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九．几何应用题几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。
一、三角形在实际问题中的应用例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90º，AC=80米，BC=60米。（1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？ C分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路线即为线段CE。B2．水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。AED 本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE。2222 在Rt△ABC中，AB=。（米）
∴CE=AB=×100=50（米）。22即从入口E到出AC BC 80 60 10011
口C的最短路线的长为50米。（3）当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。AC BC60 80 ∵CD•AB=AC•BC，
∴CD=米）。 48(AB1002222∴AD==64（米）。所以，D点在距A点
64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为
元。 例2．一块直角三角形木板的一条直角
AC CD 80 484810=480
边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正
方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过
的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算
结果中的分数B可保留）。 DF ACE 分析：本题是
一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，
利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。 1
解：由AB=1.5米，S=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，
∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,△ABCCDDE2 xx6∴，即，解得。如图，过点B
作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。x 7CBAB21.5由
AB＝1.5米，BC＝2米，C＝2.5米，BH＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，
∵DE//AC，平方米，S＝1. 5△ABC1.2 yyBPDE3063022Rt△BDE∽Rt△BAC，∴，
即，解得。因为，即，，所以甲x yx y y 737BHAC1.22.537同学的
加工方法符合要求。 B PED AC二、几何设计问题 GHFCABBC例3.在一服
装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测
得∠＝90°，＝ABC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的
玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△的边上，ABC且扇形与△的其他边相切。
请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图
形，并直接写出扇形半径）。分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图
能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑
圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。解：可以设计如下四
种方案： AA r 22r 4 12AA r 2 3Or 42 4CCBB4 CBOCB 例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设
计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。方案一方案二
方案三方案四 2
分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再
分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。解：三、折
线运动问题例5. 如图，客AB轮沿折线—CA—从出发经BC再到
匀速航ACD行，货轮从的中点出发沿直线匀速航行，将一批物品送
达客轮．两船同时起航，并同时到达折线ABCEABBCABC——上的某点处．已知＝＝200海里，∠＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍． E (1) 选择：两船相遇之处点在 ( )． ABBCABBC（A）线段上（B）线段上（C）可以在线段上，也可以在线段上(2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号) 分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE A B解：（1） x（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了海里．D DDFCBFDEDExAB BEx过作⊥，垂足为，连结．则=，+=2．ABCABBCDAC∵在等腰直角三角形中，＝＝200，是中点， DFEFx∴＝100，＝300－2． C B 222DEFDE DF EF 在Rt△中，＝+，A22 2 x x∴＝100 +(300－2) 1006解之，得． x 200 D31006∵＞200， 200 BCF3E1006DE∴=． 200 3100海里．答：货轮从出发到两船相遇共航行了6)(200 3四、综合类几何应用 3
o例6 .如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ N A 分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题 P 要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN M Q 的距离AB，当此AB≤100米时就要受到噪声影响；第二个问题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间。N解：过点A作AB⊥MN，垂足为B A在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°AP=160米PBQD1则AB=AP=80米，所以M2C学校会受到噪声影响。以A为圆心，100米为半径作☉A,交
