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毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题目微分方程数值解选题时间2010.11.20完成时间2011.3.9论文（设计）字数33840关键词微分方程，周期解，边值问题论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：微分方程是数学科学联系实际问题的主要桥梁之一，它是含有未知函数及其导数的方程。
常微分方程的求解是现代科学研究和工程技术中经常遇到的实际问题，然而，从实际问趣中建立出来的微分方程往往具有非常复杂的形式，有些解析式难以计算，有些则根本不能用解析式来表达，所以利用数值解法‘叫求解实际问题就显得非常重要。
论文（设计）的主要内容及创新点：如果未知函数的自变量是一个，称为常微分方程;自变量多于一个，称为偏微分方程。
在科学研究和工程计算中碰到的许多微分方程，根本不存在解析解，或者求解析解的代价很大，求解过程过于复杂，在这种情况下，我们只能借助于数值计算来求方程的数值解。
附：论文（设计）本人签名：年月日目录中文摘要 (5)第一章常微分方程的解 (6)第一节常微分方程的基本概念 (6)第二节常微分方程的12步骤 (10)第三节偏导数的方程 (14)第二章递增方程的应用 (17)第一节递增数列 (17)第二节数列的极限 (20)第三章与积分有关的数列的极限问题 (24)第一节积分的应用 (24)第二节单调定性的松弛法 (26)第三节松弛算法法的证明 (33)第四章简单的单步法及基本概念 (36)第一节解初值问题的梯形法 (36)第二节左矩形公式 (39)第三节隐式Euler方法 (40)第四节预估–校正Euler方法 (42)参考文献 (45)摘要：常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的。
本文第一章讲述了常微分方程的发展历史，第二章介绍了一系列常微分方程的周期解和边值问题，说明了其研究现状，第三章举例说明了其在生态学和军事上的应用。
无论在数学研究还是在自然科学以及其他应用科学，常微分方程都显现出其重要的理论和应用价值。
§4 高阶微商与高阶微分1．高阶微商物体运动规律)(t S 瞬时速度 ()v t ＝()s t '＝ds dt瞬时加速度 ()a t ＝()v t '＝(())s t ''，或 ()a t ＝dvdt＝()d ds dt dt ． 由此产生了高阶导数的概念．一般地，设()y f x =在(,)a b 可导，则()f x '仍是(,)a b 上的函数．若()f x '也在(,)a b 可导，则称()f x '的微商(())f x ''为()f x 的二阶微商(二阶导数)，记为()f x ''或(2)()fx 或22d ydx类似地可定义()f x ''的微商为()f x 的三阶微商(三阶导数)，记为 ()f x '''或(3)()fx 或33d y dx．定义(1)()n f x -的微商为()f x 的n 阶微商(n 阶导数)，记为 ()()n f x 或n n d ydx＝11()n n d d y dx dx --．下面给出几个常用的n 阶导公式 例1例2 设sin y x =，求()n y解 'c o s y x =，''s i n y x =-，'''c o s y x =-，(4)y s i n x =。
设n y x = (n 是正整数)，若n k ≤，则 k n k x k n n n y -+--=)1()1()( 若n k >，则 0)(=k y研究规律，得 'c o s y x =s i n ()2x π=+，''y =cos()2x π+＝sin()22x ππ++＝2sin()2x π+，'''y =2cos()2x π+＝2sin()22x ππ++＝3sin()2x π+由此我们不难归纳出对于cos y x =，则 c o s s i n ()2y x x π==+()n y =sin()22n x ππ++cos()2n x π=+例3 设arctan y x =，求()n y 解 21'1y x=+211t a n y =+2c o s y =； 方程两边再对x 求导并注意y 是x 的函数，得 =-='⋅-=''y y y y y y 2cos 2sin sin cos 22cos y sin 2(2y π+)；2'''[2c o s s i n s i n 2()2c o s 2()c o s ]'22y y y y y y y ππ=-+++32c o s [c o s 2()c o s s i n s i n 2()]22y y y yy ππ=+-+ )3c o s (c o s 23π+=y y ＝332c o s s i n (3)2y y π+)2(3s i nc o s 23π+=y y ； 若()(1)!cos sin ()2n n y n y n y π=-+，则x y sin =()n y = sin()2n x π+ x y cos = )(n y cos()2n x π=+(1)n y +1(1)![c o ss i n s i n ()c o s c o s ()]'22n nn n y y n y ny n y y ππ-=--+++1()!cos [cos cos ()sin sin ()]22n n y y n y y n y ππ+=+-+1!cos cos[(1)]2n nn y n y π+=++1!cos sin(1)()2n n y n y π+=++由数学归纳法得例4高阶微商的运算法则：若,u v 都是x 的函数 1、 ()()n u v ±＝()n u ()n v ±． 2、若v u y ⋅=，则()n y ＝()()nk n k k nk C u v -=∑，n ＝1，2…． （莱布尼兹公式） 这里，函数的零阶导数理解为函数本身．下面用数学归纳法证明．事实上，1=n 时就是导数的乘积公式，设公式对n 成立，则 (1)()()0()'nn kn k k n k yC u v +-==∑ (1)()()(1)0[]n kn k k n k k nk C u v u v -+-+==+∑ arctan y x =()n y ＝(1)!cos sin ()2n n y n y π-+xy 1=1)(!)1(+-=n nn x n y(1)()()(1)nnk n k k k n k k nn k k C uvC u v -+-+===+∑∑ （令j k =+1） 1(1)()1(1)()1nn kn k k k n k k nn k k C uvC u v +-+-+-===+∑∑ 0(1)(0)1(1)()(0)(1)1()nn k k n k k n n nn n n k C uvC C u v C u v +--++==+++∑ 1(1)()10n k n k k n k C uv +-++==∑ 其中用等式 001n n C C +=，11n n n n C C ++=， kn k nk n C C C 11+-=+ 由数学归纳法知公式对一切正整数n 成立。
大学微积分l 知识点总结第一部分大学阶段准备知识 1、不等式：ab 2ba ≥+2121n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++()时取等号为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ2、函数周期性和对称性的常用结论1、若fx+a=±fx+b,则fx 具有周期性；若fa+x=±fb-x,则fx 具有对称性; 口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性1若fx+a=fb+x,则T=|b-a| 2若fx+a=-fb+x,则T=2|b-a| 3若fx+a=±1/fx,则T=2a 4若fx+a=1-fx/1+fx,则T=2a 5若fx+a=1+fx/1-fx,则T=4al n sin =∂正弦 l m cos =∂余弦 m ntan =∂正切n m cot =∂余切 m l sec =∂正割 n lcsc =∂余割∂=∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=∂sec 1cos商的关系：∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂=∂=∂∂sec csc cot sin cos平方关系：()()sina cosa 1cosa-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 1212a cos cosa -1212a sin 22+==⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：()ββtan tan 1-tan •∂+=∂和差化积公式：()()⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21sin 2sin sin ϕθϕθϕθ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21cos 2sin -sin ϕθϕθϕθ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21cos 2cos cos ϕθϕθϕθ ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21sin 2-cos -cos ϕθϕθϕθ原式得证，由题，22b a x x cos x sin 1x x +=∴===⎪⎭ ⎝+⎪⎭ ⎝M M 4、数学归纳法数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立;例如：前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成：①递推的基础：证明当n=1时表达式成立②递推的依据：证明如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立1第一数学归纳法5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数;有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数6、二项式定理：即二项展开式,即a+b n 的展开式()nn n k k -n k n 1-n 1n n 0n n b ...b a ...b a a C b a C C C ++•++•+=+称为二次项系数其中kn C表示项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1k k k -n kn 1k b a ++•T Cn n y∞→8、其他一些知识点10不是正数,不是负数;是自然数;0是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和0 （2）正偶数称为“双数” （3）正常数：常数中的正数（4）质数：又称“素数”;一个大于1的自然数,如果除了1和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”;最小的质素数是2;1既不是素数,也不是合数;（5）exp ：高等数学中,以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中,sup 表示上界；inf 表示下界 （7）≡：表示恒等于（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为：n=nn-1因为1的阶乘为其中,e n 11n→⎪⎭⎫⎝⎛+,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,e ≈2.7181n 1-1n2→⎪⎭⎫⎝⎛ ()()61n 21n n n ...21222++=+++()233321n n n ...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++()1-a a-a s a ...a a s 1n n 2+=+++=()()()()()1-n 2-n 1-n n n b ...b a a b -a b -a +++=x sinx 0x →→时， x tanx → 2x 21cosx -1→列举一些趋向于0的函数：()0lnn 10n a 1a 0c -n b0b 0a 0q 1q b nan →→→→④，＞③，＞，＞②，＜①柯西极限存在准则：3斯托尔茨定理设数列n y 单调增加到无穷大,则11lim lim--∞→∞→--=n n n n n n n n y y x x y x ()[]()a x g f x g f x f x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→00lim lim )().4(是连续函数：如：nn n S S n S --++++=-2232 (2523211)32n 解题思路： 函数的连续性和间断点问题 1如何讨论并确定函数的连续性①若该函数是初等函数,则该函数在其定义域区间均连续②若是一元函数,则可对其求导,其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续的x f x )()0=00)''()'(''''''00x )('''x x )()''()'(''''''0.0x )(εδδεεδεδε≥----∈∃∀x f x f x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x f ，但是＜，尽管、存在，总＞，无论对多么小的＞上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。
