初三数学总复习指导--第五讲 不等式(组)及应用

中考数学不等式与不等式组的知识点分析中考数学中，不等式与不等式组是重要的考点之一、它们在数学中具有广泛的应用，且与实际生活和解决问题密切相关。

下面将就不等式与不等式组的知识点进行分析。

一、不等式的符号表示不等式是用不等号（≤、≥、＜、＞）连接的数的表达式。

它们可以比较两个数的大小关系，表示数的范围。

在不等式中，等号用来表示相等，不等号则用于表示不等。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，即通过性质的推导与变形，将未知数的系数和常数项带入到不等式中，求解未知数的范围。

三、不等式的性质及性质运用1.相加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d。

2.相减性：若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d。

3.相乘性：若两个数a，b都与正数k比较，则有以下结果：（1）若a＞b，则ka＞kb（k＞0）；（2）若a＜b，则ka＜kb（k＞0）；（3）若a＝b，则ka＝kb（k任意）。

4.同除性：若a＞b，且c＞0，则a/c＞b/c；若a＜b，且c＞0，则a/c＜b/c；若a＝b，且c＞0，则a/c＝b/c。

5.变号性：如果x＞0，则1/x＞0；若x＜0，则1/x＜0；若x＝0，则1/x没有意义。

四、不等式的解集表示对于一元一次不等式ax+b＞0，可以用解集表示，解集的形式为{x，ax+b＞0}。

五、不等式的乘法结构对于两个已知的不等式a＞b和c＞d：1. 若a＞0，c＞0，则ac＞bd；2. 若a＞0，c＜0，则ac＜bd；3. 若a＜0，c＞0，则ac＜bd；4. 若a＜0，c＜0，则ac＞bd。

六、不等式组的概念不等式组是多个不等式的集合，可以有两个或多个不等式。

解不等式组是找出满足所有不等式的共同解集。

七、一元一次不等式组的解集表示一元一次不等式组通常有两或三个不等式，解集的形式为{x，不等式1，不等式2，...，不等式n}。

不等式（组）及其应用考点1：不等式的基本性质及相关概念1.不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.2.一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1 的不等式叫做一元一次不等式.3．不等式的基本性质性质 1: 不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；如果 ，那么.性质 2: 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果 ，，那么, . 性质 3: 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.如果 ，，那么, .对称性：如果 ，那么b a <.传递性：如果 ，b c >，那么a c >.考点2:解一元一次不等式（组）1. 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4) 合并同类项；(5)系数化为1.2. 解一元一次不等式组的步骤：(1)先分别求出每个不等式的解集；(2)再借助数轴找出它们的公共部分；(3)写出不等式组的解集．3. 求不等式(组)的特殊解，首先求不等式(组)的解集，然后在解集中找特殊解． 考点3:一元一次不等式（组）的应用列不等式(组)解应用题的步骤:(1) 找出实际问题中的不等关系,(2) 设定未知数,列出不等式(组);(3) 解不等式(组);(4) 从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案.(5) 回到实际问题进行答题.列不等式(组)解应用题应紧紧抓住下列关键词: “至多” “至少” “不大于” “不小c b c a ±>±b a >0>c bc ac >b a >0<c bc ac <b a >b a >c b c a <cb c a >于” “不超过” “大于” “小于”等. 注意分析题目中的不等关系,能准确分析题意,列出不等关系式, 然后根据不等式的解法求解.例1．若x y >，则下列结论正确．．的是（ ） A ．x y ->- B ．1010x y -<- C ．22ax ay > D ． 2-12-133x y > 例2. 用不等式a ＞b ，ab ＞0， 11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3例3.解不等式1211232x x -≤-，并把它的解集在数轴上表示出来．例4. 解不等式组：3(2)22,25.4x x x x例5．解不等式组4(1)710853x x x x +≤+⎧⎪-⎨-<⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．．．．．。

中考重点不等式及其应用一、不等式的基本概念不等式是数学中常见的一种比较关系表达方式，可以用于描述两个数之间的大小关系。

常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

例如，a > b表示a大于b，a ≤ b表示a小于等于b。

在解不等式时，我们需要明确几个基本概念：1. 解集：不等式的所有满足条件的解所构成的集合称为解集。

例如，对于不等式2x + 5 > 10，解集为{x | x >2.5}，表示x的取值范围为大于2.5的实数。

2. 不等式的性质：不等式的性质在解不等式时非常重要。

例如，对于不等式a > b，若两边同时加（减）一个相同的数c，则不等式的关系不发生改变；若两边同乘（除）一个正数d，则不等式的关系保持不变，若同乘（除）一个负数d，则不等式的关系需要反转。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指在不等式中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。

解一元一次不等式的关键在于将不等式转化为等价的形式进行求解。

例如，对于不等式2x + 5 > 10，我们可以先将不等式转化为等价的形式，得到2x > 5，再解得x > 2.5，即解集为{x | x > 2.5}。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指在不等式中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2。

解一元二次不等式的关键在于找到不等式的零点，并根据不等式的符号来确定解集。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以先求出不等式的零点，即x = 2和x = 3，然后根据一元二次函数的图像，确定不等式在x < 2和2 < x < 3以及x > 3三个区间的符号，最后得出解集为{x | 2 < x < 3}。

四、不等式组不等式组是由若干个不等式组成的方程组。

解不等式组需要找到不等式组的交集部分，即同时满足所有不等式的解。

九年级数学教案不等式组的解法与应用九年级数学教案：不等式组的解法与应用导言：不等式组是数学中的一个重要概念，它由多个不等式组成，并且需要找出满足这些不等式的解集。

在九年级数学教学中，学生将接触到不等式组的解法与应用。

本教案将介绍不等式组的基本概念、解法以及实际应用，帮助学生理解和掌握这一知识点。

一、不等式组的基本概念1.1 不等式组的定义不等式组由多个不等式构成，通常用{x, y, z...}表示。

例如：{2x+3y<10，x-y>5}就是一个含有两个不等式的不等式组。

1.2 解集的概念解集是满足不等式组中所有不等式的所有点的集合。

解集可以为空集、有限集或无限集。

解集的表示通常用{x, y, z...|不等式1, 不等式2...}表示。

例如：{x, y | x>1, y<2}表示满足不等式x>1和y<2的点的集合。

二、不等式组的解法2.1 图解法可以通过在坐标系上绘制不等式的图形来求解不等式组。

我们将每个不等式转化为等式，并在坐标系上绘制对应的直线或曲线。

然后，通过观察图形的交点或不等式的区域来确定解集。

2.2 代入法代入法是通过将不等式组中的一个不等式的解表达式代入到其他不等式中，从而求解整个不等式组。

这种方法可以简化计算，特别是在不等式组比较复杂的情况下。

2.3 消元法消元法是通过对不等式组进行加、减、乘、除等运算，使得其中一个变量的系数为1，从而简化解法的过程。

通过逐步消元，可以得到简化形式的不等式组，进而求得解集。

三、不等式组的应用3.1 实际问题的建模不等式组可以应用于解决实际问题，例如优化问题、约束问题等。

通过建立数学模型，可以将实际问题转化为不等式组的形式，并利用解集来解决问题。

3.2 市场竞争分析在市场竞争中，各个厂商或企业可能会面临不同的限制条件。

通过建立相应的不等式组，可以分析市场份额、收益等因素，并找到最优的经营策略。

3.3 资源分配问题不等式组可以应用于资源分配问题，例如生产成本分析、人力资源分配等。

初三数学不等式的解法与应用在初中数学中，不等式是一个非常重要的概念，并且在解题过程中有着广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、不等式的基本概念不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式。

一般来说，不等式由不等号连接的两个表达式组成。

常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

例如，以下是几个常见的不等式：1. x > 22. 3x + 4 < 103. 2x ≤ 5 - x二、不等式的解法解不等式的过程就是找到使不等式成立的数值范围。

根据不等号的性质，解不等式可以通过以下几种方法来进行求解。

1. 图像法对于一元一次不等式，可以将其表示成坐标轴上的图像，通过观察图像的形状，找到使不等式成立的数值范围。

例如，对于不等式 x > 2，可以绘制出x轴，并在x = 2处画一个实心圆点，然后在此点右侧用箭头标识不等关系。

从图像可以看出，不等式的解集为{x | x > 2}，即大于2的所有实数。

2. 代数法通过对不等式进行代数变换，可以找到不等式的解集。

例如，对于不等式 3x + 4 < 10，可以按照一般的方程解法进行求解：3x + 4 < 103x < 10 - 43x < 6x < 2因此，不等式的解集为{x | x < 2}，即小于2的所有实数。

3. 区间法对于一元一次不等式，可以通过找到使不等式成立的数值范围的闭区间或开区间。

例如，对于不等式2x ≤ 5 - x，可以按照以下步骤进行求解：2x ≤ 5 - x3x ≤ 5x ≤ 5/3因此，不等式的解集为[x | x ≤ 5/3]，即小于等于5/3的所有实数。

三、不等式的应用不等式在代数和几何问题中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景。

1. 线性规划线性规划是一种优化问题，通过解线性不等式组来确定使目标函数达到最大或最小值的最优解。

中考数学不等式和不等式组复习，知识点汇总，典型例题解
析！
中考数学不等式和不等式组复习
知识要点：
知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

知识点3、不等式的解集在数轴上的表示：
（1）x＞a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示；
（2）x＜a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的左边部分来表示；
（3）x≥a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的右边部分来表示；
（4）x≤a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的左边部分来表示。

不等式（组〉的应用在tl常生活、生产中，市场经济建设中，许多问题存在的数量并非是相等关系，而是不等关系，此时问题的解决需要建立不等式（组）模型，因此，利用不等式（组）可以解决许多问题，应引起重视。

例1.国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度，某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费报销规定，亨受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先犁付医疗费用，年终到医保屮心报销，医疗费的报销比例标准如下表：（1）设某农民一年的实际医疗费为兀元，（500<x <10000,按标准报销的金额为丁元, 试求），与X的函数关系式；（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费二实际医疗费-按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？分析：推行农村医疗保险制度是国家政府解决广大农民看病难的措施z—,如何报销是农民们关注的问题，本题不仅考查同学们对不等式的应用能力，同时也进行了一次医疗保险的法规宣传。

7（1）y = —U-500）（500<x ^10000）,注意500元部分是不能报销的；10（2）设该农民一年内实际医疗费为兀元，易知500<xW 10000,故500 + （x-500）X0.3 = 2600,解之得x=7500 （元）（3）设该农民一年内实际医疗费为兀元，易知兀>10000,故500 + （10000- 500）x0.3 + （x-10000）x0.2 ^4100,解得,x 213750,因此，该农民一年内实际医疗费至少为13750元。

例2.某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元.（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元?(2)该经营业主计划购进这两种电器共70台，而对用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元.该业主希望当这两种电器销售完吋，所获得的利润不少于3500元.试问该经营业主有哪儿种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？解：(1)设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为无元和y元，依题意，得x = 1800y = i5O '即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元；(2)设该业主计划购进空调［台，则购进电风扇(70-1)台，则1800/4-150(70-0 <30000200^ + 30(70-/) >3500•・•/为整数，:・t为9, 10, 11,故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调9台，电风扇61台;方案二：购进空调10台，电风扇60台；方案三：购进空调11台，电风扇59台；设这两种电器销售完后，所获得的利润为W,则W = 200/ + 30(70-r) = 170/ + 2100,由于W随/的增大而增大，故当t = \\时，W有最大值，VV.,? =170x11 + 2100 = 3970,即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为3970元。

中考考点之不等式(组)及不等式的应用考点精讲考点解读考点一、不等式的相关概念1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.【微点拨】不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．考点二、不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或ac＞b c）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c＜b c）． 【微点拨】（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a-b ＞O ⇔a ＞b ；②a-b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b ＞0(a ≠0)或ax+b ≥0(a ≠0) ，ax+b ＜0(a ≠0)或ax+b ≤0(a ≠0)． 2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．【微点拨】解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 【微点拨】判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．4．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 【微点拨】解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集． 5．一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．【微点拨】列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案．考点突破1．（2020•苏州）不等式213x -的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2020•连云港）不等式组213,12x x -⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示为( )A ．B ．C ．D ．3．（2020•常州）如果x y <，那么下列不等式正确的是( ) A ．22x y <B ．22x y -<-C ．11x y ->-D ．11x y +>+4．（2020•无锡）解不等式组：20415x x -⎧⎨+<⎩．x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小）x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b>⎧⎨<⎩ ba无解（空集）（大大、小小 找不到）5．（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()a m，宽为()b m．（1）当20a=时，求b的值；（2）受场地条件的限制，a的取值范围为1826a，求b的取值范围．6．（2020•南京）已知反比例函数kyx=的图象经过点(2,1)--．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组21,1xkx->⎧⎪⎨>⋅⎪⎩①②解不等式①，得1x<．根据函数kyx=的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．7．（2020•泰州）（2）解不等式组：311,442 x xx x-+⎧⎨+<-⎩．8．（2020•扬州）解不等式组50,3121,2xxx+⎧⎪⎨-+⎪⎩并写出它的最大负整数解．9．（2020•徐州）（2）解不等式组：34521232xx x-<⎧⎪--⎨>⎪⎩．10．（2020•常州）解不等式组：260 36xx-<⎧⎨-⎩．11．（2020•盐城）解不等式组：32134532xx x-⎧⎪⎨⎪-<+⎩．（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”)．A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．13．（2020•南通）已知抛物线2y ax bx c =++经过(2,0)A ，1(34,)B n y -，2(56,)C n y +三点，对称轴是直线1x =．关于x 的方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若5n <-，试比较1y 与2y 的大小；（3）若B ，C 两点在直线1x =的两侧，且12y y >，求n 的取值范围． 14．（2020•镇江）解不等式组：427,3(2)4x x x x +>-⎧⎨-<+⎩。

第五讲 不等式(组)及不等式的应用命题点分类集训命题点1 解不等式(组)及其解集表示【命题规律】1.考查内容：①解一次不等式；②解一次不等式并在数轴上表示解集；③解一次不等式组；④解一次不等式组并在数轴上表示解集；⑤求一次不等式组的整数解；⑥通过不等式组的解集确定不等式中未知字母；⑦结合程序框图考查不等式的解集.2.解不等式组及其解集在数轴上的表示考查较多，均在选择题或解答题中考查，填空题主要考查不等式(组)的解集．【命题预测】解不等式(组)及其解集在数轴上表示是全国命题趋势之一，特别要注意解集在数轴上的表示方法．1.将不等式3x －2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( )1. D2.关于x 的不等式组⎩⎨⎧－x<1x －2≤0，其解集在数轴上表示正确的是( )2. D3不等式组⎩⎨⎧2x －1≤1－12x ＜1的整数解的个数为()A. 0个B. 2个C. 3个D. 无数个3. C 【解析】根据不等式的性质求出不等式组的解集，再找出整数解．解不等式组⎩⎨⎧2x －1≤1 ①－12x ＜1 ②，由①得：x ≤1，由②得：x>－2，∴不等式组的解集为－2＜x ≤1，∴不等式组的整数解有－1、0、1三个．4.不等式3(x －1)≤5－x 的非负整数解有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. C 【解析】将不等式化简：去括号得，3x －3≤5－x ；移项、合并同类项得，4x≤8；系数化为1得，x ≤2，故原不等式的非负整数解为0，1，2，共3个，故选C.5.不等式－12x ＋3＜0的解集是________．5. x ＞6 【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．移项得，－12x ＜－3，系数化为1得，x ＞6.6.已知不等式组⎩⎨⎧x ≥－a －1 ①－x ≥－b ②，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b －a的值为________．6. 13 【解析】解不等式②得x ≤b ，由不等式组的解集在数轴上的表示可得－2≤x ≤3，所以得到－a －1＝－2，b ＝3，解得a ＝1，所以b －a ＝3－1＝13.7.对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x ”到“结果是否大于88？”为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则x 的取值范围是________．7. x ＞49 【解析】该操作程序相当于是按照2x －10来运算的，如果操作只进行一次就停止，则2x －10＞88，解得x ＞49.8.解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来． 8. 解：去分母得4x －2>3x －1， 解得x>1.这个不等式的解集在数轴上表示如解图所示：9.解不等式组：⎩⎨⎧2x ＋5＞3（x －1）4x ＞x ＋72. 9. 解：解不等式2x ＋5>3(x －1)得x<8，解不等式4x>x ＋72得x>1， 所以不等式组的解集为1<x<8.10.解不等式组⎩⎨⎧3x ＋1≤2（x ＋1）－x<5x ＋12，并写出它的整数解．10. 解：解不等式3x ＋1≤2(x ＋1)，得x ≤1， 解不等式－x ＜5x ＋12，得x>－2， ∴不等式组的解集是－2<x ≤1， ∴该不等式组的整数解是－1，0，1. 11.解不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤6 ①3x －2≥2x ②.请结合题意填空，完成本题的解答． (Ⅰ)解不等式①，得____________； (Ⅱ)解不等式②，得____________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为____________． 11. 解：(Ⅰ)x ≤4； (Ⅱ)x ≥2； (Ⅲ)(Ⅳ)2≤x ≤4.命题点2 一次不等式的实际应用【命题规律】1.考查内容：①列不等式解决实际问题，常与方程、函数结合考查；②不等式建模，并解出最终结果.2.命题常涉及的不等关系词有：大于、小于、超过、至少、至多、最多、不超过等．【命题预测】一次不等式的实际应用常与方程、函数结合考查，解题时注意提取题中的关键词．12.东营市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是( )A. 11B. 8C. 7D. 512. B 【解析】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x千米，依题意得8＋1.5(x－3)≤15.5，解得x≤8.即他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米，最大值为8.故选B.13.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价；(1)求该什锦糖的单价；(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？13. 解：(1)由题意得15×40＋25×40＋30×20100＝22(元/千克)．答：该什锦糖每千克22元．(2)设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果(100－x)千克，由题意得30x＋15（100－x）＋22×100200≤20，解得x≤20.答：最多可加入丙种糖果20千克．命题点3 方程与不等式的实际应用【命题规律】1.考查形式：一般为2～3问，第1问为方程(组) 的实际应用，第 2 问会涉及不等关系式，考查不等式的实际应用，若有第3问，一般会涉及方案的选取或求最优方案等，题型均为解答题．【命题预测】方程(组)与不等式的实际应用将是全国命题的主流形式之一，利用方程(组)与不等式综合考查方案设计问题应引起重视．14.某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？14. 解：(1)设第一次购进这种衬衫x 件，第二次购进这种衬衫12x 件，根据题意得：4500x ＝210012x ＋10， 解得x ＝30，经检验x ＝30是原方程的解，且符合题意， ∴12x ＝12×30＝15. 答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件． (2)设第二批衬衫每件销售a 元，根据题意得： 30×(200－450030)＋15×(a －210015)≥1950， 解得a ≥170.答：第二批衬衫每件至少要售170元.15.早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校. 已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．(1)求小明步行速度(单位：米/分)是多少；(2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？15. 解：(1)设小明步行速度为x 米/分，则小明骑自行车的速度为3x 米/分．根据题意得，900x ＝9003x＋10，解得x ＝60，经检验x ＝60是原分式方程的解， 答：小明步行速度是60米/分．(2)设小明家到图书馆之间的路程为a 米，根据题意得， a 60≤2×90060×3， ∴a ≤600，答：小明家与图书馆的路程最多为600米．中考冲刺集训 一、选择题1.已知不等式组⎩⎨⎧x>ax ≥1的解集是x ≥1，则a 的取值范围是( )A. a<1B. a ≤1C. a ≥1D. a>1 2.不等式组⎩⎨⎧2x ＋2＞x3x ＜x ＋2的解集是( )A. x ＞－2B. x ＜1C. －1＜x ＜2D. －2＜x ＜1 3.不等式组⎩⎨⎧2x －1≥58－4x ＜0的解集在数轴上表示为( )4.不等式组⎩⎨⎧x ＋5＜5x ＋1x －m ＞1的解集是x ＞1，则m 的取值范围是( )A. m ≥1B. m ≤1C. m ≥0D. m ≤05.点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b.对于以下结论： 甲：b －a ＜0；乙：a ＋b ＞0； 丙：|a|＜|b|； 丁：ba＞0.其中正确的是( )A. 甲乙B. 丙丁C. 甲丙D. 乙丁 6.不等式x ＋12＞2x ＋23－1的正整数解的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( )A. 103块B. 104块C. 105块D. 106块二、填空题 8.不等式3x ＋134＞x3＋2的解是________． 9.不等式组⎩⎨⎧x －1≤2－2x2x 3＞x －12的解集是________．10.不等式5x －3＜3x ＋5的最大整数解是________．11.不等式组⎩⎨⎧x ＞－1x ＜m 有3个整数解，则m 的取值范围是________．三、解答题12. x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？13.解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤2（x ＋4）x<x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．14.某商场计划购进A 、B 两种商品，若购进A 种商品20件和B 种商品15件需380元；若购进A 种商品15件和B 种商品10件需280元．(1)求A 、B 两种商品的进价分别是多少元？(2)若购进A 、B 两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A 种商品多少件？15.某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，售价每台也上调了200元．(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？16.某市对初三综合素质测评中的审美与艺术维度进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩(满分100分)和平时成绩(满分100分)两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该学生综合评价评为A 等．(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？(2)某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A 等吗？为什么？ (3)如果一个同学综合评价得分要达到A 等，他的测试成绩至少要多少分？ 答案与解析： 1. A 2. D 3. C4. D 【解析】⎩⎨⎧x ＋5＜5x ＋1 ①x －m ＞1 ②，解①得x ＞1，解②得x ＞1＋m ，∵不等式组的解集是x ＞1，∴m ＋1≤1，∴m ≤0，故选D.5. C 【解析】∵由数轴可知b<－3<0<a<3，∴甲和丙的结论都正确，故选C.6. D 【解析】解不等式x ＋12＞2x ＋23－1得，3(x ＋1)＞2(2x ＋2)－6，3x ＋3＞4x ＋4－6，x ＜5.∵小于5的正整数有1，2，3，4，∴该不等式的正整数解有1，2，3，4，共4个，故选D.7. C 【解析】设这批电话手表有x 块，根据“销售总额超过5.5万元”列不等式得550×60＋500(x －60)＞55000，解得x ＞104，所以这批电话手表至少有105块．8. x ＞－3 9. －3<x ≤110. 3 【解析】由不等式5x －3＜3x ＋5，移项，5x －3x ＜5＋3，合并同类项，2x ＜8，系数化为1，x ＜4，∴最大整数解为3.11. 2＜m ≤3 【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的计算，特别注意最后解集范围的确定．∵原不等式组有3个整数解，且解集为：－1＜x ＜m ，∴三个整数解为0，1，2，∴2＜m ≤3.12. 解：不等式5x ＋2＞3(x －1)可化为：x ＞－52，不等式12x ≤2－32x 可化为：x ≤1，取公共部分：－52＜x ≤1，∴满足条件的整数为－2，－1，0，1.13. 解：⎩⎨⎧2－x ≤2（x ＋4）①x ＜x －13＋1 ②，解不等式①得，x ≥－2； 解不等式②得，x ＜1；∴不等式组的解集为－2≤x ＜1， ∴不等式组的最大整数解为x ＝0.14. 解：(1)设A 种商品的进价为x 元，B 种商品的进价为y 元， 根据题意，得⎩⎨⎧20x ＋15y ＝38015x ＋10y ＝280，解得⎩⎨⎧x ＝16y ＝4， 答：A 种商品的进价为16元，B 种商品的进价为4元．(2)设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品(100－a)件，根据题意，得 16a ＋4(100－a)≤900， 解得a ≤1253＝4123， ∵a 取正整数，∴a 的最大正整数解为a ＝41， 答：最多能购进A 种商品41件．15. (1)【思路分析】根据 “第二次购入空调的数量＝第一次购入空调数量的2倍”，列方程求解即可．解：设商场第一次购入的空调每台进价是x 元，根据题意，得 52000x ＋200＝2×24000x ， 解得x ＝2400，经检验，x ＝2400是原方程的解且符合实际意义． 答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元．(2)【思路分析】先分别计算出每次购入空调的销售额，然后再根据题意列不等式求解即可．解：第一次购入空调：24000÷2400＝10(台)，销售额为：3000×10＝30000(元)；第二次购入空调：52000÷(2400＋200)＝20(台)，设打折出售y 台空调，则销售额为：(3000＋200)×(20－y)＋(3000＋200)×0.95y ＝64000－160y ， 两次共获得的利润为：30000＋(64000－160y)－(24000＋52000)＝18000－160y ， 根据题意，得18000－160y ≥(24000＋52000)×22%， 解得y ≤8，答：最多可将8台空调打折出售．16. 解：(1)设孔明同学测试成绩为x 分，平时成绩为y 分，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝18580%x ＋20%y ＝91， 解得⎩⎨⎧x ＝90y ＝95. 答：孔明同学测试成绩为90分，平时成绩为95分．(2)设该同学平时成绩为100分，则他的综合评价得分为： 70×80%＋100×20%＝76＜80，因此他的综合评价得分不可能达到A 等．(3)设他的测试成绩为a 分，则a ×80%＋100×20%≥80，解得a ≥75.答：他的测试成绩至少要75分．。

不等式（组）及其应用教案【课标要求】⒈掌握不等式及其基本性质.⒉掌握一元一次不等式、一元一次不等式组及其解法，用数轴确定解集. ⒊根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），解决简单的问题，解决简单的问题. . 【课时分布】不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要3个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.课时数 内 容1 不等式的基本性质、不等式（组）的解法 1 不等式（组）的应用1 不等式（组）在实际问题中的应用单元测试与评析【知识回顾】 1、知识脉络2、基础知识不等式的有关概念(1)(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. (2)(2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. (3)(3)不等式的所有的解不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集. (4)(4)求不等式的解集的过程求不等式的解集的过程,叫做解不等式叫做解不等式. . 不等式的基本性质 (1)(1)不等式的性质不等式的性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变不等号的方向不变. . 如果如果>,>,>,那么那么那么+>+,->-. +>+,->-. (2)(2)不等式的性质不等式的性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变不等号的方向不变. . 如果如果>,>,>,并且并且并且>0,>0,>0,那么那么那么>. >. (3)(3)不等式的性质不等式的性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变不等号的方向改变. . 如果如果>,>,>,并且并且并且<0,<0,<0,那么那么那么<. <. 一元一次不等式 (1)(1)只含有一个未知数只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,1,像这样的不像这样的不等式叫做一元一次不等式等式叫做一元一次不等式. .(2)(2)解一元一次不等式与解一元一次方程相类似解一元一次不等式与解一元一次方程相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.1.特别要注意当系数化为特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向必须改变不等号的方向必须改变. .(3)(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:一元一次不等式组(1)(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. (2)(2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分们的公共部分. .(3)(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下: 若,则①的解集是，如下图： ②的解集是，如下图：③的解集是，如下图： ④无解，如下图： 不等式(组)的应用的应用解不等式的应用问题关键是建立不等式模型,会根据题中的不等量关系建立不等式(组),),解决实际应用问题解决实际应用问题解决实际应用问题..具体可以参见“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)解应用题的一般步骤用题的一般步骤. . 3．能力要求 例1.1.解下列不等式解下列不等式(组),),并把解集在数轴上表示出来并把解集在数轴上表示出来. (1)(1)≥≥ (2) ≤ ①② 解：解：(1) (1)去分母,得 ≥ 整理整理,,得 ≥ ∴ ≤ 解集在数轴上表示为: (2) 由①得 ≤ 整理得 ≤∴ ≤ 由②得 整理得 ∴ 解集在数轴上表示为: ∴ 不等式组的解集为≤例2.2.已知关于、的方程组的解是负数已知关于、的方程组的解是负数,求的取值范围求的取值范围. .【分析】先由方程组求出方程组的解(用含的代数式表示),),再由方程组的解为负数列出再由方程组的解为负数列出不等式组,求的取值范围求的取值范围. . 【解】【解】 解方程组 得 ∵方程组的解是负数，∴ 即 ∴ ∴【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题的能力【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题的能力..当方程或不等式中含有字母时，一般是先将字母看作已知数进行计算一般是先将字母看作已知数进行计算. .例3.3.现计划把甲种货物现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元. (1)设运送这批货物的总费用为万元,这列货车挂A 型车厢节,试写出与之间的函数关系式数关系式. . (2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,15t,每节每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,35t,装货时按此要求安排装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案? (3)在(2)(2)的方案中的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用并求出最省费用. . 【分析】题【分析】题(1)(1)(1)中总费用应该是中总费用应该是A 型车厢的费用和B 型车厢的费用的总和型车厢的费用的总和. . 题(2)(2)的要求是的要求是A 型车厢的甲种货物最大装载量与B 型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A 型车厢的乙种货物最大装载量与B 型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨. 【解】【解】 (1) (1) ∵ 用A 型车厢节,则B 型车厢为(40-)(40-)节节,得 (2) 依题意,得 ≥≥解之解之,,得 ≤≤≤≤ ∵取整数， ∴或或∴或或. .∴ 共有三种方案:① 24节A 型车厢和16节B 型车厢; ② 25节A 型车厢和15节B 型车厢; ③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢型车厢. .(3) 当时当时,,万元万元; ; 当时当时,,万元; 当时当时,,万元; 故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为26.8万元万元. . 【说明】目前中考越来越注重能力的考查【说明】目前中考越来越注重能力的考查..本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决. . 例 4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地运输到外地..按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车种大蒜不少于一车. . (1)设用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求与之间的函数关系式,并求自变量的取值范围并求自变量的取值范围. . (2)设此次运输公司的利润为M (单位单位::百元百元),),),求求M 与的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.大蒜规格 甲 乙 丙 每辆汽车的满载量/t 8 10 11 运输每吨大蒜获利/百元百元2.22.12【分析】题【分析】题(1)(1)(1)中要全面把握三个条件：共用中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t 100t；每种大蒜不少；每种大蒜不少于一车于一车..由题意可以列出方程和不等式.题(2)(2)中运输公司的利润中运输公司的利润M 是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和. 【解】【解】(1)(1)(1)∵用辆车装运甲种大蒜∵用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜，∴装运丙种大蒜的车辆为(10(10――――――))辆. 根据题意，得――＝100100，， 化简，得＝－＋10.∵每种大蒜不少于一车， ∴ ≥1，≥1. 解之得解之得 ≤≤≤≤≤≤. . (2) 根据题意，得M ＝＋＋―― ＝＋－－－ ＝－＝－∵－∵－∴M 随的增大而减小随的增大而减小. . 又∵≤≤∴当＝时M 有最大值有最大值. . ∴M 最大＝－＝（百元）此时相应的车辆分配方案为：此时相应的车辆分配方案为：用用1辆车装运甲种大蒜,用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜辆车装运丙种大蒜. .【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力时候，更能反映学生全面思考问题的能力. . 例 5. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s 的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s 的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A 、B 两种型号的风力发电机两种型号的风力发电机..根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:日平均风速日发电量A 型发电机 0 ≥36 ≥150B 型发电机≥24≥90根据上面的数据回答： (1)(1)若这个发电场购台若这个发电场购台A 型风力发电机，型风力发电机，则预计这些则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 ；(2)(2)已知已知A 型风力发电机每台0.3万元万元,,B 型风力发电机每台0.2万元万元..该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元万元,,而建成的风力发电场每年的发 【分析】【分析】审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A 型发电机一年有60d 的日发电量≥150,150,有有100d 的日发电量≥36,36,则可求出一台则可求出一台A 型发电机的年发电量(最小值).题(2)(2)要求提出符合条件的购机方案要求提出符合条件的购机方案,因此因此,,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套方案可能不止一套. . 【解】【解】(1)12600 (1)12600 (2)设购A 型发电机台，则购B 型发电机－台型发电机－台. . 根据题意，得 ≤≥解之得：≤≤∴可购A 型发电机5台，则购B 型发电机5台；或购A 型发电机6台，则购B型发电机4台.【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善于从中找出解题所需要的有效信息，构建相应的数学模型相应的数学模型. . 【复习建议】【复习建议】 1、 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握不等式立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握不等式((组)的基本知识、基本方法和基本技能和基本技能. .2、多样化题型的适应性训练，重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化不等式(组)思想和方法的渗透、总结和方法的渗透、总结..增强学生自觉运用不等式增强学生自觉运用不等式((组)模型解决现实生活中的数学问题的意识和能力能力. .3、注重知识间的联系，将不等式、注重知识间的联系，将不等式((组)知识与函数知识、方程知识与函数知识、方程((组)知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质生综合运用数学知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质. .中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。