热量传输微分方程
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冶金传输原理-第十章-作业答案
第十章 热量传输微分方程习题解答
10-3
解：(1)由傅里叶定律：q=-λdt/dx=-λ(-3600x)=3600λx 平壁两侧表面的热流密度：
(2)由导热微分方程： 解得：
热量传输的基本方式
6/48
国宏伟
10-4
一根细长散热棒，以对流换热形式将热量散发到温 度为Tf的流体中，己知棒的表面对流换热系数为α， 导热系数λ，长度为l，横截面积为A，截面周长为 S，根部温度为T0，棒端部与流体间的热流密度为 qw。试写出导热微分方程及边界条件。 解：对于细长散热棒，假设温度只在杆长方向变 化，这属于一维稳态导热问题。
第十章 热量传输微分方程习题解答
10-1
对方程积分：
得： 根据傅里叶定律，求得通过圆筒壁单位管长的导热热流量：
该式与常物性公式类似，只是以圆筒壁平均温度tm=1/2(ti+t0) 计算导热系数 代入常物性公式中进行计 算。
第十章 热量传输微分方程习题解答
10-2
从宇宙飞船伸出一根细长散热棒，以辐射换热形式 将热量散发到温度为绝对零度的外部空间，己知棒的 表面发射率为ε，导热系数λ，长度为l，横截面积 为A，截面周长为S，根部温度为T0，试写出导热微 分方程及边界条件。 解：对于细长散热棒，假设温度只在杆长方向变 化，这属于一维稳态导热问题。分析厚度为dx的微 元段的导热：
10-1
一圆筒体的内、外半径分别为ri及r0，相应的壁温 为 Ti 与 T0 。 其 导 热 系 数 与 温 度 的 关 系 为 λ=λ0 （1+bT）。试导出计算单位长度上导热热流量的表 达式。 解：由题意可知，描述上述问题的导热 = ri , T = Ti ⎨ ⎩r = r0 , T = To
热量传输微分方程
热量传输微分方程
对于不可压缩流体（或固体） du = c v dt , c v = c p
Dt ρc p = ∇ (λ ∇t ) + q v + φ Dτ
……(1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
ρc p
Dt = ∇ (λ ∇t ) + q v Dτ
Q3 = q v dxdydz
Q 4 = φdxdydz
Q5 = ρ ∂u dxdydz ∂τ
代入上式，整理得：
ρ
∂u ∂u ∂u ∂u ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t + ρ (v x + vy + v z ) = [ (λ ) + (λ ) + (λ )] + q v + φ ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
热量传输微分方程
常用的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的热量传输微分方程：
∂t ∂t ∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ∂t + vy + vz = a( 2 + 2 + 2 ) 直角坐标系： + v x ∂z ∂τ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
2 2 柱坐标系： ∂t + v ∂t + vφ ∂t + v ∂t = a[ 1 ∂ (r ∂t ) + 1 + ∂ t + ∂ t ] r z ∂τ ∂r r ∂φ ∂z r ∂r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2 式中： φ − −方位角；
−λ
∂t ∂n
= α (t w − t f )
w
例题
例1、一厚度为s的无限大平板，其导热系数λ为常数，平板内具有均匀 的内热源qv(W/m3)。平板x=0的一侧是绝热的，x=s的一侧与温度为tf的流 体直接接触，已知平板和流体间的对流换热系数为α。试写出这一稳态 导热过程的微分方程和边界条件。 分析：
傅里叶热传导定律导热微分方程
傅里叶热传导定律导热微分方程傅里叶热传导定律导热微分方程：探索热传导的奥秘1、引言：了解傅里叶热传导定律热传导是我们日常生活中重要的现象之一，在多个领域都有广泛应用，包括工程、物理、化学和生物等。
傅里叶热传导定律是描述物体内部温度分布的重要方程，通过导热微分方程可以更深入地理解温度传导现象。
2、基础知识：热传导和傅里叶热传导定律热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。
傅里叶热传导定律则是一组描述热传导的微分方程，最常用的是一维传热情况下的傅里叶热传导定律。
3、傅里叶热传导定律的一维形式在一维情况下，傅里叶热传导定律可以表示为：(1) ∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是传热系数。
这个方程描述了温度随时间和空间变化的关系，可以帮助我们理解物体内部的温度分布情况。
4、解析解和数值解：探索温度变化的方法傅里叶热传导定律的导热微分方程是一个偏微分方程，可以通过解析解或数值解来获取温度的变化情况。
解析解适用于简单的几何形状和边界条件，而数值解则可以应用于更为复杂的情况。
5、实际应用：傅里叶热传导定律的物理意义傅里叶热传导定律的物理意义是描述热量如何在物体内部传递和分布的过程。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以探索不同物质和结构的热传导行为，进而优化材料的热性能、设计更高效的散热系统。
6、个人观点和理解：热传导与现代科技的关系热传导作为能量传递的重要方式之一，在现代科技发展中扮演着重要角色。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以更好地理解材料的热传导行为，从而开发出更高效的散热材料和散热系统，提高设备的效能，推动科技的发展。
7、总结回顾：深入理解热传导的奥秘在本文中，我们深入探讨了傅里叶热传导定律导热微分方程，从基础知识到实际应用，对热传导现象进行了全面评估。
傅里叶热传导定律导热微分方程可以帮助我们理解温度传导的机制和规律，为现代科技的发展提供了重要的理论支持，同时也为我们研究和优化热传导过程提供了有效工具。
热传导方程
热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。
它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。
热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。
热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。
定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。
常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。
•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。
常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。
热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。
因此，需要借助数值计算方法来求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。
导热微分方程
导热微分方程
要了解物体内部各点温度的分布，必须根据能量守恒定律与傅里叶定律，来建立导热物体中的温度场应当满足的数学关系式，即导热微分方程。
1、 原则：
⏹ 付立叶定律和能量守恒定律：
⏹ ——以能量方程为基础
热焓的增加量=传入物体的热量—传出物体的热量
2、 方程推导：
对于各向同性材料，
(1) 在x 方向：
(2) 单位时间内传入微元体内的热量
(3) 单位时间内微元体内能的变化
Or
t a t 2∇=∂∂τ
（3）无内热源、稳态导热：0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
t y t x t ——拉普拉斯(Laplace)方程
(4) 一维不稳定导热: 022
=dx
dt
dydz x t k Q x ∂∂-=dx x Q Q Q x x dx x ∂∂+=+dxdydz x t k Q Q dQ dx x x x 22∂∂=-=+dxdydz z t y t x t k dQ dQ dQ Q z y x )(222222∂∂+∂∂+∂∂=++=∆dxdydz t c Q p ρτ∂∂=∆)(222222z t y t x t c k t P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρτ
3、导温系数（热扩散系数）（Thermal diffusivity）
物理意义——物体在相同加热或冷却条件下，物体内部各部分温度趋向于一致的能力
α也是判断材
及导热方
(如10-8～10s)内产生极大的热流密度的热量传递现象（激光加工过程）；极低温度(接近于0 K)时的导热问题等，则不能再用上述式来描述。
传热学导热微分方程推导
传热学导热微分方程推导
摘要：
一、传热学简介
1.传热学基本概念
2.热量传递过程的分类
二、导热微分方程的推导
1.稳态传热过程的微分方程
2.非稳态传热过程的微分方程
三、圆柱坐标系下的导热微分方程推导
1.圆柱坐标系的建立
2.傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用
3.能量守恒定律的应用
正文：
传热学是一门研究热量传递规律的学科，它涉及到物体内和物体之间的热量传递过程。
根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。
导热微分方程是传热学中的一个重要概念，用于描述热量在物体中的传递过程。
我们可以通过推导来了解其背后的原理。
首先，我们来看稳态传热过程的微分方程。
在稳态传热过程中，物体内部的温度分布不随时间变化，因此可以得到一个关于温度分布的微分方程。
接下来，我们来看非稳态传热过程的微分方程。
在非稳态传热过程中，物
体内部的温度分布随时间变化，因此需要引入时间的变量。
通过一定的推导，我们可以得到一个关于温度分布和时间的微分方程。
此外，我们还可以通过圆柱坐标系来推导导热微分方程。
首先，我们需要建立圆柱坐标系，然后根据傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用，我们可以得到关于温度分布的微分方程。
最后，根据能量守恒定律，我们可以得到一个关于热量传递过程的微分方程。
总之，传热学导热微分方程的推导是一个复杂的过程，需要我们掌握稳态传热过程和非稳态传热过程的微分方程，以及圆柱坐标系下的导热微分方程推导方法。
2.3 热量传递微分方程
其中连续性方程
u x u y u z D D y z x
（ 4）
（ 5）
代入（4）并合并（2）和（3）得：
DH Dp 2 k t q D D
（5）
上式为能量方程的普遍形式，式中各项 均表示单位体积流体的能量速率，单位 为J/m3s
则由x方向向流体微元输入的净热能为：
q A x dxdydz x
由y方向向其输入的净热能为：
q A y dxdydz y
q 由z方向向其输入的净热能为： A z dxdydz z
这样，由环境向微元输入的热速率为三方向之和， 并且每个方向上的热速率可用傅立叶定律描述， 假设各向导热系数k相同，就有：由环境输入热 速率为： 2t 2t 2t k 2 2 2 dxdydz x y z 总输入热速率为： 2t 2t 2t DQ （ 2） dxdydz k 2 2 2 dxdydz qdxdydz
2.3.1 能量方程的推导
微元对环境流体做功表现为表面应 力对流体微元做功，而表面应力又是由 于受其相邻流体的压力和粘性应力的作 用产生的，于是有：
流体微元的 加入流体 表面应力对流体 内能增长速率 ＝ 微元的热速率 微元所做的功率
所做的功:
所以：
u x u y u z DW =-p D y z x
（ 3）
（3） 内能的增长速率：
内能与焓的关系为： H U pv U
p
两边同取随体导数并同时乘以ρ 得：
DH DU D p D D D D D
一般在无内热源情况下进行对流传 热时， q 0并设：＝0
u x u y u z D D y z x
（ 4）
（ 5）
代入（4）并合并（2）和（3）得：
DH Dp 2 k t q D D
（5）
上式为能量方程的普遍形式，式中各项 均表示单位体积流体的能量速率，单位 为J/m3s
则由x方向向流体微元输入的净热能为：
q A x dxdydz x
由y方向向其输入的净热能为：
q A y dxdydz y
q 由z方向向其输入的净热能为： A z dxdydz z
这样，由环境向微元输入的热速率为三方向之和， 并且每个方向上的热速率可用傅立叶定律描述， 假设各向导热系数k相同，就有：由环境输入热 速率为： 2t 2t 2t k 2 2 2 dxdydz x y z 总输入热速率为： 2t 2t 2t DQ （ 2） dxdydz k 2 2 2 dxdydz qdxdydz
2.3.1 能量方程的推导
微元对环境流体做功表现为表面应 力对流体微元做功，而表面应力又是由 于受其相邻流体的压力和粘性应力的作 用产生的，于是有：
流体微元的 加入流体 表面应力对流体 内能增长速率 ＝ 微元的热速率 微元所做的功率
所做的功:
所以：
u x u y u z DW =-p D y z x
（ 3）
（3） 内能的增长速率：
内能与焓的关系为： H U pv U
p
两边同取随体导数并同时乘以ρ 得：
DH DU D p D D D D D
一般在无内热源情况下进行对流传 热时， q 0并设：＝0
物理热传导公式
物理热传导公式是用来描述热量传递过程的数学模型，它可以
帮助我们理解和预测热量在不同物质之间的传递行为。
根据热
传导的基本定律，当两个物体的温度不同时，热量将从温度较
高的物体传递到温度较低的物体，直到两个物体的温度相等为止。
在数学上，热传导公式可以用以下的微分方程来表示：
k * ∂^2T/∂x^2 + ∂T/∂t = 0
其中，T表示物体的温度，x表示物体的空间坐标，t表示时间，k表示物体的热传导系数。
这个公式告诉我们，物体的温度变
化率与物体的热传导系数、温度梯度和时间有关。
通过求解这个微分方程，我们可以得到物体在特定条件下的温
度分布和热量传递行为。
在实际应用中，我们可以通过测量物
体的温度变化和相关参数，来验证热传导公式的正确性和适用性。
除了基本的热传导公式外，还有许多其他的热传导模型和理论，如热对流、热辐射等。
这些模型和理论可以帮助我们更好地理
解和预测热量传递过程，为工程和科学领域的研究和应用提供
重要的理论支持和实践指导。
总之，物理热传导公式是描述热量传递过程的重要数学模型，
它为我们提供了理解和预测热量传递行为的方法和工具。
通过
学习和掌握热传导公式，我们可以更好地理解热量传递的规律
和机制，为相关领域的研究和应用提供重要的理论支持和实践
指导。
第六章热量传热微分方程.docx
第六章热量传热微分方程一、单相对流传热的一般数学模型对流传热是一种与流体运动及流体内部导热规律均有关的一种传热现象。
所以，对此过程的描述，需要同时采用描述流体流动和传热两方面的基本方程，即传热微分方程、导热微分方程、运动微分方程、连续性方程以及相应的单值条件。
下面分别介绍。
1.传热微分方程当流体流过固体壁面时，总存在一层很薄的流体粘附在表面上，这层流体总是处于静止状态(u=0),则热量只能依靠导热在该表而层传递。
因此，在此流体层任一微元面积dA的传热量dq,可以根据付立叶定律计算：d q = -lrf— dA—— (1)和So紧结固体壁面处(11=0)的流体层屮温度梯度,kf——流体的导热系数。
另外，根据对流传热基木方程，壁面与流体之间的传热量dg乂可写为:dq = h[t s -t f^dA = hAtdA (2)式中：M = t s-t f——固体壁面与流体间的温差。
h——对流传热系数。
由⑴,(2)两式相等得：(3)h亠並丽n=0此式即为传热微分方程。
欲求出对流传热膜系数h,则应先得出在该流体中的温度分布。
其温度分布可由导热微分方程描述。
2.导热微分方程：流体内导热微分方程在前面已有推导，在无内热源时为:上式常称为能量方程。
对于稳态的温度场，里=0。
oO因此式包括有未知量代，仏，冬，因此，欲求解上式，必须知道流体内的速度分布，这就需求解流体的运动微分方程。
3•运动微分方程：粘性流体的运动微分方程，即是奈斯方程:上述三个方程中有4个未知量：u x ,u y ,u :及P,所以述应引入一个方程，才能求解。
该方程就是连续性方程。
4.连续性方程：一般流体的连续性方程在前而已经导出，即:讪 | °（刊J |。
（刊J | 讥以J 二°— （6）dxdydz对于不可压缩性流体lp =常数），稳态流动（叟=0 ）时，有:30通过对上述四种方程求解，便可得出对流传热系数h 的一般解。
再加上单值 条件，便可求得具体问题的解。
2.3 热量传递微分方程解析
（7）
将方程（7）代入（6）得：
2 2 2 Dt t t t 2 2 2 D y z x k cp
(7 13)
方程 （8）可用于液体对流传热的情况， 当ρ变化不大时，该式亦可用于气体。
（2） 固体中的导热
因无宏观运动 u x , u y , u z 均为零，且ρ为常 量。Φ＝0
DH p 2 k t q 故能量方程可写成： D
其中连续性方程
u x u y u z D D y z x
（ 4）
（ 5）
代入（4）并合并（2）和（3）得：
DH Dp 2 k t q D D
（5）
上式为能量方程的普遍形式，式中各项 均表示单位体积流体的能量速率，单位 为J/m3s
所做的功:
所以：
u x u y u z DW Байду номын сангаас-p D y z x
（ 3）
（3） 内能的增长速率：
内能与焓的关系为： H U pv U
p
两边同取随体导数并同时乘以ρ 得：
DH DU D p D D D D D
2.3.2. 能量方程的应用
方程（ 5 ）可描述流体流动时有内热 源，有摩擦热生成的普遍情况，Φ 为单 位体积流体所产生的摩擦热，它与流速 和粘度有关，对于高速流动或粘度很大 的流体流动问题， Φ 值很大，如，超音 速的边界层流动就如此。
但在化工中，Φ 值与其它项比较是 很小的，可忽略。
（1） 不可压缩流体中的对流传热
①由环境导入流体的热能 如化学反应、核反应 ②流体微元内所释放的热能 用q表示 j/m 3 s
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〔单位时间内系统内能的增量〕 ＝ 〔单位时间内系统获得的热 能〕 ＋ 〔单位时间内系统对外 界作的功〕
z
dQz+dz
dQx dQy+dy
dz
dx dy
dQz y
dQy dQx+dx x
热量传输微分方程
分析： 总能量＝内能＋动能＋位能 只考虑与外界的热能联系，故动能和位能可忽略。 系统对外界做功包括：克服重力、压力和粘性力做功。 克服压力和粘性力做功可转化为热能，由于流体为不可压缩流体，故只 剩下粘性力做功产生的摩擦热。 系统获得的热能包括：通过导热和对流方式从外界得到的热能，和内 热源（化学反应、电热效应等）
a表示物体在被加热（或冷却）时内部温度均匀的快慢。a 值越大， 则在同样的加热（或冷却）条件下，材料中温度达到均匀就越迅 速。故a又有“导温系数”之称。
动量传输和热量传输的类似
Y方向上的导热通量可表示为：
qy
t (ct) y c y
a (ct) y
式中：
a c
Q2 ,x净
Q2,x－Q2, xdx
(t )dxdydz x x
Q2 [ (t ) (t ) (t )]dxdydz x x y y z z
热量传输微分方程
对于Q3：
定义单位时间内单位体积所生成的热量为内热 源强度，用qv(w/m3)表示，则：
Q3 qv dxdydz
热量传输微分方程
简化3：在固体中，vx , v y , vz 0,0 则(1)式变为：
c p
t (t)
qv
… … (4)
称为固体导热微分方程式
简化1：若λ为常数，则(4)式变为：
t a2t＋ qv
c p
… … (5)
简化2：若无内热源，则(5)式变为：
t a2t
－－称为热扩散系数，m2/s；
ct －－表示单位体积物体所具有的热量，J/m3；
(ct) －－表示y方向上物体的热量浓度梯度； y
动量传输和热量传输的类似
Y方向上的动量通量可表示为：
y
v x y
(vx ) y
( vx ) y
式中：
v x
－－称为动量扩散系数，m2/s； －－表示单位体积流体的动量，kg·m/(m3·s)；
c p
Dt (t D
)
q
v
… … (1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
c p
Dt (t) D
qv
… … (2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为：
Dt a2t D
… … (3)
称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
经分析得：Q1 + Q2 + Q3 +增量
热量传输微分方程
对于Q1：
Q1,x vxudydz
Q1,xdx Q1,x x (Q1,x )dx
Q1, x净
Q1, x－Q1, x dx
(u vx x
vx
u )dxdydz x
t n
w
(t
w
t f
)
例题
例1、一厚度为s的无限大平板，其导热系数λ为常数，平板内具有均匀 的内热源qv(W/m3)。平板x=0的一侧是绝热的，x=s的一侧与温度为tf的流 体直接接触，已知平板和流体间的对流换热系数为α。试写出这一稳态 导热过程的微分方程和边界条件。 分析：
(vx ) －－表示y方向上物体的动量浓度梯度； y
可以看出：傅立叶定律和牛顿粘性定律有共同的特点，即传递通量与 相应量的浓度梯度成正比；比例系数的单位为m2/s；说明动量传输、 热量传输和后面的质量传输有一定的类似关系
热量传输微分方程
对于不可压缩流体（或固体） du cvdt, cv c p
Q3 qvdxdydz
对于Q4：
Q4 dxdydz
对于Q5：
Q5 u dxdydz
代入上式，整理得：
u (vx
u x
v y
u y
vz
u ) z
[
(t ) x x
(t ) y y
(t )] z z
qv
热量传输微分方程
热量传输微分方程
常用的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的热量传输微分方程：
直角坐标系：t v
x
t x
v
y
t y
vz
t a( 2t z x2
2 t y 2
2t ) z 2
柱坐标系：
t vr
t r
v r
t v
z
t z
a[1 r
t 0 f (x, y, z)
最简单的初始条件是开始时刻物体内各点具有相同的温度，即：
t 0
t0
常数
对于稳态导热，温度分布与时间无关，不存在初始条件。
导热过程的单值性条件
边界条件包括温度边界条件和速度边界条件，对固体导热问题来说，不需 要速度边界条件。温度边界条件是指物体边界上的温度特征和换热情况。 常见的边界条件可分为三类：
热量传输微分方程
热量传输微分方程的推导 各种坐标系下的热量传输微分方程 初始条件和边界条件 例题
热量传输微分方程
工程问题
温度场
计算导热速率
热量传输微分方程 （物体内部各点温度和空间与时间内在联系的数学表达式）
方法：微元体分析法 根据能量守恒定律建立
热量传输微分方程
从流动流体中取出一个微元体， 其体积为dV=dxdydz，假定流体为 不可压缩流体。根据能量守恒定 律，对于这一微元体有：
Q1
vx
u x
v y
u y
v z
u u(vx z x
v y y
vz z
)dxdydz＝ (v x
u x
v
y
u y
v
z
u )dxdydz z
对于Q2：
Q2,x
t dydz x
Q2,xdx Q2,x x (Q2,x )dx
Dt a2t D
… … (3)
称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
热量传输微分方程
a c p
其分子是物体的导热系数，λ越大，在相同的温度梯度下可以传导 更多的热量。
其分母ρCp是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量， ρCp越 小，温度升高1℃所需吸收的热量就越小，可以剩下更多的热量向继 续向物体内部传递，表现在温度上就是使物体内各点的温度能更快 地随界面温度的变化而变化。
(r r
t ) r
1 r2
2t 2
2t z 2
]
式中： 方位角；
vr、v、vz 流体速度在柱坐标系（ r、、z）方向上的分量
球坐标系：t vr
t v t v t a[ 1 r r r sin r2
(r 2 r
t ) r r 2
1 (sin t ) sin r 2
1 2t ] sin 2 2
式中： 方位角或称经角；
纬角；
vr、v、v流体速度在球坐标系（ r、、）方向上的分量
适用范围
导热微分方程的适用范围： 导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程 极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象（如激光加工过程）。 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
单值性条件
热量传输微分方程是描述物体内温度随时间和空间变化的一般关系 式，为了使方程有确定的解，则需给出单值性条件：几何条件、物理 条件、初始条件和边界条件。
几何条件：参与过程的物体的几何形状和大小。
物理条件：物性参数λ、C、ρ等随温度的变化规律；指明是否有内 热源。
初始条件是指导热过程开始时刻物体内的温度分布，可表示为：
对于不可压缩流体（或固体） du cvdt, cv c p
c p
Dt (t D
)
q
v
… … (1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
c p
Dt (t) D
qv
… … (2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为：
… … (6)
简化3：若为稳态，则(6)式变为：
2t 0
… … (7) 称为拉普拉斯方程
热量传输微分方程
导热微分方程：
t a[ 2t 2t 2t ] qv x 2 y 2 z 2 c p
各项的意义： 左边表示温度场随时间的变化，即温度场的不稳定程度。 右边的两次导数为温度梯度在各坐标方向的变化率，亦即表 示热流在各坐标方向的变化。正是由于这些变化使物体内部 的温度随时间发生变化。
对于Q4： 对于Q5：
定义单位体积流体由于粘性力作用产生的摩擦 热速率为耗散热，用Φ(w/m3)表示，则：
Q4 dxdydz
Q5 u dxdydz
热量传输微分方程
对于Q1： 对于Q2： 对于Q3：
Q1 (vx
u x
v y
u y
vz
u )dxdydz z
Q2 [ (t ) (t ) (t )]dxdydz x x y y z z
（1）第一类边界条件是已知任何时刻边界上的温度分布：
t w tw
特殊情况下： t w tw 常数
（2）第二类边界条件是已知任何时刻边界上的热通量：
t n w
qw
特殊情况是某个边界面完全绝热，则： t 0 n w
（3）第三类边界条件也称为对流边界条件，它是已知物体周围介质的温 度tf和边界与周围介质的对流换热系数α（若同时存在对流给热和辐射换 热， α 用总换热系数α ∑代替）：
z
dQz+dz
dQx dQy+dy
dz
dx dy
dQz y
dQy dQx+dx x
热量传输微分方程
分析： 总能量＝内能＋动能＋位能 只考虑与外界的热能联系，故动能和位能可忽略。 系统对外界做功包括：克服重力、压力和粘性力做功。 克服压力和粘性力做功可转化为热能，由于流体为不可压缩流体，故只 剩下粘性力做功产生的摩擦热。 系统获得的热能包括：通过导热和对流方式从外界得到的热能，和内 热源（化学反应、电热效应等）
a表示物体在被加热（或冷却）时内部温度均匀的快慢。a 值越大， 则在同样的加热（或冷却）条件下，材料中温度达到均匀就越迅 速。故a又有“导温系数”之称。
动量传输和热量传输的类似
Y方向上的导热通量可表示为：
qy
t (ct) y c y
a (ct) y
式中：
a c
Q2 ,x净
Q2,x－Q2, xdx
(t )dxdydz x x
Q2 [ (t ) (t ) (t )]dxdydz x x y y z z
热量传输微分方程
对于Q3：
定义单位时间内单位体积所生成的热量为内热 源强度，用qv(w/m3)表示，则：
Q3 qv dxdydz
热量传输微分方程
简化3：在固体中，vx , v y , vz 0,0 则(1)式变为：
c p
t (t)
qv
… … (4)
称为固体导热微分方程式
简化1：若λ为常数，则(4)式变为：
t a2t＋ qv
c p
… … (5)
简化2：若无内热源，则(5)式变为：
t a2t
－－称为热扩散系数，m2/s；
ct －－表示单位体积物体所具有的热量，J/m3；
(ct) －－表示y方向上物体的热量浓度梯度； y
动量传输和热量传输的类似
Y方向上的动量通量可表示为：
y
v x y
(vx ) y
( vx ) y
式中：
v x
－－称为动量扩散系数，m2/s； －－表示单位体积流体的动量，kg·m/(m3·s)；
c p
Dt (t D
)
q
v
… … (1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
c p
Dt (t) D
qv
… … (2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为：
Dt a2t D
… … (3)
称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
经分析得：Q1 + Q2 + Q3 +增量
热量传输微分方程
对于Q1：
Q1,x vxudydz
Q1,xdx Q1,x x (Q1,x )dx
Q1, x净
Q1, x－Q1, x dx
(u vx x
vx
u )dxdydz x
t n
w
(t
w
t f
)
例题
例1、一厚度为s的无限大平板，其导热系数λ为常数，平板内具有均匀 的内热源qv(W/m3)。平板x=0的一侧是绝热的，x=s的一侧与温度为tf的流 体直接接触，已知平板和流体间的对流换热系数为α。试写出这一稳态 导热过程的微分方程和边界条件。 分析：
(vx ) －－表示y方向上物体的动量浓度梯度； y
可以看出：傅立叶定律和牛顿粘性定律有共同的特点，即传递通量与 相应量的浓度梯度成正比；比例系数的单位为m2/s；说明动量传输、 热量传输和后面的质量传输有一定的类似关系
热量传输微分方程
对于不可压缩流体（或固体） du cvdt, cv c p
Q3 qvdxdydz
对于Q4：
Q4 dxdydz
对于Q5：
Q5 u dxdydz
代入上式，整理得：
u (vx
u x
v y
u y
vz
u ) z
[
(t ) x x
(t ) y y
(t )] z z
qv
热量传输微分方程
热量传输微分方程
常用的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的热量传输微分方程：
直角坐标系：t v
x
t x
v
y
t y
vz
t a( 2t z x2
2 t y 2
2t ) z 2
柱坐标系：
t vr
t r
v r
t v
z
t z
a[1 r
t 0 f (x, y, z)
最简单的初始条件是开始时刻物体内各点具有相同的温度，即：
t 0
t0
常数
对于稳态导热，温度分布与时间无关，不存在初始条件。
导热过程的单值性条件
边界条件包括温度边界条件和速度边界条件，对固体导热问题来说，不需 要速度边界条件。温度边界条件是指物体边界上的温度特征和换热情况。 常见的边界条件可分为三类：
热量传输微分方程
热量传输微分方程的推导 各种坐标系下的热量传输微分方程 初始条件和边界条件 例题
热量传输微分方程
工程问题
温度场
计算导热速率
热量传输微分方程 （物体内部各点温度和空间与时间内在联系的数学表达式）
方法：微元体分析法 根据能量守恒定律建立
热量传输微分方程
从流动流体中取出一个微元体， 其体积为dV=dxdydz，假定流体为 不可压缩流体。根据能量守恒定 律，对于这一微元体有：
Q1
vx
u x
v y
u y
v z
u u(vx z x
v y y
vz z
)dxdydz＝ (v x
u x
v
y
u y
v
z
u )dxdydz z
对于Q2：
Q2,x
t dydz x
Q2,xdx Q2,x x (Q2,x )dx
Dt a2t D
… … (3)
称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
热量传输微分方程
a c p
其分子是物体的导热系数，λ越大，在相同的温度梯度下可以传导 更多的热量。
其分母ρCp是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量， ρCp越 小，温度升高1℃所需吸收的热量就越小，可以剩下更多的热量向继 续向物体内部传递，表现在温度上就是使物体内各点的温度能更快 地随界面温度的变化而变化。
(r r
t ) r
1 r2
2t 2
2t z 2
]
式中： 方位角；
vr、v、vz 流体速度在柱坐标系（ r、、z）方向上的分量
球坐标系：t vr
t v t v t a[ 1 r r r sin r2
(r 2 r
t ) r r 2
1 (sin t ) sin r 2
1 2t ] sin 2 2
式中： 方位角或称经角；
纬角；
vr、v、v流体速度在球坐标系（ r、、）方向上的分量
适用范围
导热微分方程的适用范围： 导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程 极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象（如激光加工过程）。 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
单值性条件
热量传输微分方程是描述物体内温度随时间和空间变化的一般关系 式，为了使方程有确定的解，则需给出单值性条件：几何条件、物理 条件、初始条件和边界条件。
几何条件：参与过程的物体的几何形状和大小。
物理条件：物性参数λ、C、ρ等随温度的变化规律；指明是否有内 热源。
初始条件是指导热过程开始时刻物体内的温度分布，可表示为：
对于不可压缩流体（或固体） du cvdt, cv c p
c p
Dt (t D
)
q
v
… … (1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
c p
Dt (t) D
qv
… … (2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为：
… … (6)
简化3：若为稳态，则(6)式变为：
2t 0
… … (7) 称为拉普拉斯方程
热量传输微分方程
导热微分方程：
t a[ 2t 2t 2t ] qv x 2 y 2 z 2 c p
各项的意义： 左边表示温度场随时间的变化，即温度场的不稳定程度。 右边的两次导数为温度梯度在各坐标方向的变化率，亦即表 示热流在各坐标方向的变化。正是由于这些变化使物体内部 的温度随时间发生变化。
对于Q4： 对于Q5：
定义单位体积流体由于粘性力作用产生的摩擦 热速率为耗散热，用Φ(w/m3)表示，则：
Q4 dxdydz
Q5 u dxdydz
热量传输微分方程
对于Q1： 对于Q2： 对于Q3：
Q1 (vx
u x
v y
u y
vz
u )dxdydz z
Q2 [ (t ) (t ) (t )]dxdydz x x y y z z
（1）第一类边界条件是已知任何时刻边界上的温度分布：
t w tw
特殊情况下： t w tw 常数
（2）第二类边界条件是已知任何时刻边界上的热通量：
t n w
qw
特殊情况是某个边界面完全绝热，则： t 0 n w
（3）第三类边界条件也称为对流边界条件，它是已知物体周围介质的温 度tf和边界与周围介质的对流换热系数α（若同时存在对流给热和辐射换 热， α 用总换热系数α ∑代替）：