下载文档原格式
平面向量的数量积与平行关系平面向量是在平面上具有大小和方向的有向线段，数量积是量化了两个向量之间的相关性的一个数值。
在平面向量中，我们可以通过数量积来判断向量之间的平行关系。
本文将介绍平面向量的数量积以及如何利用数量积来确定向量之间的平行关系。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
如果有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
此处，·表示数量积的运算符。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积的结果是一个标量，它可以用于判断向量之间的相似性、正交性和平行关系。
二、平行向量与数量积的关系两个平面向量a和b平行的充要条件是它们的数量积等于零，即a·b = 0。
这可以通过数量积的定义和性质来证明。
如果向量a和b平行，则它们的夹角θ为0或180度，此时cosθ的值为1或-1。
根据数量积的计算公式可得：a·b = |a| |b| cosθ = |a| |b| (1或-1)当cosθ等于1时，即θ为0度，两个向量同向，且关系为|a·b| = |a| |b|，即两个向量的模的乘积等于数量积的绝对值。
当cosθ等于-1时，即θ为180度，两个向量反向，且关系为|a·b| = -|a| |b|，即两个向量的模的乘积的负值等于数量积的绝对值。
综上所述，当a·b等于0时，两个向量a和b平行。
三、利用数量积判断平面向量的平行关系的步骤根据平面向量的数量积与平行关系的性质，可以通过以下步骤来判断平面向量的平行关系：1. 计算两个向量的数量积：a·b。
2. 如果数量积a·b等于0，则两个向量a和b平行。
3. 如果数量积a·b不等于0，则两个向量a和b不平行。
平面向量一题多解举例例1：已知等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，求NA MB ⋅思路点拨：一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方法是将,MA MB 用,CA CB表示,然后用数量积的定义计算.方法一:坐标法以BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图(1)所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知(0,3),(A B C设),(y x M，则(),((CM x y CB CA ==-=由1263CM CB CA =+得：)2,3()3,3(32)0,32(61),3(-=-+-=-y x∴0,2x y ==，∴点M 的坐标为)2,0(，∴(0,1),(2)MA MB ==-，∴2MA MB ⋅=-.方法二：基底法由于1211()6336MA CA CM CA CB CA CA CB =-=-+=-1225()6336MB CB CM CB CB CA CA CB =-=-+=-+MA MB ∴⋅= 11()36CA CB -⋅ 25()36CA CB -+2227591836CA CA CB CB=-+⋅-又ABC ∆是边长为32的等边三角形，2212,6CA CB CA CB ∴==⋅=，图(1)27512612291836MA MB ∴⋅=-⨯+⨯-⨯=-例2：在正三角形ABC 中，D 是BC 边上的点，AB=3，BD=1，求AB AD ⋅。
方法一：定义法 如图所示，B=60°，由余弦定理得AD 2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴再由余弦定理得cos ∠=，所以15AB AD AB AD cos BAD 3142⋅=⋅∠== .方法二：基底法∵AD AB BD AB AD AB (AB BD)=+∴⋅=⋅+ ，= 22AB AB BD AB AB BD cos 120+⋅=+⋅︒=9+3×1×115()22-=.例3：在ABC ∆中，若对于任意t R ∈，||||BA tBC AC -≥，求角C解法1：（平方展开）由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥ ，22222BA t BC tBA BC AC +-⋅≥ ，即222220t BC tBA BC BA AC -⋅+-≥ ，所以22224()4()0BA BC BC BA AC ∆=⋅--≤ ， 2222224cos 4()0BA BC B BC BA AC ⋅--≤ ， 2222cos ()0BA B BA AC --≤ ，222sin 0BA B AC -+≤ ，即||||sin AC BA B ≤，sin sin sin B C B ≤，1sin C ≤，又sin 1C ≥，所以sin 1C =，所以2C π=.解法2：（平方分解因式）由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥ ，()()0BA tBC AC BA tBC AC -+⋅--≥，()()0BC tBC CA CB tCB CA -⋅-++≥， (1)[2(1)]0t CB CA t CB -⋅+-≥，22(1)2(1)0CB t CB CA t -+⋅-≥ ，所以24()0CB CA ∆=⋅≤ ，即2()0C BC A ⋅≤ ，又2()0C BC A ⋅≥ ，所以0CB CA ⋅= ，CB CA ⊥ ，所以2C π=.解法3：（平方用余弦定理）由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥ ，22222cos c t a tac B b +-≥，22222cos 0a t ac Bt c b -+-≥，22222224cos 440a c B a c a b ∆=-+≤，222sin 0c B b -+≤，sin b c B ≤， sin sin sin B C B ≤，1sin C ≤，又sin 1C ≥，所以sin 1C =，所以2C π=.解法4：（几何作图）考虑BA tBC -的作图：作向量BD tBC = ，则DA BA BD BA tBC =-=-，于是原题化为||||DA AC ≥恒成立，根据垂线段最短 CB CA ⊥，所以2C π=.通过上面两种解法的比较可以看出，利用平面向量的三角形法则和共线向量的意义可以大大缩减运算量，提高解题效率.CAB。
平面向量的应用向量的投影与反射平面向量的应用：向量的投影与反射在数学中，向量是用来描述方向和大小的量。
平面向量是二维空间中的向量，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和计算机科学等。
本文将重点介绍平面向量的应用之一：向量的投影与反射。
一、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量方向上的分量。
在平面向量中，投影可以用于求解某个向量在另一个向量上的分解，从而简化计算过程。
设有两个非零向量a和b，我们将向量a在向量b上的投影表示为proj<sub>b</sub>a。
1. 向量的投影定义设向量a和b不平行，向量a在向量b上的投影proj<sub>b</sub>a 的大小为a在b方向上的分量，方向与b相同。
可以用下列公式来计算向量的投影：proj<sub>b</sub>a = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和b的点积，|b|表示向量b的长度。
投影的计算结果是一个向量，其大小为标量a·b与b长度的比例，方向与向量b 相同。
2. 向量的投影应用向量的投影在实际问题中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以将一个力的大小和方向表示为一个力向量。
在求解斜面上物体的自由体图时，我们可以将物体的重力向量进行投影，分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的分量，以便更好地分析问题。
二、向量的反射向量的反射是指一个向量在另一个向量上的镜像反射。
通过向量的反射，我们可以研究光线的传播和折射等现象。
1. 向量的反射定义设向量a和b不平行，向量a关于向量b的反射表示为reflect<sub>b</sub>a。
向量a关于向量b的反射可以通过以下公式计算：reflect<sub>b</sub>a = a - 2 * proj<sub>b</sub>a其中，proj<sub>b</sub>a表示向量a在向量b上的投影。
平面向量的数量积和叉积的应用举例平面向量是向量的一种特殊形式，它的位移方向限制在二维平面上。
数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们在数学和物理中有着广泛的应用。
本文将通过举例，介绍平面向量的数量积和叉积在实际问题中的应用。
一、数量积的应用1. 力的分解和合成假设有一物体施加力F，在平面上有两个方向的分量F1和F2，它们的夹角为θ。
我们可以通过数量积的运算来求解F1和F2的数值。
具体的计算公式为：F = F1 + F2 = |F1|cosθ + |F2|cosθ通过这个公式，我们可以将一个力分解为两个力的和，从而更好地理解力的作用机制。
2. 工作和功当一个物体受力并且发生位移时，力做功。
工作是力在位移方向上的数量积。
对于平面向量而言，工作的计算公式为：W = F·s = |F||s|cosθ其中，W表示工作的大小，F表示力的大小，s表示位移的大小，θ表示力和位移之间的夹角。
3. 判断垂直关系两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
因此在实际问题中，通过计算向量的数量积可以判断两个向量是否垂直。
例如，我们可以通过数量积来判断一个物体在斜坡上向上滚动时的加速度是否与斜坡垂直。
二、叉积的应用1. 面积计算对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积a×b的大小等于这两个向量所围成的平行四边形的面积。
具体的计算公式为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示叉积的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示这两个向量之间的夹角。
通过叉积的运算，我们可以直接计算出平行四边形的面积，这在几何学和物理学中有着重要的应用。
2. 判断向量的方向叉积不仅可以计算大小，还可以确定向量的方向。
叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，其方向遵循右手定则。
这一性质在物理学中经常被用来确定电流和磁场之间的方向关系，并被应用于电磁学的研究中。
3. 力矩计算力矩是与平面向量的叉积有关的重要概念，表示力对物体的转动效果。
平面向量的平行投影和垂直投影在平面向量的研究中，我们经常会遇到计算向量在某个方向上的投影的问题。
其中，平行投影和垂直投影是两个常见的应用。
在本文中，我们将详细讨论平面向量的平行投影和垂直投影的计算方法及其应用。
一、平行投影平行投影是指将一个向量投影在另一个向量的方向上。
在计算平行投影时，我们需要用到向量的数量积。
设有两个向量a和b，我们想要计算a在b方向上的投影。
首先，我们需要求出向量b的单位向量u，即u = b / |b|，其中|b|表示向量b的模长。
然后，我们可以通过数量积的性质来计算向量a在向量b上的投影p，即p = (a · u) * u。
举个例子来说明平行投影的计算方法。
假设有两个向量a = (3, 4)和b = (1, 2)，我们想要计算a在b方向上的投影。
首先，计算向量b的单位向量u，即u = (1, 2) / √(1^2 + 2^2) = (1, 2) / √5。
然后，计算出投影p = (3, 4) · (1, 2) / √5 * (1, 2) = 10 / 5 * (1, 2) = (2, 4)。
二、垂直投影垂直投影是指将一个向量投影在另一个向量的垂直方向上。
在计算垂直投影时，我们同样需要用到向量的数量积。
设有两个向量a和b，我们想要计算a在b方向上的垂直投影。
首先，我们可以通过平行投影的计算方法得到向量a在向量b上的平行投影p。
然后，将向量a与平行投影p相减，即得到a在b方向上的垂直投影。
记作q = a - p。
举个例子来说明垂直投影的计算方法。
假设有两个向量a = (3, 4)和b = (1, 2)，我们已经计算得到a在b方向上的平行投影p = (2, 4)。
然后，计算出垂直投影q = (3, 4) - (2, 4) = (1, 0)。
三、应用举例平面向量的平行投影和垂直投影在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 力的分解：在物理学中，我们经常需要将一个力分解为平行于某个方向和垂直于该方向的分力。
命题热点集训（三十二） 平面向量应用举例1．设0为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若,40-=⋅则点A 的坐标是)2,1.(±A )2,1(⋅B )2,1(-⋅C )1,1.(±D2．在△ABC 中，AB =3，AC 边上的中线.,5BD =,5=则AC 的长为1.A2.B3.C4.D3．设O 是坐标原点，A ，B 是圆122=+y x 上的两点，且A ，O ，B 不共线，则-+与的夹角为o A 90. o B 60. 120.C 30.D4．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h 渡船要垂直地渡过长江，则航向为A ．北偏东o 30B ．北偏西o 45C ．北偏西060D ．北偏西o 305．在平行四边形ABCD 中，已知BAD AD AB ∠==,1,2,60 =E 为CD 的中点，则=BD AE .6．设a 、b 是两个不共线的非零向量，记t tb a (,==),(31),b a R +=∈那么当实数t 为____时，A 、B 、C 三点共线． 7．设),sin 451,(cos ),,(cos αααα-==b ms a 且a⊥b，则锐角α为 8．如图32 -1，在△ABC 中，=P ,31是BN 上的一点，若=,112m +则实数m 的值为9．设函数,)(b a x f ⋅=其中向量==b x m a ),2cos ,()(),1,2sin 1(x f R x x 且∈+的图象经过点).2,4(π (1)求实数m 的值；(2)求)(x f 的最小正周期．10.已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅(1)判断△ABC 的形状；(2)若,2=c 求k 的值，。
平面向量的加法与减法运算平面向量是在平面内有大小和方向的线段，用箭头表示，表示为AB → 或a →。
在平面向量的运算中，加法和减法是两个基本操作。
一、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量的对应部分相加，得到一个新的向量。
设有两个向量AB → 和CD →，它们的和为E →。
要计算两个向量的和，可以通过构造一个平行四边形法则或使用分量法。
1. 平行四边形法则根据平行四边形法则，将向量AB → 和CD → 的起点连接起来，形成一个平行四边形。
从共同的起点开始，以两个向量的尾部作为相邻边，将平行四边形的对角线作为向量E → 的位移。
2. 分量法根据分量法，将向量AB → 和CD → 分解为平行于x轴和y轴的分量。
假设AB → 的终点坐标为(Ax, Ay)，CD → 的终点坐标为(Cx, Cy)，向量E → 的终点坐标为(Ex, Ey)。
则E → 的x轴分量为Ex = Ax + Cx，y轴分量为Ey = Ay + Cy。
二、平面向量的减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
设有两个向量AB → 和CD →，它们的差为E →。
要计算两个向量的差，可以通过将减去的向量CD → 取负数，然后与AB → 求和。
即E → = AB → + (-CD →)。
根据加法运算的方法，使用平行四边形法则或分量法来计算向量的差。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即AB → + CD → = CD → + AB →。
向量的减法不满足交换律，即AB → - CD → ≠ CD → - AB →。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(AB → + CD →) + EF → = AB → + (CD → + EF →)。
向量的减法不满足结合律，即(AB → - CD →) - EF → ≠ AB → - (CD → - EF →)。
3. 零向量对于任意向量AB →，都有AB → + 0 → = AB →。
