学案4平面向量应用举例

2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法一、教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.二、教学目标1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．过程与方法：明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想（一）导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算|AC|2与|DB|2.因此有了方法三.方法三:设=a,=b,则=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理|DB |2=|a |2-2a ·b +|b |2. ② 观察①②两式的特点,我们发现,①+②得|AC |2+|DB |2=2(|a |2+|b |2)=2(|AB |2+|AD |2), 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法.③略.（三）应用示例图4例1 如图4, ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,AT =t ,则AC =a +b .由于与共线,所以我们设r =n(a +b ),n∈R .又因为EB =AB -AE =a -21b ,与共线, 所以我们设ER =m EB =m(a -21b ). 因为+=, 所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ), 即(n-m)a +(n+21-m )b =0. 由于向量a 、b 不共线,要使上式为0,必须解得n=m=31. 所以AR =31AC , 同理=31. 于是RT =31. 所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△A BC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点.证明:设BE 、CF 相交于H,并设=b ,=c ,AH =h ,则BH =h -b ,=h -c ,=c -b . 因为⊥AC ,CH ⊥,所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0,即(h -b )·c =(h -c )·b .化简得h ·(c -b )=0. 所以⊥BC .所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△A BC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为BB′、CC′都是中线, 所以'BB =21(+)=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理'CC =(2,23a c -). 因为BB′⊥CC′, 所以22449a c +-=0,a 2=9c 2. 所以54299||||2222222=+-=+-=c c c c c a c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt△A BC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,•的值最大?并求出这个最大值.解:方法一,如图7. ∵AB ⊥AC ,∴AB ·AC =0. ∵-=-=-=,,, ∴)()(-•-=• =•+•-•-•=-a 2-AC +·=-a 2+·(-AC )=-a 2+21·=-a 2+a 2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,•最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y). ∴BP =(x-c,y),=(-x,-y-b),BC =(-c,b),=(-2x,-2y). ∴CQ BP •=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2+y 2)+cx-by. 2||||a by cx BC PQ -= ∴cx -by=a 2cosθ. ∴•=-a 2+a 2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,与BC 的方向相同时, •最大,其最大值为0.（四）知能训练图91.如图9,已知AC 为⊙O 的一条直径,∠A BC 是圆周角.求证:∠A BC =90°.证明:如图9. 设AO =a ,OB =b , 则AB =a +b ,OC =a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因为·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, 所以⊥.由此,得∠A BC =90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D 、E 、F 分别是△A BC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△D EF 的重心不变.图10证明:如图10.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△D EF 的重心坐标为(3,3m m a +).当t=0或t=1时,△A BC 的重心也为(3,3m m a +),故对任一t 1∈[0,1],△D EF的重心不变.点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△A BC的重心和时刻t1的△D EF的重心相同即可.（五）课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.（六）作业2.5.2 向量在物理中的应用举例一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。

必修4第二章 平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示【内容分析】向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点.【学习目标】1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念；2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义；3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力.【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量.【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？ 图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研 究的问题！ 二、学习探究1.向量的物理背景与概念阅读探究 请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B CD 图2.1.1-1B 南西东北A 图2.1.1-2归纳概括 向量的概念，既有 又有 ，这种量我们称为 ；（链接1） 挖掘拓展（1）你还能生活中一些“向量”的实例？（2）图2.1.1-3是教材P74页中的四个图，图中出了标出的力的方向外，还有其它的力存在吗？若有，请你标出来；（3）生活中还有“年龄、身高、面积、体积、热量”等这些量与向量的区别在哪里？它们又叫什么量呢？（4）你怎样理解向量的大小与方向？它的大小怎样度量？用什么来度量？有单位吗？方向又如何考察？方向又何作用？能不能不管方向？请举例说明！2.向量的表示我们知道向量是既有大小又有方向的量，怎样表示它呢？请同学们阅读教材75页，并对教材进行分析感悟完成下列填空（1）向量的表示法有 、 、 ；字母表示法：用字母a 、b 、c 等表示，你能举例吗？ 几何表示法：用有向线段表示，其三要素为 、 、 ；有向线段法：用有向线段的起点与终点字母表示，如图2.1.1-4中AB ．（2）向量的模：向量AB 的 称为向量的模，记作|AB |，AB 的模就是线段AB 的 ， 向量a 的模记为 .（3）重要结论：①长度为 的向量叫零向量，记作0,0的方向是任意的 ②长度为 个单位长度的向量，叫单位向量．挖掘拓展 （1）向量b 的表示法有什么含义？0与0有区别吗？区别在哪里？（2）零向量和单位向量的意义分别是什么？零向量、单位向量的定义都只限制了大小，定方向呢？怎么理解，请举例说明？（3）向量与有向线段的有区别吗？区别在哪里？（链接2）3.平行向量 观察图2.1.1-5中三个向量之间有怎样的位置关系？平行向量的概念：方向 的非零向量叫平行向量.，向量a 、b 平行记作a b . 挖掘拓展 ①我们规定 与任一向量平行，对于任意向量a 都有0a .②平行向量记法拓展：若向量a 、b 、c 平行，可记作a ∥b ∥c .③零向量与任一向量平行，是否单位向量也与任一向量平行呢？●快乐体验 判断下列结论是否正确，并说明理由（1）所有的单位向量都是相同的（ ）；（2）物理学中的作用力与反作用力是一对平行向量（ ）；（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是平行向量（ ）；（4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量（ ）.（链接3）三、典例赏析图2.1.1-3图2.1.1-4 图2.1.1-5例1（ 课本75页例1）请同学们先独立做一做，在看解答.解：●解后反思 该题的题型如何？怎样求解的？|AB |也表示A 、B 两点的距离吗?●变式练习 某人从A 点出发向西走了250m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了250m 到达D 点．（1） 作出向量AB ,BC ,CD ；（2）求向量DA 的模.例2.判断下列命题真假或给出问题的答案：(1)平行向量的方向一定相同.(2)长度不相等的向量一定不平行．(3)两个单位向量一定平行.(4)与任何向量都平行的向量一定是零向量.(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 向量.●解后反思 求解该题用到哪些知识？前面容易混淆的概念是哪些？●变式练习 下面各组向量的终点构成什么图形？(1)把所有单位向量移到同一个起点；(2)把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；(3)把平行于某一直线的一切向量移到同一起点. 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量的概念、表示法及其重要性质都理解与掌握了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学与课堂美在哪里吗？五、学习评价1.下列不是向量的是（ ）（A ）浮力 （B ）风速 （C ）位移（D ）密度2.下列命题正确的是 ( )（A ）共线向量都相等（B ）单位向量都相等（C ）平行向量不一定是共线向量（D ）零向量与任一向量平行3.下列说法正确的是 ( )（A ）方向相同或相反的非零向量是平行向量； （B ）零向量是0 ．（C ）长度相等的向量叫做相等向量； （D ）共线向量是在一条直线上的向量．4.已知a 、b 是任意两个向量,下列条件: ①a =b ; ②b a =; ③a 与b 的方向相反; ④0 =a 或0 =b ;⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 平行的有_____．5.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c与b 必定 _____．（填共线，不共线，相等）◆承前启后 本节课我们学习了向量的相关概念，那么与向量还有哪些知识呢？怎样运算呢？能比较大小吗？【学习链接】链接 1.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.链接2.向量不一定是线段，线性代数中n 维的有序数组都是向量，而n 大于3时，就无法线段来表示了，只是一个抽象的意义。

高考数学平面向量与应用举例数学作为一门基础学科，一直是各级教育的重中之重。

在高考数学中，平面向量是一个重要的知识点。

掌握好平面向量，可以帮助我们更好地理解解析几何和向量的应用。

在本文中，我将详细介绍平面向量及其应用，并提供一些实用的例子来帮助大家更好地理解和掌握平面向量的应用。

一、平面向量的定义和性质平面向量是由大小和方向组成的量，在平面直角坐标系中用有向线段表示。

举个例子，如果有两个有向线段$\vec{v}$和$\vec{w}$，分别表示由点A到点B和点C的位移向量，那么我们可以定义这两个向量的加法、减法和数乘如下：加法：$\vec{v}+\vec{w}$，表示由点A到点B再到点C的位移向量。

减法：$\vec{v}-\vec{w}$，表示从点B到点A和点C之间的向量。

数乘：$k\vec{v}$，表示由点A到点B的位移向量的$k$倍。

此外，平面向量还具有以下性质：交换律：$\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$结合律：$(\vec{v}+\vec{w})+\vec{u}=\vec{v}+(\vec{w}+\vec{u})$数乘结合律：$k(l\vec{v})=(kl)\vec{v}$数乘分配律：$(k+l)\vec{v}=k\vec{v}+l\vec{v}$二、平面向量的应用以上是平面向量的基本概念和性质，实际上平面向量在数学和物理中的应用非常广泛。

以下是几个常见的例子：1. 向量投影向量投影是指从一点向另一点的有向线段所对应的向量开始，在某一方向上的分量，也就是将向量“分解”在某一个方向上。

具体地，假设有一个向量$\vec{v}$和方向向量$\vec{u}$，向量$\vec{v}$在方向$\vec{u}$上的投影为：$$\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|u\|^ 2}\vec{u}$$其中，“$\cdot$”表示向量的数量积。

2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标0OCOBOAABC +重心,则=（教师首先提问：1）若O为+1|BCAD|DCABCD|,则这个四边形|=2（）水渠横断面是四边形 ,,=且AB2为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

平面向量的应用教学案本篇文章将介绍平面向量的应用教学案，从实际应用角度出发，结合具体案例和问题，引导学生理解和掌握平面向量的概念、性质以及应用技巧。

通过实际问题的解决，培养学生的问题解决能力和创新思维，提高他们的数学素养和应用能力。

一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1. 了解平面向量的概念及其性质；2. 掌握平面向量的表示方法及其相互关系；3. 学会使用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的团队合作、创新思维和问题解决能力。

二、教学内容1. 平面向量的概念和性质a. 平面向量的定义和表示方法；b. 平面向量的相等与相反；c. 平面向量的加法和减法；d. 平面向量的数量积和数量积的性质。

2. 平面向量的应用案例a. 位移向量与平移问题；b. 力的合成与分解问题；c. 向量模型在几何图形中的应用；d. 向量模型在力学问题中的应用。

三、教学过程1. 引入通过一个与学生生活相关的实际问题引入平面向量的概念，如风速、速度等问题，激发学生的兴趣。

2. 概念讲解通过板书、讲解、示意图等方式介绍平面向量的定义、表示方法和性质，注意生动形象地展示，引导学生理解。

3. 理论讲解结合具体示例，逐步讲解平面向量的加法、减法以及数量积的计算方法和性质，引导学生掌握相关技巧和概念。

4. 应用案例分析a. 位移向量与平移问题通过实际问题引导学生分析位移向量与平移问题，如物体的平移、地图的缩放等，让学生运用平面向量解决实际问题。

b. 力的合成与分解问题通过示意图和具体案例，引导学生理解力的合成与分解问题，如物体受力情况的分析、力的平衡问题等，让学生能够应用平面向量解决力学问题。

c. 向量模型在几何图形中的应用通过几何图形的案例，引导学生理解向量模型在几何图形中的运用，如三角形的垂心、内心、外心等问题，培养学生的几何思维能力。

d. 向量模型在力学问题中的应用通过实际力学问题，如斜面上物体的运动问题、绳索受力问题等，引导学生灵活运用平面向量解决力学问题。

高中数学教案平面向量的运算与应用高中数学教案：平面向量的运算与应用一、引言平面向量是高中数学中的重要概念之一，它在数学中具有广泛的应用价值。

本教案将介绍平面向量的基本运算，包括向量的加减法、数量乘法以及向量的模、方向角等概念。

同时，还将探讨平面向量在几何、物理等领域的应用，帮助学生更好地掌握和应用平面向量。

二、平面向量的基本概念1. 向量的定义在平面上，向量可以用有向线段表示。

其中，有向线段的方向由箭头表示，长度表示向量的大小。

向量通常用小写字母加箭头表示，如$\overrightarrow{AB}$。

2. 向量的加法对于平面上的两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$，它们的和记作$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$，可以通过首尾相连进行几何运算。

3. 向量的减法对于平面上的两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$，它们的差记作$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$，可以通过首尾相连进行几何运算。

4. 向量的数量乘法对于一个向量$\overrightarrow{AB}$和一个实数$k$，它们的数量乘记作$k\overrightarrow{AB}$，表示将向量的长度按照比例进行拉伸或缩放。

5. 向量的模向量$\overrightarrow{AB}$的模表示向量的长度，记作$|\overrightarrow{AB}|$，可以通过勾股定理计算。

6. 向量的方向角向量$\overrightarrow{AB}$的方向角表示向量与平行于$x$轴正方向的夹角，记作$\alpha$。

可以通过三角函数计算，其中\[\alpha = \arctan\left(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\right)\]三、平面向量的运算规律1. 交换律：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}+\overri ghtarrow{AB}$2. 结合律：$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{EF}=\over rightarrow{AB}+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF})$3. 数量乘法结合律：$k(l\overrightarrow{AB})=(kl)\overrightarrow{AB}$4. 数量乘法分配律：$(k+l)\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AB}$5. 加法与数量乘法的分配律：$k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})=k\overrightarrow{AB}+k\ overrightarrow{CD}$相关练习及讲解请见附表.四、平面向量的应用1. 向量的位移在平面上，可以将向量看作物体的位移，通过矢量的加减法计算物体的位置变化。