北京四中数学必修四平面向量应用举例基础版

平面向量的实际背景及基本概念编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．4．理解两个向量共线的含义．【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。

要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。

要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。

2．向量的表示方法：a b c等．(1)字母表示法：如,,,(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）。

如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB．要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。

应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。

由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

要点三：向量的有关概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．要点诠释：（1）向量a 的模||0 a 。

（2）向量不能比较大小，但||a 是实数，可以比较大小。

2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作0，它的方向是任意的。

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。

平面向量应用举例【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。

【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ⇔=r r r ra b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）。

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=r r r ra b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）。

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos ||||θ⋅=r rr r a ba b 。

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。

要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。

常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）7．2 向量的应用举例(一)课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔ ________⇔______________________．(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a ⊥b ⇔__________⇔______________________________．(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝__________＝________________________________________________________________________． (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a |＝__________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5B ．52 5C ．3 5D ．7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2B ．12C ．－3D ．－135．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形6．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心二、填空题7．已知边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________．8．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5．则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________________________________________________________________．10．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是______．三、解答题11．求证：△ABC 的三条高线交于一点．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF ．能力提升13．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________．14．已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．7．2 向量的应用举例(一) 答案知识梳理(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 (4)x 2＋y 2 作业设计1．B [BC 中点为D (32，6)，AD →＝(－52，5)，∴|AD →|＝525．]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →．∴(OA →－OC →)·OB →＝0． ∴OB →·CA →＝0．∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ， OC ⊥AB ，∴O 三条高的交点．]3．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°． ∴△ABC 是直角三角形．] 4．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33， ∴|BC ||CE |＝3， ∴BC →＝－3CE →．]5．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC ．∴AB ＝AC ．而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°． 故△ABC 为正三角形，选D ．]6．C [如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →．依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心．∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB → ＝CA →·PB →＝0．同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 7．2解析 注意|AC →|＝|c |＝1， 而a ＋b ＝c ，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |＝2． 8．2 3 解析如图所示，以a 、b 为邻边作平行四边形ABCD ，AC ＝ AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos π3＝23，BD ＝ BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 2π3＝2 7．∵23＜2 7，∴较短的一条对角线长为2 3． 9．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9．∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25． 10．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形． 11．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b ． ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H ．12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ．∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF ．∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0， ∴P A →⊥EF →．∴P A ⊥EF ．13．－252解析设{AB →，AC →}为一平面内一组基底．如图所示，设O 为△ABC 的外心，M 为BC 中点，连结OM 、AM 、OA ，则易知OM ⊥BC ．又由BC →＝AC →－AB →，AO →＝AM →＋MO →＝12(AB →＋AC →)＋MO →．∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →) ＝BC →·AM →＋BC →·MO → ＝BC →·AM →(其中BC →·MO →＝0) ＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →)＝12(AC 2→－AB 2→) ＝12×(122－132) ＝－252．14．解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )， BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)． 因为BB ′、CC ′为AC 、AB 边的中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝⎝⎛⎭⎫3c 2，a 2， 同理CC ′→＝⎝⎛⎭⎫－3c 2，a 2． 因为BB ′→⊥CC ′→，所以BB ′→·CC ′→＝0，即－9c 24＋a 24＝0，a 2＝9c 2，又cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45．。

第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用 1．利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为__________的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 2．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b ．（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b __________0(0)=≠b ．（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b __________0=（其中,a b 为非零向量）．（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=__________=__________（其中,a b 为非零向量）．（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a __________，或||||AB AB ==__________（其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ．（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．3．利用向量解决平面几何问题的步骤（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系．这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论．二、向量在物理中的应用向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象．1．向量与力向量是既有__________又有__________的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量__________到同一作用点上． 2．向量与速度、加速度及位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的__________、__________以及__________运算，有时也借助于坐标运算来处理． 3．向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的__________，W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角）．动量m v 实际上是__________向量．参考答案： 一、1．向量2．（1）1221x y x y -（2）1212x x y y +（3）||||⋅a ba b 121212122222x x y y x y x y ++⋅+（4）1122x y + 22223434()()x x y y -+-二、1．大小 方向 平移 2．加法 减法 数乘 3．数量积 数乘重点 平面几何中的垂直、长度以及夹角问题． 难点 利用向量方法解决其他实际问题．易错向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误．1．平面几何中的垂直问题对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为0），而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．【例1】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．【答案】证明详见解析．如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1）， 所以(2,1),(1,2)AF DE ==-．因为(2,1)(1,2)220AF DE ⋅=⋅-=-=， 所以AF DE ⊥，即AF ⊥DE ．【提示】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 2．平面几何中的长度问题平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解． 【例2】如图，平行四边形ABCD 中，已知AD =1，AB =2，对角线BD =2，则对角线AC 的长为 ．6【解析】设,AD AB ==a b ，则,BD AC =-=+a b a b ． ∴22||||||2||14252BD =-=-⋅++-⋅=-⋅a b a a b b a b a b ∴2||524BD =-⋅=a b ，∴21⋅=a b ．∴22||||||2||526AC =+=+⋅++⋅a b a a b b a b ，即6AC =【提示】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式22||=a a 求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若(,)x y =a ，则22||x y +a3．平面几何中的夹角问题【例3】等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设(2,0),(0,2)A a B a ，则(,0),(0,)F a E a ，∴(2,),(,2)AE a a BF a a =-=-．设向量,AE BF 的夹角为θ， 则22(2,)(,2)44cos 55||||55AE BF a a a a a a AE BF a aθ⋅-⋅--====-⋅⋅．【名师点睛】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x 轴和y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值． 4．平面向量在物理中的应用【例4】一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________． 【答案】7【解析】由题意知F 3=−（F 1＋F 2），∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28， ∴|F 3|=27【名师点睛】用向量法解决物理问题的步骤如下： （1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； （2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； （4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题． 5．利用向量解决其他问题【例5】已知直线Ax ＋By ＋C =0（其中A 2＋B 2=C 2，C ≠0）与圆x 2＋y 2=6交于不同的两点M 、N ，O 是坐标原点，则OM MN ⋅=________．【答案】10-【解析】取MN 的中点P ，则12MP MN =，MN OP ⊥．又22||1OP A B=+，||6OM = ∴2()2||OM MN OP PM MN PM MN PM ⋅=+⋅=⋅=-，而222||=||||5PM OM OP -=， ∴2510OM MN ⋅=-⨯=-．【名师点睛】向量在解决其他问题时的“两个”作用：（1）载体作用：向量在其他问题中出现时，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．（2）工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b =0（a ，b 为非零向量），a ∥b ⇔a =λb （b ≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法． 6．对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误 【例6】在四边形ABCD 中，(1,1)AB DC ==，3||||||BA BC BDBA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是 ． 【误区警示】对常见的向量表示形式要熟记于心，如：（1）重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++= （其中P 为平面内任意一点）．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心．（2）垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅．反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅ HC HA =⋅，则点H 是ABC △的垂心．（3）内心．若点I 是ABC △的内心，则有||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0．反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅ ||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．（4）外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==．反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心．【基础训练】1．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=A ．8B ．–8 ．4D ．–42．已知力F 的大小|F |=10，在F 的作用下产生的位移S 的大小|S |=14，F 与S 的夹角为60°，则F 做的功为A ．7B ．10C ．14D ．703．在平面直角坐标中，O 为坐标原点，设向量OA =a ，OB =b ，其中a =（3，1），b =（1，3），若OC =λa +μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是A ．B ．C ．D ．4．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，则|-+a b c |等于A ．0B ．2C ．2D ．22【能力提升】5．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA •OB ，I 2=OB •OC ，I 3=OC •OD ，则 A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3 6．已知点G 是△ABC 的重心，AG AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），若∠A =120°，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A ．33 B ．22 C ．23D ．347．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，长为1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________． 8．一汽车向北行驶3 km ，然后向北偏东60°方向行驶3 km ，求汽车的位移．【真题演练】9．（新课标Ⅱ）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA •（PB +PC ）的最小值是A ．–2B ．–32C ．–43D ．–110．（浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA •OB ，I 2=OB •OC ，I 3=OC •OD ，则 A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 311．（天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF •BC 的值为 A ．–58B ．14C ．18D ．11812．（北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（–2，0），O为原点，则AO•AP的最大值为__________．13．（江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若OC=m OA+n OB（m，n∈R），则m+n=__________．14．（天津）已知在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若BD=2DC，AE=λ–AC AB（λ∈R），且AD AE⋅=–4，则λ的值为__________．【参考答案】1 2 3 4 5 6 9 10 11A D A C C CBC C7．【答案】10 J8．【解析】故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为33km．9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】C12．【答案】6【解析】设P（cosα，sinα）.AO=（2，0），AP=（cosα+2，sinα）．则AO•AP=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．13．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由OA与OC的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=152，sinα=752．∴C1755⎛⎫⎪⎝⎭，．cos（α+45°）=22（cosα–sinα）=35-．sin（α+45°）=22（sinα+cosα）=45．∴B3455⎛⎫-⎪⎝⎭，．∵OC=m OA+n OB（m，n∈R），∴15=m–35n，75=0+45n，解得n=74，m=54．则m+n=3．故答案为：3．14．【答案】3 11。

平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【要点梳理】要点一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r ，称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合.①其中12,e e u r u u r叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e u r u u r的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+r u r u u r 且''1122a e e λλ=+r u r u u r ，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e u r u u r是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e u r 、 2e u u r ，平面上的任何一个向量a r 都可以用1e u r 、 2e u u r 唯一表示为a r =1λ1e u r +2λ2e u u r，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e u r 、 2e u u r的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a r 与b r ，在平面上任取一点O ，作OA =u u u r a r ，OB =u u u r b r ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a r 与b r 的夹角，记为〈a r ，b r 〉．当向量a r 与b r 不共线时，a r 与b r 的夹角()000,180θ∈；当向量a r 与b r 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a r 与b r 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a r 与b r 的夹角是90o，就说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a r ⊥b r是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．要点三：平面向量的坐标表示 1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 要点诠释：如果基底的两个基向量1e u r 、2e u u r互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r、j r作为基底，对于平面上的一个向量a r ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a r =x i r +y j r .这样，平面内的任一向量a r都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作a r =(,)x y ，x 叫做a r在x 轴上的坐标，y 叫做a r 在y 轴上的坐标．把a r=(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=r r且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==r r．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =u u u r ；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =u u u r，AB CD =u u u r u u u r ，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运 算坐标语言加法与减法记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)OA OB +uu u r uuu r =(x 1+x 2，y 1+y 2)，OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)实数与向量的乘积记a →=(x ，y)，则λa →=(λx ，λy)2．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r ，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0.要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==r r ，则a →∥b →不能表示成,2121y yx x =因为分母有可能为0.2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线. 【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e u r 、2e u u r是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）①12e e λμ+u r u u r(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a r ，使12a e e λμ=+u r u u r 的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+u r u u r 与2122e e λμ+u r u u r共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+u r u u r u r u u r ；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=u r u u r，则0λμ==． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．② 【思路点拨】考查平面向量基本定理． 【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+u r u u r 与2122e e λμ+u r u u r均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r为邻边的平行四边形，C 为对角线的交点．又13BM BC =u u u u r u u u r ，13CN CD =u u u r u u u r，试用a r ，b r 表示OM u u u u r ，ON u u u r ．【解析】 由题意，得OB BA OA +=u u u r u u u r u u u r ，所以BA a b =-u u u r r r，则1()2BC a b =-u u u r r r ，11()36BM BC a b ==-u u u u r u u u r r r ，115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r r r r r r ．144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ．【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===u u u r u u u r rr ，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b rr 表示：（1）OE uuu r ；（2）BF u u u r ；（3）OG u u u r .【解析】（1）OE OB BE =+u u u r u u u r u u u r=13b BA +r u u u r=1()3b OA OB +-r u u u r u u u r=1()3b a b +-r r r=1233a b +r r（2）BF OF OB =-u u u r u u u r u u u r =1122OA b a b -=-u u u r r r r（3）在OAE ∆中，取13MN BA =u u u u r u u u r//FM OE ∴u u u u r u u u r 1||||2FM OE ∴=u u u u r u u u r同理：//GE FM u u u r u u u u r 1||||2GE FM =u u u r u u u u r∴G 是BF 的中点1()2OG OB OF ∴=+u u u r u u u r u u u r=111222b a +⋅r r =1142a b +r r类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设两个非零向量1e u r 和2e u u r不共线．（1）如果12AB e e =-u u u r u r u u r ，1232BC e e =+u u u r u r u u r ，1282CD e e =--u u u r u r u u r，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1223BC e e =-u u u r u r u u r ，122CD e ke =-u u u r u r u u r，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值．【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【解析】（1）证明：12AB e e =-u u u r u r u u r ，1232BC e e =+u u u r u r u u r ，1282CD e e =--u u u r u r u u r，1212114(82)22AC AB BC e e e e CD =+=+=---=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u u u r ，∴AC u u u r 与CD uuu r共线．又∵AC u u u r 与CD uuu r有公共点，∴A 、C 、D 三点共线．（2）121212()(23)32AC AB BC e e e e e e =+=++-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r ，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC u u u r 与CD uuu r 共线，从而存在实数λ使得AC CD λ=u u u r u u u r ，即31e u r ―22e u u r =λ(21e u r ―k 2e u u r)，由平面向量的基本定理，得322kλλ=⎧⎨-=-⎩，解之得32λ=，43k =．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】设1e u r ，2e u u r 是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r u r u u r ，12BC e e =+u u u r u r u u r ，1269CD e e =-u u u r u r u u r，求证：A ，C ，D 三点共线．【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u r，所以AC u u u r 与CD uuu r 共线．类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i r ，j r 表示向量a r 、b r 、c r，并求出它们的坐标．【解析】 由图可知23a OA OB i j =+=-+r u u u r u u u r r r，∴a r =（―2，3）． 同理可知b r =3i r +4j r=（3，4）． c r =4i r ―4j r=（4，―5）．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M在第二象限，||OM =u u u u r，∠xOM=120°，求OM u u u u r 的坐标．【解析】设M （x ，y ），则60x =-︒=-609y =︒=，即(M -，所以(OM =-u u u u r．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==u u u u r u u u r u u u r u u u r求M 、N 及MN u u u u r 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点C 、D 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标. 【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----Q(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).CA CB CM CA CN CB ∴==∴====u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u r u u u r设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=u u u u r33,0,,(0,20).424,20x x M y y +==⎧⎧∴∴∴⎨⎨+==⎩⎩ 同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-u u u u r(0,20),(9,2),(9,18).M N MN ∴=-u u u u r【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-u u u r u u u r u u u r u uu r 求点C ，D 的坐标和CD uuu r 的坐标.【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=--u u u r u u u r u u u r u u u r因为11,,33AC AB DA BA ==-u u u r u u u r u u u r u uu r ，所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,x y =-⎧⎨=⎩所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--u u u r类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM u u u u r 、CN u u u r 的坐标，并判断AM u u u u r 、CN u u u r 是否共线．【解析】 已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴由中点坐标公式可得M （2.5，2.5），N （1.5，0.5），∴(2.5,2.5)AM =u u u u r ，( 2.5, 2.5)CN =--u u u r，其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，∴AM u u u u r 、CN u u ur 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可． 举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-u u u r u u u r u u u r， (,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--u u u r u u u r u u u r．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA u u u r u u u r，即(k ―4)(12―k)―(k ―10)×7=0．整理，得k 2―9k ―22=0．解得k 1=―2或k 2=11． ∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA u u u r ，CA u uu r 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩u u u r 或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】已知向量a r =（1，2），b r =（1，0），c r =（3，4）．若λ为实数，（a r +λb r ）∥c r，则λ=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==u u u r u u u r， 则(44,4)AP OP OA λλ=-=-u u u r u u u r u u u r． (2,6)AC OC OA =-=-u u u r u u u r u u u r，由AP u u u r 与AC u u u r 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=，所以3(3,3)4OP OB ==u u u r u u u r．所以P 点坐标为（3，3）．方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =u u u r，因为(4,4)OB =u u u r ，且OP uuu r 与OB uuu r 共线，所以44x y=，即x=y ．又(4,)AP x y =-u u u r ，(2,6)AC =-u u u r ，且AP u u u r 与AC u u ur 共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． 举一反三：【变式1】如图，已知Y ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=u u u r ，(3,4)DC x y =--u u u r．由AB DC =u u u r u u u r，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．。

【巩固练习】1．设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b =0，则(a ―c )·(b ―c )的最小值为（ ）A ．―2B 2C ．―1D ．12．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．493．已知两力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为（ ）A ．B ．5 NC ．10 ND ．南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）A ．北偏西30，20km/hB ．北偏西60，20km/hC ．北偏东30，20km/hD ．北偏东60，20km/h5．若平行四边形ABCD 满足||||AB AD AB AD +=-,则平行四边形ABCD 一定是（ ）A ．正方形B ．矩形C ． 菱形D ．等腰梯形6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =(4，-3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为(-10，10)，则5秒后点P 的坐标为( )A.(-2，4)B.(-30，25)C.(10，-5)D.(5，-10)7．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．用力F 推动一物体，使其沿水平方向运动s ，F 与垂直方向的夹角为θ，则F 对物体所做的功为（ ）A ．F ·s ·cos θB ．F ·s ·sin θC ．|F|·|s|·cos θD ．|F|·|s|·sin θ9.直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4OP OA ⋅=，则点P 的轨迹方程是__________.10．如图，在正六边形ABCDEF 中，有下列四个论断：①2AC AF BC +=；②22AD AB AF =+；③AC AD AD AB ⋅=⋅；④()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中正确的序号是________．（写出所有正确的序号）11．一艘船以5 km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h ．12．夹角为120的两个力1f 和2f 作用于同一点，且12||||(0)f f m m ==>，则1f 和2f 的合力f 的大小为，f 与2f 的夹角为 ．13．已知两恒力F 1=（3，4），F 2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0）．试求：（1）力F 1，F 2分别对质点所做的功；（2）F 1，F 2的合力对质点所做的功．14．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，且CA CB =，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE15．所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点（不包括端点），E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：PA=EF ．【答案与解析】1．【答案】D【解析】 ∵a ·b =0，且a ，b ，c 均为单位向量，∴||2a b +=，|c |=1．∴(a ―c )·(b ―c )=a ·b ―(a +b )·c +c 2．设a +b 与c 的夹角为θ，则()()1||||cos 12cos a c b c a b c θθ-⋅-=-+⋅⋅=-．故(a ―c )·(b ―c )的最小值为12-．2．【答案】A【解析】 由2AP PM =，AM=1知，13PM =，23PA =，2PB PC PM +=，所以 214()22||||cos1802(1)339PA PB PC PA PM PA PM ⋅+=⋅=⋅︒=⨯⨯⨯-=-．故选A ．3．【答案】B【解析】由题作出示意图，如下图，有11||||cos601052F F =︒=⨯=．4．【答案】A5．【答案】B 6．【答案】C【解析】5秒后点P 的坐标为(-10，10)+5(4，-3)= (10，-5)7．【答案】B8．【答案】D【解析】F 与水平方向的夹角为2πθ-，故F 对物体所做的功为||||cos ||||sin 2F s F s πθθ⎛⎫⋅⋅-=⋅⋅ ⎪⎝⎭． 9. 【答案】x+2y-4=0【解析】4OP OA ⋅=∴(1，2)·(x ，y)=4，∴x+2y-4=0.10．【答案】①②④【解析】对于①，2AC AF AB BC CD AD BC +=++==；对于②，令'2AF AF =，'2AB AB =，以'AF 和'AB 为邻边的四边形为平行四边形，AD 正好为其对角线；对于③，||||cos30||||cos 60AC AD AC AD AD AB AD AB ⋅=⋅︒≠⋅=︒；对于④，//FE AD 且2AD FE =，设||AF a =，222cos60AD AF a a ⋅=︒=，221cos1202AF EF a a ⋅=⋅︒=-．即2()AD AF EF a EF ⋅=，221()22AD AF EF EF a a EF ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭． 11．【答案】53【解析】如图，船速v 1=5，水流v 2，实际速度v=10，∴2100257553v =-==12．【答案】m 6013．【解析】（1）(7,0)(20,15)(13,15)s AB ==-=--，从而W 1=F 1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W 2=F 2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3．（2）W=（F 1+F 2）·s=F 1·s+F 2·s=W 1+W 2=―102．14．法一： 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a ， ()()AD CE AC CD CA AE AC CA AC AE CD CA CD AE ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=2||||||cos 450||||cos 45AC AC AE CD AE -+++ =22221033a a a -++= 所以AD CE ⊥法二：以点C 为原点，CA ，CB 所在的直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则112112(,0),(0,),(,),(1,),(,),233233A a D a E a a AD a CE a a =-= 可得出2211033AD CE a a ⋅=-+= 所以AD CE ⊥15．【证明】建立如题图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP λ=(02)λ<<， 则A （0，1），22,22P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，21,2E λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,02F λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴22,122PA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，221,22EF λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴22222||12122PA λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22222||12122EF λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴||||PA EF =，∴PA=EF ．。

平面向量的数量积及应用【考纲要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为，我们把数量||||cos θa b 叫做a 和b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即||||cos ⋅=θa b a b .平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 .（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0≤≤180.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 是哪个角.2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定||cos θb 叫做向量b 在a 方向上的投影，当为锐角时，||cos θb 为正值；当为钝角时，||cos θb 为负值；当=0时，||cos ||θ=b b ；当=90时，||cos 0θ=b ；当=180时，||cos ||θ=-b b . ⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与 b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 要点诠释：b 在a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） 0⊥⇔⋅=a b a b(2) 当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b . 特别地22||||⋅==，即a a a a a(3) cos ||||⋅θ=a ba b(4) ||||⋅≤a b a b 4. 运算律设已知向量a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1) ⋅=⋅a b b a (交换律) (2) ()()()λ⋅=λ⋅=⋅λa b a b a b (3) ()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c 要点诠释：①当0≠a 时，由0⋅=a b 不一定能推出0=b ，这是因为对任何一个与a 垂直的向量b ，都有0⋅=a b ；当0≠a 时，⋅=⋅a b a c 也不一定能推出=b c ，因为由⋅=⋅a b a c ，得()0⋅-=a b c ，即a 与()-b c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅=⋅，但对于向量来说，()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c 不一定相等，这是因为()⋅⋅a b c 表示一个与c 共线的向量，而()⋅⋅a b c 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以()⋅⋅a b c 与()⋅⋅a b c 不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算①已知两个非零向量11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，那么1212x x y y ⋅=+a b ； ②若(,)x y =a ，则2222,x y x y ⋅==+=+a a a a③若1122(,),(,)x y x y ==A B ，则(AB x ==AB ，这就是平面内两点间的距离公式；④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=a b a b 6. 重要不等式若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则||||||||-≤⋅≤a b a b a b考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；1221//x y x y 0⇔=λ⇔-=a b a b （0→≠b ）②证明垂直问题，常用垂直的充要条件； ③求夹角问题；利用夹角公式：121cos cos ,||||x x θ⋅=<>==⋅+a ba b a b平面向量,a b 的夹角[0]θπ∈，④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模2x =⋅=+a a a或(AB x ==AB . （2）向量在物理中的应用①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】类型一、数量积的概念例1．已知||4=a ，||3=b ，分别满足下列条件，求⋅a b 与||+a b . (1) //a b ； (2)⊥a b ； (3)与a b 夹角为060 【解析】(1) 当//a b 时，分两种情况：①若与a b 同向，则00θ=，∴||||cos 43cos 012⋅=⋅θ=⨯⨯=a b a b 。