学案41 空间几何体、三视图和直观图

第八章立体几何
学案41空间几何体、三视图和直观图
自主梳理
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是
________的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．
(3)棱台可由__________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形
________．
2．旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．
(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得
到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．
3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子
与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括________、____________、________.
4．空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成
对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝________.
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于__________的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线
段，长度变为___________________．
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于
x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________．5．中心投影与平行投影
(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．
(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的
图形．
自我检测
1．（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）
.A圆柱.B圆锥.C四面体.D三棱柱
2．．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台
3．（15北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
A．1 B C．2
4【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不．可能
．．是
探究点一空间几何体的结构
例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是________．
变式迁移1下列结论正确的是()
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
探究点二空间几何体的三视图
例22014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）
变式迁移2(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()
探究点三直观图及斜二测画法
例3
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()
变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()
A.
2
4a
2B．22a2C.2
2a
2D.22
3a
2
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是()
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
2．(2011·汕头月考)已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为()
A.2a2
B.
3 2a
2
C.
6
2a
2D.6a2
3．【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是
A 球
B 三棱锥
C 正方体
D 圆柱
4．(2011·福州质检)某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于()
A. 2
B. 3 C．1 D．2
学案41空间几何体、三视图和直观图
自主梳理
1．(1)平行平行长度相等全等(2)公共顶点
(3)平行于棱锥底面相似 2.(1)一边所在直线(2)一条直角边所在直线(3)垂直于底边的腰所在直线(4)直径 3.正视图侧视图俯视图 4.斜二测(1)45°(或135°) (2)x′轴、y′轴(3)不变原来的一半(4)不变
自我检测
1．A
2．【答案】D
3【答案】C【解析】
试题分析：四棱锥的直观图如图所示：
由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，
SA===.
4【答案】D
课堂活动区
例1③④⑤⑥
解析
①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.
变式迁移1D[
A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
D 正确．] 例2 【答案】B
变式迁移2 D [由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D .]
例3 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．
A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意．] 变式迁移3
B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S ′＝12·22·S ＝24S.可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2
，所以原平面四边形的面积S ＝a 22
4
＝22a 2.] 课后练习区 1．C
2．D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝3
4
(2a)2，
∴S ＝6a 2.] 3．【答案】D.
4．B [可以把该几何体形象为一长方体AC 1，
设AC 1＝a ，则由题意知A 1C 1＝AB 1＝BC 1＝2，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2＝6.
∴a ＝ 3.]。