第7章 刚体平面运动

图示机构中，OA＝12cm，AB ＝30cm，杆AB的B端以 B ＝2m/s， aB＝1m/s2向左沿固定平面运动。 试求图示瞬时，杆AB的角速度和 A 角加速度。
解：AB杆作平面运动，由A、B两
点的速度方向可知AB杆作瞬时 平移，如图所示 则有
A B
AB 0
A 0 OA
第四种情形
已知某瞬时两点速度相互平行但 不垂直于两点的连线。
瞬时平动——平面图形在该瞬 时的角速度 0 。
B
S
A
90o
A
90o
B
例3
已知： AB ＝ 60cm， BG＝GD＝50cm，
E
P1
OE ＝ 10cm ， OE ＝ 10 rad/s。试求：
图示位置时 AB 。
B
G
解：瞬心法：

结论：瞬时平动刚体的角速度为零，角加速度不为零。
例3 圆轮在曲面做纯滚动，杆OA做匀速转动，巳知:=10 rad/s,
OA=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm,试求:圆轮与杆AB的角加速度。 解:
A
vA
r
杆AB作瞬时平动
vA= vB=r

O
B
B= vB/r= AB=0
vB
P
B D
又
D 0 r1
0 3 O1 A OA 01 1 01 6 rad/s 2 r1 2 AB
D为Ⅰ、Ⅱ轮啮合点
B OB OB AB BP
OB BP AB 3.75 rad/s OB
例5
机构如图示，杆OA绕O作匀角速度转动，巳知: DC=6r， OA=ED=r, 试求:滑杆F的速度和杆ED的角速度。
A
用投影法不能求出 AB
例2
BC＝l
解： （1）求AB的角速度 以C为基点， vB vC vBC
vC vB sin vBC vB cos
vC 0 r
vB R
vBC BC l
AB
vB 2r0 AB
3R
BC r0
a rAB aBA n vBA aBA
大小： a
BA
aA
a AB 方向垂直于AB连线
2
指向由方向确定 大小： aBA AB
n
方向由B指向A
n aB a A aBA aBA
——加速度合成定理 平面图形内任一点的加速度，等于随基点平动的加 速度（牵连加速度）与绕基点转动的法向、切向加速 度（相对加速度）的矢量和。
y S A
平动。 定轴转动。
B
t ;
B
q
ห้องสมุดไป่ตู้

C
D

x
q
0
d xA v Ax f '1 (t ); dt d yA v Ay f 2' (t ); dt
d d dt dt
a
d 2 dt
2

d 2 dt 2
v与基点有关。
,a与基点无关。
drAB 0 dt
vB v A rAB
rAB vBA
大小：
vBA AB
vB v A vBA
方向垂直于AB的连线
将上式向AB轴投影，得
A AB B AB


速度投影定理——平面图形上任意两点的速度在这两点连
结论1：平面图形 S
的运动可以分解为 随基点的平动和绕 基点的转动。
结论2：平动与基点的选择有关
转动与基点的选择无关
第七章 刚体的平面运动
平面运动——刚体运动时，其上各点到某固定平面 的距离始终保持不变。 刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。
x A x A (t ) y A y A (t ) (t )
3l
（2）求D点的速度 以C为基点
vD vC vDC
vDC DC BC
r0 3
vD 2 vC 2 vDC 2 2vC vDC cos
vD 70r 3
六、平面图形的瞬时速度中心
瞬时速度中心——平面图 形上瞬时速度为零的点。 由
P A PA
大小 ？ 方向 ？ √ √ √ √ √ √
a PO
n a PO
在x轴上投影:
在y轴上投影:
aPx aO a PO
n aPy aPO
n aPO ω2 R
aO
τ aPO Ra a0
02
R R
所以
aP a
n PO

02
结论：速度为零的点——瞬心，加速度不为零。
例2
f
B vB
r
aBn aAn
sin f 0.25;
τ aB 172 cm/s
aB= aB r= –17.2
aBAn= 0
/
rad/s2
cosf 0.968
R
y: aBn = aBA cosf +aAn aBA=688.5 cm/s
aAB= aAB/ l= –68.85 rad/s2
例4
解:
三角形ABC作平面运动
设其边长为l，转动的角速
度和角加速度分别为和a
（1）以A为基点，点B的加速度：
n aB a A aBA aBA
线上的投影彼此相等。
例1
图示四连杆机构中，OA O1 B 1 AB ，曲柄以角速度＝3rad/s
绕O轴转动。试求在图示位置时杆AB和杆O1B的角速度。
2
解：（1）基点法
以A为基点，求B点的速度
A
B
BA
B A BA
将上式投影到 x 轴和 y 轴
B A
sin q 1 2
E
EP 1
P2
E OE B
BP2
G
GP 1
P1为EG杆的瞬心 P2为GB杆的瞬心
GP G E 1 EP 1
G
GP2
B
G
GP2
BP2
AB
B
AB
例4
在瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O1轴转动， 并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动的装置在O 轴上，如图所示。在O轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ的轴 安装在连杆AB的另一端。已知：r1＝r2＝30cm，O1A ＝75cm，AB＝150cm；又平衡杆的角速度o1＝6rad/s。 试求当a＝60和＝90时，曲柄OB和齿轮Ⅰ的角速度。
解： 由题意分析得轮Ⅱ
与固连的连杆 AB 一起作 平面运动，由 A 、 B 两点 速度方向可找出其速度 瞬心P，如图
A
D
P
B D
A
AB
A
AP
AP OA D AB PD 1 01 ( 3 AB r2 ) 2 AB
D

01 O1 A

O1 A 01 2 AB
以A为基点，求B点的加速度，
n aA
n n aB a A a A aBA aBA
大小 √ √ ？ √ ？
aA

A
n aBA
n aA
方向 √
√
√ √
√
a
n BA
0
aA

30
a BA
aB
B
在y轴上投影
n 0 aA a cos 30 BA
n aA aBA cos 30 a a AB BA 128 rad/s 2 AB
R
vA
以A为基点，求点B的加速度 aAn
A AB
n n n a B a B a A a A aBA aBA
AB: aBcos f – aBn sin f aAn sin f aAn= 2r aBn= v B2/(R+r)

0
aAB
aBAn aB aBA
可知，欲使 P 0
则需 A与PA 速度矢量大小相等方向相反
P点为速度瞬心 若以瞬心P为基点，则平面图形上A点的速度为：
A PA
速度瞬心的特点
1、瞬时性——不同的瞬时，有不同的速度瞬心； 2、唯一性——某一瞬时只有一个速度瞬心； 3、瞬时转动特性——平面图形在某一瞬时的运动 可以视为绕瞬心作瞬时转动。 确定瞬心的几种典型情况： 第一种情形 已知平面图形上两点的速度 矢量的方位，这两点的速度矢 量方位互不平行。
解: AB作瞬时平动:
BC作平动: 以C为基点
vA=vB;
E
vF= vB=vC r
vD vC vDC
ED
vC
vD D vDC 300
x
“CD”: vCcos600=vDcos300;
vD r / 3 ;
A vA
DC
vB B F
x:
vDcos600=v DC–vCcos300;
q



A
BA
x : 0 A BA sin q y : B BA cos q
B
cos q
3 2
x : A BA sin q 0 y : BA cos q B
BA
A 2 OA 2 OA AB BA 3 r/s sin q AB AB
0
vC

C
v DC 2
v 3 3 r ; DC DC ; 3 6r 9