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高等数学上册第七章教材高等数学是大学中理工科专业的一门重要课程，它涵盖了许多基础和高级的数学概念和理论。
在高等数学上册的第七章中，我们将讨论一些与多元函数相关的内容。
本章将介绍多元函数的概念、连续性、偏导数以及多元函数的极值问题。
通过学习本章的内容，我们将能够更深入地理解和应用多元函数的基本概念和性质。
一、多元函数概念在第七章中，我们将学习多元函数的定义和性质。
所谓多元函数，简而言之，就是具有多个自变量的函数。
我们将研究多元函数的定义域、值域以及图像等特征，同时了解多元函数与一元函数的差异。
二、多元函数的连续性连续性是多元函数中非常重要的一个性质。
在本章中，我们将讨论多元函数的连续性及其判定方法。
我们将学习如何通过函数的定义和极限的性质来确定一个多元函数是否连续，以及如何判断多元函数在某个点是否连续。
三、多元函数的偏导数偏导数是多元函数中的一个重要概念，它描述了函数在某个方向上的变化率。
在本章的第三节中，我们将学习多元函数的偏导数的定义和性质，以及如何计算偏导数。
我们将学习如何通过偏导数来判断多元函数的增减性，并掌握偏导数的链式法则和隐函数求导等重要技巧。
四、多元函数的极值问题极值问题是多元函数研究的核心内容之一。
在第七章的最后一节，我们将重点讨论多元函数的极值问题。
我们将学习如何通过求偏导数和二阶导数来判断多元函数的极值，并通过举例来加深对多元函数极值问题的理解。
通过学习高等数学上册第七章的教材，我们将更好地理解多元函数的概念及其基本性质。
同时，我们将能够掌握多元函数的连续性判定、偏导数的计算和应用、以及多元函数的极值问题的解决方法。
这些知识将为我们今后在数学和相关领域的研究和应用奠定坚实的基础。
高等数学作为一门重要的核心课程，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。
通过仔细学习和理解高等数学上册第七章教材中的内容，我们将能够更好地应用数学方法解决实际问题，并为我们的学习和职业发展打下坚实的数学基础。
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
可编辑修改精选全文完整版第八节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x xx三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.（1）;233+-x x （2）;lg x （3）.11sin )1(--x x 例4 （讲义例3）证明.~1x e x -例5 （讲义例4）求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例5）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例6）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8 求 .1cos 1)1(lim3/120--+→x x x 例9（讲义例7）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 .)1ln(lim2cos 0x x e e xx x x +-→ 例11 计算 .sin cos 12lim20xxx +-→例12 求 .cos sec )1ln()1ln(lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例8）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→.课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?。
