高中数学 第2章 第23课时 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
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2019秋高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课件新人教A版必修4
2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式： 若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
[变式训练] 如图所示，已知在▱ABCD 中，AB＝3， AD＝1，∠DAB＝π3，求对角线 AC 和 BD 的长．
解：设A→B＝a，A→D＝b，a 与 b 的夹角为 θ，则|a|＝3， |b|＝1，θ＝π3.
（5 3）2＋2×0＋（5 3）2＝5 6. 答案：5 6
5．已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2， 0)移动到 B(－2，3)，则 F 对物体所做的功为________焦．
解析：由已知位移A→B＝(－4，3)， 所以力 F 做的功为 W＝F·A→B＝2×(－4)＋3×3＝1. 答案：1
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的 条件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以 用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，则
△ABC 的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面． (1)要证明两线段相等，如 AB＝CD，则可转化为证明： A→B2＝C→D2. (2)要证明两线段平行，如 AB∥CD，则只要证明：存 在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D成立，且 AB 与 CD 无公共点． (3)要证明两线段垂直，如 AB⊥CD，则只要证明数量 积A→B·C→D＝0.
答案：(1)C (2)A
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
[变式训练] 如图所示，已知在▱ABCD 中，AB＝3， AD＝1，∠DAB＝π3，求对角线 AC 和 BD 的长．
解：设A→B＝a，A→D＝b，a 与 b 的夹角为 θ，则|a|＝3， |b|＝1，θ＝π3.
（5 3）2＋2×0＋（5 3）2＝5 6. 答案：5 6
5．已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2， 0)移动到 B(－2，3)，则 F 对物体所做的功为________焦．
解析：由已知位移A→B＝(－4，3)， 所以力 F 做的功为 W＝F·A→B＝2×(－4)＋3×3＝1. 答案：1
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的 条件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以 用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，则
△ABC 的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面． (1)要证明两线段相等，如 AB＝CD，则可转化为证明： A→B2＝C→D2. (2)要证明两线段平行，如 AB∥CD，则只要证明：存 在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D成立，且 AB 与 CD 无公共点． (3)要证明两线段垂直，如 AB⊥CD，则只要证明数量 积A→B·C→D＝0.
答案：(1)C (2)A
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
2018-2019学年人教A版必修4第二章平面向量本章整合课件(35张)
1 + 3
1=2 3.
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
解法二 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y 2).
∵|a|=|b|= 1, 2 2 2 2 ∴������1 + ������1 = ������2 + ������2 =1. ∵3a- 2b=(3x1- 2x2,3y 1-2y 2), ∴|3a- 2b|= (3������1 -2������2 )2 + (3������1 -2������2 )2 =3. ∴x1x2+y 1y2= 3. ∴|3a+b|= (3������1 + ������2 )2 + (3������1 + ������2 )2
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
例 2 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b= 0,则| a+b-c|的取值范围为
( ) A.[1, 3] B.[0, 3] D.[0, 2+1] C.[ 2-1, 2+1]
解析:∵a· b=0,且|a|=|b|=1,∴|a+b|= 2. ∴|a+b|+|c|= 2+1,|a+b|-|c|= 2-1, ∵|a+b|-|c|≤|a+b-c|≤|a+b|+|c|, ∴ 2-1≤|a+b-c|≤ 2+1, 即|a+b-c|∈[ 2-1, 2+1],故选 C. 答案:C
与 BA 相交于 E.求
证明 :∵O,E,D 三点共线 ,
∴向量������������ 与向量������������ 共线 ,则存在实数 λ1,使得������������ =λ1������������ ,而
1=2 3.
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
解法二 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y 2).
∵|a|=|b|= 1, 2 2 2 2 ∴������1 + ������1 = ������2 + ������2 =1. ∵3a- 2b=(3x1- 2x2,3y 1-2y 2), ∴|3a- 2b|= (3������1 -2������2 )2 + (3������1 -2������2 )2 =3. ∴x1x2+y 1y2= 3. ∴|3a+b|= (3������1 + ������2 )2 + (3������1 + ������2 )2
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
例 2 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b= 0,则| a+b-c|的取值范围为
( ) A.[1, 3] B.[0, 3] D.[0, 2+1] C.[ 2-1, 2+1]
解析:∵a· b=0,且|a|=|b|=1,∴|a+b|= 2. ∴|a+b|+|c|= 2+1,|a+b|-|c|= 2-1, ∵|a+b|-|c|≤|a+b-c|≤|a+b|+|c|, ∴ 2-1≤|a+b-c|≤ 2+1, 即|a+b-c|∈[ 2-1, 2+1],故选 C. 答案:C
与 BA 相交于 E.求
证明 :∵O,E,D 三点共线 ,
∴向量������������ 与向量������������ 共线 ,则存在实数 λ1,使得������������ =λ1������������ ,而
人教课标版高中数学必修4《平面向量应用举例》名师课件
1 2
b)．
因此n(a＋b)＝
1 2
b＋m(a－
1b)，
2
即(n－m)a＋(n＋ m 1 )b＝0．
2
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
nm0
由解于 得向n＝量ma＝、13b不．共所线以，AR要＝使13上A式C ．为0，必须n
m 1 2
0
同理 TC
＝1
3
AC ．于是 RT
＝1
3
AC
．
所以AR＝RT＝TC．
例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°， 作AE⊥BD交BC于E，求 BE 的值．
EC
【解题过程】
方法一：(基向量法)
设 BA ＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2．
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，BD ＝a＋b．
设BE ＝λBC ＝λb，则 AE ＝BE － BA＝λb－a．
4
即
，得m＝
4 5
，∴
BE EC
5 6
2 3
．
5
【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是
选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，
求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得
几何命题的证明．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
知识梳理
（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系．
（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题 转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把 所得的数学结论回归到物理问题．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高一数学人教A版必修4课件：第二章 平面向量
第二章 平面向量章末复习课内容索引0102理网络明结构探题型提能力0304理网络·明结构探题型·提能力题型一 数形结合思想在向量中的运用解析 建立如图所示的直角坐标系.答案 C反思与感悟 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质.(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用.答案 C题型二 基底思想在解题中的应用则易知OM⊥BC.答案 反思与感悟 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.这样，几何问题就转化为代数问题.题型三 向量坐标法在平面几何中的运用例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这种解题方法具有普遍性.解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知-2呈重点、现规律1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.。
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课件新人教A版必修4[1]
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第十三页，共23页。
类型二 向量在物理中的应用 [例 2] 两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方 向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
第十七页，共23页。
(2)如图所示，设A→C为水流速度，A→D为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作▱ACED，
当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸． 根据题意知 AC⊥AE， 在 Rt△ADE 和▱ACED 中， |D→E|＝|A→C|＝2，|A→D|＝4，∠AED＝90°， ∴|A→E|＝ |A→D|2－|D→E|2＝2 3， 3÷2 3＝0.5 (h)，sin∠EAD＝12， ∴∠EAD＝30°. ∴船实际航行速度大小为 4 km/h，与水流成 120°角时能最快到 达 B 码头，用时 0.5 小时．
第三页，共23页。
2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
第四页，共23页。
|自我尝试|
1．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1， F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C. 5
D．－ 5
解析：F1＋F2＝O→F1＋O→F2＝(1,1)＋(－3，－2) ＝(－2，－1)．
【解析】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－ 4j)·(－13i－15j)＝－5.
类型二 向量在物理中的应用 [例 2] 两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方 向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
第十七页，共23页。
(2)如图所示，设A→C为水流速度，A→D为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作▱ACED，
当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸． 根据题意知 AC⊥AE， 在 Rt△ADE 和▱ACED 中， |D→E|＝|A→C|＝2，|A→D|＝4，∠AED＝90°， ∴|A→E|＝ |A→D|2－|D→E|2＝2 3， 3÷2 3＝0.5 (h)，sin∠EAD＝12， ∴∠EAD＝30°. ∴船实际航行速度大小为 4 km/h，与水流成 120°角时能最快到 达 B 码头，用时 0.5 小时．
第三页，共23页。
2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
第四页，共23页。
|自我尝试|
1．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1， F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C. 5
D．－ 5
解析：F1＋F2＝O→F1＋O→F2＝(1,1)＋(－3，－2) ＝(－2，－1)．
【解析】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－ 4j)·(－13i－15j)＝－5.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
最新-高中数学 第二章《平面向量》教学课件 新人教A版必修4 精品
练习4 n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)
共线且方向相同?
答案： n= 2
思考: 何时 n=±2 ?
平面向量复习
设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，
例3
求证：A、B、D 三点共线。 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到
λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
B A
2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD －BC－CA
分析 利用加法减法运算法则，借助结论
AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0 进行变形.
解：（1） 原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB
2
2
2
解：∵ a = 2e1 + e2 = 2e1 + e2
= 4e1 2 + 4e1 e 2 + e 2 2
2
2
= 4 e1 + e2 + 4 e1 × e2 ×cos60°
= 4×1+ 4×1×1×1 + 1 = 7 2
∴ a 7 同理可得
b 7
4、设e1, e2为两个单位向量 ， 且夹角为60o， 若a 2e1 e2,b 3e1 2e2， 求a与b的夹角.
a b 2e1 e2 3e1 2e2
高中数学 2.5.2平面向量的应用举例课件 新人教A版必修4
反思小结 观点提炼
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系， 再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
完整版ppt
8
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
完整版ppt
9
[作业精选，巩固提高]
• 题：A组：3，4. B组：2.
完整版ppt
10
2.5.2平面向量的应用举例
完整版ppt
1
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
问题1：你能掌握物理中的哪些矢量？
完整版ppt
2
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
用向量研究物理问题的方法: 问题转化，即把物理问题转化为数学问题； 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 ν 和 ν2 的夹角，α为锐
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
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(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各 力对物体做功的代数和之间有什么关系？
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分析：本题主要考查将实际问题转化为向量问题的数学建模能
力．
解析：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和支持力 FN， 如图所示．拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为
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向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关 系进行讨论．
就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一 致，不同的只是用“向量和向量的运算”来代替“数和数的运 算”，这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向 量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关 于点、线、面的相应结果．
阅读教材 P111“例 3”及以下内容～P112，完成下列问题．
(1)物理中常见的向量有：力、速度、位移等． (2)力的合成与分解是向量的 加法运算，功是力与位移的
数量积．
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【练习 2】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力 F1 和 F2 的合力可按照向量加法的平行四边形法
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考点二 向量在物理中的应用
例 2 质量为 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝ 10 N 的作用下，在沿倾斜角为 θ＝30°的光滑斜面上滑行|s|＝2.0 m 的距离．(如图)
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功． (2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多 少？
则．( √ ) (2)若△ABC 为直角三角形，则A→B·A→C＝0.( × ) (3)若向量A→B∥C→D，则 AB∥CD.( × )
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2 新视点·名师博客 几何问题的三种研究方法 研究几何问题可以采取不同的方法，我们学过的方法包括： 综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行 讨论； 解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何 元素及其关系进行讨论；
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1
目标导航 1．会用向量方法解决简单的几何问题，力学问题与其他一些实际 问题．(重点) 2．学会用向量法解决实际问题的基本方法和利用向量解决几何问 题的“三个步骤”．(难点)
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1 新知识·预习探究 知识点一 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 阅读教材 P109～P111，完成下列问题．
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变式探究 1 如右图，等腰直角三角形 ABC 中，AC＝BC，D 是 BC 的中点，E 是 AB 上的点，且 AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
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证明：如右图，以 C 为坐标原点，以 CA、CB 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，
设|AC|＝|BC|＝a，∴B(0，a)，A(a,0)．
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【练习 1】 在△ABC 中，若|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，则△ABC
的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故|A→B ＋A→C|＝|A→B－A→C|.
答案：B
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知识点二 向量在物理中的应用
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变式探究 2 如图，在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重 力为 G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为 θ，绳子所受到的拉力为
如果把代数方法简单地表述为：形到数→数的运算→数到形， 则向量方法可简单表述为：形到向量→向量的运算→向量和数到形.
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3 新课堂·互动探究 考点一 平面向量在几何中的应用
例 1 如图，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PE ⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 DP，EF.
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点评：利用向量证明几何问题有两种途径： (1)基向量法：通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模 及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用 向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系． (2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、 垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法 必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化．
做功的代数和相等．
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17Biblioteka 点评：明确掌握用向量研究物理问题的相关知识．
(1)力、速度、加速度、位移都是向量； (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法， 运动的叠加亦用到向量的合成； (3)动量 mv 是数乘向量； (4)功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积．
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∵D 是 BC 中点，∴D0，a2. ∴AB＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)． C→E＝C→A＋A→E＝C→A＋23A→B
＝(a,0)＋23(－a，a)＝a3，23a. A→D＝0，a2－(a,0)＝－a，a2. ∴A→D·C→E＝－a，a2·a3，23a＝－a×a3＋a2×23a＝－a32＋a32＝0. ∴AD⊥CE.
求证：DP⊥EF.
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分析：
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解析：证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，AE＝a(0＜a＜1)， 则 EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝ 2a. 于是D→P·E→F＝(D→A＋A→P)·(E→P＋P→F)＝D→A·E→P＋D→A·P→F＋A→P·E→P＋ A→P·P→F＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋ 2a×a×cos45°＋ 2 a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以D→P⊥E→F，所以 DP ⊥EF.
WF＝F·s＝|F|·|s|cos0°＝20(J)． 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功， 所以 WN＝FN·s＝0. 重力对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．
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(2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)． (3)物体所受合外力的大小为 |F 合|＝|F|－|G|sinθ＝0.2(N)． 所以合外力对物体所做的功为 W＝F 合·s＝0.4(J)． 所以物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体