案：D解析：由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(M∪N)＝{3，4}．5．答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}解析：由题意知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．6．解析：(1)∵B＝{x|1<x<3}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.∴a的取值范围为[3，＋∞).(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.∴a的取值范围为(－∞，1].关键能力综合练1．答案：A解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|－2≤x≤2}．2．答案：C解析：依题意得∁U A＝{1，6，7}，所以B∩(∁U A)＝{6，7}．故选C.3．答案：A解析：由A∪(∁U A)＝U，可知A＝{1，3}．又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.4．答案：A解析：∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．∵B＝{1，2}，∴A＝{3}或{2，3}或{1，3}或{1，2，3}，且∁U B＝{3，4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．5．答案：AB解析：由图可知N∪M＝M，(∁U M)∩N＝∅，(∁U M)⊆(∁U N)，(∁U M)∩(∁U N)＝∁U M.故选AB.6．答案：C解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}，若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，所以若B∩(∁U A)≠∅，则0＜k＜3.7．答案：{x|x≥1}{x|1≤x≤4}解析：∁U B＝{x|x≥1}，A∩(∁U B)＝{x|x≤4}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x≤4}．8．答案：{x|x≥2或x＝0}解析：N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∁U M＝{x|x≤0或x≥2}，则(∁U M)∩N＝{x|x≥2或x ＝0}．9．解析：(1)当a＝1时，B＝{x|x－1＝0}＝{1}，又因为A ＝{x |x 2－6x ＋5＝0}＝{1，5}，故A ∩(∁Z B )＝{5}． (2)若选①，当a ＝0时，B ＝∅，则∁R B ＝R ，满足A ∪(∁R B )＝R ，当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，若A ∪(∁R B )＝R ，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 ；若选②，∵A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 ；若选③，当a ＝0时，B ＝∅，满足B ∩(∁R A )＝∅；当a ≠0时，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ∩(∁R A )＝∅，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 .核心素养升级练1．答案：BD解析：A ：由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，故B －A ＝{3，8}，错误； B ：由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A －B ＝∅，故A ⊆B ，正确； C ：由韦恩图知：B －A 如图阴影部分，所以B －A ＝B ∩∁U A ，错误；D ：∁U B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩∁U B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}，正确．故选BD. 2．解析：(1)C ×D ＝{(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}． (2)∵A ×B ＝{(1，2)，(2，2)}， ∴A ＝{1，2}，B ＝{2}．(3)从以上解题过程中可以看出，A ×B 中元素的个数，与集合A 和B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与B 中的每一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为(m ×n )个．因此若A 中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．。
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年广西玉林市高中数学北师大 必修一第五章-函数应用专项提升(8)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知函数 在 上恰有三个零点，则正数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.（0,1）（1,2）（2,3）（3,4）2. 已知函数，则函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 3. 若函数 在区间 内有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）A.B.C.D.4. 已知函数 有两个零点，则实数 取值范围是（ ）A.B.C.D.12345. 已知函数f(x)= -sinx ，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）A. B. C. D. 06. 函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）A. B.C.D.或 或 7. 已知函数 若函数 的零点个数为2，则（ ）A. B. C. D.23458. 已知函数f （x ）的图象是连续不断的，x 与f （x ）的对应关系见下表，则函数f （x ）在区间[1，6]上的零点至少有（ ）X 123456Y 123.5621.45﹣7.8211.57﹣53.76﹣52A. B. C. D. (－ ，1)(－∞，－ )∪(0，1)(－∞，－1)∪(0， )(－1， )9. 设方程x 2－2ax －a ＝0的两实根满足x 1<x 2<1，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10. 若函数 至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ）A. B. C. D.1.2 1.31.41.511. 若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．下列关于 的命题：①函数 的极大值点为 ；②函数 在 上是减函数；③如果当 时， 的最大值是 ，那么 的最大值为 ；④当时，函数有 个零点；⑤函数的零点个数可能为 、 、 、 、 个．其中正确命题的个数是（ ）A.B.C.D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则的取值范围是 .14. 已知f（x）图象是一条连续的曲线，且在区间（a，b）内有唯一零点x0，用“二分法”求得一系列含零点x0的区间，这些区间满足（a，b）⊃（a1， b1）⊃（a2， b2）⊃…⊃（a k， b k）．若f（a）＜0，f（b）＞0，则f（a k）的符号为．（填：“正“，“负“，“正、负、零均可能“）15. 下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（写出所有符合条件的序号）16. 已知函数，若函数有5个零点，则的取值范围是 .17. 某工厂生产某种产品，每年需投入固定成本0.7万元，此外每生产100件这种产品还需另外投资0.35万元，据往年市场情况预测，市场对这种产品的年需求量为700件，当出售这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得收入约为（万元）．(1) 若该工厂的年产量为x（单位：百件），将该工厂生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；(2) 求年利润最大时的年产量．18. 已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．(1) 求函数的解析式；(2) 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；(3) 将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．19. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为 .(1) 用含的式子表示线段，的长；(2) 求的最大值.20. 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）= ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1) 写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；(2) 要使甲厂有盈利，求产量x的范围；(3) 甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21. 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= （注：利润与投资金额单位：万元）．(1) 该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出定义域；(2) 在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。
5.4 三角函数的图象与性质(精练)【题组一 五点画图】1．(2021·全国高一课时练习)作出函数24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在9,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象.【答案】答案见解析 【解析】令2X x π=-，列表如下：描点连线得图象如图所示.2．(2021·全国高一课时练习)用“五点法”作下列函数的简图. (1)[]()2sin 0,2y x x π=∈；(2)5sin ,222y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析. 【解析】(1)列表如下：描点连线如图：(2)列表如下：描点连线如图：3．(2021·全国)已知函数()2cos 1f x x =-.(1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；(2)求不等式()1f x ≤的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)572,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈). 【解析】(1)由函数()2cos 1f x x =-，可得完成表格如下：可得()f x 在[]0,2π的大致图象如下：(2)由()1f x ≤，可得2cos 11x -≤，即cos x ≤，当[]0,2x π∈时，由cos x ≤，得57,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.又由函数cos y x =的最小正周期为2π，所以原不等式的解集为572,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈). 【题组二 解三角不等式】1．(2021·全州县第二中学高一期中)使得sin cos x x >正确的一个区间是( ) A ．2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，B ．342ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】作出sin y x =与cos y x =的图象，如图：由图可知，若sin cos x x >，其中2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，满足，故选：A2．(2021·上海市洋泾中学高一月考)满足2sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，[0,2)x π∈的角x 的集合___________.【答案】7,26ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由2sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得，1sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,2)x π∈，所以5333x πππ-≤-<.当5333x πππ-≤-<时， 若1sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3x π-可能的取值为6π，56π，相应的x 的取值为2π，76π.所以所求角x 的集合为7,26ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：7,26ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.3．(2021·上海)函数sin 1cos xy x=+的定义域为______.【答案】{}2,x x k k ππ≠+∈Z【解析】要使函数有意义，则1cos 0x +≠， 即cos 1x ≠-，所以()2x k k ππ≠+∈Z . 故答案为：{}2,x x k k ππ≠+∈Z .4．(2021·陕西榆林十二中高一月考)若()0,x π∈，则满足2sin 2x 的x 的取值范围为______________； 【答案】30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】当()0,x π∈时，令2sin 2x，解得4x π=或34π，结合正弦函数的图象与性质，可得当0,x时，2sin 2x的解集为30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．(2021·全国高一课时练习)求函数的定义域：(1)tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)y【答案】(1),4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；(2),23x k x k k Z ππππ⎧⎫-<≤+∈⎨⎬⎩⎭.【解析】(1)由()42x k k Z πππ+≠+∈得：,4x k k Z ππ≠+∈，∴函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．(2)tan 0x ≥得：tan x ≤结合tan y x =的图象知：在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，满足tan x ≤x 应满足23x ππ≤-<，∴y =,23x k x k k Z ππππ⎧⎫-<≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【题组三 周期】1．(2021·全国高一课时练习)下列函数是周期函数的有( ) ①sin y x = ②cos y x = ③2y xA ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】易得sin y x =和cos y x =是周期函数，2yx 不是周期函数.故选：C.2．(2021·镇远县文德民族中学校高一月考)函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由题意，函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的周期的计算方法，可得()f x 最小正周期为22T ππ==.故选：B. 3．(2021·全国高一课时练习)函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】B【解析】因为cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以其最小正周期为221T ππ==,故选:B.4．(2021·北京丰台·高一期中)函数()cos 2f x x =的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是( ) A ．2π B ．πC ．π2D ．π4【答案】C【解析】函数的最小正周期是22T ππ==，因此相邻两条对称轴之间的距离是22T π=． 故选：C ．5．(2021·北京通州区·)已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，则其中最小正周期为π的是( ) A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】①tan y x =最小正周期为π②sin y x =的图象，在y 轴右侧部分与sin y x =一样，又因为其为偶函数，图象关于y 轴对称，由图象可知它不是周期函数.③sin y x =的图象，可由sin y x =的图象，保持x 轴上半部分不变，x 轴下半部分图象向上翻折得到. 由图象可知，其最小正周期为π故选：B.6．(2021·蚌埠田家炳中学高一月考)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．cos |2|y x =B ．|cos |y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABC【解析】对于A ，cos |2|cos 2,y x x ==最小正周期为22T ππ==；对于B ，|cos |y x ==22T ππ==； 对于C ，cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为22T ππ==； 对于D ，tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为2T π=，故选 ：ABC7．(2021·齐河县第一中学高一期中)(多选)下列函数周期为π的是( ) A ．sin y x = B ．cos y x =C ．tan y x =D ．2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】sin y x =的最小正周期为2π；由cos y x =的图象是由y =cos x 的图象将x 轴上方的部分保持不变，下方的部分向上翻转而得到，由图象可知其周期为π；tan y x =的最小正周期为π；2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππ=.故选：BCD. 【题组四 奇偶性】1．(2021·池州市江南中学高一期末)下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是( ) A ．sin 2y x = B ．sin y x =C ．tan2xy = D ．cos 2y x =【答案】A【解析】A 选项，sin 2y x =的最小正周期是π，且是奇函数，A 正确. B 选项，sin y x =的最小正周期是2π，且是奇函数，B 错误.C 选项，tan2xy =的最小正周期为2π，且是奇函数，C 错误. D 选项，cos y x =的最小正周期是π，且是偶函数，D 错误. 故选：A2．(2021·陕西高一期末)下列函数为奇函数的是( ) A ．2cos y x x =+ B ．|sin |y x =C ．2sin y x x =D ．cos tan y x x =-【答案】C【解析】A.函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故错误； B. 函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故错误； C. 函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故正确；D. 函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，函数既不满足()()f x f x -=，也不满足()()f x f x -=-，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故错误. 故选：C3．(2021·青海西宁·湟川中学高一开学考试)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是( )A ．tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin y x =【答案】D【解析】A. tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，是非奇非偶函数，故错误；B. cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，是奇函数，故错误；C.如图所示：，sin 2y x =不周期函数，为偶函数，故错误；D. 如图所示：，sin y x =的最小正周期为π，是偶函数，故正确； 故选：D4．(2021·黑龙江绥化·)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( ) A ．πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin y x =【答案】D【解析】πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，不是偶函数，A 不满足条件．cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+ ⎪=⎝⎭的最小正周期为2π，B 不满足条件．根据sin |2|y x =为偶函数，不是周期函数，C 不满足条件．根据()sin f x x ==π，且()()f x f x -=为偶函数，D 满足条件． 故选：D ．5．(2021·北京市昌平区实验学校高一期中)下列函数是奇函数的是( ) A ．()cos f x x x =+ B ．()2cos f x x x =+C ．()sin f x x x =+D ．()2sin f x x x =+【答案】C【解析】选项A. ()()11cos111cos1f f =+-=-+， 显然()()11f f ≠--，所以()f x 不是奇函数. 选项B. ()()()()22cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=显然()()f x f x -≠-，所以()f x 为偶函数，不是奇函数. 选项C. ()()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=- 所以()f x 是奇函数.选项D. ()()11sin111sin1f f =+-=-， 显然()()11f f ≠--，所以()f x 不是奇函数. 故选：C6．(2021·上海)若函数()ππ2sin sin 44f x x m x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则m =___________.【答案】2-【解析】因为函数为偶函数，则44f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ2sin sin 2sin sin 44444444m m ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得200m +=-，解得2m =-，经检验，m 的值符合题意 故答案为: 2-. 【题组五 单调性】1．(2021·全国)函数()sin ,[,0]3f x x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是( )A ．5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由22,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得522,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 又0x π-≤≤，∴06x π-≤≤.所以函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.2．(2021·全国)函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是( )A ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦B ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦C ．37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故选：C3．(2021·全国)下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是( )A ．y ＝sin (2)2x π+B ．y ＝cos (2)2x π+C ．y ＝sin ()2x π+D ．y ＝cos ()2x π+【答案】A【解析】对于选项A ，y ＝sin (2)2x π+＝cos 2x ，周期为π，当42ππx ≤≤时，22x ππ≤≤，所以cos 2y x =在[,]42ππ上是减函数，所以该选项正确；对于选项B ，y ＝cos 2sin 22x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，周期是π，在[,]42ππ上是增函数，所以该选项错误；对于选项C ，y ＝sin ()cos 2x x π+=，最小正周期是2π，所以该选项错误；对于选项D ，y ＝cos ()sin 2x x π+=-，最小正周期是2π，所以该选项错误.故选：A4．(2021·河南新乡县高中高一月考)函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是( )A ．π4π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．2ππ2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．2π4π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()ππ2cos 2cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()ππ+2π2πZ 3x k k k -≤≤-∈， 解得：()+2π2πZ 2ππ+33x k k k ≤-≤∈， 所以函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为2ππ2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦即函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为2ππ2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选：C.5．(2021·安徽池州·高一期中)已知函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(]0,1 B ．[]1,2 C ．71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】72266226k k k x k x ππππππωππωω++-+⇒≤≤≤≤， 所以()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的单调减区间为72266,k k ππππωω⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以72266,,63k k ππππππωω⎡⎤++⎢⎥⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，所以2667263k k πππωπππω⎧+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得121762k k ωω≥+⎧⎪⎨≤+⎪⎩，且k Z ∈，则712ω≤≤，则ω的取值范围是71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C.6．(2021·湖北武汉·)若函数()2cos 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭内単调递减.则ω的最大值为( ) A ．23B ．34C ．43D ．32【答案】C【解析】()2cos 22cos 2(0)33f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且0>ω时，23333x πωπππωπω-<-<-，因为余弦函数cos y x =的单调递减区间为[]()2,2k k k Z πππ+∈，所以，[](),2,2333k k k Z πωπππωπππ⎛⎫--⊆+∈⎪⎝⎭， 所以，23323k k πωππππωππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()46123k k k Z ω+≤≤+∈，由42613k k +≥+，可得112k ≤，k Z ∈且0>ω，0k ∴=，413ω≤≤. 因此，ω的最大值为43.故选：C7．(2021·安徽蚌埠·高一期末)已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是( ) A ．[)2,+∞ B ．(]0,2C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】当22()22k x k k Z πππωπ-≤≤+∈时，因为0>ω，所以有11(2)(2)()22k x k k Z ππππωω-⋅≤≤+⋅∈，因此函数()sin (0)f x x ωω=>的递增区间为：2222[,]()k k k Z ππππωω-+∈，因为函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，且有32424ππωππω⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪-≥⎪⎩，因为0>ω，所以解得：203ω<≤，故选：D8．(2021·北京市第六十六中学)函数()cos f x x =是( ) A ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】D【解析】由题意，函数()cos f x x =的定义域R ，且()()cos()cos f x x x f x -=-==， 所以函数()cos f x x =为偶函数，又由余弦函数的性质，可得()cos f x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为递减函数.故选：D.9．(2021·全国)函数()2cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值是( )A ．1B ．114C ．113D ．4【答案】C【解析】因为函数()2cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以314242T ππππω-=≤=，所以04ω<≤. 所以33,,,2424444x x πωππππππωω+∈⎛⎫⎛⎫∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为cos y x =的单调递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈，所以2243244k k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得1841,23k k k Z ω-+≤≤+∈，由于1841,23k k k Z -+≤+∈，故9,8k k Z ≤∈.所以当1k =时，得ω的最大区间：71123ω≤≤. 故ω的最大值是113. 故选：C.10(2021·兴仁市凤凰中学高一期末)函数tan(2)4y x π=-+的单调递减区间为_______________.【答案】3(,),2828k k k Z ππππ-+∈ 【解析】由题意可知tan(2)4y x π=--，则要求函数的单调递减区间只需求tan(2)4y x π=-的单调递增区间，由2,242k x k k Z πππππ-<-<+∈得3,2828k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan(2)4y x π=-+的单调递减区间为3(,),2828k k k Z ππππ-+∈. 故答案为：3(,),2828k k k Z ππππ-+∈. 【题组六 对称性】1．(2021·湖北十堰·)函数()43f x cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴可能是直线x =( )A ．53-B ．13- C ．3πD ．43π【答案】A 【解析】令(3)Z x k k πππ-=∈，解得()1Z 3k x k =+∈. 当2k =-时，53x =-.故选：A.2．(2021·北京市第六十六中学)如果函数()cos y x ϕ=+的一个零点是3π，那么ϕ可以是( ) A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-【答案】A【解析】由题意，函数()cos y x ϕ=+的一个零点是3π，可得3cos()0πϕ+=，即,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，可得6π=ϕ. 故选：A.3．(2021·河南(理))若函数()()sin f x x ϕ=+(()0,ϕπ∈)图象的一条对称轴为6x π=，则ϕ=( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意知62k ππϕπ+=+(k ∈Z )，则3k πϕπ=+(k ∈Z )， 当0k =时，3πϕ=，符合题意，其它都不满足题意.故选：B.4．(2021·齐河县第一中学高一月考)tan(2)4y x π=+的对称中心为( )A ．,0),28k k Z ππ+∈( B ．(,0),28k k Z ππ-∈ C ．(,0),48k k Z ππ+∈ D ．(,0),48k k Z ππ-∈ 【答案】D【解析】由()tan f x x =的对称中心为(0),2k π， 令242k x ππ+=，可得48k x ππ=-()k ∈Z . 故选：D5．(2021·山西实验中学高一开学考试)(多选)下列关于函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭的说法错误的是( )A ．在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D ．图象关于直线6x π=成轴对称【答案】ACD【解析】A 项：令232k x k πππππ-<+<+，即()656k x k k Z ππππ<<+∈-，函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为()65,6k k k Z ππππ⎛⎫+ ⎪⎭-∈⎝，A 错误； B 项：最小正周期1T ππ==，B 正确；C 项：令32k x ππ+=，即()32k x k Z ππ=-+∈， 函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭关于点(),032k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭成中心对称，C 错误； D 项：正切函数没有对称轴，则函数n 3ta y x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭也没有对称轴，D 错误，故选：ACD.6．(2021·浙江高一期末)(多选)下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是( )A ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．最小正周期是2πC ．图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D ．图象关于直线12x π=-成轴对称【答案】BC【解析】tan 2tan(2)33y x x ππ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，令2,232k x k k Z πππππ-+<-<+∈，得5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈，∴1k =-时，71212x ππ-<<-，所以tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，A 错误.由上知：最小正周期为2T π=，B 正确.当512x π=时有232x ππ-=，所以tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，C 正确.由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D 错误. 故选：BC7．(2021·陕西咸阳·高一期末)函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为__________.【答案】,0,412k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 【解析】由正切函数性质，令262k x ππ+=，可得412k x ππ=-()k ∈Z . ∴函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为,0,412k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭故答案为：,0,412k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【题组七 值域】1．(2021·全国高一课时练习)若sin 23x m =+，且,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围为( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．51,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．75,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．71,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以11sin 22x -≤≤，因为sin 23x m =+，所以112322m -≤+≤，解得7544m -≤≤-，故选：C2．(2021·陕西高一期末)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最小值小于零，则ω可取的最小正整数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】A ：1ω=，所以5,6612x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πππ，则()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不存在最小值，不合题意，故A 错误；B ：2ω=，所以π22,623x ππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不存在最小值，不合题意，故B 错误； C ：3ω=，所以5113,6612x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πππ，则()2cos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π不存在最小值，不合题意，故C 错误； D ：4ω=，所以774,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πππ，当46x +=ππ时， min ()20f x =-<，符合题意，故D 正确；故选：D.3．(2021·天水市第一中学高一期中)函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+- 令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞故答案为：[)5,-+∞4．(2021·上海杨浦·复旦附中高一期中)函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是___________.【答案】59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()222cos sin 11sin sin 1sin sin 2f x x x x x x x =++=-++=-++令7sin ,,46t x x ππ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为2()2f t t t =-++的对称轴方程为12t =，所以22minmax 115119()2,()2224224f t f t ⎛⎫⎛⎫=---+==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以59(),44f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以59(),44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的值域是59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．(2021·建平县实验中学)已知函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[]0,π内的值域为⎡-⎣，则ω的取值范围为___________. 【答案】55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又()f x ⎡∈-⎣，1cos 6x πω⎛⎫∴-≤+ ⎪⎝⎭所以1166πππωπ+， 解得5563ω， ω∴的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故答案为：55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
课时作业4 全集与补集时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．记全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中阴影部分所表示的集合是(C)A．{4,6,7,8} B．{2}C．{7,8} D．{1,2,3,4,5,6}解析：由Venn图，可知图中阴影部分可表示为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{7,8}．故选C.2．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>1}，则(D)A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：依题意，知∁R P＝{x|x≥1}，依据集合间的包含关系，可得Q⊆∁R P.故选D.3．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为(C)A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：本小题考查了集合的补集与并集运算．∁U A＝{0,4}，(∁U A)∪B＝{0,2,4}．4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(D)A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：本题主要考查集合的运算．(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．5．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于(A) A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}解析：∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁R M＝{x|x>2，或x<－2}，∴(∁R M)∩N＝{x|x<－2}．故选A.6．如图阴影部分可表示为(D)A．(A∪B)∩∁U(A∩B)B ．∁U (A ∪B )C ．∁U (A ∩∁U B )D ．[∁U (A ∪B )]∪(A ∩B )解析：结合Venn 图及集合的运算可得正确选项．7．设集合A ，B 都是全集U ＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A )∩(∁U B )＝{2}，(∁U A )∩B ＝{1}，则A ＝( C )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{1,4}解析：排除法：∵(∁U A )∩(∁U B )＝{2}，∴2∈(∁U A )，∴2∉A ，排除选项A 、B.又∵(∁U A )∩B ＝{1}，∴1∈(∁U A )，∴1∉A .排除D ，故选C.8．已知M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ＝{x |x －a ≤0}，若N ∩∁R M ≠∅(R 为实数集)，则a 的取值范围是( C )A ．{a |a ≤3}B ．{a |a >－2}C ．{a |a ≥－2}D ．{a |－2≤a ≤2}解析：由题意知∁R M ＝{x |－2≤x <3}，N ＝{x |x ≤a }．因为N ∩∁R M ≠∅，所以a ≥－2. 二、填空题9．设全集U ＝{2,4,1－a }，A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，则a 的值为2.解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝－1，a 2－a ＋2＝4，解得a ＝2.此时U ＝{2,4，－1}，A ＝{2,4}，∁U A ＝{－1}．满足题意．10．设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}．若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝－3.解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，故m ＝－3.11．设全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x ＋a <0}，B ∁R A ，实数a 的取值范围为a ≥－1.解析：∵A ＝{x |x >1}，如图所示， ∴∁R A ＝{x |x ≤1}．∵B ＝{x |x <－a }，要使B ∁R A ，则－a ≤1，即a ≥－1. 三、解答题12．设U ＝R ，集合P ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，Q ＝{x |－2≤x <3}． (1)求P ∩(∁R Q )，(∁R P )∩Q ；(2)求(∁R P )∩(∁R Q )，∁R (P ∩Q )．解：(1)因为P ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，x ∈R }＝{y |y ≥－54}＝{x |x ≥－54}，所以∁R P ＝{x |x <－54}． 又Q ＝{x |－2≤x <3}， 所以∁R Q ＝{x |x <－2或x ≥3}．所以P ∩(∁R Q )＝{x |x ≥－54}∩{x |x <－2或x ≥3}＝{x |x ≥3}，(∁R P )∩Q ＝{x |x <－54}∩{x |－2≤x <3}＝{x |－2≤x <－54}．(2)(∁R P )∩(∁R Q )＝{x |x <－54}∩{x |x <－2或x ≥3}＝{x |x <－2}，因为P ∩Q ＝{x |x ≥－54}∩{x |－2≤x <3}＝{x |－54≤x <3}，所以∁R (P ∩Q )＝{x |x <－54或x ≥3}．13．设A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，当a 为何值时，(1)A ∩B ≠∅；(2)A ∩B ＝A ；(3)A ∪(∁R B )＝∁R B .解：(1)A ∩B ≠∅，因为集合A 的区间长度为3，所以由图可得a <－1或a ＋3>5，解得a <－1或a >2，∴当a <－1或a >2时，A ∩B ≠∅.(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .由图得a ＋3<－1或a >5.即a <－4或a >5时，A ∩B ＝A .(3)由补集的定义知：∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，∵A ∪(∁R B )＝∁R B ， ∴A ⊆∁R B .由右图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.——能力提升类——14．设全集U ＝{x ||x |<4，且x ∈Z }，集合S ＝{－2,1,3}．若P ⊆U ，(∁U P )⊆S ，则这样的集合P 共有( D )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：U ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．∵∁U (∁U P )＝P ，∴存在一个∁U P ，即有一个相应的P (如当∁U P ＝{－2,1,3}时，P ＝{－3，－1,0,2}，当∁U P ＝{－2,1}时，P ＝{－3，－1,0,2,3}等)．∵(∁U P )⊆S ，S 的子集共有8个，∴P 也有8个．故选D.15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |(x －2)(x 2＋3x －4)＝0}． (1)若b ＝4时，存在集合M 使得AM B ，求出所有这样的集合M ；(2)集合A ，B 能否满足∁U B ∩A ＝∅？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：(1)易知A ＝∅，且B ＝{－4,1,2}，由已知M 应该是一个非空集合，且是B 的一个真子集，∴用列举法可得这样的集合M 共有如下6个： {－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}． (2)由∁U B ∩A ＝∅得A ⊆B .当A ＝∅时，A 是B 的一个子集，此时Δ＝9－4b <0， ∴b >94.当A ≠∅时，可得B ＝{－4,1,2}，当－4∈A 时，b ＝－28，此时A ＝{－4,7}，不可能为B 的一个子集； 当1∈A 时，b ＝2，此时A ＝{1,2}，是B 的子集； 当2∈A 时，b ＝2，此时A ＝{1,2}，是B 的子集．综上可知，当且仅当A ＝∅或A ＝{1,2}时，∁U B ∩A ＝∅，此时实数b 的取值范围是{b |b >94或b ＝2}．。
【世纪金榜】2014年高中数学 1.4 数列在日常经济生活中的应用课后巩固练习北师大版必修5(30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路，沿公路一侧每隔50 m埋栽一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，且运完最后一趟回到材料工地，用最佳方案时，运输卡车需运行( )(A)11 700 m (B)14 600 m(C)14 500 m (D)14 000 m2.某林场年初有森林木材存量S立方米，木材量每年以25%的增长率增长，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，为实现经过两年砍伐后木材的存量增加50%，则x的值是( )(A)S32(B)S34(C)S36(D)S383.某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商品因供不应求，连续两次提价10%，而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出.若商场同时售出甲、乙电脑各一台，与价格不升不降比较，商场赢利情况是( )(A)少赚598元 (B)前后相同(C)多赚980.1元 (D)多赚490.05元4.（2011·温州高二检测）某地区的农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2011年该地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元），预计该地区自2012年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2016年该地区农民人均收入的范围是( )（A）4 200元～4 400元（B）4 400元～4 600元（C）4 600元～4 800元（D）4 800元～5 000元二、填空题（每小题4分，共8分）5.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于________.6.某人从2011年1月1日起，每年的这一天都到银行存一年定期存款a元，若年利率r保持不变，且每年到期的存款将本和利都再存入新一年的定期中，到2015年1月1日，将所有的存款、利息全部取回，他可取回的钱数为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.某市2011年底绿地面积为560平方千米，预计以后每年都比上一年新增绿地面积4平方千米，问到2021年底该市绿地面积为多少平方千米？8.某市人口2010年底为20万，人均住房面积为8平方米，计划在2014年底达到人均住房面积10平方米.如果该市计划将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房面积多少万平方米？(结果以万平方米为单位，保留两位小数)【挑战能力】(10分)(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n =12n a a a n++⋯+.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新.答案解析1.【解析】选D.由近往远运送，第一次运两根，以后每次送三根，这种送法最佳，由近往远送，每次来回行走的距离构成一个等差数列，设为{a n }，则a 1＝1 100，d ＝300，n ＝7.∴S 7＝7×1 100＋762⨯×300＝14 000(m)，故选D. 2.【解析】选C.一次砍伐后木材的存量为：S(1＋25%)－x ，两次砍伐后木材存量为[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x ，由题意知(54)2S －54x －x ＝S(1＋50%)，解得x ＝S 36，故选C. 3.【解析】选A.设甲、乙两种电脑的原价分别为m,n ，则m(1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21，n(1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81,(m ＋n)－2×9 801＝9 801× 2.021.210.81⨯－19 602＝20 200－19 602＝598.故选A. 4.【解析】选B.到2016年农民的工资性收入变为1 800×（1+6%）5＝2 409（元），其他收入变为1 350+5×160=2 150（元），故2016年收入为4 559元.5.【解析】由已知，有(c-a)是（b-c)和(b-a)的等比中项，即(c-a)2=(b-c)(b-a),把c=a+x(b-a)代入上式，得x 2(b-a)2=［b-a-x(b-a)］(b-a)，即x 2(b-a)2=(1-x) (b-a)2,∵b>a,b-a ≠0,∴x 2=1-x ，即x 2+x-1=0,解得x=12-因为0<x<1，所以最佳乐观系数x 的值等于12-.答案：12-+ 6.独具【解题提示】阅读题意，可知共存了四次，每次存款到期后的本息和构成等比数列，首项为a(1＋r)，公比为(1＋r)，进行表示找到等量.【解析】根据题目含义，设出首项和公比后可得S 4＝4a 1r [1r 1]1r 1(＋（)＋）－＋－＝a r [(1＋r)5－(1＋r)]. 答案：a r[(1＋r)5－(1＋r)] 7.【解析】将该市从2011年每年底的绿地面积依次排成一列，记为{a n }，由题意可知{a n }为等差数列，其中a 1＝560，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n ＋556.2021年底的绿地面积在数列{a n }中是第11项，∴a 11＝4×11＋556＝600(平方千米)，∴到2021年底该市绿地面积为600平方千米.8.【解析】设平均每年新增住房面积x 万平方米，则到2014年底的住房总面积为(8×20＋4x)万平方米.依题意，到2014年底的人口应为20×(1＋1%)4＝20×1.014(万)，于是得方程48204x 20 1.01⨯⨯＋＝10，解得x ＝50×1.014－40≈12.03. 答：每年新增住房12.03万平方米.独具【方法技巧】数列综合题的解题步骤：（1）审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等等.(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.【挑战能力】独具【解题提示】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力、建模能力和运算能力，阅读后建立数列模型是关键.【解析】(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为-10的等差数列.a n =120-10(n-1)=130-10n;当n ≥7时，数列{a n }是以a 7为首项，34为公比的等比数列，又a 7=70×34，所以a n =70×34×（34）n-7=70×(34)n-6；因此，第n 年初,M 的价值a n 的表达式为 a n =n 613010n,n 6370,n 74--≤⎧⎪⎨⨯≥⎪⎩（） (2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n =120n-5n(n-1),A n =120-5(n-1)=125-5n;当n ≥7时，S n =S 6+(a 7+a 8+…+a n )=570+70×34×4×［1-(34)n-6］=780-210×（34)n-6 A n =n 637802104n--⨯（）. 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8=86378021048--⨯（）=824764>80, A 9=96378021049--⨯（）=767996<80, 所以须在第9年初对M 更新.。
高中思维训练班《高一数学》第1讲—————集合与函数(上）『本讲要点』：复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M与P的差集为M-P={x ｜ x∈M且x不∈P｝，若A={y ｜ y=x2}B=｛x ｜ -3≤x≤3｝ ,再定义 M△N =(M—N）∪(N-M），求A△B2.集合A=中，任意取出一个非空子集，计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=，3＊5。
*67。
*8.9.101。
＜02.=3.又,若,58.解：令y=1，得f（x＋1）=f(x)＋x＋1再依次令x=1，2，…,n－1，有f(2）=f（1)＋2f(3）=f(2)＋3……f（n－1）=f（n－2)＋(n－1)f（n）=f(n－1)＋n依次代入，得∴f（x）=（x∈N+）高中思维训练班《高一数学》第2讲-—---函数（下)『本讲要点』：1.单调函数不等式的解法 2。
根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3。
抽象函数的周期问题*1例f(x)在x〉0上为增函数，且.求：（1)的值.(2）若,解不等式2例f（x）对任意实数x与y都有f（x） + f（y） = f(x+y) + 2,当x>0时,f（x）>2(1)求证：f(x）在R上是增函数(2)若f（1）=5/2,解不等式f（2a—3）〈 33练f（x)是定义在x>0的函数，且f（xy） = f（x） + f（y);当x>1时有f（x）<0；f(3) = -1.(1)求f(1)和f(1/9）的值(2)证明f（x）在x>1上是增函数(3)在x 〉 1上，若不等式f(x） + f(2—x）〈 2成立,求x的取值范围4例几个关于周期的常见的规律：5练习:f(x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2） = —f（x）,以下结论正确的是(多选)：______________A.f（2） = 0B.f（x) = f(x+4）C。
第一章 1.4 1.4.11.用“五点法”画尸sin —2n, 0］的简图时，正确的五个点应为(X0 JI~2 JI3 JI2 n y1121描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示:答案：B3. 已知点•仔，j 在余弦曲线上，则力=() 1 A -2D. 1答案:AA . B.1), \ ~~2~1 °)(-2 n , — 1)解析：由于点什，»在余弦||||线y=cos x 上，所以 JI /?=cos_(0, 0),(2 兀，0)，1], ( —2 兀,0)(0, 0), f —―, —1D. (0, -1),答案：B解析：按五个关键点列4.sin x>0,圧［0, 2n］的解集是 __________ ・解析：如图所示是,K=sin x, x^.［0, 2 n ］的图彖,由图可知满足sin x>0, ［0, 2 n ］的•解集是（0,兀）.答案：（0, Ji）5._______________________________ 方程/ = cos /的实根个数是.解析：”在同一直角处标系中画出y=#和y=cos /的图象，观察交点个数为2.答案：26.在［0, 2 n ］内用五点法作出j/= —sin 1的简图.解：（1）按五个关键点列表（2）描点并用光滑111!线连接可得其图象，如图所示.楚过关测评（时间：30分钟满分：60分）•、选择题(每小题4分，共16分)1.下列函数图彖相同的是() A. y= sin x 与 y= sin (Ji + x)C.尸sin /与 y=sin(—%) D ・• y=.sin(2 皿+x)与 y=s.in x 解析：A 中,,K=sin( n=—sin x\C 中，y=sin( —x) = — sin x, 其解析式不同，图彖也不同. 答案：D 2. 在(0, 2 n )±,使sin ^>cos x 成立的x 的取值范曲|是()解析:在同一坐标系中作出y=sin x, (0, 2 n )与尸cos x, (0, 2 n )的图象.如图所示.两图彖交点的横坐标专和扌兀 利用三角函数线來求解.答案：C,也可•在单位圆中3.如图所示，函数y=cos x\ tan x且&旬的图象是(B.JI2与 y=sin口J 知 sin %>cos x时，JT5 - 4答案：c34. 已知函数尸」+sin x 、X W[0,2JI ],则该函数的图象与直线y=[交点的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2D. 33解析：分别作出函数y=l + sin x, [0, 2 n ]与直线尸訓勺图象，如图所示:由图町得：函数y=l + sinx, [0, 2 n J-L/直线y=|有两个交点，故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共12分）5. 用“五点法”作函数y=2sin （2x —才）的简图吋，五个关键点的坐标分別是，一， 兀 JI 3 Ji Ji 5 n 2n 11 JI 7兀解权「： rd 2x ——=0f —f 兀，—,2 H ,即/=石，—,—,—U -时，F=o, 2, 0, —2, 0.答案：（-才，0）, （+才，2）,（¥，0）,（丄誓■，—2）, （£右，0） 6. _____________________________ 下列命题中真命题的序号是 • ① 尸sin I”与尸sin *的象关于y 轴对称.厂sin x,解析:y=<— sin x, sin x,Jn o^%<—,Ji < x<—nB② 尸cos(—X )与y=cos\x\的图象相同. ③ 尸|sin ”与y=sin (—劝的图彖关于/轴对称. ④ 尸cos x 与y=cos( —x)的图彖关于y 轴对称.解析：利用正弦曲线和余弦曲线，借助对称变换，分别画出y=sin|x|, y=cos|x|, y =|sin %|, _K=sin( —%)与尸=(：0$(—x)的图象，由图象可知②④正确.答案：②④(JI 57. 已知函数尸2sin*yWxW= 的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么 此封闭图形的Ifli 积为 ______ ・解析：数形结合，如图所示.9. (10分)求函数y=y ］2sin' x+cos x —1的定义域. 解：为使函数有意义，需满足2sin 2 x+cos %—1^0,y=2 sin x,JI 5 nJI圧 亍 V 的图彖与直线尸2围成的封闭平面图形而积相当于由 心亍y=0, y=2围成的矩形面积,即S=(|兀—*)X2=4兀. 答案：4兀 三、解答题8. (10分)用“五点法”画函数y=2sin^一罰在［0,6兀］上的图象.解：列表如下:1 nJIJI3 n2兀 3A 6 2 2 X 兀T 2 Ji 7 JT 2 5 n 13 n 2 y2-2描点连线如图所示.即2cos2 %—cos x— 1 ^0解得一㊁Wcos /Wl.山余弦函数的图象或单位圆，如图所示，2 n 2 n・・・定义域为” 2加一〒GW2加+—,圧Z .10.(12分)若函数f(x)=si n ^+2|sin ”，圧［0, 2 n ］的图象与直线尸&有且仅有两个不同的交点，求斤的范围.3sin Xy[0, n如图所示,. 「o n— sin x, x, L n , 2 n」由图象可得A：G (1,3).。
