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高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。
高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。
在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。
本文将介绍高数大一第八章的知识点。
第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
首先，我们来看无穷级数的概念。
无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。
其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。
当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。
在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。
这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。
在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。
泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。
泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。
通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。
除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。
这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。
总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。
这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。
在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。
通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高数知识点总结大一第八章高数知识点总结——大一第八章第八章是大一学生学习高等数学课程的一个重要章节，主要涉及到微分方程与微分方程应用。
微分方程作为高数的重要分支之一，对于大一学生来说是一个相对较难掌握的概念。
在本文中，我们将对大一第八章的知识点进行总结和梳理，着重讲解微分方程的基本概念以及应用。
1. 微分方程的定义与类型微分方程是含有未知函数的导数或微分的方程，通常由函数本身、函数的导数和自变量构成。
根据方程中未知函数的阶数和方程中导数的最高阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程只涉及未知函数的一阶及以下导数，而偏微分方程涉及到未知函数的高阶导数。
2. 微分方程的解与解的存在唯一性对于一个微分方程，如果存在一个函数能够使方程成立，那么我们称这个函数为微分方程的解。
解的存在性和唯一性是微分方程研究中非常重要的问题。
根据解的存在性和唯一性定理，对于一阶线性常微分方程，只需满足某些条件，就能够保证存在唯一解。
3. 齐次与非齐次线性微分方程齐次线性微分方程的特点是其当中只有未知函数及其导数，不含自变量，且各项的次数都相同。
非齐次线性微分方程则多了一个非齐次项，依据齐次与非齐次方程的性质，我们可以采用特解叠加原理求解齐次线性微分方程。
4. 一阶线性微分方程的求解一阶线性微分方程是我们学习微分方程的一个重要的基础，其形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
可以通过分离变量的方法、两端除以积分因子的方法以及其他一些方法来求解这类微分方程。
其中，积分因子是一个非常关键的概念，能够将一些无法直接求解的微分方程转化为可以求解的形式。
5. 高阶线性微分方程与欧拉方程高阶线性微分方程是指二阶及以上的微分方程。
与一阶线性微分方程相比，高阶线性微分方程的求解要更加复杂。
在求解高阶线性微分方程时，我们可以采用特征根法、常系数法以及其他一些方法来求解。
欧拉方程是高阶线性微分方程中的一种特殊情况，通过一定的转化和代换，可以将欧拉方程转化为常系数线性微分方程，并进一步求解。
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
第八章：多元函数微分8.1 多元函数的极限与连续性8.1.1 定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x,y)是D的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x,y)当 x→x0,y→y时的极限，记作或f(x,y) →A (ρ→0),这里ρ=|PP|。
例设（x2+y2≠0），求证。
因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x,y）时，函数都无限接近于A。
定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x,y)是D的内点或边界点且P∈D。
如果则称函数f(x,y)在点P0(x,y)连续。
8.1.2 性质性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即。
8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x+Δx,y)-f(x,y),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y)处对x的偏导数，记作或 fx （x，y）。
对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。
例求z=x2sin2y的偏导数。
解。
8.2.2 高阶偏导数定理如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
第八章 无穷级数常数项级数一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式+++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。
∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++ （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。
S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。
）2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4） 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→n n u（注：引言中提到的级数∑∞=+-11,)1(n n 具有∞→n lim ()不存在11+-n ，因此收敛级数的必要条件不满足，∑∞=1n ()11+-n 发散。
调和级数∑∞=1n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞=1n n1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞→n lim 0=n u ，而∑∞=1n n u 收敛性尚不能确定。
）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）∑∞=0n nar ()0≠a当1<r 时，∑∞=0n n ar ra-=1收敛 当1≥r 时，∑∞=0n n ar 发散（2）p 一级数 ∑∞=11n pn当p>1时，∑∞=11n p n收敛，当p ≤1时∑∞=11n pn发散（注：p>1时，∑∞=11n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞=1n 6122π=n）二、正项级数敛散性的判别法() ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞=1n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以 ,3,2,11=≥+是单调加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此∑∞=1n n n S u ⇔收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。
1. 比较判别法如果皆成立时当设，u ，cv N n c n n 0,0>≥≥>∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；如果∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散。
2. 比较判别法的极限形式 设),3,2,1(,0,0 =≥≥n v u n n 若∞→n limA v u nn= 1) 当0<A<+∞时，∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散。
2) 当A=0时，若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛。
3) 当A=+∞时，若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛。
3．比值判别法（达朗倍尔）设n u >0，而∞→n lim ρ=+nn u u11）当ρ<1时，则∑∞=1n n u 收敛2）当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞=1n n u 发散3）当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞→n limnn u u 1+不存在时，此判别法也无法用）4．根值判别法（柯西） 设n u ≥0，而∞→n lim ρ=n n u1）当ρ<1时，则∑∞=1n n u 收敛2）当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞=1n n u 发散3）当ρ=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。
数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。
三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念若n u >0, ∑∞=1n n n u 1)1(+-称为交错级数。
2．莱布尼兹判别法设交错级数∑∞=1n n n u 1)1(+-满足：1）≤+1n u n u ),3,2,1( =n 2) ∞→n lim n u =0 ，则∑∞=1n n n u 1)1(+-收敛，且0<∑∞=1n n n u 1)1(+-<1u四、绝对收敛与条件收敛 1．定理若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 一定收敛；反之不然。
2．定义若∑∞=1n n u 收敛，则称∑∞=1n n u 为绝对收敛；若∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1n n u 发散，则称∑∞=1n n u 为条件收敛。
3．有关性质1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。
2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑∞=1n 21（n u +n u ）或∑∞=1n 21（n u —n u ）一定是发散的。
4．一类重要的级数 设∑∞=1n ρn n 1)1(+- 1）当ρ>1时，∑∞=1n ρnn 1)1(+-是绝对收敛的 2）当0<ρ≤1时，∑∞=1n ρn n 1)1(+-是条件收敛的 3）当ρ≤0时，∑∞=1n ρn n 1)1(+-是发散的 幂级数一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1． 函数项级数的概念设)(x u n ),3,2,1( =n 皆定义在区间I 上，则∑∞=1n )(x u n 称为区间I 上的函数项级数。
2． 收敛域设I ∈0x ，如果常数项级数∑∞=1n )(0x u n 收敛，则称0x 是函数项级数∑∞=1n )(x u n 的收敛点，如果∑∞=1n )(0x u n 发散，则称0x 是∑∞=1n )(x u n 的发散点。
函数项级数∑∞=1n )(x u n 的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。
所有发散点构成的集合你为发散域。
3． 和函数 在∑∞=1n )(x u n 的收敛域的每一点都有和，它与x 有关，因此=)(x S ∑∞=1n )(x u n ，∈x 收敛域称)(x S 为函数项级数∑∞=1n )(x u n 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。
二、幂级数及其收敛域 1． 幂级数概念∑∞=0n nan x x )(0-称为)(0x x -的幂级数，),2,1,0( =n a n 称为幂级数的系数，是常数，当00=x 时，∑∞=0n nanx 称为x 的幂级数。
一般讨论∑∞=0n n a n x 有关问题，作平移替换就可以得出有关∑∞=0n nan x x )(0-的有关结论。
2．幂级数的收敛域 幂级数∑∞=0n nan x 的收敛域分三种情形：（1） 收敛域为),(+∞-∞，亦即∑∞=0n nan x 对每一个x 皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R（2） 收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞=0n nan x 皆发散，我们称它的收敛半径0=R 。
（3） 收敛域为(][)[]R ，R R R R R R R R 我们称它的收敛半径为中的一种或或或,,,),(---- )0(+∞<<R所以求幂级数的收敛半径R 非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。
而（3）的情形，还需讨论R ±两点上的敛散性。
11lim ()(),(,n n n n a l l R l a l +→∞=+∞=+∞==+∞如果包括或包括则收敛半径若0,0),R l R ===+∞则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛 .半径,后面有所讨论一、幂级数的性质 1． 四则运算 设∑∞=0n nanx ∑∞=<=<=021),(;),(n n n R x x g x b R x x f),min()()()())((),min(),()()(210000210R R x x g x f x b a b a b a x b x a R R x x g x f x b a n n n k n k n n nn n nn n n n n <⋅=++++=<±=±∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞= 则2. 分析性质 设幂级数∑∞=0n nanx 的收敛半径R > 0，S(x ) =∑∞=0n nan x 为和函数，则有下列重要性质。
（1）且有逐项求导公式内可导在，R R x S ),()(-=')(x S ∑∑∑∞=∞=-∞=='='0110)()(n n n n nn n nn x na x a x a 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出公式为内有任意阶导数在，R R x S ),()(- ),3,2,1(,)1()1()()( =<+--=∑∞=-k R x x a k n n n x Skn k n n k（2）内有逐项积分公式在),()(R R x S -∑⎰∑⎰∞=∞=++==0011)(n xn n n nn xx n a dt t a dt t S 且这个幂级数的收敛半径也不变。
（3）若∑∞=0n nan x :)()(则有下列性质成立在，R R x x S -==(i)()lim ()(lim ()())nn n n x Rx R n n S x a R S x a R -+∞∞→→-====-∑∑成立成立(ii) ))(1)((1)(001001⎰∑⎰∑-∞=+∞=+-+-=+=Rn n n Rn n n R n adx x S R n a dx x S 成立成立(iii)∑∞=--=11)(n n nR R x xna 不一定收敛在11().(())n n n na x S R S R ∞--+=''=-∑也即不一定成立 0()n n n a x x R R ∞==-∑如果在发散,那么逐项求导后的级数11()n nn na xx R R ∞-==-∑在一定发散,而逐项积分后的级数1().1n n n a x x R R n ∞+==-+∑在有可能收敛四、幂级数求和函数的基本方法 1．把已知函数的幂级数展开式（§ 8.3将讨论）反过来用。
下列基本公式应熟背：01(1)11n n x x x∞==<-∑0(2)!nxn x e x n ∞==<+∞∑21(3)(1)sin ,(21)!n nn x x x n +∞=-=<+∞+∑20(4)(1)cos ,(2)!nnn x x x n ∞=-=<+∞∑1(5)(1)ln(1),(11)1n nn x x x n +∞=-=+-<≤+∑1(1)(1)(6)1(1),11()!nn n x x x n ααααα∞=--++=+-<<∑为实常数2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。
