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板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2.[2018·沈阳模拟]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A.ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b >0，故ab >0，bc <0.3.[2018·邯郸模拟]过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A.x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.4.已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为( )A.12 B ．9 C ．－12 D ．9或12 答案 A解析 由k AB ＝k AC ，得3－(－3)4－2＝k2－(－3)5－2，解得k ＝12.故选A.5.[2018·荆州模拟]两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是()答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －ym ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.6.[2018·安徽模拟]直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－ 3 D ．－33 答案 A解析 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin30°cos150°＝33.7.直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π8.已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.9.过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.10.[2018·衡阳模拟]一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．答案3x －y －33＝0解析 解法一：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0.解法二：设直线y ＝13x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α.tan θ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝231－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝ 3.所求直线为3x －y －33＝0.[B 级 知能提升]1.[2018·海南模拟]直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1，∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2.已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33 C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1 D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 答案 B解析 由|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，得cos α＝12，所以sin α＝±32，所以直线AB 的斜率k AB ＝sin α－0cos α＋1＝3212＋1＝33或k AB ＝sin α－0cos α＋1＝－3212＋1＝－33，所以直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，即直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.选B.3.[2018·宁夏调研]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案 16解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.4.在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．解 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)． ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.5.过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求：(1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)求|PA |·|PB |的最小值及此直线l 的方程．解 (1)解法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )．∵与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，∴⎩⎨⎧2k －1k>0，1－2k >0⇒k <0.于是S △AOB ＝12·|OA |·|OB | ＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－4k )＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.解法二：设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b ＝1. 又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)解法一：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)， ∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎪⎫－1k＝3＋2 2.当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时，等号成立．故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即2x ＋2y －2－22＝0.解法二：∵2a ＋1b ＝1，∴截距之和a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b ＝3＋2 2.此时2b a ＝ab ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋ 2. 此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1，即2x ＋2y －2－22＝0.(3)解法一：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)， ∴|P A |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝4k2＋4k 2＋8 ≥2·4k 2·4k 2＋8＝4.当且仅当4k 2＝4k 2，即k ＝－1时上式等号成立，故|P A |·|PB |最小值为4，此时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0.解法二：设∠OAB ＝θ，则|P A |＝1sin θ，|PB |＝2sin (90°－θ)＝2cos θ，∴|P A |·|PB |＝2sin θcos θ＝4sin2θ，当sin2θ＝1，θ＝π4时，|P A |·|PB |取得最小值4，此时直线l 的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为x ＋y －3＝0.。
板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1答案 D解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 24－x 2＝0，即y ＝±2x .2．[2018·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53 答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32 答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.4．[2018·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.5．P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 B解析 如图，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a >2c ，a <c ，∴1<e <3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据已知可得，|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .7．[2018·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴ca ＝2.8．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x 2－y 2＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4.所求中点弦所在直线方程为 y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)． 可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消y ，得2x 2－4x ＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．[B 级 知能提升]1．[2017·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D 解析根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线的渐近线y ＝ba x 上， ∴ba ＝tan60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y23＝1.故选D.2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 3－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1答案 B解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a 2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5.故选B.3．[2018·武汉模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，当AB ⊥x 轴，称|AB |为双曲线的通径．若过焦点F 的所有焦点弦AB 中，其长度的最小值为2b 2a ，则此双曲线的离心率的范围为( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 当经过焦点F 的直线与双曲线的交点在同一支上， 可得双曲线的通径最小，令x ＝c ，可得y ＝±b c 2a 2－1＝±b 2a ，即有最小值为2b 2a ；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时， 即为实轴，最小为2a . 由题意可得2a ≥2b 2a ， 即为a 2≥b 2＝c 2－a 2， 即有c ≤2a ，则离心率e ＝ca ∈(1，2]．4．[2018·承德模拟]已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2 ＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB →>2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.5．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线P A ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b 2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴b ＝1，a 2＝2， ∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km2k －1，①x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵P A →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3. 将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中， 判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立，∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2kk 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.。
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.[2018·四川模拟]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )A.－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A解析 由2m －20＝0得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0，∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12. 3.[2018·启东模拟]不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C.(2,3) D ．(9，－4)答案 D解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D.4.P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A.(1,2)B ．(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1).5.[2018·绵阳模拟]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ | 的最小值为2910.6.[2018·合肥模拟]已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A.x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C.x ＋y －1＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 B解析 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y－1＝0.7.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.3 2 B ．2 2 C ．3 3 D ．4 2 答案 A解析 ∵l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0是平行直线，∴可判断AB 所在直线过原点且与直线l 1，l 2垂直时，中点M 到原点的距离最小．∵直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0，∴两直线的距离为|7－5|12＋12＝2，又原点到直线l 2的距离为522，∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为522＋22＝3 2.故选A.8.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2].9.已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则实数a 的值是________．答案 0或1解析 因为直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，故有a (2a －1)＋a (－1)＝0，可知a 的值为0或1.10.[2018·银川模拟]点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝ (2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2，1)到直线l 的最大距离为2 5.[B 级 知能提升]1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A.x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C.x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0答案 A解析 因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.2.[2018·宜春统考]已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A.2x ＋3y －18＝0B.2x －y －2＝0C.3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D.2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.4.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.5.[2018·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.。
《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学1.应选（B）.,)0,(xe xf =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在；2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000y x f y x f y y =→3.应选（B）. ,000lim)0,0(0=Δ−=′→Δx f x x ,000lim )0,0(0=Δ−=′→Δxf y y220000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）.,00)(1sin)(lim)0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δxx x f x x ,00)(1sin)(lim )0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δy y y f y y22222200)()()()(1sin ))()((lim])0,0()0,0([)]0,0(),([limy x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++−+= ,01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x 2222)0,0(),(1cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）.5.应选（D）.由0),(,0),(<∂∂>∂∂yy x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >>6.应选（D）. )0,0()1,0()1,0()1,1()0,0()1,1()1,1(f f f f f f f −−+−−−=−−=−.211)1(),0()1,(=+>−⋅+−=ηξy x f f 故应选(D).也可用排除法:取.1.11.1),(y x y x f −=则,0)1,1(,2.2)1,1(,0)1,1(=−−−=−=f f f 则(A)(B)(C)都不对，故应选（D）.7.应选（C）. )0,0()0,1()0,1()1,1()0,0()1,1(f f f f f f −−+−−−=−−.101)1()0,(),1(=+>−⋅+−=ηξx y f f 即1)0,0()1,1(+>−f f .8. 应选（B）【解1】 直接法 由于22)0,0(),(22)0,0(),(2222)0,0(),(lim),(lim)(),(limy x y x y x f y x y x y x f y x y x y x +−+=++−→→→1),(lim22)0,0(),(=+=→yx y x f y x则0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ，若0)0,0(=f ，),(y x f 在)0,0(点连续，否则不连续。
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.7 抛物线模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·江西九校联考]若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．[2017·陕西质检]设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x ＝－3 D ．x ＝－4答案 D解析 因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x ＝－4，故选D.3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2， 5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B.4．[2017·福建模拟]设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12答案 C解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，则|PF |＝x P ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x P ＋32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P －32，解得x P ＝92，所以|PF |＝6.5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.6．[2017·延安模拟]在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－54解析 如图所示，线段OA 所在的直线方程为y ＝12x ，其中垂线方程为2x ＋y －52＝0，∴令y ＝0，得x ＝54，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴p ＝52，y 2＝5x ，其准线方程为x ＝－54.7．[2017·长春模拟]过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 2 2解析 由题意知抛物线焦点为(1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4y －4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为42，从而△OAB 的面积为2 2.8．[2017·邯郸模拟]设点P 在圆C ：x 2＋(y －6)2＝5上，点Q 在抛物线x 2＝4y 上，则|PQ |的最小值为________． 答案 5解析 设Q (x ，y )，其中x 2＝4y .又圆心C (0,6)，则|QC |＝x 2＋y －2＝4y ＋y －2＝y 2－8y ＋36(y ≥0)．当y ＝4时，|QC |min ＝25，所以|PQ |min ＝|QC |min －r ＝25－5＝ 5.9．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎪⎫t2p，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0.y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝ 1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m2m 2－，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2答案 C解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.12．[2016·四川高考]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1答案 C解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由|PM |＝2|MF |，得Mp ＋t 22p 3，t3，当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0，当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝t p ＋t 22p ＝1p t ＋t 2p ，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p ＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时取等号，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C. 13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－1解析 由题意可设直线方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消参得4x 2－12px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝3p .∴p ＝2，即抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.14．圆P 恒过点F (0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心P 的轨迹方程T ；(2)与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交曲线T 于不同的两点M ，N ，若曲线T 上存在点C 满足OC →＝λ(OM →＋ON →)(λ>0)，求λ的取值范围．解 (1)由题意可得点P 到点F 的距离等于到定直线y ＝－1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，其方程为x 2＝4y .(2)如图，由直线l ：y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，得圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|t ＋1|k 2＋1＝1⇒k2＝t 2＋2t .设交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝4y ⇒x 2－4kx －4t ＝0，其中Δ＝16k 2＋16t >0⇒t 2＋3t >0⇒t >0或t <－3，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4t ⇒y 1＋y 2＝4k 2＋2t ，∴OC →＝λ(OM →＋ON →)＝λ(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(4k,4k 2＋2t )， 即C (4k λ，(4k 2＋2t )λ)．代入x 2＝4y ，得(4k λ)2＝4λ(4k 2＋2t )， 即λ＝2k 2＋t 2k 2＝1＋t 2k 2＝1＋12·1t ＋2. ∵t >0或t <－3，1t ＋2在(－∞，－3)，(0，＋∞)都是单调递减函数，∴λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.。
