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第八章：多元函数微分8.1 多元函数的极限与连续性8.1.1 定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x,y)是D的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x,y)当 x→x0,y→y时的极限，记作或f(x,y) →A (ρ→0),这里ρ=|PP|。
例设（x2+y2≠0），求证。
因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x,y）时，函数都无限接近于A。
定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x,y)是D的内点或边界点且P∈D。
如果则称函数f(x,y)在点P0(x,y)连续。
8.1.2 性质性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即。
8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x+Δx,y)-f(x,y),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y)处对x的偏导数，记作或 fx （x，y）。
对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。
例求z=x2sin2y的偏导数。
解。
8.2.2 高阶偏导数定理如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
讲授内容§8. 1 多元函数的基本概念教学目的与要求：了解平面点集、n维空间、多元函数的基本概念.教学重难点：重点—多元函数的基本概念.难点—聚点的理解.教学方法：讲练结合教学法教学建议：讲清多元函数的概念，理解多元函数与一元函数的区别和联系.学时：1学时教学过程以前我们学习了一元函数的微分学，在本章我们将学习多元函数的微分学的相关知识.一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R⨯R={(x,y)|x,y∈R}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)| (x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)| x2+y2<r2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP |<r }.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ, 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x PU . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U.点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集:如果点集的余集E c为开集,则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)|1<x2+y2<2}.闭集的例子:E={(x,y)|1≤x2+y2≤2}.集合{(x,y)|1<x2+y2≤2}既非开集,也非闭集.连通性:如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|1 x2+y2 2}.闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x, y)|1≤x2+y2≤2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得E⊂U(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如,集合{(x,y)|1≤x2+y2 2}是有界闭区域;集合{(x,y)| x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)| x+y≥1}是无界闭区域.2.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用R n表示n元有序数组(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)的全体所构成的集合,即R n=R⨯R⨯⋅⋅⋅⨯R={(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)| x i∈R,i=1, 2,⋅⋅⋅,n}.R n中的元素(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,⋅⋅⋅,x n).当所有的x i(i=1, 2,⋅⋅⋅,n)都为零时,称这样的元素为R n中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而R n中的元素x=(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)也称为R n中的一个点或一个n维向量,x i称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,R n中的零元0称为R n中的坐标原点或n 维零向量.为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定 2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x .在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n .如果||x -a ||→0,则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .显然,x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念.二.、多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,或简记为u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,也可记为u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面. 作业：高等数学练习册（B 类）习题三十七教学后记:复习思考题：求函数arcsin 2z x =+的定义域讲授内容 §8. 2 多元函数的极限与连续性教学目的与要求：1、 理解二元函数的极限、连续的的概念.2、 会利用二元函数的极限的定义、连续的性质求二元函数的极限.教学重难点：重点—二元函数的极限与连续.难点—二元函数极限的定义.教学方法：启发式教学法，以讲授法为主教学建议：讲清二元函数与一元函数极限的区别对理解二元函数极限的的定义有很大的帮 助.学时：1学时教学过程以前我们学习了一元函数的微分学，在本章我们将学习多元函数的微分学的相关知识一、多元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.定义1设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数 总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作A P f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例1. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-, 可见∀ >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.例2 求下列函数的极限1) x xy ay x sin lim 0→→ 解:x xy a y x sin lim 0→→= y xy xy a y x ⋅→→sin lim 0= y xy xy ay x a y x →→→→⋅00lim sin lim =a. 2) 22)(lim 22y x y x yx xy ++∞→+∞→ 解:设x>0,y>0时,则由21022≤+<y x xy 得 0<22)(22y x y x xy +≤22)21(y x →0 (x→+∞,y→+∞)⇒22)(lim 22y x y x y x xy ++∞→+∞→=0 3）2200)(lim y x x x y y x +-→→解:00y x →→θρ→0ρ(sinθ-cosθ)•cosθ=0 注：二重极限不是二次极限，二次极限存在二重不一定存在，二重极限存在二次极限也不一定存在.如1lim lim -=-+∞→∞→y x y x y x ，1lim lim =-+∞→∞→y x y x x y ，而y x y x y x -+∞→∞→lim 不存在；又如0)sin 1sin 1(lim =+∞→∞→x y y x y x ，而0)sin 1sin 1(lim lim =+∞→∞→x yy x x y 却不存在. 二、 多元函数的连续性定义2 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例3设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然|f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为),(sin sin lim ),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义3设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f ,其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→. 例3 求xy y x y x +→)2,1(),(lim.解: 函数xyy x y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→. 例4 求xyxy y x 11lim )0 ,0(),(-+→. 解: )11()11)(11(lim 11lim )0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x . 例5 讨论函数z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+++0, 00,1sin )(22222222y x y x y x y x 的连续性.解:由于2200)(lim y x y x +→→ρρθ1sin 20→=0而f(0,0)=0 从而 00lim →→y x f(x,y)=f(0,0)=0,所以函数在(0,0)处连续. 多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说,若f(P)在有界闭区域D上连续,则必定存在常数M>0,使得对一切P∈D,有|f(P)|≤M;且存在P1、P2∈D,使得f(P1)=max{f(P)|P∈D},f(P2)=min{f(P)|P∈D},性质2 (介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.作业：P84 1(双),2教学后记:复习思考题：1、证明233(,)(0,0)limx yxyx y→+不存在.2、讨论22222222()ln()0(,)00x y x y x yf x yx y⎧+++≠=⎨+=⎩在点(0,0)处的连续性.讲授内容§8.3 偏导数教学目的与要求：1、理解偏导数的定义以及偏导数的几何意义2、掌握偏导数的存在与连续之间的关系.3、会根据偏导数的定义求偏导数.教学重难点：重点—偏导数的计算.难点—偏导数的存在与函数连续之间的关系.教学方法：讲练结合教学法教学建议：使学生清楚求偏导数与求一元函数的导数的方法基本相同.学时：2学时教学过程对二元函数考虑关于其中某一变量的变化率，而将另一变量看作常数，即为偏导数的问题.一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z=f(x,y),如果只有自变量x变化,而自变量y固定,这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z=f(x,y)对于x的偏导数.定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量∆x时,相应地函数有增量f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z ==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x x z ==, 或),(00y x f x .例如 xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000. 类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂, 00y y x x y z ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x . 偏导函数的定义式: xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0. 类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.求x f ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求yf ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？00),(),(00y y x x x x y x f y x f ===, 00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===. 0]),([),(000x x x y x f dxd y x f ==, 0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==. 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0, 其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数.解 y x x z 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z, 7221321=⋅+⋅=∂∂==y x y z .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数解 y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂. 例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证:z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂. 证 1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.z x x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数.解 r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222. 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证: 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pT T V V p . 证 因为VRT p =, 2V RT V p -=∂∂; p RT V =, p R T V =∂∂; RpV T =, R V p T =∂∂; 所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT RV p R V RT p T T V V p . 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.例6求曲线⎩⎨⎧=--=1122x y x z 在点)0,1,1(处的切线与y 轴正向所成的倾角解：依偏导数的几何意义，函数221y x z --=在点)1,1(处对y 求导的值就等于αtan ，则=∂∂==11y x y z2211-=-==y x y ，所以αtan =-2，2arctan -=πα偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;0)]0 ,([)0 ,0(==x f dxd f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y . 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有22222022 )0,0(),(1lim limk k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.例7．讨论函数22y x z +=在(0,0)处的连续性与可导性. 解:由于2200lim y x y x +→→=0=f(0,0),所以函数在(0,0)处连续; 但00==∂∂y x x z =x f x f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0=xx x ∆∆→∆0lim 不存在, 因此f x (0,0)不存在.同理f y (0,0)不存在;从而函数在(0,0)处的两个偏导数不存在. 由此可知:函数在某点的偏导数存在与函数连续不存在必然联系.注：为什么不象一元函数一样，可导一定连续？因为对多元函数而言，可导是0x x →的一种单方向趋近，连续是0p p →的一种多方式趋近..二. 高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂, 那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂. 其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数. 22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂. 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例8 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解 y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂; 196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z . 由例6观察到的问题: yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例9 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以 22y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂, 22222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z .例10．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u , 其中222z y x r ++=.证: 32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222rz r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=rr r r z y x r . 提示: 6236333223)()(r x r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂. 作业：P 84 4(单),5,P 854 6(1)(2),7(1)(2) 教学后记:复习思考题：1、设z y u x =，求,,u u u x y z∂∂∂∂∂∂. 2、设1()()z f xy y x y x ϕ=++，,f ϕ具有二阶连续导数，求2z x y∂∂∂. 3、设(2,sin )z f x y y x =-，(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求2z x y∂∂∂讲授内容§8.4全微分及其应用教学目的与要求：1、理解全微分的定义、函数可微与偏导数之间的关系.2、掌握求多元函数全微分的方法.3、了解全微分在近似计算中的应用.教学重难点：重点—全微分的计算.难点—全微分的定义.教学方法：讲练结合教学法教学建议：1、讲清全微分的定义，函数连续、可导与可微之间的关系.2、在讲解函数连续、可导与可微之间的关系时可通过逐步设问的方式来进行. 学时：1学时教学过程一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有偏增量与偏微分:f(x+∆x,y)-f(x,y)≈f x(x,y)∆x,f(x+∆x,y)-f(x,y)为函数对x的偏增量,f x(x,y)∆x为函数对x的偏微分;f(x,y+∆y)-f(x,y)≈f y(x,y)∆y,f(x,y+∆y)-f(x,y)为函数)对y的偏增量,f y(x,y)∆y为函数对y的偏微分.全增量:∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).计算全增量比较复杂,我们希望用∆x、∆y的线性函数来近似代替之.定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z f (x , y )在点(x , y )可微,则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ. 因此函数z f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件: 定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A xy x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim 0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂.同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以 y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明:设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim 00, 从而x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂.同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 问题：连续?⇒可微，可导?⇒可微可举例说明，可导不一定可微，连续不一定可微.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0,0)处虽然有f x (0, 0) 0及f y (0,0) 0,但函数在(0,0)不可微分,即∆z [f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x .例1. 讨论函数z=f(x,y)=xy 在(0,0)处是否连续,是否可导,是否可微？ 解:∵ 00lim →→y x f(x,y)=xy y x 00lim →→=0=f(0,0)∴ 函数在(0,0)处连续.∵ xf x f x ∆-∆→∆)0,0()0,(lim 0=0 ∴ f x (0,0)=0,同理f y (0,0)=0. 即函数在(0,0)的两个偏导数存在.∵ ∆z -[f x (0,0)∆x+f y (0,0)∆y]=f(∆x,∆y)-f(0,0)=))((y x ∆∆∴ ρρz ∆→0lim =2200)()())((lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆→∆y x ∆=∆212lim 00=∆∆→∆=∆→∆x xx y x ≠0 从而,函数在(0,0)处不可微.问题：函数满足哪些条件可微？哪些函数可微？定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯,∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分,则函数z f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 归纳：函数在点(x,y)的极限存在性、连续性、可导性、可微性之间的关系:偏导数连续⇒ 函数可微 ⇒ 函数连续 ⇒ 存在极限偏导数连续 ⇒ 偏导数存在 以上关系逆向不一定成立.例2 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例3 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例4 计算函数yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z≈dz= f x (x,y)∆x+f y(x,y)∆y,即f (x+∆x,y+∆y) ≈f(x,y)+f x (x,y)∆x+f y(x,y)∆y.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例5有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由20cm增大到20. 05cm,高度由100cu减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,则有V=πr 2h.已知r=20,h=100,∆r=0. 05,∆h=-1.根据近似公式,有∆V≈dV V r∆r+V h∆h=2πrh∆r+πr2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm3.例6 计算(1. 04)2.02的近似值.解设函数f(x,y)=x y.显然,要计算的值就是函数在x=1.04,y=2.02时的函数值f(1.04, 2.02).取x=1,y=2,∆x=0.04,∆y=0.02.由于f (x+∆x,y+∆y)≈f(x,y)+f x(x,y)∆x+f y(x,y)∆y=x y+yx y-1∆x+x y ln x∆y,所以(1.04)2.02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例7利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是2 4 T lgπ=.现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s. 问由于测定l与T 的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？解如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数24Tl g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |,|ΔT |都很小,因此我们可以用dg 来近似地代替Δg .这样就得到g 的误差为||||||T Tg l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l Tg l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤|||| )21(4322Tl T l T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.00225.0210045.0=⨯=ππδg g . 从上面的例子可以看到,对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y yz x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤yx y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为yx z y z x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为y x z zy z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||.作业：P 85 8(双),11,12,13(3), P 86 16教学后记:复习思考题：讨论函数z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+++0, 00,1sin )(22222222y x y x y x y x 在原点1)是否连续;2)是否存在偏导数; 3)是否可微; 4)偏导数是否连续.讲授内容 §8.5 复合函数的偏导数教学目的与要求：1、 掌握多元复合函数的求导法则.2、 会熟练应用多元复合函数的求导法则求多元复合函数的导数.教学重难点：重点—多元复合函数的求导法则.难点—求多元复合函数的导数.教学方法：讲练结合教学法教学建议：在求多元复合函数的导数时，通过图形向学生讲清函数的复合结构. 学时：3学时教学过程设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？ 设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和y z ∂∂？ 一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dt dt du du =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, to t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数. 二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也类似的区别.三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 多元复合函数的求导法则归结为:沿线相乘, 分线相加 例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和yu ∂∂.解 xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=. yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++ y x y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解 tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t=e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及zx w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: (1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222yu x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan =θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=,y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u . 再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u uρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得222222cos cos sin 2sin ρθθθθθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u ])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u . 全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .作业：P 86 23(3)(4),24,25,27,28(1)教学后记:复习思考题：1、设z=f(x,y,u)=xy+xF(u),u=x y ,其中F 可微,证明:x x z ∂∂+y yz ∂∂=z+xy. 2、设z=f(x 2y, x y ),f 可微,求x z ∂∂,22x z ∂∂.。
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总第一篇：高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加减法(1).向量的加法①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律：1°.交换律：2°.结合律：注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律：①．结合律：.②．分配律：.(3).性质①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于唯一的实数，使③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而三、空间直角坐标系解：由于，故1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；；；；；；；4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标：注：1°.面上点的坐标：；2°.轴上点的坐标：；面上点的坐标：；轴上点的坐标：；面上点的坐标：.z轴上点的坐标：四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行：注：1°.若，则2.若，则例2.已知，求线性方程组的解向量解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得：例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标注：线段AB中点坐标公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离：推导：因为，所以例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有；；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.；2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有于是，，由此可得例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有由题可知，故，于是，故点A的坐标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质：①．.②．例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作注：1°.2°..3°..(2).运算规律①．交换律：.(由定义可知)②．分配律：③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则4.两非零向量夹角余弦的坐标公式：例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即例2.已知三点、和，求解：由题可得，于是，故例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积1.力对支点的力矩：模：；方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算解：.例6.已知三角形ABC 的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状例1.建立球心在点、半径为R的球面方程解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得例3.方程表示怎样的曲面？解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程：曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有注：1°.曲线C：绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)三、柱面1.柱面的定义：称由直线L沿定曲线C平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x 轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z 轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y 轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面：5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面：7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面：§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程1.一般式(面交式)方程：例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z 得投影柱面方程：，于是所求投影方程为例3.求由上半球面和锥面所围成的立体在坐标面上的投影解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线影为圆域：§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程三、两平面的夹角及点到平面的距离得1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于于是，又点在平面上，故有，从而例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有；由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程1.一般(面交式)方程：2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线3°.若，则直线L的方程为，即平面与交线，过点且平行z轴 3.参数方程：注：一般式对称式参数式例1.用对称式方程以及参数方程表示直线解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面例4.求直线在平面上的投影直线的方程解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线外一点到直线的距离为：为直线上的一点推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例：例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为以所求直线方程为例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标例8.求过点垂直相交的直线方程.第二篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域：3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点导集：的聚点的全体称为它的导集注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中因映自变变量射量定义域：D 值域：注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限例1.设证明：，要使不等式，求证成立，只须取，于是，，总有，即例2.不存在，其中证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在例3.求极限五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则解：令例5...(分子有理化)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而处有增量时，相应地有增量.若极存在，则称此极限值为函数在点处对的；或注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续例如：函数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数记作：；；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；；；；；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实上，；而，，于是，，即那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称为函数对的偏增量称为函数对的偏增量2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增不依赖于、，可表示为，其中而仅与、有关，则称在点可微分，而称为在点的全微分，记作，即若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注：我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1．函数可微分的必要条件定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数必定存在，且在点的全微分证明：由于在点可微分，则有，。
高等数学（下）零基础教材课精讲主讲：高昆轮第八章 向量代数与空间解析几何（仅数一）第一节 向量及其线性运算一、 向量的概念与向量的坐标表示 1.向量的概念,.,,,10AB AB AB α既有大小又有方向的量称为,记为或用有向线段表示向量线段的长度表示向量的大小又称向量的长度或大小相等方向相同的两个向量称为，模等于的向量称为,模等于 的向量称为.定义1:向量模相等单位向量零向量2.向量的坐标表示()()()(),,,,,,.,,,,,,,,.x y z x y z x x y y z z Oxyz OM M x y z x y z a a a b b b b b a b a b a b ααααα=====⇔===在空间直角坐标系中,若点的坐标称为的坐标记为设则3.向量的模与方向余弦()222,,,,.,,,;cos ,cos ,cos .Oxyz x y z xyzx y z x y z ααβγααααααβγααα==++===在空间直角坐标系中,称与三个坐标轴轴的夹角为的设则的模的方向角方向余弦二、 向量的线性运算()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,.,;,,.x y z x y z x x y y z z x y z a a a b b b b b a b a b a b a a a b b b c a b c a a a a a a a b a b ααλαλλλαααλμμλλμλμλμλλλ==+=+++=+=+++=++==+=++=+设则向量的加法与数乘有以下性质:加法:数乘:(()121211,3,0,.M M M M ==⎡⎤⎣⎦例已知两点和计算向量的模、方向余弦和方向角第二节 数量积 向量积 混合积一、两向量的数量积1.:cos ,2.:,,,,,,3.,,4.:00.x y z x y z x x y y z z x x y y z z a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b a b b a a b c a c b c a b a b a b a b a b a b a b θθλλ⋅===⋅=++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅⇔⋅=⇔++=⊥几何表示其中是与的夹角；代数表示设（）（）则；运算规律:（）（）（）；应用（判定两向量垂直）二、两向量的向量积1.:.sin ,.2.:,,,,,,3.,,x y z x y z xy z xyza b a b a b a b a b a b ij k a a a a b b b b a b a a a b b b a b b a a b c a c b c a b a b a b θθλλλ⨯⨯=⨯==⨯=⨯=-⨯+⨯=⨯+⨯⨯=⨯=⨯几何表示是一个向量模:其中是与的夹角；方向:同时垂直于和代数表示设（）（）则；运算规律:（）（）（）（）（）/4../:0y x z x y za a a ab a b b b b ⇔⨯=⇔==；应用（判定两向量平行）()()()123122311,1,23,3,13,1,3,.M M M M M M M -⎡⎤⎣⎦例设、和求与、同时垂直的单位向量 三、混合积1.:,,,,,,,,,,,.2.,4.:xy z x y z x y z x y z xy z xyz a b c a b c abc a a a a a a a b b b b c c c c a b c b b b c c c abc bca cab abc acb cba bac ⨯⋅===⨯⋅====-=-=-定义称（）为三个向量的混合积,记为（）.设（）（）（）则（）运算规律:（）（）（）（）（）（）（）；应用（判定,,0.a b c a b c ⇔⨯⋅=三向量共面）共面（）第三节 平面及其方程一、建立平面方程,.平面由一个定点与法向量确定与平面垂直的向量称为它的法向量基本点:1.平面的点法式方程()()()()()0000000,,,,,.A x xB y yC z z x y z n A B C -+-+-==这里为平面上一定点,为平面的法向量2.平面的一般式方程()0,,,Ax By Cz D n A B C +++==这里为平面的法向量.3.平面的截距式方程1,,,0x y za b c a b c++=这里分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为. 二、 平面与平面的位置关系()()()1232,1,41,3,20,2,3.M M M ---⎡⎤⎣⎦例1求过三点、和的平面方程()()121,1,10,1,10,.M M x y z -++=⎡⎤⎣⎦例2一平面通过两点和且垂直于平面求它的方程第四节 空间直线及其方程一、 建立空间直线方程空间直线由一个定点与方向向量确定,与直线平行的非零向量称为它的方向向量.基本点:1.空间直线的点向式方程()()000000,,,,,x x y y z z x y z s m n p m n p---===这里为直线上一定点,为直线的方向向量. 2.空间直线的参数式方程()()000000,,,,,x x mt y y nt x y z s m n p z z pt=+⎧⎪=+=⎨⎪=+⎩这里为直线上一定点,为直线的方向向量. 3.空间直线的一般式方程11111222220,.0A xB yC zD s n n A x B y C z D +++=⎧=⨯⎨+++=⎩这里的直线为两个平面的交线,方向向量 二 、空间直线与空间直线、平面与空间直线的位置关系 三、一组距离公式()()()()11112222000022000000001.,,,,2.,,03.,,,,,,.P x y z P x y z d P x y z Ax By Cz D d B CP P s x x y y z z P x y z d m n psP s m n p =+++==++⨯---====两点和的距离点到平面的距离点到空间直线的距离这里是直线上任一点（）是直线的方向向量10.2340x y z x y z +++=⎧⎡⎤⎨⎣⎦-++=⎩例1用点向式及参数方程表示直线()21,2,4340.x y z --+-=⎡⎤⎣⎦例求过点且垂直于平面2的直线方程()3432513,2,5.x z x y z -=--=-⎡⎤⎣⎦例求与两平面和的交线平行且过点的直线方程第五节 曲面及其方程一、 曲面的方程(),,0,F x y z S =三元方程在空间表示一张曲面叫做曲面的一般式.二、 旋转曲面1.旋转曲面的概念,.以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴定义1:2.建立旋转曲面方程()()(,0:,00;,0f y z yoz L x z f z y f y ⎧=⎨=⎩==1.设坐标面上的一条曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为:绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为:22221x z xoz z x a c -=⎡⎤⎣⎦例1将面上的曲线分别绕轴和轴旋转一周,求所生成的旋转曲面方程.三、 柱面1.柱面的概念,.C L C L 平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面,定曲线叫做柱面的准线动直线叫做柱面的母线定义2:2.建立柱面方程()(),0,0.0F x y F x y z xoy z ⎧==⎨=⎩方程在空间中表示柱面,它的母线平行于轴,准线是面上的曲线三、二次曲面第六节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的方程()()()()(),,0,,,0,F x y z C G x y z x x t y y t C z z t =⎧⎪⎨=⎪⎩=⎧⎪=⎨⎪=⎩方程组在空间表示一条曲线叫做空间曲线的一般式.方程组在空间表示一条曲线叫做空间曲线的参数式.二、 空间曲线在坐标面上的投影()()()(),,0:,,,0,0,,00,.F x y z CG x y z zH x y C xoy H x y z C xoy z =⎧⎪⎨=⎪⎩=⎧==⎨=⎩设由空间曲线在此方程组中消去得它表示空间曲线关于面的投影柱面,若在令即表示空间曲线在面上的投影z z xoy ==⎡⎤⎣⎦例1求上半球面面上的投影.第九章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念一、二维邻域的概念()()()()()({}()()(){}000000000oo000,,,,,,,,,,.,,,,0.P x y xoy P x y P x y P U P U P x y P U P U P x y δδδδδδδδδδ=<=<<设是平面上的一个点是某一正数,与点距离小于的点的全体称为点的记作即点的,记作即邻域去心邻域二、二元函数的概念()(),,,,,,,,,,,.,,,.x y z x y D D P x y f z z x y z f x y x y D z =设有三个变量变量的变化域为若对中每一点按照某一对应规则变量都有唯一确定的一个值与之对应,则称变量是变量的二元函数记作这里称为自变量称为定义域称为因变量（函数值）定义1:(),.z f x y =二元函数的图形是一张曲面注:三、多元函数的极限()()()()()000lim ,,,,.x x y y f x y A f x y A x y x y →→=⇔→→ 定义2:()()()()()0000lim ,,,0,,.x x y y f x y A f x y A x y x y αα→→=⇔=+→→ 其中定理:()()00,,3.x y x y →1.二元函数中是指的沿任意路径方式;2.除洛必达法则、单调有界准则外其余求极限的方法适用于二重极限；要会用不同的路径或某一特殊的路径说明二元函数极限不存在.注: ()22220011lim sin .x y x y x y →→+⎡⎤⎣⎦+例求()2sin 2lim .x y xy x →→⎡⎤⎣⎦例求123lim .x y x yxy →→+⎡⎤⎣⎦例求2200004:1lim 23x x x y y y xyx y →→→→→→⎡⎤⎣⎦+例求（）；（）））四、多元函数的连续性()()()()000000lim ,,,,,.x x y y f x y f x y f x y x y →→=若则称二元函数在处连续定义3:()()00,,2.3.f x y x y 1.二元函数在处若不连续是不讨论其间断点类型的;二元连续函数具有与一元连续函数相同的运算结论；（二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）或复合仍连续）二元连续函数具有与一元连续函数在闭区间相同的基本定理；（有界性与最大值最小值定理、介值定理）注:第二节 偏导数一、 偏导数的定义及其几何意义1.偏导数的定义()()()()()()()()()()0000000000000000000000,,,,,lim lim .,,,,,limlim.x x x x y y y y f x x y f x y f x y f x y f x y x x x f x y y f x y f x y f x y f x y yy y ∆→→∆→→+∆--'==∆-+∆--'==∆-定义1:21sin 2.z x y =⎡⎤⎣⎦例求的偏导数 ()()(),1arcsin,1.x f x y x y f x '=+-⎡⎤⎣⎦例2设求()()()()()()()220,0,,0,01,;2,.0,,0,0xyx y x y f x y f x y x y x y ⎡⎤⎣⎦⎧≠⎪+==+⎨⎪=⎩例3讨论下列函数在点的连续性与可偏导性:（）（） 2.偏导数的几何意义()()()()()()()()0000000000000000,,,,,;,,,,,x y f x y z f x y y y P x y f x y x f x y z f x y x x P x y f x y y '====是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率.()2242,4,544x y z x y ⎧+=⎪⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩例曲线在点处的切线对轴的倾角是多少？二、高阶偏导数()()()()()()2222,,,,,,,,,,,:,,,,x y xxxy z z z zz f x y D f x y f x y D x y x y x yz f x y z zz zf x y f x y x x xy x x yz zx y y x∂∂∂∂''===∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=⎪∂∂∂∂⎝⎭设在区域内具有偏导数在内均是的函数如果这两个函数的偏导数也存在称它们是的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同二阶偏导数有以下四个()()2222,,,..yx yyz zf x y f x y y y yz z x y y x⎛⎫∂∂∂''''=== ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂其中和称为混合偏导数()()()()0000220022,,,,,.x y x y z zz f x y x y x y y x z z x yy x∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂若的两个二阶混合偏导数和在在点处连续则定理1:2222ln :0.z zz x y ∂∂=+=⎡⎤⎣⎦∂∂例5验证函数()()2,,0,,.f z f x y f x y x y ∂==⎡⎤⎣⎦∂∂例6设在全平面有连续的偏导数且求第三节 全微分一、全微分的定义()()()()()(()()()()()000000000000,,,,,,,,,,,.x y z f x y x y z f x x y y f x y z A x B y o A B x y z f x y x y A x B y z f x y x y dzA xB y ρρ=∆=+∆+∆-∆=∆+∆+=∆∆=∆+∆==∆+∆设在点的某邻域有定义,若全增量可表示为,其中和是不依赖于和的常数则称在点处可微,而称为在点处的微分记为定义1:二、可微的必要条件与充分条件1.必要条件()()()()()()()()()()00000000000000,,,,,,,1,,2,,,.x y x y x y x y z f x y x y f x y x y f f f f f x y x y dz x y dx dy xyxy=∂∂∂∂=∆+∆=+∂∂∂∂若在点处可微则（）在点处连续；（）在点处可偏导且2.充分条件()()()()0000,,,,,f fz f x y x y z f x y x y x y∂∂==∂∂若的两个偏导数都在点处连续,则在点处可微. 22.z x y y =+⎡⎤⎣⎦例1计算函数的全微分()()()()()()(),0,0,,,0,0.0,,0,0x y f x y f x y x y ⎧≠⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩例2设讨论在点是否可微()()()()()()()2222,,0,03,,,0,0.0,,0,0x y x y x yf x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩例设讨论在点是否可微 ()()()()()()()()()()33422344,410315125,,.,,,,,,,.u u x y du x xy y dx x y xy y dy u x y du x y P x y dx Q x y dy u x y P x y dx Q x y dy ==+-+-+⎡⎤⎣⎦⎡=++⎤⎣⎦例设满足求若称为的原函数注:第四节 多元复合函数的求导法则一、 链式求导法则()()()()()()()1212,,,,,,,,,,,,,.u u x y v v x y x y x y z f u v z f u x y v x y x y z f u f v u v z f u f v u v f f f f x u x v x x x y u y v y y y====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂设在点处有对的偏导数在对应点可微则复合函数对的偏导数存在且；()2,,.w w w f x y z xyz f x x z ∂∂=++⎡⎤⎣⎦∂∂∂例1设具有二阶连续偏导数,求及()22,,,,.yz z f u x y u xe f x y ∂==⎡⎤⎣⎦∂∂例设具有二阶连续偏导数,求22222223600,.u x y z z z z a v x ay x x y y u v z =-⎧∂∂∂∂+-==⎡⎤⎨⎣⎦=+∂∂∂∂∂∂⎩例用变换可把方程化简为求值,其中有二阶连续偏导数 第五节 隐函数的求导公式一、一个方程的情形()()(),,0,,0,.y x y F x y F F dyF x y y y x dx F '≠'===-'设有连续一阶偏导数且则方程确定且隐函数存在定理1()()(),,,0,,,0,,.z y x z z F x y z F F F zz F x y z z z x y x F y F '≠''∂∂===-=-''∂∂设有连续一阶偏导数且则方程确定且，隐函数存在定理2 二、方程组情形（仅数一）()()()(),,,0,,,,,,,00,.x u v x u v F x y u v u u x y v v x y G x y u v u v F F F u v x xx u v x x G G G x x =⎧⎪==⎨=⎪⎩∂∂⎧'''++=⎪∂∂⎪∂∂⇒⎨∂∂∂∂⎪'''++=⎪∂∂⎩设有方程组确定在方程两端直接对求偏导,有()()2220021100,1,.x x dyd yx y y y x dxdx ==+-==⎡⎤⎣⎦例验证方程在点附近能确定函数并求和22222240,.z x y z z x ∂++-=⎡⎤⎣⎦∂例设求 0,,,.1xu yv u u v vyu xv x y x y -=⎧∂∂∂∂⎡⎤⎨⎣⎦+=∂∂∂∂⎩例3设求和 ()()()4,,0,.u v cx az cy bz z f x y z za b c x yϕϕ--==⎡⎤⎣⎦∂∂+=∂∂例设具有连续偏导数,证明由方程所确定的函数满足 ()()()5,,,,,0,,.y f x t t t x y F x y t dyf F dx===⎡⎤⎣⎦例设而是由方程所确定的函数其中都具有一阶连续偏导数,求 第六节 多元函数微分学的几何应用（仅数一）一、 曲面的切平面与法线()()()():,,0,=,,:,,=,,1.x y z x y F x y z n F F F z f x y n f f '''∑=''∑=-曲面以隐式给出法向量；曲面以显示给出法向量()2221141,2,3.x y z ++=⎡⎤⎣⎦例求曲面在点处的切平面及法线方程 ()22212,1,4.z x y =+-⎡⎤⎣⎦例求曲面在点处的切平面及法线方程二、空间曲线的切线与法平面()()()()()()()()()12:,,=,,,,0:,=.,,0x x t L y y t t x t y t z t z z t F x y z L n n G x y z αβττ=⎧⎪'''=≤≤⎨⎪=⎩=⎧⎪⨯⎨=⎪⎩空间曲线以参数形式给出切向量；空间曲线以一般式给出切向量 ()2331,1,1.x ty t z t =⎧⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩例求曲线在点处的切线及法平面方程 ()222641,2,1.0x y z x y z ⎧++=-⎡⎤⎨⎣⎦++=⎩例求曲线在点处的切线及法平面方程第七节 方向导数与梯度（仅数一）一、方向导数的定义()()()()()00000000,,cos ,cos cos ,cos ,lim .l P t z f x y P x y e f x t y t f x y fltαβαβ+→==++-∂=∂二元函数在点处沿着方向的方向导数定义1:二、方向导数的存在性及计算()()()()()()00000000000,,,,,,cos ,cos ,cos ,cos .P x y z f x y P x y z f x y P x y ff x y f x y l lαβαβ==∂''=+∂若在点可微则在点沿任一方向的方向导数都存在,且其中是方向的方向余弦()()()2112,1.yz xe P P Q =-⎡⎤⎣⎦例1求函数在点，0处沿从点，0到点的方向导数 三、梯度()()()000000,,,.x y gradf x y f x y i f x y j ''=+定义2:()()()()()()()()()()000000,000000000000,cos ,cos ,,,cos ,cos ,,cos ,,x y x y y ff x y f x y lf x y f x y gradf x y l gradf x y gradf x y l αβαβθθ∂''=+∂''=⋅=⋅=其中是与的夹角.方向导数与梯度向量的关系:221.grad x y⎡⎤⎣⎦+例2求 ()()()()()()()()2200001,,1,1,:21,,2,,3,.f x y x y P f x y P f x y f x y P f x y f x y P =+⎡⎤⎣⎦例3设求（）在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数；（）在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数；（）在处变化率为零的方向第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值()()()()()()()()00000000000,,,,,,,,,,z f x y P x y P x y x y f x y f x y P x y f x y =<>设在点的某邻域内有定义,对该邻域内任何异于的点有（）则称是的极大（小）值点.定义1:()()()()()()()()()()()()()()()()2220,,0,0lim 1,0,0,0,0,0,0,0,0,x y f x y xyf x y xyA f x yB f x yC f x yD f x y →→-=⎡⎤⎣⎦+例1已知函数在点的某个邻域内连续,且则下列说法正确的是____.点不是的极值点点是的极大值点点是的极小值点根据所给条件无法判断是否为的极值点二、极值的必要条件和充分条件1.必要条件()()()()()00000000,,,,0,,0.x y z f x y x y x y f x y f x y ''===设在处具有偏导数,且在处取极值,则2.充分条件()()()()()()()()()()()()()()()00000000000020000002002,,,0,,0,,,,,0,,,,0,,0,,0,,,x y xxxy yy z f x y x y f x y f x y f x y A f x y B f x y C B AC x y f x y A x y f x y A x y f x y B AC x y f x y B AC ''===''''''===-<><->-设在的某邻域内有二阶连续偏导数,且记，，则（1）若则是的极值点且时,为的极小值点；时,为的极大值点.（2）若则不是的极值点.（3）若()()000,,,x y f x y =则可能是也可能不是的极值点.()33222,339f x y x y x y x =-++-⎡⎤⎣⎦例求的极值. ()()2223,246110,,z z x y x y z x y z z z x y =++-+--==⎡⎤⎣⎦例设由方程确定求的极值.三、条件最值()()()()()()()()()()()()()(),,0,,,,,,0,,0,0,.,,,,0,,0,,0x x xy y y z f x y x y F x y f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y z f x y z x y z x y z x y z λϕλλϕλϕλϕϕϕϕφ===+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩===⎧⎪⎨=⎪⎩求在条件下的最值（1）构造拉格朗日函数，（2）列方程组，（3）解上述方程组，（4）根据实际问题所得即所求上述方法可推广求在一个条件或两个条件下的最值.构造()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,0.F x y z f x y z x y z F x y z f x y z x y z x y z λλϕλλϕμφ=+=++=或()11114,,,0.u xyz x y z a x y z a=++=>⎡⎤⎣⎦例求在条件下的最值 四、连续函数在闭区间上的最大值最小值()()(),,,z f x y D f x y D f x y D =以二元函数为例:求连续函数在有界闭区域上的最值（1）求在内部的偏导数为零和偏导数不存在的点，（2）求在的边界上的最值点，（3）比较上述各函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值.()2222:1,,2.D x y x y T x y x +≤⎡⎤⎣⎦=+-例5设有一圆板占有平面闭区域该圆板被加热,以致在点的温度是求该圆板的最热点和最冷点.第十章 重积分第一节 二重积分的概念与性质一、 二重积分的概念及其几何意义1.二重积分的概念()()()()01,lim ,,.,,,ni i i i i Df x y d f f x y D f x y D λσξησλσ→==∆∆∑⎰⎰其中表示最大小区域的直径在上存在二重积分也称在上可积.定义1:2.二重积分的几何意义()()(),0,,,Df x y f x y d z f x y D σ≥=⎰⎰若则表示以曲面为顶,以区域为底,侧面是柱面的曲顶柱体的体积.二、二重积分的性质()()()()()()()()()()()()()121212121211,,,,,,,,,1,,,,,,2,,3,D DDDDDD D DDDDd A k f x y k g x y d k f x y d k g x y d f x y d f x y d f x y d D D D D D D f x y g x y f x y d g x y d f x y d f x y d D m f σσσσσσσσσσσ=+=+⎡⎤⎣⎦=+==Φ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）；（2）；（3）；（）在上若则；（）；（）在上若1.等式性质2.不等式性质()()()()()(),,,,,,,,=,.D D DD Dx y M m A f x y d M A f x y D D f x y d f A σξησξη≤⋅≤≤⋅∈⋅⎰⎰⎰⎰则；设在上连续则存在一点使3.中值定理三、二重积分的对称性1.普通对称性()()()()()()()()1111,0,2,,,,0,,,0,2,,,,.0,,D D D DD y D D x f x y d f x y x f x y d f x y x D x D D y f x y d f x y y f x y d f x y y σσσσ≥⎧⎪=⎨⎪⎩≥⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设关于轴对称是在的部分则对是偶函数；对是奇函数设关于轴对称是在的部分则对是偶函数对是奇函数 2.轮换对称性()(),,,.DDD y x f x y d f y x d σσ==⎰⎰⎰⎰若关于直线对称则()()()()()()1111:,,:0,,cos sin ____2cos sin 24cos sin 0DD D D D a x a x y a D x a x y a xy x y dxdy A x ydxdy B xydxdy C xy x y dxdy D -≤≤≤≤≤≤≤≤⎡⎤⎣⎦+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1设有平面闭区域则()()()()()()12122,,,,:1,,,,2,,.D D DDf x y f y x D D y x f x y d f y x d D D D y x f x y d f y x d σσσσ=⎡⎤⎣⎦===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例设都在上可积,关于直线对称证明（）其中分别为在的上方与下方部分；（）第二节 二重积分的计算法一、 利用直角坐标计算二重积分()()()()()()()()()()()()21211212:,,,,.1:,,,,.2bx a x Dd y c y DD a x b x y x f x y d dx f x y dy D c y d y x y f x y d dy f x y dxϕϕφφϕϕσφφσ≤≤≤≤=≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1.若则（）2.若则（）12,1,2,y x x y D D y D y x D D x D x y ≥公式（）和（）都是将二重积分化为累次积分,不同的是前者是先对积分后对积分后者是先对积分后对积分.公式（）中区域的特点是穿过内与轴平行的直线交的边界不多于两点,是适宜先对积分后对积分的区域；公式（）中区域的特点是穿过内与轴平行的直线交的边界不多于两点,是适宜先对积分后对积分的区域.每个单积分总是上限下限,后积分的积公式的特点:区域的特点:积分限的特点:分线是常数,先积分的积分限是后积分变量的函数.,,11.DD y x x y σ==-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰例1计算其中是由直线和围成的闭区域 2,2.Dxyd D y x y x σ==-⎡⎤⎣⎦⎰⎰例2计算其中是由抛物线及直线所围成的闭区域 二、 利用极坐标计算二重积分()()()()()()2112:,,,cos ,sin .r r DD D r r r f x y d d f r r rdr βθαθαθβθθσθθθ≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰若是适合极坐标表示,即则()22,mnmnm n y x x y f x y x y f x y f x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭被积函数形如或或且积分区域为圆域、环域、扇形时使用极坐标比较方便.注:22,x y Ded D a σ--⎡⎤⎣⎦⎰⎰例3计算其中是由圆心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域.22222224,:.D x y dxdy D x y R a b ⎛⎫++≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰例计算二重积分其中225,221Dxydxdy D x y x y +=+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算二重积分其中是由曲线所围成的闭区域.()()()()()1441233200111061,2,,;3,.y yydy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --⎡⎤⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例交换下列二次积分的次序：（）；（）（）()()11111,;3,.xdx f x y dy dx f x y dy -⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例7化下列的二次积分为极坐标下的二次积分：（）（）)2222220081____;2____.ay x dx e dy dx xy dy -=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例计算下列二次积分（）（）第三节 三重积分（仅数一）一、 三重积分的概念与物理意义1. 三重积分的概念()()()()011:,,lim ,,,.,,,,,ni i i i i i f x y z dv f v v f x y z f x y z λξηγλ→=Ω=∆∆ΩΩ∑⎰⎰⎰定义其中表示最大小区域的直径在上存在三重积分也称在上可积.2. 三重积分的物理意义()(),,,,,.f x y z m f x y z dv ΩΩ=⎰⎰⎰若物体占据空间区域其体密度为,则在它的质量二、三重积分的性质（类比二重积分） 三、三重积分的对称性 1.普通对称性()()()()11,2,,,,,,,.0,,,,.yoz yoz f x y z dv f x y z x f x y z dv f x y z x xoy xoz ΩΩΩΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰设关于面对称是在前面的部分,则对是偶函数对是奇函数若关于面或面对称有类似的结论2.轮换对称性()(),,,,,.x y f x y z dv f y x z dv ΩΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把对调不变,则()()()()121212122222222212:,0;:,0,0,0;4444x y z R z x y z R x y z A xdv xdvB ydv ydvC zdv zdvD xyzdv xyzdvΩΩΩΩΩΩΩΩΩ++≤≥Ω++≤≥≥≥⎡⎤⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1设则以下正确的是____.四、三重积分的计算 1.利用直角坐标()()()()()()()()()()21,12,1.:,,,,,,,,,;2.:,,,,,,,.xyzz x y xy z x y D z D z x y z z x y x y D f x y z dv dxdy f x y z dz z x y D f x y z dv dz f x y z dz βααβΩΩΩ≤≤∈=Ω≤≤∈=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则若则,21xdxdydz x y z ΩΩ++=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例2计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.2222222,:x y z z dxdydz a b c ΩΩ≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例3计算三重积分其中++ 1.2.利用柱面坐标()(),,,,,,,,:0,02,.cos ,sin ,.M x y z xoy P r r z M r z r z x r y r z z θθθθπθθ≤<+∞≤≤-∞<<+∞===为空间中的点,它在面上投影点的极坐标为称为点的柱面坐标;规定的变化范围为直角坐标与柱坐标的关系:（1）柱坐标21 / 21()(),,cos ,sin ,.f x y z dv f r r z rdrd dz θθθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）柱坐标下的三重积分()()()222222m n l m n l m n l x y z f x y x y z f x z x y z f y z +++Ω被积函数如或或,且是旋转体,如柱体、锥体、旋转抛物体时优选柱坐标.注: 22,+4zdxdydz z x y z ΩΩ==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例4计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域.3. 利用球面坐标()(),,,,,,,,,:0,0,02.sin cos ,sin sin ,cos .M x y z M O r O M xoy P OP x O M OM z r M r r x r y r z r θϕθϕθϕϕπθπϕθϕθϕ≤<+∞≤≤≤≤===为空间中的点,到原点的距离为原点与在面上投影点的有向线段与轴正向夹角为原点与的有向线段与轴正向夹角为称数组为点的球面坐标;规定的变化范围为直角坐标与柱坐标的关系:（1）球坐标（2）球坐标下的三重积分()()2,,sin cos ,sin sin ,cos sin .f x y z dv f r r r rdrd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()222m n l x y z f x y z ++Ω被积函数如,且是球体、锥体时优选球坐标.注: ()()22222222222225112x y z dv x y z zdv x y z a a x y z ΩΩ⎡⎤⎣⎦++Ω++=Ω++-≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰例计算下列三重积分:（）,其中由球面:所确定；（）,其中由不等式,所确定.。
