高等数学讲义长期班(汪诚义)第八章138162

第八章空间解析几何与向量代数习题7-1★★1．填空：（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2） 要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mPQ n m m PR ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a AC ==B D , ，试用向量b a , 表示DA CD BC AB , , , 。

知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+B , ，又ABCD 为菱形，∴=（自由向量），∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=a b b aa b ∴2b a +==，2DA +=-a b★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点A 连接，试以a c == , 表示向量 , , 321D D D 和D 4。

知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，根据三角形法则，)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD D BD AD BD 同理：)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=A D A D A D习题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在xoy 坐标面上；B 在yoz 坐标面上；C 在x 轴上；D 在y 轴上。

目录集合与常用逻辑用语 (2)模块一：集合 (2)考点1.集合元素的互异性 (3)考点2.集合的描述法 (4)考点3.集合间的关系判断与逆向求参 (5)考点4.集合交并补运算 (5)模块二：常用逻辑用语 (6)考点5.四种命题及其真假判断 (8)考点6.命题充要性判断 (9)考点7.逻辑联结词及其真假判断 (10)考点8.全称、特称命题的否定 (10)课后综合巩固练习 (12)集合与常用逻辑用语模块一：集合1. 集合的定义某些确定的不同对象集在一起，就构成一个集合．集合中每一个对象称为该集合的元素． 2. 集合中元素的性质确定性：对于一个元素要么它属于某个指定集合，要么它不属于该集合，二者必居其一． 互异性：同一个集合的元素是互不相同的，相同的元素只能出现一次． 无序性：集合中的元素没有先后顺序． 注意：集合的互异性在解题中应用非常广泛，在解题时如果遇到集合中求解字母的值的问题，一定都要把值带回集合中检验，集合中是否有元素相等． 3. 集合的分类按元素的属性：数集（构成集合中的元素是数）、点集（构成集合中的元素数点）等． 按元素的个数：空集、有限集、无限集．4.1 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,⋯}4.2 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内例如：大于3的所有整数表示为：{x ∈Z|x >3}方程x 2−2x −5=0的所有实数根表示为：{x ∈R |x 2−2x −5=0} 4.3 图示法：Venn 图法例如：表示集合{1 , 2 , 3}4.4 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N ∗或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 复数集，记作C ． 5.1 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或A ⊇B ），读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”． 5.2 真子集如果集合A ⊆B ，并且存在x ∈B 且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作：A ⊊B ． 5.3 集合相等构成两个集合的元素完全一样．若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ． 5.4 空集：不含任何元素的集合叫做空集． 5.5 子集的个数：设集合A 中元素个数为n ，则：321①子集的个数为2n ，②真子集的个数为2n −1， ③非空真子集的个数为2n −2． 6.1 全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常用U 表示． 6.2 补集对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记住作∁U A ，如图6.3 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．交集A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}． 6.4 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}． 6.5 集合的简单性质： (1)A ⊆A ,∅⊆A ；(2)若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A ⊈ B ，B ⊈C ，则A ⊈ C ； (3)A ∩B =B ∩A ,A ∪B =B ∪A ； (4)A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆B ； (5)A ⊆A ∪B ,B ⊆A ∪B ；(6)A ∩∅=∅,A ∪∅=A ;(7)A ∩(∁U A)=∅,A ∪(∁U A)=U ,∁U (∁U A)=A ． 7. 容斥原理定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(∅)=0 基本公式：a. card(A ∪B)=card(A)+card(B)−card(A ∩B)b. card(A ∪B ∪C)=card(A)+card(B)+card(C)−card(A ∩B)−card(B ∩C)−card(C ∩A)+card(A ∩B ∩C)考点1.集合元素的互异性例1.（1）（2020•东湖区校级模拟）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A ∈，则(a = ) A ．3-或1-或2 B ．3-或1- C ．3-或2 D ．1-或2（2）（2019秋•九龙坡区校级期中）若1{x ∈，2}x ，则(x = ) A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-（3）（2020春•兴宁区校级期中）已知集合{0A =，m ，232}m m -+，且2A ∈，则实数m 为( ) A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可（4）（2019秋•嘉祥县校级期中）已知集合{2A a =-，24a a +，12}，且3A -∈，则a 等于( ) A ．1-B ．3-C ．3D ．3-或1-（5）（2013秋•青羊区校级月考）已知集合{2A a =+，2(1)a +，233}a a ++，若1A ∈，求实数a 的取值集合．例2.（2020春•莲湖区校级期末）若a ，b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求b a -的值考点2.集合的描述法例3.（1）（2019秋•郑州期末）下列关于集合的命题正确的有( ) ①很小的整数可以构成集合②集合2{|21}y y x =+与集合2{(,)|21}x y y x =+是同一个集合；③1，2，1||2-，0.5，12这些数组成的集合有5个元素④空集是任何集合的子集 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）（2019秋•普陀区校级月考）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为 ． （3）（2019秋•碑林区校级月考）已知集合5{|0}1x A x Z x +=∈-，则(A = ) A ．{0}B ．{5-，4-，3-，2-，1-，0}C ．{4-，3-，2-，1-，0}D ．{5-，4-，3-，2-，1-，0，1}（4）（2019秋•嘉定区期中）用列举法表示集合2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈=⎨⎬⎩⎭ ．（5）已知由实数构成的集合A 满足条件：若a A ∈，则1(0,1)1aA a a a+∈≠≠±-，则集合A 中至少有几个元素？证明你的结论．例4.（2016•上海）对于函数()f x ，()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>．（1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x x f x a =++，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=．求实数a 的取值范围．考点3.集合间的关系判断与逆向求参例5.（1）（2019•葫芦岛二模）已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为( )A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ．（2）（2019春•五华区校级月考）已知集合{1A =，2}，2{|60}B x x mx =-+=，若{2}A B =，则(B = ) A ．{5}B ．{2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}（3）（2020•成都模拟）已知集合{0A =，}x ，{0B =，2，4}，若A B ⊆，则实数x 的值为( ) A ．0或2 B ．0或4 C ．2或4 D ．0或2或4 （4）（2020•平城区校级一模）已知集合{}{2|320,|,M x x x N x y M N M =-+==若，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(-∞，1]（5）（2019秋•静宁县校级期末）已知集合{|(2)(22)0}A x x m x m =--+，其中m R ∈，集合1{|0}2x B x x -=+． （1）若1m =，求A B ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．考点4.集合交并补运算例 6.（1）（2020•新疆二模）已知全集U R =，{|1}A x x =-，{|1}B x x =，则集合()(UA B = )A ．{|1}x x -B ．{|1}x xC ．{|11}x x -D ．{|11}x x -<<（2）（2020•青岛模拟）已知全集U R =，集合2{|0}M x R x x =∈-，集合{|cos N y R y x =∈=，}x R ∈，则()(U M N = )A ．[1-，0)B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．∅（3）（2020•内三模）设全集U R =，集合{}11|(1)(3)0,|()24x A x x x B x ⎧⎫=--=>⎨⎬⎩⎭，则集合()U A B 等于( )A ．(1,2)B ．(2，3]C ．(1,3)D ．(2,3)（4）（2020•邯郸二模）已知集合{|log 31}a A a =>，{|39}a B a =>，则()(R A C B = )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，2]D ．(1，2]模块二：常用逻辑用语 一、命题1. 命题的概念我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．注意：并不是任何语句都是命题，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．也就是说，判断一个语句是不是命题的两要素：①命题是陈述句②可以判断真假． 2. 命题的四种形式(1)对于“若p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p ，q 进行“换位”和“换质（否定）”后，可以(2)3. 命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系： (1)互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以证它的逆否命题． (2)互逆或互否的两个命题与原命题不等价． 注意：注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．二、简单的逻辑联结词1. 且：用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q ，读作“p 且q ”． 逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”“定义集合的交集：A ∩B ={x|(x ∈A)∧(x ∈B)}． 2. 或：用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q ，读作“p 或q ”． 逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：A ∪B ={x|(x ∈A)∨(x ∈B)}． 3. 非：对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作¬p ，读作“非p ”或“p 的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：∁U A ={x ∈U|¬(x ∈A)}={x ∈U|x ∉A}． 4. 复合问题的真值表：不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．注意：“或”的含义不同，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选．而逻辑联词中的“或”可以是两个都选，也可以是两个中选一个．逻辑联词中的且相当于集合中的交集，即两个必须都选．三、充要条件1. 四种条件充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 成立的充分条件． 必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 成立的必要条件．充分且必要条件：如果p ⇔q ，则p 是q 的充要条件．既不充分也不必要条件：若果p ⇏q 且p ⇏q ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 2.利用集合思想判别四种条件设A ={x |x =满足条件P }，B ={x |x =满足条件q } (1)设若A ⊆B 且B ⊄A ，则称p 是q 的充分不必要条件． (2)设若A ⊄B 且B ⊆A ，则称p 是q 的必要不充分条件．(3)设若A ⊄B 且B ⊄A ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件． (4)设若A ⊆B 且B ⊆A ，则称p 是q 的充分且必要条件．四、全称量词与存在量词1. 概念全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题，“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”符号简记为：∀x ∈M,p(x)．读作：对任意x 属于M ，有p(x)成立．特称命题：含有存在量词的命题称为特称命题：“存在M 中一个x ，有p(x)成立”符号简记为：∃x ∈M,p(x)，读作：存在一个x 属于M ，使p(x)成立． 2. 全称与特称命题的否定存在性命题p ：∃x ∈A ，p(x)；它的否定是¬p ：∀x ∈A ，¬p(x)． 命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 全称命题q ：∀x ∈A ，q(x)；它的否定是¬q ：∃x ∈A ，¬q(x)． 命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．考点5.四种命题及其真假判断例7.（1）（2019秋•长春期末）关于“4a b +=，则a ，b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是( )A ．原命题为真，逆命题为假B ．原命题为假，逆命题为真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题（2）（2020春•三台县期中）命题“若220x y +=，则x 、y 全为0”的逆否命题是( ) A ．若x 、y 全为0，则220x y +≠ B ．若x 、y 不全为0，则220x y += C ．若x 、y 全不为0，则220x y +≠D ．若x 、y 不全为0，则220x y +≠（3）（2019秋•渭滨区期末）命题“若(1)0x x -=，则0x =或1x =”的否命题为( ) A ．若(1)0x x -≠，则0x ≠或1x ≠ B ．若(1)0x x -≠，则0x ≠且1x ≠C ．若0x ≠或1x ≠，则(1)0x x -≠D ．若0x ≠且1x ≠，则(1)0x x -≠例8.（1）（2019秋•阳泉期末）与命题“若实数x y ≠，则cos cos x y ≠”等价的命题是( ) A ．若实数x y =，则cos cos x y = B ．若cos cos x y =，则实数x y = C ．若cos cos x y ≠，则实数x y ≠D ．若实数x y ，则cos cos x y（2）（2019春•阿克苏市期末）原命题：“设a ，b ，c R ∈，若a b >，则22ac bc >”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有( )个． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个考点6.命题充要性判断例9.（1）（2020•浦东新区三模）“a b =”是“||||a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件（2）（2020•四川模拟）“4sin 25α=”是“tan 2α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（3）（2020•重庆模拟）“1a =”是“直线2(1)30x a y ++-=和直线20x ay -++=垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例 10.（1）（2020春•贵池区校级期中）方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是( ) A ．2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ．1k >或1k <-（2）（2020•潍坊模拟）若0x >，则2020x a x+恒成立的一个充分条件是( ) A ．80a >B ．80a <C ．100a >D ．100a <考点7.逻辑联结词及其真假判断例11.（1）（2019秋•阳泉期末）如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题．那么( )A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 为真命题，q 为假命题D ．命题q 和命题p 的真假不同（2）（2019秋•景德镇期末）已知命题p 和q ，若p q ⌝∨为真，p q ∧为假，则下列一定为真命题的是( ) A ．p ⌝B ．q ⌝C ．pD ．q例12.（1）（2020•全国I 卷模拟）已知命题0:[0p x ∃∈，]π，使得0sin x a <，命题q ：对1[2x ∀∈，3]，11a x +>，若p q ∧为真命题，则a 的取值范围是( )A ．4(0,)3B ．(0,3)C ．4(1,)3D ．(1,3)（2）（2019秋•武昌区校级期末）设命题:p x N ∃∈，22x x >；命题q ：当x R ∈时，22log (2)3x x -解集为[2-，4]，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝（3）（2019秋•界首市期末）已知命题:p x R ∃∈，2(1)10x a x +-+<．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(1,3)-D ．[0，2]考点8.全称、特称命题的否定例13.（1）（2020•济南模拟）已知命题p ，x R ∀∈，12x xe e +，则p ⌝为( ) A ．x R ∃∈，12x x e e + B ．x R ∃∈，12x x e e +< C ．x R ∃∈，12x xe e+D ．x R ∀∈，12x xe e+（2）（2020•河北区二模）命题“000,1x x R e x ∃∈>+”的否定是( ) A ．x R ∀∈，1x e x <+B ．000,1x x R e x ∃∈<+。

心之所向，所向披靡第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。

例如：+-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1)1(1111则[]S =+-+-- 11111,1S S =- ,12=S 21=S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。

1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。

因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。

∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++ （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。

S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。

）2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

高中数学复习讲义 第一板块：函数、导数一、 常见的基本初等函数1、b kx x f +=)(（一次函数）；2、)0()(2≠++=a c bx ax x f （二次函数）3、)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f （三次函数）；4、)0()(≠=k xkx f （反比例函数）；5、)0(||)(≠+=k b kx x f （V 形函数）；6、xk x x f +=)(（k ＞0）（对钩函数）；7、xkx x f +=)()0(<k ；8、a a x f x ()(=＞0且)1≠a （指数函数）9、a x x f a (log )(=＞0且)1≠a （对数函数）；10、αx x f =)(（幂函数）； 11、x x f sin )(=（正弦函数）；12、x x f cos )(=（余弦函数）；13、x x f tan )(=（正切函数）。

二、函数的性质（一）函数的单调性判定方法： 1、定义法：①I x x ∈21,且1x ＜2x ； ①②⇒③（证明单调性，主要用于抽象函数）②)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f ＞)(2x f ；②③⇒①（解抽象不等式、超越不等式） ③)(x f 在I ↗或)(x f 在I ↘。

①③⇒②（利用函数单调性求值域）⎩⎨⎧=--=单调递减在负，单调递增在正，I x f I x f x x x f x f k )()()()(2121；⎩⎨⎧=∆-∆+='=→∆单调递减在负，单调递增在正，I x f I x f x x f x x f x f k x )()()()(lim)(02、复合函数单调性遵循同增异减原则。

3、子母同性法（函数在母区间的单调性与子区间的单调性相同）。

4、运算法则法（增+增=增，减+减=减）。

5、移缩依旧法（平移变换与伸缩变换不影响函数的单调性）。

6、奇函数在其对称区间单调性相同，偶函数在其对称区间单调性相反，原函数与反函数的单调性一致）。

第八章 若当标准形一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点矩阵的相似问题一直是高等代数中的重点研究对象，除了前面所谈到的化矩阵为对角形的方法外我们还可以从其他渠道探讨这个问题.比如，周知~存在可逆矩阵使得.但是A ⇔B P 1B P AP -=寻找可逆矩阵往往是件比较困难的工作，因此我们可论证等价性成立：（或论P E A E B λλ-≅-证它们有相同的标准形），那么就相当于~ ；此外，对不能对角化的矩阵我们也可以研究将其A B 化成上（下）三角形或准对角形──若当（Jordan ）标准形.作为理论准备，矩阵的标准形理论是本章的重点之一. 通过矩阵的初等变换求其标准-λ-λ形是最基本的要求；了解矩阵的不变因子、行列式因子以及初等因子这三个重要概念并掌握它-λ们的性质、相互之间的关系和求法等技术方面的工作，是本章的关键.讨论矩阵的相似标准形是本章的主要目的. 本章的难点有如下几个方面：掌握矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子这三个重要概念以及它们的性质、关系-λ和求法；●理解并掌握两个数字矩阵与相似的充分必要条件，以及数字矩阵与对角矩阵相似A B A 的充分必要条件；●充分发挥最小多项式的性质在讨论矩阵的相似标准形中的作用；●掌握矩阵的Jordan 标准形的求法、性质及其应用.三、本章的基本知识要点 （一）矩阵的概念和性质λ-1.设是一个数域，是一个文字，如果矩阵的每个元素都是的多项式，即 F λn m ⨯()A λλ=，那么，就是一个关于的多项式矩阵，简称为矩阵.如果 ，()A λ(())ij m n a λ⨯()A λλ-λn m =则称为阶矩阵.()A λn -λ2. 如果在矩阵中，有一个阶子式不为零，一切阶子式（如果存在）全-λ()A λ(1)r r ≥1r +为零，则称的秩为，记为.()A λr (())r A r λ=注意：① ；(())0r A λ=⇔()0A λ=② 若是一个数字阶矩阵，则必有.A n ()r E A n λ-=3. 设是阶矩阵，若存在阶矩阵使得()A λn -λn -λ()B λ ()()()()A B B A E λλλλ==则称是可逆的，并称是的逆矩阵，记为.()A λ()B λ()A λ1()()B A λλ-=4．注意：（1）一个阶矩阵是可逆的充要条件为行列式：.n -λ()A λ()0A c λ=≠（2）若是可逆时，则有，其中是伴随矩阵.()A λ)(|)(|1)(*1λλλA A A =-()A λ*()A λ（3）在数字矩阵中，阶矩阵是可逆的充分必要条件是行列式（即是满秩矩阵），但n A ||0A ≠A 对于矩阵来说，当矩阵的行列式时，矩阵未必是可逆的，即满秩的矩阵未-λ|()|0A λ≠()A λ-λ必是可逆的. （二）初等矩阵λ-1、由阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换得到的阶矩阵称为初等矩阵.其n E -λn -λ-λ有三种不同的类型，分别是、与，而且都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是(,)P i j (())P i k (,(()))P i j ϕλ同类的初等矩阵.-λ2、对的矩阵进行一次初等行变换，相当于在的左边乘上相应的阶初等m n ⨯()A λ()A λm 矩阵；而对进行一次初等列变换，就相当于在的右边乘上相应的阶初等矩阵.-λ()A λ()A λn -λ3．矩阵可逆的充分必要条件是可表成一系列初等矩阵的乘积. -λ()A λ()A λ-λ4．注意：(1) 由于在矩阵的第二类型的初等变换中，不允许用一个非常数的多项式去乘或除矩-λ()ϕλ阵的某一行（列），这导致了矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换在性质上有些区别，这请读λ-者充分注意.(2) 等价的矩阵具有相同的秩、行列式因子、不变因子和初等因子.-λ（三）矩阵的标准形λ-1．矩阵不变因子λ-设的矩阵的秩为，那么可经过一系列的初等变换化成对角矩阵m n ⨯-λ()A λr ()A λ, ()11()()(),,(),0,,000r r d d diag d d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()*即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使m ()P λn ()Q λ，()()()P A Q λλλ=()1(),,(),0,,0r diag d d λλ= 其中是首一多项式，且()i d λ(1,2,,)i r = .1()(),(1,2,,1)j j d d j r λλ+=- 并称※式为矩阵的标准形.其中称为的不变因子.-λ()A λ12(),(),,()r d d d λλλ ()A λ注意：若是一个阶数字矩阵，则的特征多项式必有A n A （1）；12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= （2）所有不变因子的次数之和.1(())n i i d n λ=∂==∑2、矩阵的行列式因子λ-（1）设的矩阵的秩为，那么对于正整数的全部阶子式m n ⨯-λ()A λr ,1,k k r ≤≤()A λk 的首项系数为1的最大公因式，称为的阶行列式因子，记为.()A λk ()k D λ（2）不变因子与行列式因子之间的关系是：12(),(),,()r d d d λλλ 12(),(),,()r D D D λλλ ，，……， （I ）11()()D d λλ=212()()()D d d λλλ=12()()()()r r D d d d λλλλ= （3）两个矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子.-λ（4）阶可逆矩阵的各阶行列式因子是，进一步，n -λ()A λ12()()()1n D D D λλλ====的不变因子是()A λ，12()()()1n d d d λλλ==== 从而知道矩阵的标准形是单位矩阵.即可逆的矩阵的标准形是单位矩阵，反过来，如果()A λE -λ矩阵与单位矩阵等价，那么一定是一个可逆矩阵.-λ()A λ()A λ3. 矩阵的初等因子与阶数字矩阵的初等因子λ-n （1）把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，-λ()A λ所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为的初等因子.()A λ特别地，如果为阶数字矩阵，的特征矩阵的初等因子习惯上称为的初等因子.A n A E A λ-A （2）设为阶数字矩阵，若特征矩阵等价于下列的对角形矩阵（不一定是标准形）A n E A λ-，1()()()n h B h λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中都是首一多项式. 那么将分解成互不相同的一次因式的方幂（相同的必须按出现的()i h λ()i h λ次数计算）就是的全部初等因子.A 4. 不变因子、行列式因子与初等因子之间的关系矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子之间存在有密切关系，它们之间可以互相-λ()A λ导出.（1）如果已知不变因子，直接使用定义可得到初等因子，利用上面的12(),(),,()r d d d λλλ 关系式（I ）可导出行列式因子.12(),(),,()r D D D λλλ （2）如果已知行列式因子，同样可以利用关系式（I ）导出不变因子12(),(),,()r D D D λλλ ，从而得出初等因子.12(),(),,()r d d d λλλ （3）如果已知矩阵的秩及其初等因子，这时可以将全部初等因子按不可约因子的方幂()A λr 降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行.如果不可约因子的方幂的个数不足个，则在后面r 用1补足，这时全体不可约因子的方幂排成下列的形式：11121212221211122212(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),r r s s sr t t t t t t i i ir t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥= 那么，矩阵的不变因子是()A λ，12112()()()()sr r r t t t s d P P P λλλλ= ，11121212()()()()s r r r tt t s d P P P λλλλ---= ……………… 1112112()()()()s t t t r s d P P P λλλλ= 依此就可以得到矩阵的行列式因子.12(),(),,()r D D D λλλ 下图列出了矩阵及其标准形，不变因子，行列式因子以及秩与初等因子之间的关系.在计算过程中，读者可以根据具体情况采用适当的步骤进行.（四）矩阵的等价、数字方阵相似和对角化的条件λ-1．设与都是的矩阵，那么有下列等价条件：()A λ()B λm n ⨯-λ（1）与等价与有相同的标准形； ()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（2）与等价与有相同的不变因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（3）与等价与有相同的行列式因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（4）与等价与有相同的秩和初等因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（5）与等价存在一系列初等矩阵和使得()A λ()B λ⇔-λ12,,,s P P P 12,,,t Q Q Q ；1212()()s t PP P A Q Q Q B λλ= （6）与等价存在可逆矩阵和使得.()A λ()B λ⇔-λ()P λ()Q λ()()()()P A Q B λλλλ=注意：两个阶数一样的矩阵仅是初等因子相同时，不能保证它们等价.例如矩阵-λ如的初等因子相同，但它们不等价.10()01A λλλ-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)(1)0()00B λλλ-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设都是阶数字矩阵，那么有下列关于矩阵相似的等价条件：,A B n （1）~与等价；A ⇔B E A λ-E B λ-（2）~与有相同的标准形；A ⇔B E A λ-E B λ-（3）~与有相同的不变因子；A ⇔B E A λ-E B λ-（4）~与有相同的行列式因子；A ⇔B E A λ-E B λ-（5）~与有相同的初等因子（或者与有相同的初等因子）；A ⇔B E A λ-E B λ-A B （6）~与有相同的若当标准形.A ⇔B A B 3．设是阶数字复矩阵，那么有下列等价条件：A n （1）与对角矩阵相似的充分必要条件是的不变因子没有重根；A E A λ-（2）与对角矩阵相似的充分必要条件是的初等因子都是一次的；A A （3）与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根；A A （4）与对角矩阵相似的充分必要条件是每个特征根的代数重数等于几何重数.A A （五）数字矩阵的若当标准形与有理标准形 从前面所谈论的化矩阵为对角形矩阵可知，并不是所有的阶数字矩阵都能相似对角化，虽然n 如此，但对于实数域上的阶对称矩阵，即实对称矩阵是一定与一个实对角矩阵相似的.于R n A A 是，我们自然会提出这样一个有待解决的重要问题：当一个矩阵不与对角矩阵相似时，能否退而求其次，使相似于一个比对角矩阵稍为复杂，但仍能给计算和研究带来便利的某种标准形呢？这就A 是我们下面要介绍的矩阵的若当标准形与有理标准形.1．矩阵的若当标准形（1）设是一个复数，形式为0λ0000000001000(,)00100001t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当（Jordan ）块. 而由若干个若当块组成的准对角矩阵（分块对角矩阵）(,)i i J t λ1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为若当形矩阵，其中参数可以是相等，也可以是不相等.12,,,s λλλ （2）由于若当块的特征矩阵的各阶行列式因子是0(,)J t λ0(,)E J t λλ-，1210()()()1,()()t t t D D D D λλλλλλ-=====- 因此，它的不变因子是.1210()()()1,()()t t t d d d d λλλλλλ-=====- 由此即得，的初等因子是，也就是若当块的初等因子.由于若当块0(,)E J t λλ-0()t λλ-0(,)J t λ完全被它的级数与主对角线上的元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子0(,)J t λt 0λ中.因此，若当块是由它的初等因子唯一决定的.0()t λλ-（3）类似地，我们可以求得若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的初等因子是.1212(),(),,()s t t t s λλλλλλ--- 也就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子是由它的全部若当块的初等因子构成的.而每个若当块是由其初等因子来决定的，由此可见，若当形矩阵除去其中的若当块排列的次序外，是被它的初等因子唯一决定的.（4）若当形矩阵的主要结论是：复数域上任一个阶矩阵都相似于一个若当形矩阵C n A ，1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 这个若当形矩阵称为的若当标准形.A （5）设是一个阶矩阵，是的若当标准形，那么A n J A ●存在可逆矩阵，使得；T 1T AT J -=●与有相同的秩与行列式；A J ●与有相同的特征多项式与最小多项式；A J ●特征矩阵与有相同的行列式因子；E A λ-E J λ-●与（或者与）有相同的不变因子与初等因子.E A λ-E J λ-A J （6）对于复数域上的维线性空间的任一个线性变换，在中必存在有一组基C n V σV ，使得在此基下的矩阵是一个若当形的.12,,,n ααα σ（7）每个阶的复数矩阵都与一个下（或上）三角形矩阵相似，其主对角线上的元素刚好n A 是矩阵的全部特征值. 即存在可逆矩阵，使A T （下三角形矩阵），110*n T AT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中是矩阵的全部特征值.如果是一个多项式，则的全部特征值是1,,n λλ A ()g λ()g A，即1(),,()n g g λλ .11()0()*()n g T g A T g λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2．矩阵的有理标准形在上面我们讨论了复数域上任何一个阶矩阵可相似于一个若当形矩阵，下面我们将在任意C n 一个数域上来讨论类似的问题，而且证明了上任意一个阶矩阵必相似于一个有理标准形矩F F n 阵.（1）对于数域上的一个多项式F ，12121(),1n n n n n f a a a a n λλλλλ---=+++++≥ 称矩阵122100001000010000100001n n n a a a A a a ---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 是多项式的伴侣阵.()f λ多项式的伴侣阵的不变因子（即是的不变因子）是()f λA E A λ-，.121()()()1n d d d λλλ-==== ()()n d f λλ=（2）设阶矩阵的不变因子是n A 121,,1,(),(),,()k k n d d d λλλ++ 其中的次数大于等于1，并且假设分别是的()k i d λ+12,,,n k N N N - 12(),(),,()k k n d d d λλλ++ 伴侣阵，这时我们称分块对角矩阵12n k N N F N -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵的有理标准形.A （3）数域上的任意一个阶矩阵必相似于它的有理标准形（因为它们具有相同的初等因F n A 子）.注意：若当标准形在复数域上是一定存在的，而有理标准形在任何数域上都是存在的.（六）最小多项式及其性质 1．零化多项式与最小多项式设是一个数域，是上的阶数字矩阵，如果数域上的多项式使得，F A F n F ()f x ()0f A =则称以为根或为的零化多项式.()f x A ()f x A 在以为根的多项式中，次数最低且首一的多项式称为的最小多项式，记为.A A ()A m λ2、哈密顿─凯莱定理设是一个数域，是上的阶数字矩阵，记的特征多项式为F A F n A12121()n n n A n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 那么 12121()0n n n A n n f A A a A a A a A a E ---=+++++= 即的特征多项式是的零化多项式.同时，还有A A *12231211211()()()()n n n n n n E A A a A a a A a a E λλλλλλ-------=++++++++++ 3、最小多项式的性质设是数域上的阶数字矩阵，为的最小多项式.A F n ()A m λA （1）最小多项式是唯一的；（2）设，则的充分必要条件是；特别地，矩阵的最小()[]g F λλ∈()0g A =()()A m g λλA 多项式是的特征多项式的一个因式.()A m λA ()A f E A λλ=-（3）若是一个阶数字矩阵，且的特征多项式为A n A 12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= 那么；()()A n m d λλ=1()()A n f D λλ-=（4）的特征根都是根.A ()A m λ（5）设都是阶数字矩阵，如果相似，即~；,AB n ,A B A ⇔B ()()A B m m λλ=（6）设是准对角形，且分别是的最小多项式，那么1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ()i m λi A ；()A m λ12[(),(),,()]s m m m λλλ= （7）阶若当块t0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式.0()()t J m λλλ=-（六）主要定理与结论定理1 假设都是阶数字矩阵，如果存在阶数字矩阵满足,A B n n 00,P Q 00()E A P E B Q λλ-=-则矩阵与相似.A B 作为矩阵多项式，矩阵也有下列的带余除法定理.-λ定理2 设是数域上的两个阶矩阵，其中(),()A B λλF n -λ1011(),(),0,1,,.m m m m i n B B B B B B M F i m λλλλ--=++++∈= 如果可逆，则存在矩阵及，满足0B -λ(),()L L Q R λλ(),()R R Q R λλ，，()()()()L L A B Q R λλλλ=+()()()()R R A Q B R λλλλ=+其中分别是零或者，且满足上述条件的(),()L R R R λλ(())(()),(())(())L R R B R B λλλλ∂<∂∂<∂及是唯一的.表示矩阵中所有元素的最高次数.(),()L L Q R λλ(),()R R Q R λλ(())A λ∂()A λ如果把定理2的矩阵分别改成数字矩阵的特征矩阵，那么定理2变成下列的()B λA E A λ-定理.定理3 对于任何不是零的阶数字矩阵，以及矩阵与，一定存在矩阵n A -λ()U λ()V λ-λ与以及数字矩阵与使得()Q λ()R λ0U 0V ，.0()()()U E A Q U λλλ=-+0()()()V R E A V λλλ=-+定理3的一个常用推论是下面的定理4 设，则存在唯一的矩阵使得()[],()n f F A M F λλ∈∈-λ()Q λ.()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+证明：存在性的验证. 假设多项式1011()m m m m f c c c c λλλλ--=++++ 那么，1011()m m m m f E c E c E c E c E λλλλ--=++++ 1011()m m m m f A c A c A c A c E--=++++ 取120121()m m m m Q D D D D λλλλ----=++++ 其中10110,0,1,, 1.kk i k k k i k k i D c A c A c A c A c k m ---===++++=-∑ 代入定理中，可以验证等式成立.唯一性的证明. 假设还存在有另一个矩阵使得-λ1()Q λ11()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+只要把两个等式相减，可以得到11(()())(()())Q Q A Q Q λλλλλ-=-再通过比较等式两边的次数，即可得到.■λ1()()Q Q λλ=定理5 阶数字矩阵的最大不变因子等于的所有初等因子的最小公倍式.n A ()n d λA 证明： 因为，将矩阵全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一()r E A n λ-=A 个不可约因子的方幂排成一行，不足个的在后面用1补足. 排列的形式如下：n 11112221221*********(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),n n s s sn t t t t t t i i in t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，不变因子 ，也就是等于所有初等因子的最小公倍式. ■1112112()()()()s tt t n s d P P P λλλλ= 定理6设阶矩阵的最小多项式为，证明：，其中是n A ()m λ()()n m d λλ=()n d λ的最后一个不变因子.E A λ-证明：设的全部初等因子是A 1111211121111112112(),(),,(),(),(),,(),r sr s s s sn n n rn n n s s s s s sr n n n n n n λλλλλλλλλλλλ⎧---≤≤≤⎪⎪⎨⎪---≤≤≤⎪⎩其中两两不同.这时 .12,,,s λλλ 121212()()()()sr r r sn n n n s d λλλλλλλ=--- 其次，由于相似于若当标准形A ，1112srs n n n J J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1,1,2,,.1,2,,.1ij i i n s i J i s j r λλλ⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于对角分块矩阵的最小多项式等于各分块矩阵最小多项式的最小公倍式，而且相似矩阵有相同的最小多项式，所以1111111()(),,(),,(),,()sr r s s n nn n s s m λλλλλλλλλ⎡⎤=----⎣⎦.■111()()()sr r s n ns n d λλλλλ=--= 定理7设是准对角形，且分别是的最小多项式，证明：1s A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()i m λi A ，其中表示的最小公倍式.()A m λ1[(),,()]s m m λλ= 1[(),,()]s m m λλ 1(),,()s m m λλ 证明：因为 ，所以，，1()()0()A A A s m A m A m A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1()()0A A s m A m A === 即是矩阵零化多项式，因此，故是()A m λ1,,s A A )(|)(,,)(|)(1λλλλA s A m m m m ()A m λ的一个公倍式.1(),,()s m m λλ 另一方面，任取的一个公倍式，则有，1(),,()s m m λλ )(λh 1()()0()s h A h A h A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭可见是矩阵的一个零化多项式，所以，. 再因为的首项系数为1，因)(λh A ()|()A m h λλ()A m λ此. ■()A m λ1[(),,()]s m m λλ= 定理8 相似矩阵具有相同的最小多项式.证明：设阶矩阵与相似，即存在可逆矩阵，使得.又设分n A B T 1B T AT -=12(),()m m λλ别是矩阵，的最小多项式，且设A B 12110()s s s m b b b λλλλ--=++++ 那么，我们有121100()s s s m B B b B b B b E--==++++ 1111102()().s s s T A b A b A b E T T m A T ----=++++= 所以，，是的零化多项式，而是的最小多项式，因此，2()0m A =2()m λA 1()m λA .12()|()m m λλ类似可以证明，.再从的首项系数为1，即可得到.■21()|()m m λλ12(),()m m λλ12()()m m λλ=四、基本例题解题点击1．矩阵的基本概念与计算λ-【例1】设有矩阵，-λ2222123(),()1253A B λλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭计算：（1）；（2）.()2()A B λλ-()()A B λλ⋅【提示及点评】矩阵的运算法则与数字矩阵的运算法则相同.-λ【例2】设，求.21()12A λλλλλ⎛⎫=⎪+++⎝⎭1()A λ-【提示及点评】可以按数字矩阵求逆的方法进行计算.【例3】设，求.00()1001A λλλλ=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()nA λ【解】因为00100000()1001010001001010A EB λλλλλλ==+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而，所以可以应用牛顿二项式定理来进行计算.EB BE B ==0111222()()n nnk n k k n n n n n n n k A E B C E B C E C B C B λλλλλλ---==+=⋅=++∑. ■1(1)21200nn nn n n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【知识扩展提示】题目可以扩充为对任意阶数的若当块,0000000001000(,)00100001t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭求.0(,)nJ t λ【例4】设有矩阵-λ2221211111()2211,()2131221023A B λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+-+--+=-+++=---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试求矩阵使得(),()L L Q R λλ，()()()()L L A B Q R λλλλ=+其中或者.()0L R λ=(())(())L R B λλ∂<∂【提示及点评】此例子主要介绍矩阵的带余除法定理.-λ【解】首先把矩阵表示成矩阵多项式的形式：(),()A B λλ22012100120111()010121211002101012A A A A λλλλλ---=++-=++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭01101111()010*********B B B λλλ--=+--=+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后借助于多项式除以多项式的运算，我们有01B B λ+2012A A A λλ++100()L Q B A λλ-=210100A B B A λλ-+1101100()B A B B A --+-111002()A B B A A λ--+1111100101100()()A B B A B B A B B A λ----+-112101100()()L R A B B A B B A λ--=--所以，，1110001100211()()134002L Q B A B A B B A λλλλλ-----⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭.■112101100250()()169205L R A B B A B B A λ--⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭【知识扩展提示】题目如果是求矩阵使得，则在-λ(),()R R Q R λλ()()()()R R A Q B R λλλλ=+做多项式除法的时候，注意矩阵与相乘时的左右方向即可.01B B λ+()R Q λ2．求矩阵的标准形、行列式因子、不变因子与初等因子λ-（1）行列式因子的计算方法一：直接使用行列式因子的定义进行计算.【例5】设有矩阵-λ，2221211()2211122A λλλλλλλλλλλ⎛⎫-+-+- ⎪=-+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于矩阵的元素中含有非零常数1，所以一阶行列式因子.或者是由于下列()A λ1()1D λ=所有多项式{}2221,21,1,2,21,1,,1,22λλλλλλλλλλ-+-+--+++-+-的最大公因式是1，所以.1()1D λ=对于二阶行列式因子. 由于的2阶子式一共有9个，一一计算比较麻烦，我们只2()D λ()A λ要找出特别的几个出来，看它们是否互素即行. 由于2阶子式与22211λλλλ-++-2211211λλλλ-+-+++是互素的，即最大公因式是1，所以二阶行列式因子.2()1D λ=最后计算三阶行列式因子，由于矩阵的3阶子式只有1个，所以3()D λ()A λ. ■65432311()|()|(2338385)2D A a λλλλλλλλ==++--+-【注意】由于使用定义的方法求行列式因子的计算过程比较麻烦，因此一般很少用，除非是矩阵比较简单.()A λ方法二：先用初等变换化简矩阵，一般情况是化简成为标准形或者对角形，再对简化后的-λ矩阵求行列式因子.-λ【例6】设有矩阵-λ111()2131023B λλλλλ+--+=----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于(1)(3)1111023()2132131023111B λλλλλλλλλ↔+--+--=------+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32100010002447λλλ-→→--+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此，所求的行列式因子是，. ■12()()1D D λλ==3237()222D λλλλ=-+-方法三：对于特殊类型的矩阵（如对角形、上下三角形等等），可以先求出阶数大的行列-λ式因子，再利用的关系，求出阶数低的行列式因子.1()|()k k D D λλ-【例7】设有下列矩阵-λ①；②1221000100010()0000001n n n a a a A a a λλλλλλ--⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭31104101()0021001A λλλλλ--⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+- ⎪⎝⎭试求它们的行列式因子.【解】① 由于矩阵的行列式()A λ12121|()|n n n n nA a a a a λλλλλ---=+++++ 所以，,12121()n n n n n n D a a a a λλλλλ---=+++++ 又由于在中有一个阶的子式，故，于是，()A λ1n -110001(1)0000001n λλλ---=--1()1n D λ-=.231()()()1n n D D D λλλ--==== ② 显然，2243121()(1)(1)411D λλλλλλλ--+-==-++又其中的一个3阶子式，11010123021λλλ-+=++-由于三阶行列式因子并且还有，因此可见，于是3()|(23)D λλ+34()|()D D λλ3()1D λ=. ■21()()1D D λλ==（2）矩阵的标准形、不变因子与初等因子的计算-λ方法一：直接使用矩阵的初等变换，求矩阵的标准形，进而可以得到不变因子.-λ【例8】用初等变换求下列矩阵的标准形、不变因子与初等因子.-λ.222223222213()2322A λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪=--+-- ⎪ ⎪+++⎝⎭【提示及点评】在使用初等变换来求矩阵的标准形时，第一步应将矩阵左上角的元素变成-λ能够整除矩阵的所有元素，第二步才能消去矩阵的第一行与第一列的其余元素，重复这个过程即可把矩阵化其标准形. 关键的一步是在矩阵的所有元素中直接找出一个或者经过加减运算后找出-λ一个元素，使其能够整除矩阵的所有元素.【解】2222222322232(1)(2)(1)2222212112()23222322022A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⋅-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=--+--−−−−→--+-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭1000(1)000(1)(1)λλλλλ⎛⎫⎪→→+ ⎪⎪+-⎝⎭于是，的不变因子，从而得出矩阵的初()A λ123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-等因子是.■,,1,1, 1.λλλλλ++-方法二：对于一些形如上（下）三角形、对角形等特殊的矩阵，可以先求其行列式因子-λ（或者初等因子），再利用不变因子与行列式因子的关系，求出不变因子，进而得到矩阵的标准形.【例9】求下列矩阵的标准形与不变因子.-λ①；②21000210()00210002A λλλλλ+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭22220(1)00(1)000()000100(1)0A λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭【解】① 显然，行列式因子，而且矩阵有一个3阶子式44()|()|(2)D A λλλ==+)(λA ，所以有，故的不变因子是 1002101021λλ+=+321()()()1D D D λλλ===)(λA ，，即的标准形是. 123()()()1d d d λλλ===44()(2)d λλ=+)(λA 410000100001000(2)λ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭② 虽然矩阵不是对角形，但可用初等变换化成对角形：)(λA 220(1)00(1)000λλλλ⎛⎫⎛⎫+-由此可得矩阵的初等因子是，而矩阵的)(λA 222,,,(1),(1),1,1,1λλλλλλλλ+++--秩=4，据此可知不变因子是，2123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，故矩阵的标准形是224()(1)(1)d λλλλ=+- . ■22210000(1)0000(1)(1)0000(1)(1)λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+- ⎪+-⎝⎭（3）有关数字矩阵的初等因子的计算【例10】求下列数字矩阵的初等因子（以及不变因子，相应特征矩阵的行列式因子）...308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【提示及点评】对于计算数字矩阵的初等因子，其实其过程与求矩阵的若当标准形一样. 计算方法与求一般矩阵的初等因子是一样的.-λ【解】因为(2)(3)1308308316111205205E A λλλλλλλλ+⋅----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-−−−−→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭210002(1)000(1)/2λλ-⎛⎫⎪→→+ ⎪⎪-+⎝⎭因此，所求的初等因子是，不变因子是，2(1),1λλ++2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+行列式因子是. ■3123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ==+=+3．有关矩阵等价的判断与证明λ-【例11】判断下列两个矩阵是否等价？，010001()000000A λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭010100()000000B λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭【提示及点评】利用矩阵等价的6个方法之一进行判断.-λ【解】易见，矩阵与的行列式因子都是)(λA )(λB 241234()()1,()(),()()D D D D λλλλαλλα===+=+因此，矩阵与是等价的. ■)(λA )(λB 【例12】对于任意的阶矩阵，证明与等价.n -λ)(λA )(λA )(/λA 【提示及点评】可以证明它们有相同的行列式因子或者有相同的标准形.【解】假设矩阵的标准形是)(λA ()1()(),,(),0,,0r D diag d d λλλ= 因此，存在可逆矩阵使得，两边取转置得到)(,)(λλQ P )()()()(λλλλD Q A P =，从而知道与有相同的标准形，所以与)()()()()(////λλλλλD D P A Q ==)(λA )(/λA )(λA 等价.■)(/λA 4．有关数字矩阵的特征矩阵（特征多项式、凯莱定理）的应用A E A λ-【例13】设有矩阵，求，其中是正整数.130240121A -=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭nA n 【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算.【解】设是矩阵的特征多项式，那么计算可得()||f E A λλ=-A 322()452(2)(1)f λλλλλλ=-+-=--再根据计算的要求，取多项式，并令（带余除法）nA ()ng λλ=2()()()n g f q a b cλλλλλλ==+++分别把代入，得到 .又因为是特征多项式2,1λλ==422,1na b c a b c ++=++=1λ=的2重根，所以，对上式两边求导后有()f λ///1()()()()()2n g f q f q a b n λλλλλλλ-=+++=再代入得到，.求解上面关于的联立方程组，我们可以得到1λ=2a b n +=,,a b c 121,223,22n n n a n b n c n+=--=-+=-因此，.■12323(12)02(12)23206(12)799271n n n n n n n A aA bA cE n n +⎛⎫--+ ⎪=++=--+-+⋅ ⎪ ⎪-+--⋅+⎝⎭【注意】关键是如何利用矩阵A 的特征值，找到关于的联立方程组.,,a b c 【例14】设有矩阵，及多项式，求130240121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭119653()461f λλλλλλλ=-+--+-.1()f A -【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算.【解】因为特征多项式，再由带余除法得到32()||452g E A λλλλλ=-=-+-2()()()(759933)f g q λλλλλ=+-+-因此，由哈密顿—凯莱定理得到,22433780()75993325238703997779f A A A E -⎛⎫ ⎪=-+-=- ⎪ ⎪--⎝⎭再求其逆，得到. ■43141354512811355511469113513590()0f A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【注意】此题型的计算量比较大，关键是掌握其计算的方法与技巧.【例15】如果是一个阶可逆矩阵，导出使用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵的公式.A n 1-A 【解】假定矩阵的特征多项式是A 12121()||n n n n nf E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 则由凯莱定理知道，121210n n n n n A a A a A a A a E ---+++++= 而，因此，(1)||0n na A =-≠1231211()n n n n nA A a A a A a E E a -----⋅++++= 即矩阵的逆矩阵A . ■11231211()n n n n nA A a A a A a E a ------=++++ 【知识扩展提示】题目可以改成：证明存在一个实系数多项式，使得.)(x g )(1A g A=-【例16】设是任意一个阶矩阵，且A n 12121()||n n n n nf E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 证明：的伴随矩阵是的多项式，并且A *A A .*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ 【证明】由上例知道，123121(1)()n n n n n A A a A a A a E a E----⋅-++++= 而，代入上述，可以得到||(1)||nn a A A =-=-1123121(1)()||n n n n n A A a A a A a E A E-----⋅-++++=所以，.■*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ 5．相似矩阵的判断与证明【例16】判断下列矩阵3253212610,222123365A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是否相似.【提示及点评】要判断两个矩阵是否相似，通常的方法是先求出它们的不变因子（或行列式因子、或初等因子），如果它们相同，则相似，否则不相似.当然，如果两个矩阵的秩，行列式，特征多项式或最小多项式有一个不相等，则它们一定不相似.要注意的是，即使它们的秩，行列式，特征多项式或最小多项式都相等，仍然不能确定它们是否相似.许多学生往往根据两个矩阵的特征多项式相同，就断定这两个矩阵相似，这是初学者常犯的一个错误，请读者给予充分的注意.【解】由于2325100261002012300(2)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭ 232110022202036500(2)E B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 从而，与有相同的不变因子，故与相似.■A B A B 【例17】假设多项式有个不同的根12121()n n n n n f a a a a λλλλλ---=+++++ n ，证明矩阵12,,,n λλλ 与 相似.1210000100001000001n n n a a A a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭12n B λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 【提示及点评】验证两个矩阵的不变因子相同即行.■【例18】下列形式的矩阵1100a b ⎛⎫⎪（其中称为上对角元素）称为海森伯格矩阵.试证明：两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相j b 似的充分必要条件是它们有相同的特征多项式.【提示及点评】计算特征矩阵的行列式因子，再依此进行证明.H E -λ【证明】由于特征矩阵112231000*n n a b a b E H a b a λλλλλ---⎛⎫⎪--⎪⎪-=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭如果，由于有一个阶的子式0(1,2,,1)jb j n ≠=- H E -λ1-n 1221121100(1)0n n n b a b b b b b λ------=-≠- 所以的行列式因子.由此得，的行列式因子是H E -λ1()1n D λ-=H E -λ.121()()()1,()()||n n H D D D D f E H λλλλλλ-======- 于是，两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相似于与有相同的1H 2H ⇔1H E -λ2H E -λ行列式因子. ■⇔)()(21λλH H f f =6．求矩阵的Jordan 标准形和有理标准形【例19】求下列数字矩阵的若当（Jordan ）标准形和有理标准形.（1）； （2）.308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭230002000042013A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【提示及点评】可以先求出矩阵的初等因子，然后由初等因子写出矩阵的若当标准形及有理标准形.【解】（1）由于2308308100316112401020520500(1)E A λλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+-→++→+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，初等因子是，因此矩阵的若当标准形与有理标准形分别是21,(1)λλ++A J F，.100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭100001012F -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（2）容易算得，矩阵的初等因子是，所以，若当标准形与有理标A 25,2,(2)λλλ---J 准形分别是F ，. ■52212J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭520414F ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭【知识扩展提示】从上面的例子可以看出，矩阵的若当标准形 = 有理标准形的充分必要A J F 条件是：矩阵的初等因子都是一次的.A 【例20】设. 求可逆矩阵，使得成为若当标准形.308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭T 1T AT -【提示及点评】这是求相似变换矩阵的问题. 可先求出若当标准形，然后通过求解线性方程组来求可逆矩阵.T 【解】由例19知道，矩阵的若当标准形是A .100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭设有可逆矩阵，使得，则.令，其中是列T 1T AT J -=AT TJ =()123,,T ααα=123,,ααα向量组，那么1122333,,,A A A ααααααα=-=-+=-所以，是的属于特征值的特征向量，且满足.13,ααA 1λ=-23,αα23()A E αα+=下面先求向量，因，所以是齐次线性方程组2α223()()0A E A E αα+=+=2α2()0A E X +=的非零解，并且满足()0A E X +≠又因为，所以每一个非零向量都是的非零解. 取2()0A E +=2()0A E X +=，则()/21,1,1α=/32()(12,9,6)0.A E αα=+=-≠再从齐次线性方程组()0A E X +=求出一个属于特征值的特征向量，此时取矩阵1λ=-/1(2,0,1)α=-()1232112,,019116T ααα-==-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则可逆，且T ■1100010011.T AT J --==--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．矩阵最小多项式的计算及在证明中的应用求阶方阵的最小多项式，通常采用如下三种方法：n A ()A m λ方法一试探法：首先求出的特征多项式，然后写出中包含的所A ()||f E A λλ=-()f λA 有互异特征值的因式，最后验证这些因子是否是的零化多项式，其中次数最低的首一多项式即是A .()A m λ方法二 求出的若当标准形，再利用A 1212()()()()tr r r A t m λλλλλλλ=--- 其中是的若当标准形中以为对角元的若当块的最高阶数.i r A J i λ方法三 当的阶行列式因子易于求得，利用求最小多项式.A 1-n 1()n D λ-1()()()A n f m D λλλ-=【例21】求下列矩阵的最小多项式.(1)； (2)；(3)2300020000420013A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭2123021200210002A ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【解】(1)因为，其包含的所有互异的特征值的因式有：3()||(2)(5)f E A λλλλ=-=--A ，直接计算有23(2)(5),(2)(5),(2)(5)λλλλλλ------，(2)(5)0A E A E --≠2(2)(5)0A E A E --=从而的最小多项式.A 2()(2)(5)A m λλλ=--(2) 显然可以求得的三阶行列式因子，而特征多项式，所E A λ-3()1D λ=4()(2)f λλ=-以最小多项式.443()()()(2)()A f m d D λλλλλ===-(3) 由例19知道，矩阵的不变因子是，所以最小A 2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+多项式是.■2()(1)A m λλ=+【例22】求指定的数字矩阵的最小多项式A (1) 4阶矩阵的元素均是1；A (2) ；123331313;3;31333J J J ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 已知3阶矩阵的特征值分别是1，-1，2，B 325A B B =-(4) 的充分必要条件是什么？()()A A f m λλ=(5) 若的特征值都是单根，那么对吗？A ()()A A f m λλ=【解】(1)由于，而计算知道，所以最小多项式是3()||(4)A f E A λλλλ=-=-(4)0A E A -=.()(4)A m λλλ=-【知识扩展提示】题目可扩充为如果阶矩阵的所有元素都是且不为零，求其最小多项式.n A a (2) 可以把矩阵看作若当标准形矩阵，其最小多项式由各个若当块的最小多项式的最小公倍式组成. 因此，3个矩阵的最小多项式分别是；；1()[3,3,3]3J m λλλλλ=---=-222()[(3),3](3)J m λλλλ=--=-333()[(3)](3)J m λλλ=-=-(3) 由于，而且矩阵的特征值分别是1，-1，2，由此，可以求得矩阵的特325A B B =-B A 征值分别是-4，-6，-12.故的特征多项式，由此得到的最小多A ()(4)(6)(12)A f λλλλ=+++A 项式是.()(4)(6)(12)A m λλλλ=+++(4)对于阶数字矩阵，的充分必要条件是的行列式因子n A ()()A A f m λλ=E A λ-. 这可从计算公式得到.1()1n D λ-=1()()()A n f m D λλλ-=(5) 若的特征值都是单根，那么矩阵与一对角矩阵相似，从而知道最小多项式没A A ()A m λ有重根，再根据特征多项式与含有相同的的特征值，因此有. ■()A f λ()A m λA ()()A A f m λλ=【例23】求矩阵的全体零化多项式集.2300020000420013A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【提示及点评】求一个矩阵的零化多项式集，其实是求矩阵的最小多项式，再转化成一种零化。

《高等数学讲义》上、下册--目录樊映川等编《高等数学讲义》（上、下册）--目录樊映川等编第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化第五章极坐标1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例12.平面束的方程第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法。

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高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。

多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。

多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。

与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。

根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。

多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。

如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。

与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。

第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。

偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。

通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。

与偏导数相关的概念是全导数和全微分。

全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。

全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。

第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。

通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。

多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。

通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。

第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。

与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。

多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。

通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。

第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。

与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。

第八章 线性空间代数系统 n Km n K ×[]K xV非空集合 n 元向量m ×n 矩阵一元多项式任意元素数域 一般数域K 一般数域K 一般数域K 一般数域K 代数运算向量加法 向量数乘矩阵加法 矩阵数乘多项式加法 多项式数乘？性质 （1）~（8）（1）~（8）（1）~（8）？§1.1 线性空间的结构一、线性空间的定义与性质定义 设V 是一个非空集合，K 为数域。

在V 上定义了一个称为加法的代数运算：对,V αβ∀∈，在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称之为α与β的和，记作 γαβ=+；在K 与V 之间定义了一个称为数量乘法的运算：对V α∀∈及k K ∀∈，在V 中都有唯一的一个元素β与它们对应，称之为k 与α的数量乘积，记作k βα=。

如果上述两种运算满足以下八条运算规律：对,,,,V k l K αβγ∀∈∀∈（1）α +β = β +α（2）(α + β)+ γ = α +(β + γ)（3）V 中存在元素，记为θ 或0 ，使α + θ = α，V α∀∈称θ 为V 的零元素（4）对V α∀∈，V 中存在元素β，使 α +β = θ 称β为α的负元素（5）1α = α（6）(kl ) α = k (l α)（7）(k + l )α = k α + l α（8）k (α + β)= k α + k β则称V 构成数域K 上的一个线性空间。

例 数域K 上全体n 元向量的集合n K 对向量的加法及数量乘法，构成K 上的线性空间（称为数组向量空间）。

例 数域K 上全体m n ×矩阵的集合m nK×（也记为()m n M K ×）对矩阵的加法及数量乘法，构成K 上的线性空间（称为矩阵空间）。

例 数域K 上全体一元多项式的集合[]K x 对多项式的加法及数量乘法，构成K 上的线性空间。

对正整数n ，令{}[]()|()[],deg ()n K x f x f x K x f x n =∈<则[]n K x 对多项式的加法及数量乘法也作成K 上的线性空间。