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高三数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，在高三数学学习中也占有重要地位。
它不仅在代数中有广泛的应用，还在很多实际问题中起着关键的作用。
本文将就高三数学中的复数知识点进行详细介绍，包括定义、运算、表示方法等内容。
一、复数的定义1. 复数的概念在数学中，复数是由实数和虚数的和组成的数。
其中实数部分可以为任意实数，虚数部分为实数乘以虚数单位 i。
i 的定义为 i^2 = -1，其中 i 即为虚数单位。
2. 复数的表示方法一般来说，复数可用 a+bi 表示，其中 a 为实部，b 为虚部。
二、复数的运算1. 加法运算复数加法满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的和为 z = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法运算复数减法可以看作加法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的差为 z = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法运算复数乘法也满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的乘积可以通过展开得到：z = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法运算复数除法是乘法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的商可以通过乘以共轭复数并进行化简得到：z = (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd) / (c^2+d^2) + (bc-ad)i / (c^2+d^2)。
三、复数的性质1. 共轭复数对于复数 z = a+bi，其共轭复数可以用 z* 表示，即 z* = a-bi。
共轭复数实际上是对复数的虚数部分取负。
2. 模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用 |z| 表示。
模的计算公式为|z| = √(a^2+b^2)。
高考数学复数知识点总结数学是一门让许多人头疼的学科，而高考数学更是让许多学生感到困惑。
在高考数学中，复数是一个重要的知识点，也是许多学生比较薄弱的内容之一。
本文将对高考数学中的复数知识点进行总结，希望能够帮助广大学生更好地掌握这一部分内容。
首先，我们来回顾一下复数的定义。
复数是由实部和虚部组成的数，一般写作a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
实部是一个实数，而虚部则是一个纯虚数，即没有实数部分。
复数间的加法和减法与笛卡尔坐标系中的向量相似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
复数的乘法则遵循分配律，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
而复数的除法则需要用到共轭复数，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
接下来，我们来看一下复数的运算性质。
复数的加法和乘法封闭性是显而易见的，即两个复数之和（积）仍然是一个复数。
复数的减法和除法也满足封闭性。
此外，复数的乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。
但是复数的加法和减法不满足交换律，即(a+bi) + (c+di) ≠ (c+di) + (a+bi)。
此外，复数的除法也不满足交换律，即(a+bi)/(c+di) ≠ (c+di)/(a+bi)。
在高考数学中，我们常常需要运用复数来解决实际问题。
特别是在解析几何中，复数可以帮助我们简化计算。
比如，在平面直角坐标系中，每个点可以用复数来表示。
复数的模表示了点到原点的距离，即|z| = √(x^2+y^2)。
而复数的幅角则表示了点与实轴正向之间的夹角，即arg(z) = arctan(y/x)。
利用复数的模和幅角，我们可以方便地进行平面向量的计算，包括向量的加减、数量积和向量积。
同时，复数在高考数学中也与多项式方程密切相关。
复数的定义可以用来解决多项式方程中出现的负根问题。
新教材高一数学复数知识点随着教育体制的不断改革和更新，新一轮的课程教材也在不断更新改进。
作为高中数学的一个重要组成部分，复数的教学内容也在新教材中得到了全面的调整和优化。
本文将从几个方面为大家介绍新教材中高一数学的复数知识点。
一、复数的概念和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，其中实部和虚部都是实数。
在新教材中，复数通常用z来表示，可以写成z=a+bi的形式，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。
通过实部和虚部的组合，复数可以形成一个复平面。
二、复数的运算法则在新教材中，复数的加法和减法的运算法则与实数的运算法则类似，只需分别对实部和虚部进行相应的运算即可。
复数的乘法运算采用分配律，需要注意虚数单位的平方等于-1这一特性。
另外，新教材中还引入了复数的共轭概念，即将一个复数的虚部取负数。
复数的除法运算则需要进行有理化处理，以保持结果的完整性。
三、复数的性质和应用复数在代数学中具有重要的地位和应用价值。
在新教材中，复数的性质和应用得到了更加全面细致的说明。
例如，复数的模表示了一个复数到原点的距离，可以用于求解几何问题；复数的辐角表示了一个复数到正实轴的角度，可以用于求解解析几何问题。
此外，新教材还引入了复数的指数形式，即欧拉公式，使得复数在解决三角函数问题中更加简洁高效。
四、复数的应用举例在新教材中，复数的应用被广泛地运用到各个具体的数学问题中。
比如，通过复数的平方根运算，可以求解二次方程的根；通过复数的极坐标形式，可以计算向量的旋转问题；通过复数的指数形式，可以推导出很多复杂的三角函数公式。
这些应用示例直观生动地展示了复数在实际问题中的应用价值。
五、新教材对复数概念的扩展除了传统的笛卡尔坐标系下的复数表示方法外，新教材还引入了极坐标系下的复数表示方法。
通过极坐标系下的复数，可以更加直观地理解和计算复数的乘除法运算，也可以更加方便地解决涉及角度的几何问题。
总结起来，新教材中对高一数学的复数知识点进行了全面的调整和优化，从概念的阐述到运算的法则，以及性质的应用等方面都得到了充分的呈现和拓展。
高三数学复数知识点复数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在高三数学复习中，复数的学习是一个重点和难点。
本文将以“高三数学复数知识点”为标题，以步骤思维的方式介绍复数的基本概念、运算规则和常见应用。
一、复数的基本概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
我们可以将复数理解为在平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，这样就可以将复数与平面上的点一一对应。
二、复数的运算规则 1. 加法和减法：复数相加减的实部和虚部分别相加减。
例如，(3 + 2i) + (1 - i) = 4 + i，(3 + 2i) - (1 - i) = 2 + 3i。
2. 乘法：复数的乘法满足分配律和虚数单位的平方等于-1的性质。
例如，(3 + 2i) * (1 - i) = 5 + i。
3. 除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
例如，(3 + 2i) / (1 - i) = 1.5 + 0.5i。
三、复数的常见应用 1. 解方程：复数可以用于解决一些实数范围内无解的方程，如x^2 + 1 = 0。
它的解为x = ±√(-1)，即x = ±i。
复数解在工程、物理等领域中有着重要的应用。
2. 极坐标形式：复数可以用极坐标形式表示，即z = r(cosθ +isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。
极坐标形式可以简化复数的运算，特别适用于乘法和乘方运算。
3. 复数平面：复数可以表示为平面上的一个点，利用复数平面可以更直观地理解复数的性质和运算规则。
复数平面上的点与复数一一对应，使得复数的加减乘除等运算可以通过平面上的点的移动来实现。
总结：在高三数学复习中，复数是一个重要的知识点。
复数的基本概念包括实部、虚部和虚数单位i，复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
第三节实数域和复数域1．实数和实数域前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．因此，R是阿基米德序域．反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是即liman＝a即R中任意数a都是有理数基本列的极限．若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若liman=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．易知f是R1同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．到R2的(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当li m(a n－b n)=0；2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n＞ε．由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域.(3)嵌入理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，设R1是R0中所有有则R0=R1∪R2．作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的．实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋实数集R的若干性质．1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．划分直线，得第n批分点，其中p∈N，p＞1，n=2，3，…．＋这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：实数b．这时规定B与b对应．建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．3°实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第an(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作a1·a2a3…a n…并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作a＝a1·a2a3…a n…对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．4° R不是可数集这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：a1=0．a11a12a13…a2＝0．a21a22a23………a n=0．an1an2a n3………令b=0．b1b2…b n…，其中显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．*2．实数的公理化定义实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来．设在集合R中定义了两种代数运算，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公理(实数公理)：Ⅰ．域公理对于任意x，y，z∈R，有Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；Ⅰ2．x＋y＝y＋x；Ⅰ3．存在元素o∈R，使0＋x＝x；Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；(至此，(R；＋)为群)Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；Ⅰ6．xy＝yx；Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；Ⅰ8．存在元素1∈R，使1·x=x；(至此，(R；＋，·)为具有单位元的可换环)Ⅰ9．若x≠0，则总存在元素x-1∈R，使x-1·x=1．(至此，(R；＋，·)为域)Ⅱ．序公理对任意x，y，z∈R，有Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一个成立；Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；(至此，(R；＜)为全序集)Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；(至此，(R；＋，·，＜)为全序域)Ⅲ．阿基米德公理对于任意R中正元0＜x，0＜y，总存在n∈N，使y＜nx．(至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德序域)Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛(至此，(R；＋，·，＜)为连续的或完备的阿基米德序域)公理Ⅳ又称连续公理，它有许多等价形式：1° (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数2° (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界．3° (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限．4° (区间套定理) R中任意闭区间套｛［a n，b n］｝确定唯→0，则存在唯一实数a∈［a n，b n］，n=1，2，3，…．6° (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列．7° (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点．3．复数域从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法．(1)定义含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域．即1°域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；3°若域(C′；＋，·)满足上述1°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．域C中元素叫做复数．如果复数域C存在，则C具有形式C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝因此，所有在此定义下的复数域C是同构的．即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的．(2)构造作集合C0=｛(a，b)|a，b∈R｝在C0中定义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)∈C0，规定(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)容易证明，(C0；＋，·)是域．与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集．(3)嵌入令C0=C1∪C2，其中C1=｛(a，0)|a∈R｝C2由C0中其余元素组成．作映射f：R→C1，使对每一a∈R，都有f(a)＝(a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．令C＝R∪C2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质1°复数域是代数闭域这由下面定理保证：代数基本定理复系数n次方程x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x+a0＝0在复数域C中有n个根．只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹．2°复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别．复数集C，可以定义序＜，使(C；＜)成为全序集．例如，对于任意a1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个全序，从而(C；＜*)是全序集．但是，对于复数域C上任意序＜，(C；＋，·，＜)都不是序域．事实上，只要考虑i与0的序关系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．若0＜i，由实数序公理Ⅱ4，有0＜i·i=-1所以0＜(－1)(－1)=1 (*)又由序公理Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与(*)矛盾若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛盾．因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺序．这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在．在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质．例如，N扩充到Z，失去了良序性等．当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了．因此，通常所说的数，都是指实数或复数．第四节代数数、超越数和作图不能问题1．代数数和超越数有理系数(或整系数)多项式p(x)＝a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0(1)的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．一个代数数α所满足的有理系数多项式的最低次数，称作α的次为它们满足一次方程qx-p=0．代数数，而是四次代数数，因a5是四次方程x4-5x2＋5＝0的根有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．超越数是无理数中的非代数数．人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关．1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermit e(1822—1901)第一次证明了e是超越数．1882年，Lindem ann(1852—1939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个．1929年，Gelfon d(1906—1968)证明了eπ是超越数；1930年，Kuzmin(1891—1949)将本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类．例如sin1，cos3，ln2，ln5，…和都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，…，un是不同的代数数，那么复指数eμ1，eμ2，…，eμn在代数数域上线性无关)．然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连π＋e，πe是不是超越数，至今还不知道．*2．π和e这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．圆周率π，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值．1761年，Lamber t(1728—1777)证明了π是无理数，这才打破了人们的梦想．但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lamber t是借用了与前人类似的方法．因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明．取自然数n＞q，用n！乘下列级数表达式两边：得n！e＝a n＋b n因n＞1，故0＜b n＜1．即bn不可能是整数．产生矛盾．所以e是无理数．π和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿．e不是二次代数数即证明：对于任意a0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有a0e2＋a1e＋a2≠0事实上，如果有某三个整数a0(≠0)，a1，a2使a0e2＋a1e＋a2=0即a0e＋a1＋a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！S n＝-(n-1)！R n因(n－1)！Sn为整数，故也应为整数．令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则因此，(n－1)！R n=0，(n-1)！S n=0．由此可以导致矛盾(详见［39］)．证明π是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的．3．几何作图不能问题华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章①．他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途．”作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚．古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是1 三等分任意角问题；2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)．如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题．所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题．如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形．设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：1°所有正整数n(长度为n的线段)；3°上述各种数的和、差、积、商及算术平方根．如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”．例其中a，b，A是较低层平方根数或有理数．每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程x n＋a1x n-1＋…＋a n-1x＋a n＝0，a i∈Q (4)的根．反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=α，则α是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：x4-5x2＋5＝0于是a5∈F2．为解决几何作图问题，我们先证明定理Q上三次方程x3＋a1x2＋a2x+a3=0 (5)的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根．证设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：其中a，b，A∈F k-1，k≥1．(6)代入(5)：整理得x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果a∈Q，则定理已经证明．若a∈F k-1≠Q，那么又令a=a′因此，方程(5)有根x1或x2，即由此定理得推论如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图．利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”．4．“几何作图三大难题”的解答(1)三等分角问题设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线由于4x3-3x-cosA＝0的根．特别地，当A=60°时，cos20°是方程8x3－6x－1=0 (8)的根．方程(8)没有有理根．事实上，令y=2x，(8)变成y3-3y-1＝0 (9)p3－3q2p＝q3即p(p2－3q2)=q3(10)从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．从而(9)若有有理根，则只能为y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根．由上段推论，(2)倍立方问题设已知立方体棱长为1，2倍体积的立方体校长为x，则有x3＝2 或x3－2=0 (11)同上可证，(11)也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．方程(8)和(11)都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．(3)化圆为方问题设给定圆半径为1，则其面积为π．设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程x2＝π 或x2－π=0 (12)有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．研究与思考题1．试说明在数的扩充过程中，从N→C的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？2．试证明：有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域．3．从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？4．证明：实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数．5．证明：代数数集A构成实数域R的子域．又问，超越数集T是否也构成R的子域？6．作图不能问题的含义是什么？希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？7．“复数不能规定大小”的含义是什么？8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？。
实数与复数集合的性质实数和复数是数学中最基本的数集之一，它们在各个领域有着重要的应用。
本文将从定义、性质和应用方面对实数和复数集合展开讨论。
一、实数集合实数集合由有理数和无理数组成。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，而无理数则不能被这种方式表示。
实数集合具有以下性质：1. 密度性质：对于任意两个实数a和b（a<b），存在一个实数c，使得a<c<b。
也就是说，实数集合中不存在孤立的点，任意两个实数之间总存在其他实数。
2. 无界性质：实数集合既没有上界也没有下界。
对于任意实数M，总存在另一个实数N，使得N>M。
同样地，对于任意实数K，总存在另一个实数L，使得L<K。
这意味着实数集合中的数值可以无限增大或无限减小。
3. 连续性质：实数集合是一个连续的数轴。
它可以被划分为任意小的区间，每个区间内都包含无限个实数。
这种连续性质使得实数集合可以用于描述物理量、测量和度量等方面。
二、复数集合复数由实数和虚数单位i组成，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数。
复数集合具有以下性质：1. 虚数单位i：虚数单位i定义为i^2 = -1。
它是复数集合中的一种特殊元素，引入了虚数的概念。
虚数在几何上可以表示为平面上的点。
2. 复平面：复数可以在复平面上表示。
复平面将实数部分表示为x 轴，虚数部分表示为y轴，复数a+bi表示平面上的一个点(x, y)。
3. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi。
共轭复数在复数的运算和方程求解中起着重要的作用。
4. 模和幅角：复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的幅角表示复数和正实轴之间的夹角，可以用反正切函数计算。
三、实数和复数的应用实数和复数广泛应用于数学的各个领域，包括代数、几何、物理学和工程学等。
以下是一些实际应用的例子：1. 代数方程求解：复数集合扩展了实数集合，使得许多代数方程的解得以存在。
例如，二次方程ax^2+bx+c=0的解可以是实数也可以是复数。
高中数学复数的基本概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中复数的基本概念与运算进行详述，以帮助读者更好地理解和应用复数。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi ，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位，满足基本性质 i² = -1。
实数部分和虚数部分的乘积形成了复数的乘法关系。
2. 复数的表示形式复数可以用代数形式表示，如 a + bi，也可以用极坐标形式表示，如r(cosθ + isinθ)。
极坐标形式涉及到复数的模和辐角，用于方便进行复数的乘法和除法运算。
3. 复数的运算复数的加法和减法运算与实数的运算相似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
复数的乘法运算可以通过展开运算来实现，使用分配律进行实部和虚部的运算。
复数的除法运算可以通过乘以共轭复数的方法进行。
复数的运算满足交换律和结合律，但不满足除法的交换律。
4. 复数的共轭一个复数的共轭是保持实部不变，虚部取相反数的复数。
共轭复数在复数的乘法和除法运算中起到重要的作用。
两个复数的乘积的虚部为各自虚部的乘积取相反数，除法的结果为被除数与除数的共轭的商。
5. 复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，用数学符号表示为 |z|，计算公式为|z| = √(a² + b²)，其中 a 和 b 分别为复数的实部和虚部。
复数的辐角表示复数与实轴正半轴之间的夹角，用数学符号表示为 arg(z)。
辐角的计算可以利用三角函数的关系进行，例如tanθ = b/a。
6. 复数的幂与根对于一个复数 z = a + bi，它的整数幂可以通过将复数展开为极坐标形式来计算，即zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + isin(nθ))，其中 r 和θ 分别为复数 z 的模和辐角。
复数的平方根可以通过解方程 z² = a + bi 来计算，解得的两个根分别为原根和共轭根。
高中数学复数知识点总结一、复数的定义复数是实数的扩展，形式为 `a + bi`，其中 `a` 和 `b` 是实数，`i` 是虚数单位，满足 `i^2 = -1`。
二、复数的代数形式1. 复数的加减法- 两个复数相加或相减时，分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。
- 例如：`(2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i`。
2. 复数的乘法- 两个复数相乘时，使用分配律和虚数单位 `i` 的性质。
- 例如：`(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i`。
3. 复数的除法- 两个复数相除时，先将分母的复数取共轭，然后相乘，最后将结果化简。
- 例如：`(2 + 3i) / (1 - 4i) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 -4i)(1 + 4i) = (8 + 10i + 12i + 12i^2) / (1 + 16i^2) = (20 +22i) / 17 = 20/17 + (22/17)i`。
三、复数的几何意义复数 `a + bi` 可以对应于平面上的点 `(a, b)`，其中 `a` 是横坐标，`b` 是纵坐标。
这种表示方法称为复数的几何表示或阿尔冈图。
四、复数的模和幅角1. 模（Magnitude）- 复数 `z = a + bi` 的模是`|z| = √(a^2 + b^2)`。
- 模表示复数在复平面上的长度。
2. 幅角（Argument）- 复数 `z = a + bi` 的幅角（或称为相位）是`θ =arctan(\frac{b}{a})`。
- 幅角表示复数与实轴正方向的夹角，取值范围为 `0` 到`2π`。
五、复数的极坐标形式复数 `z = a + bi` 可以表示为极坐标形式`r(cosθ + isinθ)`，其中 `r` 是模，`θ` 是幅角。
11 实数集与复数集内的分解因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，23x -没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内23x -是既约多项式，但是在实数集内，因为23(x x x -=，所以23x -不是实数集内的既约多项式．到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求根公式一次多项式永远是既约的．x 的二次三项式2ax bx c ++在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得2b x a-±=，（1）从而2ax bx ca x x ++⎛=- ⎝⎭⎝⎭． （2）在实数集内，当240b ac -≥时，2ax bx c ++也可以用（2）式分解．如果240b ac -<，那么2ax bx c ++是实数集内的既约多项式．如果24b ac -不是有理数的平方，那么2ax bx c ++就是有理数集内的既约多项式．如果24b ac -是有理数的平方，那么2ax bx c ++可以有（2）分解，其实，用十字相乘更为方便． 例1．分解因式：2237x x --． 解：由于237a b c ==-=-，，，224(3)42(7)650b ac -=--⨯⨯-=>，65不是有理数的平方，所以在有理数集内2237x x --是既约多项式．在实数集与复数集内可得223733244x x x x --⎛=-- ⎝⎭⎝⎭． 例2．分解因式：2237x x -+．解：由于237a b c ==-=，，，224(3)427470b ac -=--⨯⨯=-<，所以在实数集内2237x x -+是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得22372x x x x --⎛= ⎝⎭⎝⎭，其中i 称为虚数单位，满足等式2i 1=-．例3．分解因式：29238x x -+． 解：由于9238a b c ==-=，，，2294(3)4208b ac -=--⨯⨯=，所以在有理数集内可得229323284x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．这也是29238x x -+在实数集与复数集内的分解式． 例4．分解因式：2232x x --． 解：由于232a b c ==-=-，，，2224(3)42(2)255b ac -=--⨯⨯-==，所以2232x x --在有理数集内可以分解，事实上，由十字相乘可得2232(21)(2)x x x x --=+-．当然，这式子也可以用（2）来分解．11.2 代数基本定理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++（n 是正整数），一定有复数c 使得()0f c =．这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式()f x 都有一次因式x c -，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式()f x 恰好有n 个根．如果12n x x x ，，，是1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的n 个根，那么12()()()()n n f x a x x x x x x =---．（3）这就是()f x 在复数集内的分解式．每一个复数都可以写成i a b +的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位．在0b ≠时，i a b +称为虚数．虚数i a b +与i a b -称为共轭复数，它们的和为(i)(i)2a b a b a ++-=，它们的积为222222(i)(i)i 1a b a b a b a b +-=-=+=-（因为i ），即共轭复数的和与积都是实数．如果1i x a b =+与2i x a b =-是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为12222()()[(i)][(i)]2()x x x x x a b x a b x ax a b --=-+--=-++，是实系数的多项式．对于实系数多项式()f x ，我们可以用（3）式把它分解为复数集内的一次因式的积，有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的12x x 、），我们把相应的两个共轭的一次因式（例如1x x -与2x x -）乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了()f x 在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出()f x 的根，就可以把()f x 分解．三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解． 例5．分解因式：421x x -+．解：由第9单元例3，我们知道421x x -+不能分解为两个有理系数的二次因式的积．它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，421x x -+是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到42422222221(21)3(1)3(1)(1)x x x x x x xx x -+=++-=+-=+++．在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到42221(1)(1)x x x x x x x x -+=++-+⎛=++- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．11.3 单位根多项式1n x -的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1． 由于4221(1)(1)(1)(1)(i)(i)x x x x x x x -=-+=+-+-，所以四次单位根有4个，即±1，±i ，前两个是实数，后两个是虚数． 例6．分解因式：31x -． 解：在有理数集内，熟知321(1)(1)x x x x -=-++，这也是31x -在实数集内的分解式．在复数集内，21x x ++还可用（2）进一步分解为21x x x x ⎛++= ⎝⎭⎝⎭，所以31(1)x x x x ⎛-=- ⎝⎭⎝⎭．是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根）记为ω，容易看出212ω-=， 并且322111ωωωωω=+=-+=-，，．（4）一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是22cosisin (12)k k k n n nππ+=，，，， （5）其中22cosisin 1n n n nππ+=． 例7．分解因式：51x -． 解：在复数集中，51x -的根为2244cosisin cos isin 55556688cos isin cos isin 5555ππππππππ++++，，，，1，由（3），得512244(1)cos isin cos isin 55556688cos isin cosisin 5555x x x x x x ππππππππ-⎛⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为8822cosisin cos isin5555ππππ+=-， 与22cosisin55ππ+共轭，又 6644cosisin cos isin5555ππππ+=-， 与44cosisin55ππ+共轭，并且 22sin cos 1αα+=，所以22222222cos isin cos isin 555522cos sin 5522cos 154444cos isin cos isin 555542cos 15x x x x x x x x x ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．所以在实数集内，可得522124(1)2cos12cos 155x x x x x x ππ-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． 在有理数集内，由第2单元例13，得54321(1)(1)x x x x x x -=-++++，4321x x x x ++++在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在（5）中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么22cosisink k n nππ+称为本原单位根．例如，对于15n =，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根．可以证明，与n 次本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式．例如4321x x x x ++++就是一个分圆多项式．11.4 攻玉之石“他山之石，可以攻玉”．三次虚单位根ω可以帮助我们在有理数集内分解因式． 例8．分解因式：5422x x x x ++++．解：ω是多项式5422x x x x ++++的一个根．事实上，利用（4），可知542222222(1)0ωωωωωωωωωω++++=++++=++=，于是x ω-是5422x x x x ++++在复数集内的因式，它的共轭因式2x ω-也是5422x x x x ++++的因式，又22()()1x x x x ωω--=++,从而21x x ++是5422x x x x ++++的因式．所以542543322232()()(222)(1)(2)x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++-+++++=++-+．这里，32x x -+没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式()f x 有虚根ω（即()0f ω=），那么()f x 就有因式21x x ++． 例9．证明：在m 、n 为自然数时，多项式32311m n x x ++++有因式21x x ++． 证明：因为32312110m n ωωωω+++=++=，所以，21x x ++是32311m n x x ++++的因式． 例10．分解因式：1051x x ++．解：21x x ++是1051x x ++的因式，所以把1051x x ++分组分解，得10510989877656545433222875431()()()()()()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++-+++++-+++++-+++++=++-+-+-+．875431x x x x x x -+-+-+是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明．例11．分解因式：151x -． 解：155351054322875431()1(1)(1)(1)(1)(1)(1).x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++=-++++++-+-+-+ （6）（最后一步利用了例7及例10）． 如果沿另一途径分解：1535334333232129631()1(1)[()()()()1](1)(1)(1).x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++++=-++++++ [根据例7]（7）比较（6）、（7），我们知道129631x x x x ++++不是有理数集内的既约多项式，它可分解为12963432875431(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+-+-+．例12．分解因式：444()x y x y +++．解：ω是多项式441(1)x x +++的根．事实上，利用（4），可得442421(1)1()10ωωωωωω+++=++=++=，因此，21x x ++是441(1)x x +++的因式，22x xy y ++是444()x y x y +++的因式（这个判断对解决这个问题是十分重要的）．44444432234432234432232232234222()(464)2(232)2[()()()]2()x y x y x y x x y x y xy y x x y x y xy y x x y x y x y x y xy x y xy y x xy y +++=++++++=++++=++++++++=++．小结在复数集内，(1)n n ≥次多项式1110()n x n n f x a x a x a x a --=++++．可以分解为一次因式的积：12()()()()n n f x a x x x x x x =---．（3）其中，12n x x x ，，，是()f x 的n 个根．在实数集内，多项式()f x 可以分解为一次因式与二次因式的积．把（3）中的共轭因式两两相乘就得到它在实数集内的分解式．二次三项式2ax bx c ++在复数集内可以分解为a x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 如果240b ac -≥，这个式子也是2ax bx c ++在实数集内的分解式．在有理数集内，如果24b ac -是平方数，2ax bx c ++也可以用上述公式分解，但是不如用十字相乘简单．1的立方虚根12ω-+=很有用处．如果ω是实系数多项式()f x 的根，那么21x x ++就是()f x 的因式．习题111．用求根公式分解因式：235x x -+； 2．用求根公式分解因式：227x x --； 3．用求根公式分解因式：2352x x --； 4．用求根公式分解因式：2251x x -+； 5．22x xy y ++是不是777()x y x y +++的因式？ 6．分解因式：432422x x x x +++-．习题111． x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭；2． (11x x -+--；3． ()()312x x +-；4． 2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭； 5．是；6． ()()22132x x x x +++-．。
实数体与复数体的数学性质比较分析实数体和复数体是数学中两个重要的数域。
在这篇文章中，我们将比较和分析实数体和复数体的数学性质。
一、定义和构成1. 实数体是由所有实数组成的数域，表示为R。
实数是有理数和无理数的并集，可以表示为一个点在数轴上的位置。
实数体包括所有形如a + b√2的数，其中a和b为有理数。
2. 复数体是由所有复数组成的数域，表示为C。
复数是实数和虚数的和，其中虚数单位i定义为√-1。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b为实数。
二、运算性质1. 实数体和复数体都是数域，它们都满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律和分配律。
2. 对于实数体，加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律。
实数体中存在加法和乘法的单位元，分别为0和1。
实数体中每个非零元素都存在加法和乘法的逆元。
3. 对于复数体，加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律。
复数体中存在加法和乘法的单位元，分别为0和1。
对于任意非零复数a + bi，存在加法和乘法的逆元。
三、有序性质1. 实数体具有全序性质，即在实数轴上任意两个实数之间存在大小关系，可以比较大小。
实数体可以表示为一个完全有序的数轴。
2. 复数体无法定义大小关系，即复数体没有全序性质。
复数体可以表示为复平面上的点，但无法按照大小进行比较。
四、根的性质1. 实数体中的正实数都有唯一的平方根，非负实数都有平方根。
例如，2的平方根为√2。
2. 复数体中的每个非零复数都有无限多个平方根。
复数的平方根可以表示为r∠θ的形式，其中r为非负实数，θ为实数。
五、解方程的性质1. 实数体中的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实根的充要条件是判别式D =b^2 - 4ac大于等于0。
2. 复数体中的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0始终有两个复数根，无论判别式D的值。
六、拓展性质1. 实数体是复数体的一个子集，即实数是复数的一种特殊形式。
2. 由于复数包含实数，复数体具有更广泛的运算规则并能够涵盖更多的数学问题。
