高观点下的初等数学选讲

高观点下的中学代数试题解题方法初探1 研究背景“高观点”是指使用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、方法以及思想来解决和分析初等数学中的问题。

共包含3个方面的内容：现代数学的思想和方法在中学数学中的渗透;高等数学对中学数学的具体指导;中学数学某些难以处理的问题在高等数学里的背景分析。

新课程标准指出，为了在大学中学习数学打下基础，高中阶段的学生应该具备更高的数学素养。

新课程改革之后，中学的数学教学内容和高考题中均增加了高等数学的内容和问题，主要包括分析、几何等内容。

通过相关文献的查阅发现，有160余篇文章研究高等数学与中等数学的关系。

这些文章可分为三类：高等数学对于中等数学教学的启示;高等数学对于高考题的编制与解答的应用;中等数学教学中高等数学的应用现状。

如：2021年周玛莉、张劲松在《高观点的数学思想对数学教学的启示》一文中，对某市的中小学教师进行了相关问卷调查，而后统计中发现，93.06%的老师对现代数学几乎没有了解，很少关注高观点下初等数学的老师占总共的80. 56%。

2021年闫李铮、李三平的《中学数学教学中高等数学的应用现状及原因浅析》一文[]，对深圳多所学校进行了相关的问卷调查，通过回收问卷中的数据发现，对高等数学内容遗忘较多占61%，并且大部分教师在课堂中不会使用高等数学的知识和思想，偶尔会在课堂中运用高等数学的教师不足10%。

这表明了很多老师对于高等数学的遗忘较多，了解太少，在教学中很少涉及高等数学的内容，所以对于高观点下的初等数学的研究很有必要。

已有的高观点解题的研究，大都是较为宽泛。

为了提高中学生的数学素养，需要对高观点下的解题进行详细的研究。

本研究选择中学代数的典型试题，对初等数学和高等数学的解题方法进行比较，以此分析高观点给初等数学解题带来的简洁性和一般性，从而更好的认识数学问题的实质。

2 研究实例2.1 数学分析對中学数学试题的作用例题1：求实数x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值分析：对于中学生，解决此题有两个方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展开所有项数，那么项数过多，难度太大;如果使用均值不等式，那么从何人手？在哪里使用均值不等式又是难点。

高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。

把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。

高观点下初等数学的内涵及实现途径探析1. 引言1.1 高观点下初等数学的重要性高观点下初等数学的重要性在于，它能够引导学生更深入地理解数学知识，培养学生的综合能力和解决问题的能力。

初等数学作为基础学科，对学生的数学思维、逻辑推理能力以及数学运算技能等方面都具有重要作用。

一方面，通过高观点下的学习，学生可以更好地理解数学概念和知识，避免死记硬背和机械运算的情况出现。

初等数学的高观点学习可以激发学生对数学的兴趣，提高学习的积极性和主动性，让学生在学习中感受到乐趣和成就感。

高观点下初等数学的学习也可以帮助学生建立数学思维和探究精神，培养学生独立思考和解决问题的能力，为学生未来的学习和生活打下坚实的基础。

高观点下初等数学的重要性不言而喻，它是学生学习数学的基石，是学生未来发展的关键之一。

1.2 初等数学的内涵初等数学作为数学学科的基础，是学生学习数学知识的起点和基石。

其内涵主要包括数的概念、代数、几何、方程与不等式、函数、统计与概率等内容。

在数的概念部分，初等数学涉及数的基本性质、运算规律等，帮助学生建立起对数的认识和理解。

代数部分主要包括代数表达式、方程、函数等内容，培养学生的代数思维能力和解决问题的能力。

几何部分注重图形的性质、空间的认识等，培养学生的几何思维和空间想象能力。

方程与不等式部分帮助学生掌握解方程和不等式的方法和技巧。

函数部分则引导学生理解函数的概念和性质，培养学生的数学建模能力。

统计与概率部分让学生理解统计方法和概率理论，培养学生的数据分析和判断能力。

初等数学的内涵丰富多样，涵盖了数学学科的基础知识和方法，为学生进一步学习和掌握高等数学打下坚实的基础。

2. 正文2.1 初等数学在高观点下的实现途径1. 创新教学方法：教师在教学过程中可以采用多种创新教学方法，如启发式教学、案例教学、实验教学等，帮助学生建立数学模型，培养解决问题的能力。

2. 提供优质教学资源：学校可以积极引进优质的数学教育资源，如数字化教材、网络教学平台等，提高教学质量和效果，激发学生学习兴趣。

《高观点下的初等数学》在数学教学中，吴正宪老师以其独特的视角和深入浅出的教学方式，引领学生从高观点审视周长的本质。

他在执教《认识周长》一课时，通过生动活泼的互动和引人入胜的实例，使学生不仅掌握了周长的基本概念，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。

吴老师在课程开始时，以一个问题情境引导学生进入周长的学习：“大家有没有注意到，我们每天生活的环境中，有很多形状各异的物体，它们都有自己的边界？这个边界就是我们今天要学习的‘周长’。

”他通过展示日常生活中的实例，如树叶、奖牌、瓷砖等，使学生对周长有了直观的认识。

接着，吴老师引导学生进一步思考：“周长是什么？它与什么有关？如何计算？”他通过一系列精心设计的活动，如测量、计算、观察等，帮助学生理解周长的概念及其计算方法。

在这个过程中，吴老师不仅教授了数学知识，更重要的是引导学生主动思考，培养他们的数学思维和问题解决能力。

在课程的最后阶段，吴老师将周长的学习与实际生活相，通过解决实际问题如土地测量、树叶面积计算等，使学生了解到周长在实际生活中的应用。

他鼓励学生将所学的知识应用到实际中，培养他们的实践能力和创新思维。

通过吴正宪老师的这堂《认识周长》课程，学生们不仅掌握了周长的基本概念和计算方法，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。

吴老师的“高观点”引领使得这堂课程充满了探究与发现的气氛，他以其丰富的教育经验和深厚的数学素养为学生们展现了一个生动有趣的数学世界。

在小学数学教学中，高观点视角下的课堂教学设计是提升教学质量和培养学生思维能力的关键。

尤其是在《平行四边形的面积》这一经典内容中，如何从高观点视角驱动课堂教学，培养学生的数学思维和实践能力，是每位数学教师需要深入思考的问题。

高观点视角下《平行四边形的面积》教学设计的意义从高观点视角出发，重新审视《平行四边形的面积》这一经典教学内容，不仅可以优化课堂教学结构，更能有效提升教学质量。

高观点视角下的教学设计，旨在引导学生通过观察、比较、分析、推理等数学思维过程，自主发现平行四边形面积的计算方法，培养他们的探究意识和解决问题的能力。

高观点下初等数学的内涵及实现途径探析1. 引言1.1 初等数学的重要性初等数学是数学的基础，是任何学习数学的人必须掌握的基本知识。

它包括了加减乘除、代数、几何、概率统计等内容，是人们学习数学的第一步。

初等数学在我们日常生活中无处不在，无论是计算购物账单、测量房屋尺寸，还是解决生活中的实际问题，都需要运用初等数学的知识。

初等数学的重要性不仅体现在实际生活中，更体现在学习其他学科和发展个人思维能力方面。

在学习其他学科时，数学常常被用来建立模型、解决问题，无论是物理、化学、经济学等领域，都需要数学的基础知识。

通过学习初等数学，可以培养逻辑思维能力、分析问题能力和解决问题能力，对培养学生的综合素质和创新能力起到重要作用。

初等数学的重要性不容忽视，它是我们学习其他学科、解决实际问题、提升个人能力的基石。

只有扎实掌握初等数学，我们才能在未来的学习和工作中取得更好的成绩和发展。

我们应该重视初等数学的学习，不断提升自己的数学素养，为未来的发展打下坚实的基础。

1.2 高观点下初等数学的意义高观点下初等数学的意义在于培养学生的逻辑思维能力和数学素养，帮助他们建立正确的数学世界观和方法论观。

从高观点出发，初等数学不再局限于简单的计算和运算，而是更侧重于培养学生的综合素质，提高他们的科学素养和解决问题的能力。

而这种培养并非仅仅停留在理论上，更应该注重实践和创新，让学生在学习数学的过程中不断地思考和探索，培养他们的创新意识和实践能力。

高观点下初等数学的意义还体现在培养学生的数学思维和解决问题的能力。

通过学习初等数学，学生可以更好地理解并应用数学知识，提高自己的分析和推理能力，培养自己的数学思维和解决问题的能力。

在实际生活中，这种数学思维和解决问题的能力将帮助学生更好地应对复杂的现实问题，提高自己的综合素质和竞争力。

高观点下初等数学的意义不仅仅在于学习数学知识本身，更在于培养学生的综合素质和提高他们的竞争力。

2. 正文2.1 初等数学的内涵初等数学是人类在数学领域中研究最为基础和广泛的一部分，也是数学教育的起点。

高观点下的初等数学pdf
1初等数学的重要性
初等数学是人类发展历史上的一个重要课程，被认为是科学思维和复杂数学思想的基础。

在许多计算机和工程应用中，需要掌握初等数学知识，这些知识对于理解和处理问题具有极其重要的意义。

初等数学能够培养学生独立思考、发现规律以及定理、算法应用等能力，是培养数学思维能力、开发抽象思维能力和创新思维能力的有效手段。

2高观点下的初等数学pdf
高观点下的初等数学pdf是学习初等数学的主要参考资料，它系统地总结了历史上著名的数学家所发现的规律，总结分析各学科抽象概念之间的联系和思维方法，是数学学习的重要资料。

学习初等数学，首先需要深入理解其所包含的数学体系和定义，然后是按照固定的思路去实践和应用，并且能够运用解题的思路和解题步骤解决实际的问题。

高观点下的初等数学pdf可以帮助学生更加全面、深刻地理解初等数学的各项概念，掌握数学的知识点，使学生能够完全地体会数学的美。

3培养学生思维
学习数学，首先要完整地看懂初等数学中各个概念之间的关系，这就必须采用多种思维方式，包括抽象思维、具体思维和顽强思维，从而锻炼学生的解题能力和解决问题的能力。

借助高观点下的初等数
学pdf，可以让学生在系统的熟悉数学思维的同时，加强自己的思维能力。

以上就是关于高观点下的初等数学pdf的介绍，从而我们可以明白，学习初等数学对于掌握数学思维、开发抽象思维和创新思维能力有着重要的意义，高观点下的初等数学pdf是学习初等数学的重要参考资料，可以让学生更多地了解和掌握初等数学，大大提高学习效率。

“高观点”下的中学数学的实践与认识一、概述“高观点”下的中学数学，是指站在更高层次的理论和知识视角，重新审视和教授中学数学内容的一种教学理念。

它不仅仅关注中学阶段的具体数学知识和技能，而是将中学数学置于更广阔的数学科学体系中，引导学生更早地接触和了解高层次的数学概念和思想。

这种教学方式有助于培养学生的数学素养，加深他们对数学本质的理解，激发他们的创新思维和解决问题的能力。

在实践中，“高观点”下的中学数学需要教师具备深厚的数学基础和广博的知识视野，能够灵活地将高层次数学知识和思想融入中学数学教学中。

同时，也需要教师不断更新教学理念，积极探索适合学生认知发展的教学方法和手段。

通过“高观点”下的中学数学的教学实践，学生可以更早地接触到一些高层次的数学概念和思想，从而更深入地理解数学的本质和精髓。

这种教学方式不仅可以提高学生的数学素养和思维能力，还可以为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。

“高观点”下的中学数学也面临一些挑战和困难。

如何根据学生的认知特点和实际情况，合理地选择和运用高层次数学知识和思想，使其与中学数学教学有机结合，是教师需要思考和解决的问题。

同时，如何激发学生的学习兴趣和积极性，使他们在学习过程中保持持久的动力和热情，也是教师需要关注的重要方面。

1. 阐述“高观点”在中学数学教学中的重要性。

“高观点”在中学数学教学中具有至关重要的地位。

所谓“高观点”，是指在教学过程中，教师不仅关注具体的数学知识点和解题技巧，更重视从更高层次、更广阔的视角来引导学生理解数学的本质和内在逻辑。

这种教学方法能够帮助学生跳出繁琐的公式和计算，深入理解数学的内在美感和应用价值，从而培养他们的数学素养和创新能力。

“高观点”有助于提升学生的数学思维能力。

通过从高层次审视数学问题，学生能够更好地理解数学概念和原理之间的内在联系，形成系统的数学知识体系。

这种思维方式不仅有助于学生在解题时灵活运用所学知识，还能够培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。