第7章 刚体平面运动

基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。

O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。

动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。

SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。

[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。

r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。

速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。

力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章刚体力学一、基本知识小结1.刚体的质心定义：r c m i r i/ m r c rdm/ dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

2.刚体对轴的转动惯量定义：I m i r i2I r2dm平行轴定理I o = l c+md2正交轴定理I z = X+I y.常见刚体的转动惯量：（略）3.刚体的动量和质心运动定理p mv c F ma c4.刚体对轴的角动量和转动定理L I I5.刚体的转动动能和重力势能E k ?I 2E p mgy c6•刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程： F ma c c I c c（不必考虑惯性力矩）动能：E k 2mv；今I c c27.刚体的平衡方程、思考题解答火车在拐弯时所作的运动是不是平动答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。

若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。

但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动r r答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即Fi ma c 0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。

所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩M Mi r i Fi不一定为零。

由刚体的转动定律M J可知，刚体将发生转动。

比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大（2）作用在它上面的力矩是否一定很大M r i F sin j J J「答：由刚体的定轴转动定律dt可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。

刚体的平面运动学分析刚体平面运动学分析是物理学中研究刚体在平面上运动规律的一门学科，它通过分析刚体的位置、速度和加速度等运动参数，揭示刚体的运动规律和运动轨迹。

本文将从三个方面对刚体平面运动学进行详细分析，分别是刚体的位移、速度和加速度。

1. 刚体的位移刚体的位移是指刚体从初始位置到最终位置之间的位移变化。

假设刚体在平面上做平动运动，其初始位置为P1，最终位置为P2。

刚体在平动过程中，可以沿着直线路径移动，也可以绕着某个固定点旋转。

对于直线平动，刚体的位移可以用矢量表示，位移矢量的大小等于两个位置之间的距离，方向沿着直线运动的方向。

对于绕固定点旋转的情况，刚体的位移可以由角位移表示，角位移的大小等于刚体绕固定点旋转的角度。

2. 刚体的速度刚体的速度是指刚体在平面上做运动时，单位时间内位移的变化率，即速度矢量的大小和方向。

刚体在平面上做平动运动时，其速度大小等于位移的变化率，方向沿着位移的方向。

刚体在旋转过程中，速度的大小等于刚体绕固定点旋转的角速度，方向垂直于位于刚体上某一点的矢径方向。

3. 刚体的加速度刚体的加速度是指刚体在平面上做运动时，单位时间内速度的变化率，即加速度矢量的大小和方向。

刚体的加速度可以分为线加速度和角加速度两种情况。

对于平动运动，刚体的线加速度大小等于速度的变化率，方向沿着速度的方向。

对于旋转运动，刚体的角加速度大小等于刚体绕固定点旋转的角度的变化率，方向垂直于位于刚体上某一点的矢径方向。

通过对刚体的位移、速度和加速度的分析，可以得到以下几个重要结论：1) 若刚体的速度和加速度均为零，则刚体处于静止状态；2) 若刚体的速度不为零但加速度为零，则刚体做匀速直线运动；3) 若刚体的速度和加速度均不为零，则刚体做变速直线运动或者曲线运动；4) 若刚体的速度为零但加速度不为零，则刚体处于转动状态。

总之，刚体的平面运动学分析是研究刚体在平面上运动规律的重要学科。

通过对刚体的位移、速度和加速度的分析，可以揭示刚体的运动规律和运动轨迹，为解决实际问题提供理论依据。

第7章 刚体的平面运动习题7-1 直杆AB 长为l ，两端分别沿着水平和铅直方向运动，已知点A 的速度A υ为常矢量，试求当 60=θ时，点B 的速度和杆AB 的角速度。

（a ） （b ）解法一（如图a ）1.运动分析：杆AB 作平面运动。

2.速度分析：A B A B v v v +=，作速度矢量合成图 IA AB υυυ360tan == A A BA υυυ260cos /==A BAlAB υυω2==解法二（如图b ）1.运动分析：杆AB 作平面运动。

2.速度分析：杆AB 的速度瞬心是点I 。

ωυ⨯=AP A A All υυω260cos ==A AB ll BP υυωυ3260sin =⨯⨯=⨯=s rad /6=ω，试求图示位置时，滑块B 的速度以及连杆AB 的角速度。

解：1.运动分析：杆AB 均作一般平面运动，滑块作直线运动，杆OA 作定轴转动。

2.速度分析：对杆AB ，s m OA A /12=⨯=ωυA B A B v v v +=或AB B AB A v v ][][=30cos B A υυ=s m B /38=υs m A BA /3430tan =⨯=υυ s rad ABBAAB /2==υω7-3 图示机构，滑块B 以s m /12的速度沿滑道斜向上运动，试求图示瞬时杆OA 与杆AB 的角速度。

解：AB 杆运动的瞬心为I 点。

AB B BP ωυ⨯= s r a d BAB /325.043=⨯=υωs m AP AB A /2.7323.043=⨯⨯=⨯=ωυ 4.0⨯=OA A ωυ s rad OA /184.02.7==ω 或利s /m .B A 2753==υυOA=2m ，，圆轮半径为2m ，s rad /60=ω，试求图示位置时，轮心的速度，圆轮的角速度及连杆AB 的角速度。

解：1.运动分析：圆轮和杆AB 均作一般平面运动。

杆OA 作定轴转动。

第七章 刚体的平面运动一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。

（ ）2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。

（ ）3．刚体作平面运动时，平面图形两点的速度在任意轴上的投影相等。

（ ）4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ 永远成立。

（ ）5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。

（ ）6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。

（ ）7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。

（ ）二、选择题1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A点的速度为 。

①u B sin； ②u B cos； ③u B /sin； ④u B /cos。

2．在图示啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。

已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r1和r2，曲柄OA以匀角速度0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA的相对角速度1r应为。

①1r=（r2/ r1）0（逆钟向）；②1r=（r2/ r1）0（顺钟向）；③1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（逆钟向）；④1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（顺钟向）。

3．一正方形平面图形在其自身平面运动，若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。

①可能；③不确定。

②不可能；4．图示机构中，O1A=O2B。

若以1、与2、2分别表示O1A杆与O2B杆的1角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。

①1=2，1=2；②1≠2，1=2；③1=2，1≠2；④1≠2，1≠2。

三、填空题1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只滚不滑）作；杆BC作；杆CD作；杆DE作。