第二章扩展式博弈

博弈论的extensive form博弈论是研究具有相互冲突和合作元素的情境下的决策制定的数学理论。

在博弈论中，一个游戏（博弈）可以被表示为扩展式（extensive form）或标准式（normal form）。

扩展式博弈也被称为树形结构，它详细地描述了游戏的所有可能的决策过程和时间顺序。

在扩展式博弈中，每个玩家根据游戏的历史（从根节点到当前决策点的路径）做出选择。

这种表示方法允许捕捉到玩家之间的行动顺序和信息传递，非常适合描述具有时间序列和信息不完全的动态决策过程。

扩展式博弈的主要组成部分包括：1. 历史（History）：历史是一个有序集合，表示从博弈的开始到当前决策点所采取的行动序列。

在扩展式博弈的树形结构中，历史从根节点开始，每个节点代表一个决策点，节点之间的路径代表了行动的历史。

2. 玩家函数（Player Function）：玩家函数P(h) 定义了在历史h 之后做出决策的玩家。

在扩展式博弈中，玩家函数确保了在每一个决策点，只有一个玩家负责做出选择。

3. 纯策略（Pure Strategy）：纯策略是玩家在每个决策点上可能采取的行动集合。

一个玩家在扩展式博弈中的纯策略可以被表示为一个函数，该函数将历史映射到一个具体的选择上。

4. 博弈长度（Length of the Game）：博弈长度l(G) 是指从根节点到叶节点的最长路径长度，它代表了博弈的持续时间。

扩展式博弈的优点在于它能够精确地描述玩家之间的决策顺序和信息结构，但它也有可能变得非常复杂，尤其是在参与者数量多或者决策序列长的情况下。

尽管如此，扩展式博弈是分析具有时序特征和信息不完全的决策问题的有力工具，特别是在经济学、政治学、心理学和人工智能等领域。

博弈扩展式表述转化为策略式表述有时为了理论研究，借助策略式表述博弈的结果分析扩展式博弈，需要将扩展式博弈转化为策略式表述博弈。

扩展式博弈的策略定义是：参与人在其每一个信息集上都要给出一个行动方案。

扩展式博弈分析的重要工作内容就是确定每个参与人在其每个信息集上如何进行行动选择。

策略一般地，若参与人i 的信息集集合为H i ，信息集i ∈H i 上的行动集为A i (i ),该行动集上的行动为a i (i )∈A i (i ),则参与人i 的策略则可表示为h i k i ∈ Hi {a i (i )}若参与人在每个信息集上的行动可以随机化，则称该策略为行为策略（behavioral strategy ），可记为h i k i ∈ Hi {i (i )}，其中，i (i )∈（A i (i )）策略——一个例子请写出右图所示的博弈树双方各自的策略。

1有2个信息集，第一个信息集有三个行动，第二个信息集有2个行动。

因此共有六个策略。

可记参与人1的策略集为S 1={Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb }。

这样表示的含义，以策略Bb 为例，表示的是参与人1在第一个信息集选行动B ，第二个信息集选行动b 。

同理，参与人2有两个信息集的策略集可以表示为S 2={lL ,lR ,rL ,rR }支付函数的确定确定了一个策略组合，就确定了相关路径。

通过对相关路径结果的分析，就可以确定参与人在该策略组合下的支付值。

以Aa VS lL 为例，这个策略组合确定的路径为所以在策略组合{Aa , lL }对应的支付向量为（4，1）参与人1的策略集为S 1={Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb }，参与人2的策略集为S 2={lL ,lR ,rL ,rR }支付函数的确定分析策略组合{Ca , lL }对应的博弈路径。

参与人在博弈开始首先选择行动C ，然后到达虚拟参与人结点Chance 。

在Chance 点，两条路径出现的概率分别为1/4和3/4，对应的支付向量分别为(0, 0)和(8, 8)。

博弈模型扩展式-回复什么是博弈模型扩展式？博弈模型扩展式是指在传统的博弈模型基础上，通过增加相关规则、参与者或策略等因素，对博弈模型进行扩展和延伸的一种理论框架。

扩展式的博弈模型可以更好地描述现实世界中的复杂决策场景，使得博弈论在经济学、管理学、政治学等领域的应用更为广泛。

一、基础的博弈模型在介绍博弈模型扩展式之前，我们先简要回顾一下基础的博弈模型。

基础的博弈模型主要由参与者、策略和收益函数构成。

参与者根据收益函数和其他参与者的策略来选择自己的策略，并且最终根据收益函数来分配收益。

传统的博弈模型包括纳什均衡、博弈矩阵和博弈树等。

但是这些模型在描述现实中一些复杂情况时存在局限性。

二、增加的参与者在博弈模型中，我们可以通过增加参与者的数量来扩展博弈模型。

通常，博弈模型中的参与者被视为独立决策实体，他们根据自己的利益来选择策略。

然而，在现实生活中，存在许多博弈模型中没有考虑到的共同利益或合作关系。

因此，将更多的参与者纳入博弈模型可以更好地反映出现实情况中的决策情景。

例如，在环境保护领域的博弈中，传统模型只考虑了公司在追求利润最大化的同时对环境的影响。

然而，在现实中，政府和非政府组织等参与者对环境保护同样关注。

因此，我们可以通过增加政府和非政府组织等参与者，构建一个多参与者博弈模型，以更好地分析环境保护政策的制定和实施。

三、引入动态策略除了增加参与者，我们还可以通过引入动态策略来扩展博弈模型。

在传统的博弈模型中，参与者只能在某个时刻选择自己的策略，并且这个选择是一次性的，不可更改的。

然而，在现实生活中，很多决策是连续的，参与者可以根据其他参与者的策略变化来调整自己的策略。

例如，在股市投资中，投资者的决策往往是连续的，他们会根据市场走势和其他投资者的行为来调整自己的投资策略。

因此，我们可以通过引入动态策略，构建一个连续时间博弈模型，以更好地分析股市中的投资决策。

四、考虑不完全信息博弈模型扩展式还可以考虑参与者之间的信息不对称问题。

扩展式博弈
扩展式博弈用来描述谁在何时行动在该时点上它能做什么，它行动时知道哪些信息，以及与参与人行动相联系的最终支付。

对于扩展式博弈，一般采用博弈树的方式进行描述，博弈树的构成要素主要有结、枝、路径、信息集。

教材414页的扩展式博弈中，B有四种策略：
（1）策略（L,L）：代表无论A选择L还是选择S，B都会选择L；（即如果A选择L，B会选择L；当A选择S，B也会选择L；）
（2）策略（L,S）：代表如果A选择L，B会选择L；当A选择S，B会选择S；
（3）策略（S，L）：代表如果A选择L，B会选择S；当A选择S，B也会选择L；
（4）策略（S,S）：代表无论A选择L还是选择S，B都会选择S；（即如果A选择L，B会选择S；当A选择S，B也会选择S；）
表15.4中的支付组合都是从413页图15.3中得到的。

此内容可以参阅张维迎《博弈论与信息经济学》89-90、95-96页。

59第3章 完全信息动态博弈 出怎样的分配方案才能够既不使自己被扔到大海里喂鲨鱼，又能使自己得到最多的金币？动态博弈由于添加了时间因素，因而更加贴近现实。

根据参与人是否相互了解收益情况，可分为“完全信息动态博弈”和“不完全信息动态博弈”，根据所有参与人是否都对自己选择前的博弈过程完全了解，可分为“完美信息动态博弈”和“不完美信息动态博弈”。

在本章中，我们首先对博弈的扩展式表达给出完整的定义，为动态博弈的分析奠定基础；其次，我们从扩展式表述博弈的纳什均衡分析逐步深入子博弈精炼纳什均衡，为动态博弈的分析提供可行的方法；接下来介绍完全信息动态博弈经典模型；最后，讨论重复博弈及无名氏定理。

3.1 博弈的扩展式表述在静态博弈中，所有参与人同时行动（或行动虽有先后，但没有人在自己行动之前观测到别人的行动）；在动态博弈中，参与人的行动有先后顺序，且后行动者在自己行动之前能观测到先行动者的行动。

正如博弈论专家习惯于用战略式表述描述和分析静态博弈一样，他们也习惯于用扩展式表述（extensive form representation ）来描述和分析动态博弈。

回顾一下，博弈的战略式表述包括3个要素：（1）参与人集合；（2）每个参与人的战略集合；（3）由战略组合决定的每个参与人的支付。

博弈的扩展式表述所“扩展”的主要是参与人的战略空间。

战略式表述简单地给出参与人有些什么战略可以选择，而扩展式表述要给出每个战略的动态描述：谁在什么时候行动，每次行动时有些什么具体行动可供选择，以及知道些什么。

简单地说，在扩展式表述中，战略对应于参与人的相机行动规则（contingent action plan ），即什么情况下选择什么行动，而不是简单的、与环境无关的行动选择。

具体来讲，博弈的扩展式表述包括以下要素。

（1）参与人集合：i =l, …, n ，此外，我们将用N 代表虚拟参与人“自然”；（2）参与人的行动顺序（the order of moves ）：谁在什么时候行动；（3）参与人的行动空间（action set ）：在每次行动时，参与人有些什么选择；（4）参与人的信息集（information set ）：每次行动时，参与人知道些什么；（5）参与人的支付函数（payoff ）：在行动结束之后，每个参与人得到些什么（支付是所有行动的函数）；（6）外生事件（即自然的选择）的概率分布。

博弈模型扩展式博弈论是研究决策者在竞争、合作或冲突情境下的决策和行为的数学模型。

博弈模型的应用广泛，涉及经济学、政治学、生态学、社会学等多个领域。

在博弈论中，研究者通过建立数学模型来描述不同参与者之间的策略选择和行为结果，以揭示他们之间的互动和决策规律。

在此基础上，博弈模型的扩展式不仅包括了传统的零和博弈、非合作博弈等模型，还融入了更多实际情境下的因素和特征，使得博弈模型更加贴近实际、具有更强的预测和分析能力。

本文将对博弈模型扩展式进行探讨，旨在深入了解博弈论在不同领域的应用以及未来的发展方向。

一、博弈模型扩展式的基本原理博弈模型扩展式基于博弈论的基本原理，强调了在模型建立过程中，需要考虑更多的实际情境和因素，使得模型更加贴合实际场景。

传统的博弈模型通常建立在完全信息和理性参与者的假设基础上，但在实际情况中，参与者可能存在信息不对称、有限理性等情况，因此博弈模型扩展式需要考虑这些因素对决策和结果的影响。

博弈模型扩展式还需要考虑时间因素、空间因素、不确定性、复杂性等实际情境中常见的特征，从而使模型更加全面和有效。

二、博弈模型扩展式的应用领域1. 经济学领域博弈模型在经济学领域的应用非常广泛，涉及到市场竞争、定价策略、合作博弈等多个方面。

博弈模型扩展式将传统的利润最大化或效用最大化的假设融合了更多的实际市场情境因素，如不完全信息、交易成本、市场结构等，使得模型更贴合实际市场竞争情景，对企业和政府的决策提供了更准确的指导。

2. 政治学领域在政治学领域，博弈模型扩展式被广泛应用于描述国际关系、政治决策、游说活动等方面。

通过考虑领导人的政策选择、外交策略、冲突协调等情形，博弈模型扩展式为研究者提供了更多的分析工具，帮助理解国际政治事件及国际关系的发展。

3. 生态学领域生态学领域的研究者也开始利用博弈模型扩展式来研究物种协作、资源分配、环境保护等问题。

考虑到自然环境的复杂性和不确定性，博弈模型扩展式可以更好地描述物种之间的相互作用、资源竞争的演化规律，对生态系统的保护和管理具有重要的指导意义。