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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练：专题2 第2讲 三角变换与解三角形]

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专题二 第二讲一、选择题1．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0，∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3[答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 3．(文)在△ABC 中，已知b ·cos C ＋c ·cos B ＝3a ·cos B ，其中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则cos B 的值为( )A.13 B ．－13C.223 D ．－223[答案] A[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， ∴sin A ＝3sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝13.(理)(2013·东北三省四市联考)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－23B.22C.12D ．－12[答案] B[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22，故选B.4．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] A[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.故选A.[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．(2014·哈三中二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且a 2－c 2＝2b ，tan Atan C＝3，则b 等于( )A ．3B ．4C ．6D ．7[答案] B[解析] ∵tan Atan B ＝3，∴sin A cos C ＝3sin C cos A ，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝4sin C cos A ，∴b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＝2(a 2－c 2)＝4b ，∵b >0，∴b ＝4.6．(文)函数y ＝cos(x ＋π2)＋sin(π3－x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于点(π6，0)对称B ．最大值为3，图象关于点(π6，0)对称C ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称D ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称[答案] B[解析] y ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝－3(32sin x －12cos x )＝－3sin(x －π6)， ∴最大值为3，图象关于点(π6，0)对称．(理)给出下列四个命题：①f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π； ④函数f (x )＝sin(x ＋π4)在[－π2，π2]上是增函数．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)知，函数的最大值为2，正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．二、填空题7．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)·cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝15 3.8．(文)(2014·新课标Ⅱ理，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．[答案] 1[解析] ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)·cos φ＋cos(x ＋φ)·sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)·cos φ－cos(x ＋φ)·sin φ ＝sin x ≤1. ∴最大值为1.(理)(2014·天津理，12)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [答案] －14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ， 又∵b －c ＝14a ，∴b ＝34a ，c ＝12a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a 22×34a ×12a＝－14.9．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． [答案] π6[解析] 由已知可得(AB →－3AC →)·CB →＝0，AB →·CB →＝3AC →·CB →，由数量积公式可得ac cos B ＝3ab cos(π－C )＝－3ab cos C ，可化为c cos B ＝－3b cos C ，由正弦定理可得sin C cos B ＝－3sin B cos C ，化简得sin A ＝－2sin B cos C ，可得cos C <0，角C 为钝角，角A 为锐角，又sin A ＝sin(C －B )－sin(C ＋B )，即有sin A ＝12sin(C －B )≤12，综上，0<A ≤π6，A 的最大值为π6.三、解答题10．(文)(2014·山东文，17)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． [解析] (1)∵cos A ＝63.0<A <π.∴sin A ＝33. 又B ＝A ＋π2.∴sin B ＝sin(A ＋π2)＝cos A ＝63.又a ＝3.∴由正弦定理得． a sin A ＝b sin B 即333＝b 63∴b ＝3 2.(2)∵cos B ＝cos(A ＋π2)＝－sin A ＝－33，∴在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×(－33)＋63×63＝13∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.(理)(2013·陕西理，16)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π(2)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.一、选择题11．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴AC ＝5， 由正弦定理，AC sin B ＝BCsin A ，∴sin A ＝BC sin BAC ＝3×225＝31010.12．(文)(2014·东北三省三校二模)已知方程|cos x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos2α＝2αsin 2αC ．sin2β＝－2βsin 2βD ．cos2β＝－2βsin 2β[答案] C[解析] 令y ＝|cos x |，y ＝kx ，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．∵α<β，∴0<α<π2，π2<β<π，检验可知，选C.(理)(2014·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[答案] C[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法． 解法1：当2α－β＝π2时，β＝2α－π2，所以1＋sin (2α－π2)cos (2α－π2)＝1－cos2αsin2α＝2·sin 2αsin2α＝tan α.解法2：∵tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)，∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.13．已知函数f (x )＝1＋cos2x －2sin 2(x －π6)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )是最小正周期为π的偶函数B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π3C ．f (x )的最大值为2D ．将函数y ＝3sin2x 的图象左移π6得到函数f (x )的图象[答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋cos(2x －π3)＝cos2x ＋12cos2x ＋32sin2x＝3sin(2x ＋π3)，故选D.14．(文)函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由题意得f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin[(x ＋π3)－π2]＝sin(x ＋π3)－a cos(x ＋π3)，若x ＝π2是函数f (x )的图象的一条对称轴，则由对称轴的意义可得f (π2)＝cos π3＋a sin π3＝1＋a 2，解得a ＝ 3.(理)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x <y C ．x >y D ．x ≥y[答案] C[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B ) ＝cos(π－C )＝－cos C ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos C >0， ∴y －x <0，∴y <x .15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π2个单位可得到g (x )的图象；②y ＝f (x )g (x )是偶函数；③y ＝f (x )g (x )是以π为周期的周期函数；④对于∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使f (x 1)>g (x 2)． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] ∵f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，∴将f (x )的图象向右平移π2个单位，可以得到g (x )的图象，故①为真命题；又y ＝f (x )·g (x )＝sin 2x －cos 2x＝－cos2x 为偶函数，故②为真命题；y ＝f (x )g (x )＝sin (x ＋π4)sin (x －π4)＝sin (x ＋π4)－cos (x ＋π4)＝－tan(x ＋π4)，故其最小正周期为π，∴③为真命题；取x 1＝5π4，则f (x 1)＝2sin(5π4＋π4)＝－2，∵∀x 2∈R 都有g (x 2)≥－2，∴不存在x 2∈R ，使f (5π4)>g (x 2)，故选C.二、填空题16．(文)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin A sin B ＋sin 2B ，a ＝23b ，则角C ＝________. [答案] π6[解析] 由正弦定理知c 2＝3ab ＋b 2， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3ab2ab＝a －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝32， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.(理)(2014·福建理，12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2， S ＝12×23×2＝2 3. 三、解答题17．(文)(2013·浙江文，18)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．[解析] (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 b 2＋c 2－bc ＝36，即(b ＋c )2－3bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以 bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.(理)(2013·北京理，15)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A ，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223，在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.18．(文)(2014·唐山市一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且4b sin A ＝7a .(1)求sin B 的值；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos A －cos C 的值． [解析] (1)由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ， 所以sin B ＝74. (2)由已知得2b ＝a ＋c ， 由正弦定理以及(1)得， sin A ＋sin C ＝72.① 设cos A －cos C ＝x ，②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝74＋x 2.③又由条件知a ＜b ＜c ，∴A ＜B ＜C ，所以0°＜B ＜90°，cos A ＞cos C ， 故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－34，且x >0.代入③式得x 2＝74.因此cos A －cos C ＝72. (理)已知△ABC 中，a ，b, c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2＋b 2<c 2，且sin(2C －π2) ＝12.(1)求角C 的大小； (2)求a ＋bc的取值范围． [解析] (1)∵a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴π2<C <π，故π<2C <2π，由sin(2C －π2)＝12，得cos2C ＝－12， ∴2C ＝4π3，即C ＝2π3； (2)a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋sin (π3－A )sin 2π3＝12sin A ＋32cos A 32＝23sin(A ＋π3)， 由C ＝2π3，知0<A <π3，故π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin(A ＋π3)≤1， ∴23·32<a ＋b c ≤23，即1<a ＋b c ≤233.。

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2015届高三数学成才之路二轮专项复习课件1.2函数的概念、图象与性质

2015届高三数学成才之路二轮专项复习课件1.2函数的概念、图象与性质


• (2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性 质、不等式求解等综合问题． • 函数是高考数学考查的重点内容之一，函数 的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程，包括解决几何问题．在近几年的高考试 卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中 每年都有函数试题，而且常考常新．以基本 函数为背景的应用题和综合题是高考命题的 新趋势．
• (2)函数的单调性 • 函数的单调性是函数的又一个重要性质．给 定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、 x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或 减)函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间 D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左 到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区 间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则f(x)在区 间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单 调增(减)区间．
• [方法规律总结] • (1)求解函数的定义域一般应遵循以下原则： • ①f(x)是整式时，定义域是全体实数；②f(x) 是分式时，定义域是使分母不为零的一切实 数；③f(x)为偶次根式时，定义域是使被开 方数为非负值时的实数的集合；④对数函数 的真数大于零，且当对数函数或指数函数的 底数中含变量时，底数需大于0且不等于1； ⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f(x)是由 有限个基本初等函数运算合成的函数，则其 定义域一般是各基本初等函数的定义域的交 集；
核心知识整合
1．函数 对应法则f (1)映射：集合 A(A 中任意 x) ――→ 集合 B(B 中有唯一 y 与 A 中的 x 对应)． (2)函数：非空数集 A―→非空数集 B 的映射，其三要素： 定义域 A、值域 C(C⊆B)、对应法则 f.
2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形

2015届高考数学文二轮专题训练专题三第2讲三角变换与解三角形

出三角形模型．真题感悟1． (2021浙·江 )α∈R ， sin α＋2cos α＝ 10，那么 tan 2α等于 ()24 3 3 4 A. 3 B.4 C ．－4 D ．－3答案C10解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝2 ，∴sin2α·cos α＋ 25α＋ 4sin 4cos α＝2. 用降幂公式化简得： 4sin 2α＝－ 3cos 2α，∴tan 2 α＝ sin 2α3＝－ .应选 C.cos 2α 42．(2021·苏江 ) 假设△ ABC 的内角满足 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，那么 cos C 的最小值是________． 答案 6－ 24解析 由 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，结合正弦定理得a ＋ 2b ＝2c.由余弦定理得 cos C ＝ a 2＋ b 2－ c 22aba 2＋b 2－a ＋2b23a 2＋ 1b2－ 2ab＝2ab 4＝4 2 22ab2 32 1 2 － 2ab4 a b≥22 ＝6－ 2，2ab4故6－2≤ cos C<1，且 3a 2＝ 2b 2时取“＝〞． 46－ 2故 cos C 的最小值为.4押题精练1．在△ ABC 中， tanA ＋B＝ sin C ，给出以下四个结论：2① tan A＝ 1；② 1<sin A ＋ sin B ≤ 2；③ sin 2A ＋ cos 2B ＝ 1；④ cos 2 A ＋ cos 2B ＝ sin 2C. tan B其中一定正确的选项是()A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案Dsin A＋ B2sinA＋ B A＋ B22 cos2解析依题意， tan A＋B＝A＋ B ＝2A＋B2cos22cos2＝sin A＋ B＝sin C＝ sin C.1＋ cos A＋B1＋ cos A＋ B∵s in C≠ 0，∴1＋ cos(A＋B)＝ 1， cos(A＋ B)＝ 0.π∵0< A＋B<π，∴A＋ B＝，即△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形．2对于①，由tan A＝ 1，得 tan A＝ tan B，即 A＝B，不一定成立，故① 不正确；tan Bππ对于②，∵A＋ B＝，∴ sin A＋ sin B＝ sin A＋ cos A＝2sin( A＋ )，24∴1<sin A＋ sin B≤2，故②正确；π2A＋sin2A＝2sin2A，对于③，∵A＋ B＝，∴ sin2A＋ cos2B＝sin2其值不确定，故③ 不正确；π22222对于④，∵A＋ B＝，∴ cos A＋ cos B＝ cos A＋ sin A＝1＝ sin C，故④正确． 22．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a， b， c，q＝ (2a,1)，p＝ (2b－ c， cos C)，且q∥ p.(1)求 sin A 的值；(2) 求三角函数式－ 2cos 2C＋ 1 的取值X围．1＋ tan C解(1) ∵q＝ (2a,1)，p＝(2b－ c， cos C) 且q∥p，∴ 2b－ c＝ 2acos C，由正弦定理得 2sin Acos C＝ 2sin B－ sin C，又 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C，∴1sin C＝ cos Asin C.21π∵sin C≠ 0，∴cos A＝，又∵ 0<A<π，∴ A＝，23∴sin A＝32.22(2) 原式＝－ 2cos 2C＋1＝1－ 2 cos C－sin C＝ 1－ 2cos2 C＋ 2sin Ccos C＝ sin 2C－ cos 2C＝1＋ tan C sin C1＋cos C π2sin(2C－4) ，2ππ 13∵ 0< C<3π， ∴ －4<2C －4<12π，2π∴－2 <sin(2 C －4)≤ 1，π∴－ 1< 2sin(2 C －4)≤2，－ 2cos 2C 即三角函数式＋ 1 的取值X 围为 (－ 1，2]．1＋ tan C(推荐时间： 60 分钟 )一、选择题1．(2021浙·江 )为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 ()ππA ．向右平移4个单位B ．向左平移4个单位C ．向右平移 π个单位D ．向左平移π个单位1212答案 C解析因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝π2sin(3x ＋)4＝ 2sin[3( x ＋π2cos 3x ＝π12)] ，又 y ＝2sin(3x ＋2)π y ＝ 2cos 3x的图象向右平移π ＝ 2sin[3( x ＋ )]，所以应由个单位得到．612π π)2． α∈ ( ，π)， sin(α＋ )＝3，那么 cos α等于 (24527 2 A ．－10B. 102 7 27 2C ．－10或 10D ．－10答案A解析 ∵ α∈ π π3π，5 π)．( ，α)． ∴ α＋ ∈(24 4 4π 3 ∵ s in( α＋4)＝5，π4∴cos(α＋4)＝－5，π π π π 4× 2 32 ＝－ 2∴cos α＝ cos(α＋ )cos＋sin( α＋ )sin( )＝－5 ＋ ×210. 44442 5sin C2 25)3．在△ ABC 中，假设＝ 3， b － a＝ ac ，那么 cos B 的值为 (sin A211 A. 3 B.211 C.5D.4答案 D解析由正弦定理：c ＝sin C＝ 3，a sin A222 c 2－5acc 5 35 1由余弦定理： cos B ＝ a＋c － b212ac＝2ac ＝ × － ＝ －＝ .2 a 4 2444．(2021陕·西 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设 bcos C ＋ ccos B ＝asinA ，那么△ ABC 的形状为 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案B解析2，即 sin(B2由 bcos C ＋ ccos B ＝ asin A ，得 sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝ sin A ＋C)＝ sin A ，所以 sin A ＝ 1，由 0<A<π，得 πA ＝ ，所以△ ABC 为直角三角形．2 5． tan β＝4， sin(α＋ β)＝5，其中α， β∈ (0，π)，那么 sin α的值为 ()3 136333 A. 65B.651363 33C.65D.65或65答案 A解析依题意得 sin β＝ 4 ， cos β＝ 3 .注意到 sin( α＋ β)＝ 5π55 13<sin β，因此有 α＋ β>(否那么，假设α2 π π＋β≤ ，那么有 0<β<α＋ β≤，0<sin β<sin( α＋ β)，这与“ sin(α＋ β)<sin β〞矛盾 ) ，那么 cos(α＋ β)2 21263＝－ 13， sin α＝ sin[( α＋ β)－ β]＝ sin(α＋β)cos β－ cos(α＋β)sin β＝65.6．△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且 tan B ＝2－ 3→ →2 22， BC ·BA ＝1，a －b ＋c 2那么 tan B 等于 ()3A. 2B. 3－ 1 C ． 2 D ．2－ 3答案D解析→→→→由题意得， BC ·BA ＝ |BC| |BA|cos · B＝ a ccos B ＝1，即 cos B ＝1，22ac由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝ 1 ? a 2＋c 2－b 2＝1，2ac 2ac2－ 3所以 tan B ＝a 2－b 2＋c 2＝2－ 3，应选 D.二、填空题7． tanα＋ππ2sin 2α＋sin 2α4 ＝1，且－<α<0，那么π ＝ ________.22cos α－4答案 － 25 5解析由 tan α＋ π ＝ tan α＋ 1 11 4 ＝2， 得 tan α＝－ .1－ tan α 3又－π，可得 sin α＝－ 10<α<0 10 .2 2sin 2α＋ sin 2α 2sin αsin α＋ cos α故cos α－π ＝242 sin α＋ cos α＝22sin α＝－255.8．在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、b 、 c ， a 2－ c 2＝ 2b ，且 sin Acos C＝ 3cos Asin C ，那么 b ＝ ________.答案 4解析由 sin Acos C ＝ 3cos Asin C 得：aa 2＋b 2－c 2b 2＋c 2－ a 2 c，2R ·＝ 3··2ab2bc2R222＝ 22222b 2∴a＋ b － c3(b＋ c－ a )， a － c ＝，2a 2－ c 2＝ 2b解方程组：2 ，∴b ＝ 4.a 2－ c 2＝b2πππ9． 0<α<<β<π， cos(β－ )＝1， sin(α＋ β)＝4，那么 cos(α＋)＝________.24354答案 8 2－ 315π解析因为 0< α<2<β<π，所以 π π 3π π 3π<β－ < 4 ， <α＋ β< .4 4 2 2π所以 sin( β－4)>0， cos(α＋ β)<0.π1，sin( α＋ β)＝ 4，因为 cos(β－)＝435π 2 2 3 .所以 sin( β－)＝， cos(α＋β)＝－54 3π π所以 cos(α＋ )＝ cos[(α＋ β)－ (β－ )]44π π＝cos(α＋ β)cos(β－ ) ＋sin( α＋ β)sin( β－ )443 14 22 82－3＝－5×3＋5×3＝15 .10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚 B 处看索道 AC ，发现X 角∠ ABC ＝ 120 °；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC ，发现X 角∠ ADC ＝ 150 °；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处，那么索道 AC 的长为 ________米．答案 400 13解析如题图，在△ABD 中， BD ＝ 400 米，∠ABD ＝ 120°.因为∠ ADC ＝ 150°，所以 ∠ ADB＝ 30°.所以∠ DAB ＝ 180°－ 120°－30°＝ 30°.由正弦定理，可得BD＝ADsin ∠ DAB sin ∠ABD.所以 400＝ AD ，得 AD ＝ 400 3(米)．sin 30 °sin 120 °在△ ADC 中， DC ＝ 800 米，∠ ADC ＝ 150°，由余弦定理，可得AC 2＝ AD 2＋ CD 2－ 2× AD × CD × cos ∠ADC＝ (400 3)2＋ 8002－2× 400 3× 800× cos 150 °＝ 4002×13，解得 AC ＝ 400 13(米 )．故索道 AC 的长为 400 13米．三、解答题11． (2021·徽安 )设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别是a ， b ， c ，且 b ＝ 3， c ＝1， A＝ 2B.(1) 求 a 的值；π(2) 求 sin A ＋4的值．解 (1) 因为 A ＝2B ，所以 sin A ＝ sin 2B ＝2sin Bcos B.a 2＋ c 2－b 2由正、余弦定理得a ＝ 2b ·.2ac因为 b ＝ 3， c ＝ 1，所以 a 2＝ 12， a ＝ 23.b 2＋c 2－ a 29＋ 1－ 121(2) 由余弦定理得 cos A ＝2bc＝6＝－ .3由于 0<A<π，所以 sin A ＝2＝1 ＝2 21－ cos A 1－ 3 .9故 sin A ＋π ＝ sin Acosπ π2＋ － 1 × 2＝ 4－ 2 .4＋ cos Asin＝2 2×3644 3 22π12．函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6)＋ 1(ω>0)的最小正周期是 π.(1) 求 f(x)的单调递增区间；π 3π(2) 求 f(x)在 [8，8 ]上的最大值和最小值．π解(1)f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6 )＋ 1 ＝23sin ωxcos ωx － 2cos 2ωx ＋ 1π＝3sin 2ωx － cos 2ωx ＝ 2sin(2ωx －6)．2π最小正周期是2ω＝π，所以， ω＝ 1，π从而 f( x)＝ 2sin(2x －6)．ππ π令－＋ 2k π≤2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z .262解得－ ππ6＋ k π≤x ≤ 3＋ k π，k ∈Z .ππ 所以函数f(x)的单调递增区间为[ －＋ k π，＋k π](k ∈Z )．63π 3ππ π 7π(2) 当 x ∈ [8，8 ]时， 2x －6∈ [12，12] ，π 6－ 2，2]，f(x)＝ 2sin(2 x －6)∈ [2π 3π6－ 2所以 f( x)在 [，2，2.88 ]上的最大值和最小值分别为13．角 A 、 B 、 C 是△ ABC 的三个内角，假设向量A － B5，m ＝(1－cos(A ＋B)，cos2)，n ＝ (8A － B9cos 2 )，且m ·n ＝ 8.(1) 求 tan Atan B 的值；absin C2的最大值．(2)求22a ＋b － c解552A－ B (1)m·n＝－ cos(A＋ B)＋ cos2 889199＝8－8cos Acos B＋8sin Asin B＝8，∴c os Acos B＝ 9sin Asin B 得 tan Atan B＝1 . 9tan A＋ tan B993 (2)tan(A＋ B)＝＝ (tan A＋tan B)≥ ·2tan Atan B＝ .1－ tan Atan B8841(∵ tan Atan B＝9>0 ，∴A， B 均是锐角，即其正切值均为正)absin C2＝sin C1222cos C ＝ tan Ca ＋b －c2＝－13，tan(A＋ B)≤ －283所求最大值为－.。

《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.6

《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.6

第一章 1.6一、选择题1．(2015·广西柳州市模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C ．32D. 3[答案] D[解析] 由题意得，S ＝2⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝2sin x|π30＝3，选D.2．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( )A.49 B ．59C ．43D ．53[答案] A[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32 |a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 3.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A.14 B ．13C.12 D ．23[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝t 2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t ＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2).则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C. 5．(2014～2015·河南周口市高二期末)已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则⎠⎛13f (－x )d x ＝( )A ．0B ．3C ．－23D ．23[答案] D[解析] ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2， 解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ，∴⎠⎛13f (－x )d x ＝，则⎠⎛13(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|31＝9－9－13＋1＝23，故选D. 6．⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴⎠⎜⎛0 π3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎜⎛0π3cos θd θ＝sin θ|π30＝32，故应选D. 二、填空题 7．计算定积分：①⎠⎛－11x 2d x ＝________________②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________________ ④⎠⎛π20|sin x |d x ＝________________ [答案] ①23 ②436 ③2 ④1[解析] ①⎠⎛－11x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23. ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436. ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2. ④⎠⎛-π20|sin x |d x ＝⎠⎛-π20 (－sin x )d x ＝cos x|0-π2＝1.8.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 1＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题10．计算下列定积分： (1)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x;(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403. (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.一、选择题11．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．F ′(x )＝cos xB ．F ′(x )＝sin xC ．F ′(x )＝－cos xD ．F ′(x )＝－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.12．(2015·江西教学质量监测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－aa (x 3＋sin x －5)d x 的值为( )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[答案] D[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22(x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20.[点评] 若f (x )为奇函数，定义域(－a ，a )，a >0，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.13．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[答案] B [解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B.14．(2015·河南高考适应性测试)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22(x 3－3x )d x 4＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C.二、填空题15．(2014·绍兴模拟) ⎠⎜⎛π2-π2 (x ＋cos x )d x ＝________________.[答案] 2[解析] ⎠⎜⎛π2-π2 (x ＋cos x )d x ＝(12x 2＋sin x )| π2- π2＝2. 16．(2014·山东省菏泽市期中)函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________________. [答案] 3[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3. 三、解答题17．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.18．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.。

2015届高三数学成才之路二轮专项复习课件2.2三角变换与解三角形

2015届高三数学成才之路二轮专项复习课件2.2三角变换与解三角形


π π 2π 由3<C<2知 3 <2C<π， 1 1 ∴－1<cos2C<－2，∴2<cosB<1， 1 2－a 2 4 ∴2< a2 <1，∴1<a <3， 2 ∴3<2－a2<1， 2 → → ∴BA· BC的取值范围是(3，1)．
2

[方法规律总结] 判断三角形形状时，一般先利用所给条件将 条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的 关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主 要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、 锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析 条件时，应着重从上述三角形满足的条件与 已知条件的沟通上着手．
(2)由(1)知 a＝c， → → → →2 ∵|BA＋BC|＝2，∴|BA＋BC| ＝4，
2 2 2 4 － a － c 2 － a ∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝ 2ac ＝ a2 ，
→ → ∴BA· BC＝accosB＝2－a2， ∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，
[ 解析]
sin2C b (1)由 ＝ 得， a－b sinA－sin2C
a－b sinA－sin2C a sinA b ＝ sin2C ，∴b＝sin2C. 由正弦定理得 sinB＝sin2C. 所以 B＝2C 或 B＋2C＝π. π π 2π 若 B＝2C，由3<C<2知 3 <2C<π.
2π 即 3 <B<π， ∴B＋C>π，与三角形内角和为 π 矛盾， 故 B＝2C 舍去． ∴B＋2C＝π. ∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C. 故△ABC 为等腰三角形．
b2＋c2－a2 9＋1－12 1 (2)由余弦定理得 cosA＝ 2bc ＝ ＝－3， 6 由于 0<A<π，所以 sinA＝ 1－cos A＝ π π π 故 sin(A＋4)＝sinAcos4＋cosAsin4 2 2 2 1 2 4－ 2 ＝ 3 × 2 ＋(－3)× 2 ＝ 6 .