2012中考数学复习精讲--第四单元三角形(二)

（备战中考）某某省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）三角形（多边形）的有关概念◆考点聚焦1．了解三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，•并能按要求进行分类． 2．掌握三角形的角平分线、高线、中线的作法，并注意其图形、式子、•文本语言三者之间的相互转化及简单应用．3．了解三角形的稳定性．4．了解三角形的内角和与外角和，掌握三角形内角与外角的关系．5．了解多边形的内角和与外角和．6．掌握三角形三边间的不等关系．7．了解平面图形的镶嵌．8．能用三角形、四边形、正六边形等进行平面镶嵌设计．◆备考兵法1．在运用三角形内、外角和定理、多边形的内、•外角和定理及正多边形的定义与性质解决有关计算或推理问题时，要注意运用方程思想、化归思想等．2．熟练运用不等式（组）的知识和三角形三边的关系，•解决已知三角形的两边的长度，确定第三边上中线的取值X围或求周长；在求第三边上中线的取值X围时，要注意通过旋转把AB，AC与AM转化到一个三角形中来解决．如：△ABC中，•AB=6，AC=4，则BC边上的中线AM的取值X围为1<AM<5．3．用多边形（规则图形、不规则图形）进行平面镶嵌时，•要注意满足的条件．4．运用三角形三边的不等关系解决问题时，要分类讨论．◆识记巩固1．三角形是_____________．2．三角形的内角和是______，三角形的外角和是______．3．多边形的内角和是______，多边形的外角和是______． 4．三角形三边的关系是__________．5．三角形的分类：（1）按角分：___________ ______________________ __________________⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩（2）按边分：______________________ _____________________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩6．三角形的中位线性质：____________．7．只用一种正多边形可以铺满地板的有：__________．8．三角形的一个外角等于_____________；三角形的一个外角等于_______________．识记巩固参考答案:1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形2．180•° •360°3．（n-2）．180° 360°4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边5．（1）斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形（2）•不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形6．•三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半7．正三角形，正方形，正六边形8．•与它不相邻的两个内角的和与它不相邻的任何一个内角◆典例解析例1 （2011某某，16，4分）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE//AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝_________．【答案】54°例2已知a ，b ，c 为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a ，b ，c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．•以上符合条件的正确结论是_______．解析 因为a ，b ，c 是正整数且a+b+c=12．依据三角形任意两边之和大于第三边，并设a 为三角形的最大边，则4≤a<6．（1）当a=b=c=4时，△ABC 是等边三角形．（2）当a=b>c 时，a=b=5，c=2时，△ABC 是等腰三角形．（3）当a>b>c 时，即a=5，b=4，c=3时，△ABC 是直角三角形．所以正确的结论有①②③．答案 ①②③例2 已知D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在BC•边上的点F 处，若∠B=50°，则∠BDF=_______．解析 ∵△DEF 是由△ADE 沿直线DE 折叠得到的，∴△ADE ≌△FDE ．∴∠1=∠2．又D 是AB 的中点，A 点落在BC 上，连结AF ，可知，DE 垂直平分AF ．∴DE 是△ABC 的中位线，即DE ∥BC ．∴∠1=∠B=50°．∴∠2=50°．∴∠BDF=180°-50°-50°=80°．ED C BA答案 80°拓展变式1 如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°，则∠A等于_______度．解析方法一：∵△A′B′C′是△DAE沿DE折叠而得到的．∴△DA′E≌△DAE．∴∠3=∠4，∠5=∠6．又∵∠1+∠3+∠4=180°，∠2+∠5+∠6=180°，∠1+∠2=100°，∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°-100°，即∠3+∠4+∠5+∠6=260°，∴∠3+∠5=34562∠+∠+∠+∠=130°，∠A=180°-∠3-∠5=180°-130°=50°．方法二：连结AA′，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”知：∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A．∵∠DA′A+∠EA′A+∠DAA′+∠EAA′=2∠DAE．∴∠1+∠2=2∠DAE．∴∠DAE=1210022∠+∠︒==50°．答案 50拓展变式2 如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A，B落在四边形EFCD内，试探究∠A+∠B与∠1+∠2之间存在着怎样的数量关系，证明你的结论．解析∠A+∠B=180°+12（∠1+∠2）．依题意知∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠3+∠4+∠1=180°，即2∠4+∠1=180°．∠5+∠6+∠2=180°，即2∠6+∠2=180°，∴2∠4+∠1+•2∠6+∠2=360°．又∵∠4+∠6+∠A+∠B=360°，∴2∠4+2∠6+2∠A+2∠B=720°．∴2∠A+2∠B-（∠1+∠2）=360°，∴∠A+∠B=180°+12（∠1+∠2）． 点评 在复习教与学的过程中，经过一题多变，揭示图形知识间的内在联系，寻找解题规律与方法．这样可以从不同角度复习三角形的有关知识，提高运用知识解决问题的能力．2011年中考真题一、选择题1. （2011某某某某，10，4分）如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 5【答案】C 2. （2011某某滨州，5，3分）若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是( )A. 1B. 5【答案】B3. （2011某某某某，3，3分）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ 等于A ．30° B．45° C．60° D ．75°图3【答案】D 4. （2011某某某某，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】B5. （2011某某义乌，2，3分）如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是（ ）A ．2cmB ．C ．D ．1cm【答案】B6. （2011某某台北，23）如图(八)，三边均不等长的ABC ∆，若在此三角形内找一点O ，使得OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的面积均相等。

第13讲（全等）三角形及其性质☞【基础知识归纳】☜☞归纳1。

三角形中的三条主要线段⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做角平分线⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做中线⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高(简称高）☞归纳2.三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．☞归纳3。

三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．☞归纳4。

三角形的内角和定理及推论⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于 180°．⑵三角形外角的性质:①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．☞归纳5.三角形的分类①按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形②按角分：三角形分为锐角三角形，直角三角形 , 钝角三角形。

☞归纳6.全等三角形⑴能够完全重合的两个图形就是全等图形；能够完全重合的两个三角形就是全等三角形⑵全等三角形的对应边相等，对应角相等．⑶全等三角形的对应线段（对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)相等⑷全等三角形的周长相等,面积相等☞归纳7。

三角形全等的判定定理：①边边边定理：（可简写成 SSS ）②边角边定理：(可简写成 SAS )③角边角定理：（可简写成 ASA ）④角角边定理:（可简写成 AAS ）⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成 HL ）☞【常考题型剖析】☜☺题型一、三角形的边和角【例1】（2016岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A. 2cm,3cm,5cmB. 7cm，4cm，2cmC。

3cm,4cm，8cm D. 3cm,3cm，4cm【答案】D【分析】选项A，因为2+3=5，所以不能构成三角形，错误；选项B,因为2+4＜6，所以不能构成三角形，错误;选项C,因为3+4＜8，所以不能构成三角形,错误；选项D，因为3+3＞4，所以能构成三角形,正确．【例2】(2015滨州) 在△ABC中，∠A：∠B:∠C=3： 4： 5，则∠C等于( ) A。

(备战中考)中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)解直角三角形及其应用♦考点聚焦1 •掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点.2 •了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，？怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点.♦备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，？工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.注意：(1)准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.(2)将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.(3)在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，？从而转化为解直角三角形的问题.♦识记巩固1 .直角三角形的边角关系：在Rt △ ABC 中，/ C=90°, a, b, c 分别是△ ABC 中/A,/ B,Z C 的对边.2 2(1)___________________________ 三边之间的关系：a +b=;(2)两锐角之间的关系：/ A+/ B= ________ ;(3)__________________________________ 直角三角形斜边上的中线等于;(4)_________________________________________ 在直角三角形中，30°角所对的边等于____________________________________________________ .2 .解直角三角形的四种类型：已知条件解法c= ____ ,两条直角边a、b tanA= ____ ,/ B= _____ .b= ____ ,一条直角边a和斜边c sinA= ___ ,/ B= ____ .东（西）XX 度”或“南偏东（西）XX 度”来描述. 识记巩固参考答案1.( 1) 2c (2) 90°(3) 斜边的一半(4) 斜边的一半2. ； a 2b 2a 90 ° -/ A2 2c -aa 90 ° -Z A a/ 2 2 \ c - abcsin A90° - -/ A c • sinA ，c 2 2-a 90 ° --Z A3 .垂直高度h 和水平宽度L 水平面4. 仰角？俯角5. 小于90°♦典例精析例1 （2011山东威海，23, 10分）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上,【答案】 解：过点B 作BM 丄FD 于点M .在厶 ACB 中，/ ACB=90° , / A=60° ,AC=10, •••/ ABC=30° , BC=AC tan60° =10、、3, •/ AB // CF ，•/ BCM=30°一条直角边a 和锐角A斜边c 和锐角Ac= ______ ,b= ______ , / B= ______ a= ______ ,b= ______ , / B= ______3 .坡面的 _________ 的比叫坡度i （?也叫坡比） ?, ?坡度越大, ?坡面越陡; ?坡面与_____ 的夹角，用 a 表示， tan a=i=4 .视线在水平线上方的角叫做 ____________ ;视线在水平线下方的角叫5 .方向角：正北或正南方向与目标方向线所成的_______ 的角叫方向角，？常用"北偏,A C=10,试求CD 的长.,/ A =60••• BM 二BC sin30 =10、.3 ；CM 二BC cos30 =10、、3 '3 =15 2在厶EFD 中，/ F=90° , / E=45° ,•••/ EDF=45° ,•MD = BM =5 J3 .•CD 二CM -MD =15 -5、、3 .例2 （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。

模块四三角形第二讲一般三角形及性质知识梳理夯实基础知识点1：三角形的性质1.概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。

（三角形具有稳定性）2.分类3.三边的关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．4.内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．知识点2：三角形中的重要线段图形特征性质备注知识点3：与三角形有关的直线垂1直击中考 胜券在握 1．（2021·宜宾中考）若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a 的取14AEF ABC S S =值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得5353a -<<+，即28a <<，则选项中4符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 2．（2021·宿迁中考）如图，在△ABC 中，△A =70°，△C =30°，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，DE △AB ，交BC 于点E ，则△BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B 【分析】由三角形的内角和可求∠ABC ，根据角平分线可以求得∠ABD ，由DE //AB ，可得∠BDE =∠ABD 即可． 【详解】 解：∠∠A +∠C =100° ∠∠ABC =80°， ∠BD 平分∠BAC ， ∠∠ABD =40°， ∠DE ∠AB ， ∠∠BDE =∠ABD =40°， 故答案为B ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．3．（2021·陕西中考）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B 【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒， ∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒； 故选B ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．4．（2021·辽宁本溪中考）一副三角板如图所示摆放，若180∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．80°B ．95°C ．100°D ．110°【答案】B 【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，∠A =90°-30°=60°，∠∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∠∠3=∠4=35°，∠∠2=∠A +∠4=60°+35°=95°， 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．5．（2021·广东惠州一中一模）已知三角形三边为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足|6|0a -=，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．8c > B ．814c <<C ．68c <<D ．214c <<【答案】B 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a ，b 的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围． 【详解】解：根据题意得：60a -=，80b -=， 解得6a =，8b =，因为c 是最大边，所以868c <<+， 即814c <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可．6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C 【分析】过点O 作OE AC ⊥于点E ，作OF AB ⊥于点F ，作OG BC ⊥于点G ，先根据角平分线的性质可得OE OF OG ，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点O 作OE AC ⊥于点E ，作OF AB ⊥于点F ，作OG BC ⊥于点G ，,,OA OB OC 是ABC 的三条角平分线， OE OF OG ∴==，::::20:30:402:3:4ABOBCOCAOAB B SC CA SS∴===，故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．7．（2019·江苏扬州中考）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( ) A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D 【分析】分n+8与3n 最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案. 【详解】 ∠n+2<n+8，∠分n+8最大与3n 最大两种情况，当n+8最大时，23883283n n n n n n n n +++⎧⎪+-+⎨⎪+≥⎩＞＜，解得 ：2<n≤4， 又∠n 为正整数， ∠n=3，4；当3n 最大时，28338238n n n n n n n n ＞＜+++⎧⎪--+⎨⎪≥+⎩解得：4≤n<10， 又∠n 为正整数， ∠n=4，5，6，7，8，9，综上：n 的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能， 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键.8．（2021·安徽中考）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ） A ．2CD ME = B ．//ME AB C ．BD CD = D ．ME MD =【答案】A 【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∠AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥， ∠HC =HF ， ∠AF =AC ．∠在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()CAE FAE SAS ≅， ∠CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°， ∠C 、E 、F 三点共线， ∠点E 为CF 中点． ∠M 为BC 中点， ∠ME 为CBF 中位线，∠//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∠在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠()AGD ABD ASA ≅， ∠12GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∠在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∠12CD BG =， ∠CD BD =，故C 正确，不符合题意；∠90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠， ∠HDM HCE ∠=∠． ∠HF AB ⊥，//ME AB ， ∠HF ME ⊥，∠90HEM EHF ∠+∠=︒． ∠AD 是BAC ∠的平分线， ∠EHC EHF ∠=∠． ∠90EHC HCE ∠+∠=︒， ∠HCE HEM ∠=∠， ∠HDM HEM ∠=∠，∠MD ME =，故D 正确，不符合题意； ∠假设2CD ME =， ∠2CD MD =，∠在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∠无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意． 故选A ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．9．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线，50BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，则EAD ∠的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义求得∠BAE 的度数，然后利用三角形内角和求得∠BAD 的度数，从而可求∠EAD 的度数． 【详解】解：在ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的角平分线，50BAC ∠=︒，∠∠BAE=1252BAC ∠=，∠ADB=90°又因为60ABC ∠=︒ ∠∠BAD=180°-∠ADB -∠ABC=30°∠EAD=∠BAE-∠BAD=5°故选：A．【点睛】本题考查三角形角平分线和三角形高线的定义及三角形内角和定理，题目比较简单，正确推理计算是解题关键．10．（2020·山东省淄博中考）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD△BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∠AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∠点F为∠ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∠AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∠AD∠BE，∠∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt∠AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt∠AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt∠BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∠4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．11．（2021·四川省宜宾中考）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB ＝AC＝10，BC＝12，则tan△OBD的值是（）A．12B．2CD【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD∠BC，BD=12BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得106AB AOBD OD==，进而即可求解．【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∠AD∠BC，BD=12BC=6，∠AD8，过点O作OF∠AB，∠BE平分∠ABC，∠OF=OD，∠1212AOBDOBAB OFS AO ABS OD BDBD OD⋅===⋅∠106AB AOBD OD==，即：8106ODOD-=，解得：OD=3，∠tan∠OBD=3162 ODBD==，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出AB AO BD OD=，是解题的关键．12．（2021·湖南怀化三模）如图，已知在ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D ．若6AB =，9AC =，则ABD △的周长是________．【答案】15【分析】直接利用垂直平分线的性质，得出DB =DC ，再利用等量代换即可求得三角形的周长．【详解】解：∠DE 是BC 的垂直平分线，∠DB DC =,∠ABD △的周长=AB AD BD AB AD CD ++=++6915AB AC =+=+=,故填：15．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13．（2021·青海中考）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，若DEF 的周长为10，则ABC 的周长为______．【答案】20根据三角形中位线定理得到AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∠∠DEF的周长为10，∠DE+EF+DF=4，∠D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∠AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，∠∠ABC的周长=AC+AB+BC=2（DE+EF+DF）=20，故答案为：20．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，△A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分△ABC，则BCD 的面积为____________．【答案】15 2【分析】过点D作DE∠BC于点E．根据BD平分∠ABC，DE∠BC，AD∠AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面积S∠BCD=12BC•DE=7.5即可．【详解】解：如图，过点D作DE∠BC于点E，∠∠A=90°，∠AD∠AB，∠BD平分∠ABC，DE∠BC，AD∠AB，又∠BC =5，∠S ∠BCD =12BC •DE =12×5×3=7.5．故答案为7.5．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，掌握角平分线性质，三角形面积是解题关键． 15．（2021·河北中考）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∠∠A +∠B =50°+60°=110°，∠∠ACB =180°-110°=70°，∠∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∠∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∠∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF +30°+∠ECF =50°+∠DCE =50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°， 因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．16．（2021·山东聊城中考）如图，在△ABC中，AD△BC，CE△AB，垂足分别为点D和点E，AD 与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．【答案】12:15:10【分析】由题意得：BF∠AC，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF===，进而即可得到答案．【详解】解：∠在∠ABC中，AD∠BC，CE∠AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，∠BF∠AC，∠AB＝5，BC＝4，AC＝6，∠111222ABCS BC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅，∠5432ABCS AD CE BF===，∠CE：AD：BF=12:15:10，故答案是：12:15:10．【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．。