8.1-8.2 高等数学第八章

第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域

高等数学农学教材目录1. 前言2. 第一章：数列与极限2.1 数列的概念与性质2.2 数列极限的定义与性质2.3 极限存在准则2.4 数列极限的计算2.5 无穷小量与无穷大量2.6 常用数列的极限3. 第二章：连续与导数3.1 函数的连续性与间断点3.2 导数的概念和性质3.3 导数的计算法则3.4 高阶导数与Leibniz公式3.5 隐函数与参数方程求导4. 第三章：微分学应用4.1 函数的凸性与曲率4.2 反函数求导4.3 高阶导数的应用4.4 微分中值定理与Taylor公式4.5 函数的渐近线与拐点5. 第四章：不定积分5.1 不定积分的概念和性质5.2 基本积分表5.3 定积分与不定积分的关系 5.4 牛顿-莱布尼茨公式5.5 积分换元法6. 第五章：定积分与其应用6.1 定积分的概念和性质6.2 定积分的计算方法6.3 定积分的应用6.4 反常积分7. 第六章：微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 一阶常微分方程7.3 高阶常微分方程7.4 变量分离与齐次方程7.5 二阶线性常系数齐次微分方程7.6 常系数线性非齐次微分方程8. 第七章：多元函数微分学8.1 二元函数及其偏导数8.2 隐函数求导与全微分8.3 二重积分及其应用8.4 三重积分及其应用8.5 曲线积分与曲面积分9. 第八章：无穷级数与幂级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的基本判别法9.3 幂级数的收敛范围和求和函数9.4 泰勒级数与函数的展开以上是《高等数学农学教材》的目录内容，涵盖了数列与极限、连续与导数、微分学应用、不定积分、定积分与其应用、微分方程、多元函数微分学、无穷级数与幂级数等主要内容。

希望本教材能为农学领域的学习者提供良好的数学基础，帮助他们更好地掌握与应用数学知识。

3
0 6
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
(1)21 1 2 1 2 27
7 7 12
（2）计算 Dj 。
8 1 5 1
9 3 0 6ຫໍສະໝຸດ D1 52 181 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
218 1
1 3 9 6
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12 a21
，x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得的。 其中分母 a11a22 a12a21 是由方程组的四个系数确定的。
定义1 将由4个数排列成2行2列〔横排为行，竖排为列〕并左右两 边各加一条竖线的算式
在行列式中，从左上角元素到右下角元素的这条直线称为主对 角线，从右上角元素到左下角元素的这条直线称为次对角线。二阶 行列式的展开式可用对角线法那么来记忆，即等于主对角线上两个 元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积，如图8-1所示。
图8-1
在例1中，若记 D a11 a12 ，则称D为二元线性方程组的 a21 a22
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
称为二阶行列式，用D表示。其中，aij (i ，j 1，2) 称为二阶行列 式的元素，简称元；元素 aij 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素 位于第 i 行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第 j 列；上式的 右端 a11a22 a12a21 称为二阶行列式的展开式。

第八章 多元函数微分学及其应用
以前研究的函数都是只有一个自变量的一元函数，但在自 然科学和工程技术中的很多问题都要取决于多个因素，从而产 生了有几个自变量的函数，称为多元函数．多元函数的微分学 是在一元函数微分学的基础上发展起来的．由于多元函数是一 元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但又由于 自变量的增多，也会产生某些本质的差别．因此在学习多元函 数的理论时，既要注意到它与一元函数的联系，又要弄清它们 之间本质的差别。
dz fx(x ，y)x f y(x ，y)y
由于 dx x，dy y 所以函数z=f(x, y)的全微分可记作
dz fx(x ，y)dx f y(x ，y)dy
三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式， 如三元函数u=f(x, y, z)的全微分存在，则
du f dx f dy f dz x y z
设P0(x0, y0)是平面上一点，称点集
(x ，y) (x x0 )2 ( y y0 )2
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
不是极值 不确定
利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函 数z=f(x, y)的极值的求法叙述如下：
（1）求一阶偏导数fx’(x, y)，fy’ (x, y)，并解方程组
fx(x ，y) 0 ，
f
y(
x
，y)
0
.
求得一切实数解，即求得一切驻点．
（2）对每个驻点(x0, y0)，求出二阶偏导数的值A，B， C。