2012年中考数学复习 第一章数与式 第2课整式及其运算

解析：－4xay＋x2yb＝－3x2y，可知－4xay， x2yb，－3x2y是 同类项，则a＝2，b＝1，a＋b＝3.
探究提高
1.判断同类项时，看字母和相应字
母的指数，与系数无关，也与字母的
相关位置无关，两个只含数字的单项
式也是同类项． 2.只有同类项才可以合并．
知能迁移2 为(
(1)单项式－xa＋bya－1与3x2y是同类项，则a－b的值 B．0 C．－2 D．1
如(x－2y)(2x＋y)，那么不能应用乘法公式简化运算；如果都
能对应相同，如(x－2y)(－x－2y)，和(x－2y)(2y－x)，那么， 一定能运用乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2或(a±b)2＝a2±2ab
＋b2简化运算．
失误与防范
1. 没有规矩，不成方圆．数学知识是由一个个规则构成的，在书
C．a5
C
)
D．a6
解析：a4· 3÷a2＝a4＋3－2＝a5，选C. a
2 2·(－x)3· 2＝________. (2)计算－x (－x)
x
解析：－x2· (－x)3· (－x)2 ＝－x2· 3)·2 (－x x ＝x2·3·2＝x7. x x
探究提高
1.幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解 题时要明确运算的类型，正确运用法则． 2.在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 知能迁移3 (1)(2011· 威海)下列运算正确的是(
Байду номын сангаас
相同的项，叫做同类项．
6．整式乘法：
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积 的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作 为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝ 7．乘法公式： (1)平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (2)完全平方公式： (a±b)2＝a2±2ab＋b2 . .
3．(2011· 盐城)已知a－b ＝1，则代数式2a－2b － 3的值是( ) A
A．－1
B．1
C．－5
D．5
解析：2a－2b－3＝2(a－b)－3＝2×1－3 ＝－1，整体a－b＝1 代入求值较简便．
D
4．(2011· 苏州)若m·23＝26，则m等于( A．2 B．4 C．6 D．8
)
解析：m·23＝26，故m＝26÷23＝23＝8.
③(am＋1)2＝a(m＋1)×2＝a2m＋2.
④(－2a2b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2.
⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3
＝(n－m)3.
批阅笔记 幂运算的基本运算形式有四种，每种
基本形式的运算法则不同，应分清问题所对应的
基本形式，以便合理应用法则，易错的还有符号
的处理，应当特别引起重视.
(2)已知x－y＝7，x＋y＝5，求xy的值．
解：(2)∵x－y＝7，x＋y＝5，
又∵(x＋y)2－(x－y)2＝4xy，
∴4xy＝52－72＝25－49＝－24， ∴xy＝－6.
易错警示
2．幂运算易出现的错误 试题 计算①x3·x5；②x4·x4；③(am＋1)2； ④(－2a2·b)2；⑤(m－n)6÷(n－m)3. 学生答案展示 ①x3·x5＝x3×5＝x15.②x4·x4＝2x4.
C．－2(a－b)＝－2a－2b
D．－2(a－b)＝－2a＋2b
解析：－2(a－b)＝－2a＋2b，去括号法则，利用分配律，选D.
(3)计算：3(2xy－y)－2xy 解：3(2xy－y)－2xy＝6xy－3y－2xy ＝4xy－3y
探究提高
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先
去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
几种变形：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
(2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
(3)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(4)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
注意公式的变式及整体代入的思想．
知能迁移5
(1)(2011· 衡阳)先化简，再求值： 1 (x +1)2＋x(x -2)，其中x＝－ ； 2 解：(1)原式＝x2＋2x＋1＋x2－2x＝2x2＋1， 1 当x＝－ 时， 2 1 3 1 2 原式＝2×(－ ) ＋1＝ ＋1＝ . 2 2 2
3．整体代换思想求代数式的值
在求代数式的值时，一般先化简，再把各个
字母的值代入求值，有时题目并未给出各个字
母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把
这几个式子看作一个整式，把多项式化为含有
这几个式子的代数式，再代入求值，运用整体 代换思想，往往可使问题简化．
基础自测
1．(2011· 宁波)下列计算正确的是( ) A．(a2)3＝a6 B．a2＋a2＝a4 C．(3a)·(2a)＝6a D．3a－a＝3
1．正确理解相关代数式的概念
由于对已学的几种代数式认识模糊，导致出现
判断失误．这些代数式有：单项式、多项式、整
式、同类项．
2．正确进行代数式的变形和化简 在代数式范围内，由于掌握的基本技能不熟练， 导致出现一系列代数式的列式、变形和计算化简 的错误．这些技能包括：将语言转化为代数式，
整式的运算，乘法公式的应用等．
A
解析：(a2)3＝a2×3＝a6， 正确理解“幂的乘方”法则．
2．(2011· 泰安)下列运算正确的是( ) A．3a2＋4a2＝7a4 B．3a2－4a2＝－a2 C．3a2·4a2＝12a2 D．(3a2)3÷4a2＝a2
B
解析：3a2－4a2＝(3－4)a2＝－a2，正确理解 “合并同类项”法则．
5．(2011· 聊城)如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 n个图形需要围棋子的枚数是( C )
A．5n
B．5n－1
C．6n－1
D．2n2＋1
解析：第1个图形所需的棋子数为5＝6×1－1， 第2个图形所需的棋子数为11＝6×2－1. 第3个图形所需的棋子数为17＝6×3－1， „„ 第n个图形所需的棋子数为6n－1.
写上、应用中都要依照规则，以免疏漏或出错；如数字与字母 相乘，要省略乘号，并把数字写在字母的前面，若数字是带分
数的，要化成假分数；数字与数字相乘时，不能省略乘号或用
“ · ”来代替乘号；除法运算要写成分数形式． 2. 列代数式就是把文字语言表述的数量或数量关系用数学式子表
示．在列代数式时，要正确分清数量关系和运算顺序．对代数
D)
A．a3· 2＝a6 a
B．(x3)3＝x6 C．x5＋x5＝x10 D．(－ab)5÷(－ab)2＝－a3b3 解析：(－ab)5÷(－ab)2＝(－ab)3＝－a3b3.
9a9 (2)计算：(3a2)2·a5＝________； y (y3)2÷y5＝________； －(－2a2)4＝________. －16a8 解析：(3a2)2·a5＝9a4·a5＝9a9； (y3)2÷y5＝y6÷y5＝y； －(－2a2)4＝－(－2)4·(a2)4＝－16a8.
探究提高
注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，
另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得 式子化简，即合并同类项，再代值计算．
(1)(2011· 温州)化简：a(3＋a)－3(a＋2)． 解：(1)a(3＋a)－3(a＋2) ＝3a＋a2－3a－6 ＝a2－6.
(2)已知x2－5x＝14，求(x－1)(2x－1)－ (x＋1)2＋1的值．
ma＋mb
. .
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝
ac＋ad＋bc＋bd
8．整式除法： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂 分别相除，作为商的因子，对于只在被除 式里含有的字母，连同它的指数作为商的 一个因式．多项式除以单项式，将这个多 项式的每一项除以这个单项式，然后把所 得的商相加．
[难点正本 疑点清源]
题型四 【例4】
整式的混合运算及求值 (本题5分)先化简，再求值：
3x(x2－x－1)－(x＋1)(3x2－x)，其中x＝－ 1 . 2 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：原式＝3x3－3x2－3x－(3x3－x2＋3x2－x) ＝3x3－3x2－3x－3x3＋x2－3x2＋x ＝－5x2－2x. [3分] 1 1 1 当x＝－ 时，原式＝－5×(－ )2－2×(－ ) 2 2 2 ＝－ 5 ＋1＝－ 1 [5分] 4 4 [2分]
知能迁移1 (1)(2011· 义乌)下列计算正确的是( A．x2＋x4＝x6 C．x6÷x3＝x2 解析：(x3)2＝x3×2＝x6. B．2x＋3y＝5xy D．(x3)2＝x6
D )
(2)(2011· 台北)化简(－4x＋8)－3(4－5x)，
可得下列哪一个结果？ (
A．－16x－10
) D B．－16x－4 D．14x－10
式的列法，首先要分清运算顺序，注意代数式中有哪些数与字 母，它们中有哪些运算，哪些运算是先做的，哪些运算是后做 的，哪些运算是先得出“积”、“商”的，然后再用运算符号 及括号把这些数或字母连接起来．
题型分类 深度剖析 题型一 整式的加减运算
D．4a4
【例1】 (1)计算：a2＋3a2＝( B ) A．3a2 B．4a2 C．3a4
解析：a2＋3a2＝4a2，合并同类项，只 是把系数相加减，字母及字母的指数 均不变，选B.
(2)下列运算正确的是( D )
A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋b
C．56x－40
解析：原式＝－x＋2－12＋15x
＝14x－10.
题型二
同类项的概念及合并同类项
【例2】 (1)若单项式2x2ym与－xny3是同类项，则m＋n的值 是________． 5 解析：根据同类项的意义， 有n＝2，m＝3，则m＋n＝5.
(2)若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝________. 3
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1. 整式是初中数学的主要内容，整式的乘除法是整式的重要运算，
要明确运算的类型，不要混淆．乘法公式的运用是本节的重点， 也是难点，要熟练掌握它的各种变化，在今后的代数计算中还
会经常遇到．
2. 应用公式时，要注意：一个二项式的两项，和另一个二项式的 两项，如果系数(只指其绝对值)、字母及其指数不能都对应相同，
③(a2m＋1)2＝a2m＋1.④(－2a2b)2＝－22a4b2.
⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3.
剖析
幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘
方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算 的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那 样的错误．
正解
①x3·x5＝x3＋5＝x8. ②x4·x4＝x4＋4＝x8.
解：(2)(x－1)(2x－1)－(x＋1)2＋1 ＝(2x2－3x＋1)－(x2＋2x＋1)＋1 ＝x2－5x＋1， 当x2－5x＝14时，原式＝14＋1＝15.
题型五
乘法公式
【例5】
(1)计算(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2的值， 1 其中a＝3，b＝－ ； 2 解：(1)(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2 ＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab， 1 当a＝3，b＝－ 1 时，原式＝2×3×(－ )＝－3. 2 2 (2)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，且x>y，求x－y的值．
解：(2)∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，
∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24， ∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1.
∵x>y，∴x－y＝ 1 ＝1.
探究提高
1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，
任何时候都要遵循先化简，再求值的原则.
2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下
A)
A．2
解析：因为a＋b＝2且a－1＝1，所以a＝2，b ＝0，a－b＝2， 选A.
(2)下列各式中，与x2y是同类项的是(
A．xy2 B．2xy C．－x2y
C)
D．3x2y2
解析：－x2y与x2y，相同字母的指数相同，选C.
题型三
【例3】
幂的运算
(1)计算a4·a3÷a2＝(
A．a3
B．a4
第2课 整式及其运算
要点梳理
1．单项式：由 数与字母 或 字母与字母 相乘组成的代数式叫 做单项式，所有字母指数的和叫做 单项式的次数 ，数字因 数叫做 单项式的系数 ． 2．多项式：由几个 单项式相加 组成的代数式叫做多项式，多 项式里次数最高的项的次数叫做这个 多项式的次数 ，其中不 含字母的项叫做常数项． 3．整式： 单项式和多项式 统称为整式． 4．同类项：多项式中所含 字母 相同并且 相同字母的指数 也