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高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。
高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。
在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。
本文将介绍高数大一第八章的知识点。
第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
首先，我们来看无穷级数的概念。
无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。
其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。
当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。
在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。
这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。
在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。
泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。
泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。
通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。
除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。
这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。
总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。
这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。
在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。
通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
第八章 无穷级数常数项级数一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式+++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。
∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++ （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。
S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。
）2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4） 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→n n u（注：引言中提到的级数∑∞=+-11,)1(n n 具有∞→n lim ()不存在11+-n ，因此收敛级数的必要条件不满足，∑∞=1n ()11+-n 发散。
调和级数∑∞=1n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞=1n n1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞→n lim 0=n u ，而∑∞=1n n u 收敛性尚不能确定。
）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）∑∞=0n nar ()0≠a当1<r 时，∑∞=0n n ar ra-=1收敛 当1≥r 时，∑∞=0n n ar 发散（2）p 一级数 ∑∞=11n pn当p>1时，∑∞=11n p n收敛，当p ≤1时∑∞=11n pn发散（注：p>1时，∑∞=11n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞=1n 6122π=n）二、正项级数敛散性的判别法() ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞=1n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以 ,3,2,11=≥+是单调加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此∑∞=1n n n S u ⇔收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。
1. 比较判别法如果皆成立时当设，u ，cv N n c n n 0,0>≥≥>∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；如果∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散。
2. 比较判别法的极限形式 设),3,2,1(,0,0 =≥≥n v u n n 若∞→n limA v u nn= 1) 当0<A<+∞时，∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散。
2) 当A=0时，若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛。
3) 当A=+∞时，若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛。
3．比值判别法（达朗倍尔）设n u >0，而∞→n lim ρ=+nn u u11）当ρ<1时，则∑∞=1n n u 收敛2）当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞=1n n u 发散3）当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞→n limnn u u 1+不存在时，此判别法也无法用）4．根值判别法（柯西） 设n u ≥0，而∞→n lim ρ=n n u1）当ρ<1时，则∑∞=1n n u 收敛2）当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞=1n n u 发散3）当ρ=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。
数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。
三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念若n u >0, ∑∞=1n n n u 1)1(+-称为交错级数。
2．莱布尼兹判别法设交错级数∑∞=1n n n u 1)1(+-满足：1）≤+1n u n u ),3,2,1( =n 2) ∞→n lim n u =0 ，则∑∞=1n n n u 1)1(+-收敛，且0<∑∞=1n n n u 1)1(+-<1u四、绝对收敛与条件收敛 1．定理若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 一定收敛；反之不然。
2．定义若∑∞=1n n u 收敛，则称∑∞=1n n u 为绝对收敛；若∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1n n u 发散，则称∑∞=1n n u 为条件收敛。
3．有关性质1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。
2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑∞=1n 21（n u +n u ）或∑∞=1n 21（n u —n u ）一定是发散的。
4．一类重要的级数 设∑∞=1n ρn n 1)1(+- 1）当ρ>1时，∑∞=1n ρnn 1)1(+-是绝对收敛的 2）当0<ρ≤1时，∑∞=1n ρn n 1)1(+-是条件收敛的 3）当ρ≤0时，∑∞=1n ρn n 1)1(+-是发散的 幂级数一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1． 函数项级数的概念设)(x u n ),3,2,1( =n 皆定义在区间I 上，则∑∞=1n )(x u n 称为区间I 上的函数项级数。
2． 收敛域设I ∈0x ，如果常数项级数∑∞=1n )(0x u n 收敛，则称0x 是函数项级数∑∞=1n )(x u n 的收敛点，如果∑∞=1n )(0x u n 发散，则称0x 是∑∞=1n )(x u n 的发散点。
函数项级数∑∞=1n )(x u n 的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。
所有发散点构成的集合你为发散域。
3． 和函数 在∑∞=1n )(x u n 的收敛域的每一点都有和，它与x 有关，因此=)(x S ∑∞=1n )(x u n ，∈x 收敛域称)(x S 为函数项级数∑∞=1n )(x u n 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。
二、幂级数及其收敛域 1． 幂级数概念∑∞=0n nan x x )(0-称为)(0x x -的幂级数，),2,1,0( =n a n 称为幂级数的系数，是常数，当00=x 时，∑∞=0n nanx 称为x 的幂级数。
一般讨论∑∞=0n n a n x 有关问题，作平移替换就可以得出有关∑∞=0n nan x x )(0-的有关结论。
2．幂级数的收敛域 幂级数∑∞=0n nan x 的收敛域分三种情形：（1） 收敛域为),(+∞-∞，亦即∑∞=0n nan x 对每一个x 皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R（2） 收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞=0n nan x 皆发散，我们称它的收敛半径0=R 。
（3） 收敛域为(][)[]R ，R R R R R R R R 我们称它的收敛半径为中的一种或或或,,,),(---- )0(+∞<<R所以求幂级数的收敛半径R 非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。
而（3）的情形，还需讨论R ±两点上的敛散性。
11lim ()(),(,n n n n a l l R l a l +→∞=+∞=+∞==+∞如果包括或包括则收敛半径若0,0),R l R ===+∞则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛 .半径,后面有所讨论一、幂级数的性质 1． 四则运算 设∑∞=0n nanx ∑∞=<=<=021),(;),(n n n R x x g x b R x x f),min()()()())((),min(),()()(210000210R R x x g x f x b a b a b a x b x a R R x x g x f x b a n n n k n k n n nn n nn n n n n <⋅=++++=<±=±∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞= 则2. 分析性质 设幂级数∑∞=0n nanx 的收敛半径R > 0，S(x ) =∑∞=0n nan x 为和函数，则有下列重要性质。
（1）且有逐项求导公式内可导在，R R x S ),()(-=')(x S ∑∑∑∞=∞=-∞=='='0110)()(n n n n nn n nn x na x a x a 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出公式为内有任意阶导数在，R R x S ),()(- ),3,2,1(,)1()1()()( =<+--=∑∞=-k R x x a k n n n x Skn k n n k（2）内有逐项积分公式在),()(R R x S -∑⎰∑⎰∞=∞=++==0011)(n xn n n nn xx n a dt t a dt t S 且这个幂级数的收敛半径也不变。
（3）若∑∞=0n nan x :)()(则有下列性质成立在，R R x x S -==(i)()lim ()(lim ()())nn n n x Rx R n n S x a R S x a R -+∞∞→→-====-∑∑成立成立(ii) ))(1)((1)(001001⎰∑⎰∑-∞=+∞=+-+-=+=Rn n n Rn n n R n adx x S R n a dx x S 成立成立(iii)∑∞=--=11)(n n nR R x xna 不一定收敛在11().(())n n n na x S R S R ∞--+=''=-∑也即不一定成立 0()n n n a x x R R ∞==-∑如果在发散,那么逐项求导后的级数11()n nn na xx R R ∞-==-∑在一定发散,而逐项积分后的级数1().1n n n a x x R R n ∞+==-+∑在有可能收敛四、幂级数求和函数的基本方法 1．把已知函数的幂级数展开式（§ 8.3将讨论）反过来用。
下列基本公式应熟背：01(1)11n n x x x∞==<-∑0(2)!nxn x e x n ∞==<+∞∑21(3)(1)sin ,(21)!n nn x x x n +∞=-=<+∞+∑20(4)(1)cos ,(2)!nnn x x x n ∞=-=<+∞∑1(5)(1)ln(1),(11)1n nn x x x n +∞=-=+-<≤+∑1(1)(1)(6)1(1),11()!nn n x x x n ααααα∞=--++=+-<<∑为实常数2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。
