北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)

2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

2.7平面向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例题讲评（教师引导学生去做）例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.1111,2222,/./.ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DCAB D C O D ===+=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，1//.2DE ABC DE BC DE BC ∆=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且例2 ()11,,2211.221//.2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC ===-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以例3．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

7 向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是一平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|·n 0|?提示：如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝||.在Rt △MPN 中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos ∠PMN |＝|||×1×cos∠PMN | ＝||×|n 0|×|cos∠PMN |＝|·n 0|∴d ＝|·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] 以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB ＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m2)，∴|＝12 n 2＋m 2，|AB |＝m 2＋n 2，∴|CD |＝12|AB |，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，所以E (n 4，m4)，设F (x,0)，则AE ＝(n4，－34m )，AF ＝(x ，－m )，∵A 、E 、F 共线，∴AF ＝λAE ，解得(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，即x ＝n3，即F (n3，0)．AF ＝(n3，－m )． ∴|AF |＝13 n 2＋9m 2.即AF ＝13n 2＋9m 2.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行； (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直； (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，试求对角线AC 的长．讲一讲2．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且＝12，求k 及直线l 的方程．[尝试解答] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －22＋y －32＝1得，(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2 ∵＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0， ∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2. 过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当最大时，求直线l 的方程．解：可知圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝2 ∴＝cos ∠ACB＝2×2cos ∠ACB ＝4cos ∠ACB 当最大时，∠ACB 最小．连接CM ，当AB ⊥CM 时，∠ACB 最小 这时直线l 的法向量为：＝(12，1)－(1,0)＝(－12，1)． ∴l 的方向向量为(1，12)，∴l 的斜率为k ＝12故直线l 的方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0.讲一讲3. 一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106有∠ABD ＝60°， 于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示的坐标系，并取a ＝500，则AB ＝(2a cos 150°，2a sin 150°) ＝(－3a ，a )，AC ＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC ＝(－3a ，－3a )，|BC |＝23a ， 即|BC |＝1 000 3 (km)．又cos C ＝＝6a 2＋6a24a ×23a ＝32，C ＝30°， 结合图形可知BC 的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决；2．物理中的功是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.练一练3．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生的位移s＝(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功W的值．解：W＝(F1＋F2)·s，又F1＋F2＝(1, 2lg 2)，s＝(2lg 5，1)，所以W＝2lg 5＋2lg 2＝2.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．[巧思] 力的合成与分解满足平行四边形法则，合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化，从不等关系研究角的范围．[妙解](1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知－G＝F1＋F2.解直角三角形，得|F1|＝|G|cos θ，|F2|＝|G|·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大．(2)令|F1|＝|G|cos θ≤2|G|，得cos θ≥12.又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.1．过点A(2，3)，且法向量为n＝(2，1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A 由题意知，可取直线的方向向量为v＝(1，－2)，∴直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2，4) B．(－30，25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：选C 设5秒后点P运动到点A，则＝5v＝(20，－15)，∴OA＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC为钝角．4．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：设小船的静水速度为v，依题意|v|＝22＋102＝226.答案： 226 m/s5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝27.答案： 276．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.证明：以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A(b,0)，B(0，a)．∴AB＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴|AB|＝－b2＋a2＝c.故c2＝a2＋b2.一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D 取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )A．20.6 N B．18.8 NC ．20.8 ND ．36.8 N解析：选C设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则＝12，F 合＝，连接BD 交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2||＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N. 3．在△ABC 中，若＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定4．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空题5．已知F ＝(2，3)作用于一物体，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则力F 对物体做的功为________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：1 6．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O 到直线l 的距离为________．解析：可知直线l 的斜率k ＝－12， ∴l 的方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0， ∴原点到l 的距离为d ＝512＋22＝1.答案：17．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23×1) ＝－14. 答案：－148．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3. ∴∠AOB ＝2π3. ∴＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段AD 对应▱ABDC的对角线．∵|AC |＝4，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC |＝|AC |cos 30°＝2 3.∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 3 m/s.10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍． 证明：设△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如图：＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴＝(b cos A，b sin A)－(c,0)＝(b cos A－c，b sin A)，∴a2＝||2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bc cos A＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.。

2.7平面向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P118练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，−→−AB= a,−→−AC= b,−→−AH= h,则−→−BH= h a ,−→−CH= h b ,−→−BC= b a∵−→−BH−→−AC,−→−CH−→−ABC∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h∴−→−AH−→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点[展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比， 有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=22．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算−→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

§7 向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例●三维目标1．知识与技能(1)理解点到直线的距离公式的推导并能应用．(2)会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：掌握点到直线的距离公式，并能用向量处理简单实际问题．难点：用向量法解决平面几何问题．(教师用书独具)●教学建议本小节包括向量在两方面的应用，一是向量在平面几何中的应用，二是向量在解析几何中的应用．教科书通过例题说明向量在这两方面的应用．教学中要注意通过例题教学，总结用向量解题的一般方法，让学生体会向量的工具作用，从而建立向量与平面几何、解析几何的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．教学中要让学生注意两个方面，一是通过实例，体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象．●教学流程由直线的方向向量引入学习直线的法向量．⇒引导学生推导点到直线的距离公式．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握向量方法解决平面几何问题的思路．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握向量在解析几何中的应用．⇒掌握向量在物理中的应用，引导学习例3及变式训练．⇒归纳整理本节知识，整体把握向量的应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比直线的方向向量的定义思考，与直线l 垂直的非零向量是否也是特殊向量？ 【提示】 是，为直线的法向量．1．与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．2．若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量为n ＝(A ，B )，与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝(A A 2＋B 2，B A 2＋B 2).n 为直线l 的法向量，P 为直线l 上任一点，点M 是平面内一定点且不在直线l 上，那么点M 到直线l 的距离d 与向量PM →，n 有怎样的关系？【提示】 点M 到直线l 的距离d 即为向量PM →在向量n 方向上的射影的绝对值，即d ＝|PM →·n ||n |.若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.图2－7－1如图，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .【思路探究】选择一组基底来表示BP →，DC →→ BP →·DC →＝0→BP →⊥DC →→BP ⊥DC【自主解答】 设PD →＝λCD →并设正三角形ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ(23BA →－BC →)＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →，设P A →＝kEA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →， 于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k λ＝13k，解得λ＝17，∴PD →＝17CD →，∴CP →＝67CD →，∵CD →＝23BA →－BC →，∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(23BA →－BC →)＝17BC →＋47BA →， ∴BP →·CD →＝(17BC →＋47BA →)·(23BA →－BC →)＝221BC →·BA →－17BC →2＋821BA →2－47BA →·BC →＝221a 2cos 60°－17a 2＋821a 2－47a 2cos 60° ＝521a 2－1021a 2×12＝0， ∴BP →⊥CD →，∴BP ⊥CD .1．解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算．图2－7－2如图2－7－2所示，已知▱ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝FD . 求证：四边形AECF 是平行四边形．【解】 由已知可设AB →＝DC →＝a ，BE →＝FD →＝b ，故AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b ，FC →＝FD →＋DC →＝b ＋a . 又∵a ＋b ＝b ＋a ，则AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， 故四边形AECF 是平行四边形.已知点A (－1,2)，直线l ：4x －3y ＋9＝0，求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程．【思路探究】 法一 先由直线的方程找到直线的方向向量u ，再设所求直线上一点P ，(1)利用AP →∥u 求方程，(2)利用AP →·u ＝0求方程．法二 先由直线的方程找到直线的法向量n ，再设所求直线上一点Q ，(1)利用AQ →·n ＝0求方程．(2)利用AQ →∥n 求方程．【自主解答】 法一 (1)与直线l 平行的一个向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点，则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行， ∴AP →∥u ，∴3(y －2)－4(x ＋1)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个方向向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点， 则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AP →·u ＝0，∴3(x ＋1)＋4(y －2)＝0， 化简得3x ＋4y －5＝0.即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.法二 (1)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)， 设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行，∴AQ →·n ＝0，∴－4(x ＋1)＋3(y －2)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)，设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AQ →∥n ，∴－4(y －2)－3(x ＋1)＝0，化简得3x ＋4y －5＝0. 即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.利用方向向量及法向量求直线的方程，其关键在于探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系．1．所求直线与已知直线平行则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直． 2．所求直线与已知直线垂直则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∴MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)． 依题设MA →＝2AN →，则(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .又∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，则x 2＋y 2＝1. 故点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。

高中数学第二章《平面向量》全部教案北师大版必修4 第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。

问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等。

注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−AB 注意：起点一定写在终点的前面。

2.7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联. 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念, 向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中, 可以使物理题解答更简捷、更清晰. 并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象, 研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量, 比如力、速度、加速度、位移等都是向量, 这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1) 力、速度、加速度、位移等既然都是向量, 那么它们的合成与分解就是向量的加、减法, 运动的叠加亦用到向量的合成;(2) 动量是数乘向量;(3) 功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法. ①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题; ②认真分析物理现象, 深刻把握物理量之间的相互关系; ③利用向量知识解决这个向量问题, 并获得这个向量的解; ④利用这个结果, 对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题. 教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较, 得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型. 同时, 注重向量模型的运用, 引导解决现实中的一些物理和几何问题. 这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型, 掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤, 明了向量在物理中应用的基本题型, 进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决, 进一步培养学生的数学应用意识, 提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用. 养成善于发现生活中的数学, 善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1. 运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点: 将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1 课时教学过程导入新课思路1. (情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法. 那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样, 是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中, 教师展示物理模型, 由此展开新课. 思路2. ( 问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等, 既有大小又有方向, 都是向量, 学生很容易就举出来. 进一步, 你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具, 对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识. 我们可以通过对下面若干问题的研究, 体会向量在物理中的重要作用. 由此自然地引入新课.推进新课 应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单 杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度解释这种现象吗？图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题 •这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题•只要分析清楚F 、G 0三者之间的关系（其中，F 为F i 、F 2的合力）， 就得到了问题的数学解释•在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察 | F|、|G 、0之间在变化过程中所产生的相互影响 •由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤 ，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证•用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化 ，即把物理问题转化为数学问题；②模 型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解一一理 论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象• 解:不妨设|F i |=| F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道通过上面的式子，我们发现：当0由0°到180。

2.7 向量应用举例1．假设M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C ＝0距离为____________．预习交流1点(2,4)到直线y＝2x－1距离是__________．2．与直线方向向量垂直向量为该直线法向量．设直线l：Ax＋By＋C＝0，那么它方向向量为________，它法向量为________．3．可运用向量方法证明有关直线平行与垂直、线段相等及点共线等问题，其根本方法有：(1)要证明两线段AB＝CD，可转化为证明AB→2＝CD→2；(2)要证明两线段AB∥CD，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立；(3)要证明两线段AB⊥CD，只要证明它们数量积AB→·CD→＝0即可；(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→；或假设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，只要证明存在一个实数t，使c＝t a＋(1－t)b；(5)求与夹角相关问题，往往利用向量夹角公式cos θ＝a·b|a||b|.预习交流2(1)假设四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，那么该四边形一定是( )．A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)在平面直角坐标系中，正方形OABC对角线OB两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，那么AB→·AC→＝__________.4．向量在物理中应用：(1)求力向量，速度向量常用方法：一般是向量几何化，借助于向量求与三角形法那么或平行四边形法那么求解．(2)用向量方法解决物理问题步骤：①把物理问题中相关量用向量表示；②转化为向量问题模型，通过向量运算使问题解决；③结果复原为物理问题．预习交流3向量可以解决哪些物理问题？答案：1．d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2预习交流1：d ＝|2×2－4－1|22＋(－1)2＝55.2．(B ，－A ) (A ，B )预习交流2：(1)B (2)1 解析：如下图，AB ＝(0,1)，AC ＝(－1,1)，A B ·A C ＝(0,1)·(－1,1)＝1.预习交流3：提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量合成与分解问题，以及与力做功相关问题．1．向量在平面几何中应用设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同四点，假设A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，那么称A 3，A 4调与分割A 1，A 2.平面上点C ，D 调与分割点A ，B ，那么下面说法正确是( )．A ．C 可能是线段AB 中点 B ．D 可能是线段AB 中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 延长线上在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD中点，AE 延长线与CD 交于点F ，假设AC →＝a ，BD →＝b ，那么AF →＝( )．A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b用向量证明平面几何问题方法，常见有两种思路．(1)向量线性运算法： (2)向量坐标运算法：2．向量在平面解析几何中应用点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 轨迹方程．思路分析：设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点坐标用M 点坐标表示出来，从而用PA→·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考察解析几何问题．点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上一点，假设RA →＝2AP→，求点P 轨迹方程．利用向量运算求轨迹要理解几何关系与向量表示内在联系，正确理解向量条件是解题根底．向量坐标表示，使向量成为解决解析几何问题有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点坐标表示，利用向量有关法那么、性质列出方程，从而使问题解决．3．向量在物理学中应用(1)一质点受到平面上三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)作用而处于平衡状态．F1，F2成60°角，且F1，F2大小分别为2与4，那么F3大小为( )．A．6 B．2 C．2 5 D．27(2)点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P 运动方向与v一样，且每秒移动距离为|v|个单位)．设开场时点P0坐标为(－10,10)，那么5秒后点P坐标为( )．A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，同质量细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？用向量解与物理相关题目思路首先应根据题目条件作出向量图，从图中观察合力与分力关系．在向量合成中，注意向量模并不是两向量模简单相加，只有在两向量方向一样时才可以相加．求合力大小，实际上是解三角形问题．注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s数量积；动量m v是数乘向量等．答案：活动与探究1：D 解析：∵C，D调与分割点A，B，∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)，那么C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，假设C 为AB 中点，那么AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义，故A 错误；对B ，假设D 为AB 中点，那么μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，那么0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确．迁移与应用：B 解析：如图，∵E 是OD 中点，∴OE ==14b .又∵△ABE ∽△FDE ，在△AOE 中，11.24AE AO OE a b =+=+活动与探究2：解：设点M (x ，y )为轨迹上任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，那么AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )．∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3，0. PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，3y 2.∵PA ·AM ＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．迁移与应用：解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)， 那么RA ＝(1－x 1，－y 1)，AP ＝(x －1，y )． 由2RA AP =，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y .代入直线l 方程得y ＝2x .所以，点P 轨迹方程为y ＝2x .活动与探究3：(1)D (2)C 解析：(1)因为力F 是一个向量，由向量加法平行四边形法那么知F 3大小等于以F 1，F 2为邻边平行四边形对角线长，故|F 3|＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 120°＝4＋16＋8＝28，所以|F 3|＝27.(2)由题意知，0P P ＝5v ＝(20，－15)，设点P 坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 坐标为(10，－5)．迁移与应用：解：设OA ，OB ，OC 三根绳子所受力分别是a ，b ，c ，那么a ＋b ＋c ＝0，a ，b 合力为c ′＝a ＋b ，|c ′|＝|c |，如图，在平行四边形OB ′C ′A ′中， 因为OB '⊥OC '，B C ''=OA '，所以|OA |＞|OB |，|OA |＞|OC |. 即|a|＞|b|，|a|＞|c|， 所以细绳OA 受力最大．1．假设向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，那么|F 1＋F 2|为( )．A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5D ．－52．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b .当a ·b ＜0时，△ABC 为( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，那么实数m 值是( )．A ．－1B ．1C ．2D ．－1或24．平面上不共线四点O ，A ，B ，C .假设OA→－3OB →＋2OC →＝0，那么|AB→||BC→|等于_______．5．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从A (20,15)移到点B (7,0)．其中i ，j 是x 轴，y 轴正方向上单位向量．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做功； (2)F 1，F 2合力F 对该质点做功．答案：1．C 解析：|F 1＋F 2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|＝|(－2，－1)|＝ 5.2．C 解析：∵a·b ＝|a|·|b|·cos A ＜0， ∴cos A ＜0，∴A 为钝角． ∴△ABC 为钝角三角形．3．D 解析：由于11－m ＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.4．2 解析：∵OA －3OB ＋2OC ＝0，∴(OA OB -)－2(OB OC -)＝0. ∴BA ＝2CB .∴|BA |＝2|CB |.∴AB BC＝2.5．解：(1)AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， ∴W F 1＝F 1·AB ＝－13－15＝－28(J)，W F 2＝F 2·AB ＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)． (2)F ＝F 1＋F 2＝(5，－4)，∴W ＝F ·AB ＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．。