高观点下实数集与复数集的相异性质

高三数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，在高三数学学习中也占有重要地位。

它不仅在代数中有广泛的应用，还在很多实际问题中起着关键的作用。

本文将就高三数学中的复数知识点进行详细介绍，包括定义、运算、表示方法等内容。

一、复数的定义1. 复数的概念在数学中，复数是由实数和虚数的和组成的数。

其中实数部分可以为任意实数，虚数部分为实数乘以虚数单位 i。

i 的定义为 i^2 = -1，其中 i 即为虚数单位。

2. 复数的表示方法一般来说，复数可用 a+bi 表示，其中 a 为实部，b 为虚部。

二、复数的运算1. 加法运算复数加法满足交换律和结合律。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的和为 z = (a+c) + (b+d)i。

2. 减法运算复数减法可以看作加法的逆运算。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的差为 z = (a-c) + (b-d)i。

3. 乘法运算复数乘法也满足交换律和结合律。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的乘积可以通过展开得到：z = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。

4. 除法运算复数除法是乘法的逆运算。

若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的商可以通过乘以共轭复数并进行化简得到：z = (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd) / (c^2+d^2) + (bc-ad)i / (c^2+d^2)。

三、复数的性质1. 共轭复数对于复数 z = a+bi，其共轭复数可以用 z* 表示，即 z* = a-bi。

共轭复数实际上是对复数的虚数部分取负。

2. 模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用 |z| 表示。

模的计算公式为|z| = √(a^2+b^2)。

高考数学复数知识点总结数学是一门让许多人头疼的学科，而高考数学更是让许多学生感到困惑。

在高考数学中，复数是一个重要的知识点，也是许多学生比较薄弱的内容之一。

本文将对高考数学中的复数知识点进行总结，希望能够帮助广大学生更好地掌握这一部分内容。

首先，我们来回顾一下复数的定义。

复数是由实部和虚部组成的数，一般写作a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。

实部是一个实数，而虚部则是一个纯虚数，即没有实数部分。

复数间的加法和减法与笛卡尔坐标系中的向量相似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。

复数的乘法则遵循分配律，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

而复数的除法则需要用到共轭复数，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

接下来，我们来看一下复数的运算性质。

复数的加法和乘法封闭性是显而易见的，即两个复数之和（积）仍然是一个复数。

复数的减法和除法也满足封闭性。

此外，复数的乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。

但是复数的加法和减法不满足交换律，即(a+bi) + (c+di) ≠ (c+di) + (a+bi)。

此外，复数的除法也不满足交换律，即(a+bi)/(c+di) ≠ (c+di)/(a+bi)。

在高考数学中，我们常常需要运用复数来解决实际问题。

特别是在解析几何中，复数可以帮助我们简化计算。

比如，在平面直角坐标系中，每个点可以用复数来表示。

复数的模表示了点到原点的距离，即|z| = √(x^2+y^2)。

而复数的幅角则表示了点与实轴正向之间的夹角，即arg(z) = arctan(y/x)。

利用复数的模和幅角，我们可以方便地进行平面向量的计算，包括向量的加减、数量积和向量积。

同时，复数在高考数学中也与多项式方程密切相关。

复数的定义可以用来解决多项式方程中出现的负根问题。

新教材高一数学复数知识点随着教育体制的不断改革和更新，新一轮的课程教材也在不断更新改进。

作为高中数学的一个重要组成部分，复数的教学内容也在新教材中得到了全面的调整和优化。

本文将从几个方面为大家介绍新教材中高一数学的复数知识点。

一、复数的概念和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，其中实部和虚部都是实数。

在新教材中，复数通常用z来表示，可以写成z=a+bi的形式，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。

通过实部和虚部的组合，复数可以形成一个复平面。

二、复数的运算法则在新教材中，复数的加法和减法的运算法则与实数的运算法则类似，只需分别对实部和虚部进行相应的运算即可。

复数的乘法运算采用分配律，需要注意虚数单位的平方等于-1这一特性。

另外，新教材中还引入了复数的共轭概念，即将一个复数的虚部取负数。

复数的除法运算则需要进行有理化处理，以保持结果的完整性。

三、复数的性质和应用复数在代数学中具有重要的地位和应用价值。

在新教材中，复数的性质和应用得到了更加全面细致的说明。

例如，复数的模表示了一个复数到原点的距离，可以用于求解几何问题；复数的辐角表示了一个复数到正实轴的角度，可以用于求解解析几何问题。

此外，新教材还引入了复数的指数形式，即欧拉公式，使得复数在解决三角函数问题中更加简洁高效。

四、复数的应用举例在新教材中，复数的应用被广泛地运用到各个具体的数学问题中。

比如，通过复数的平方根运算，可以求解二次方程的根；通过复数的极坐标形式，可以计算向量的旋转问题；通过复数的指数形式，可以推导出很多复杂的三角函数公式。

这些应用示例直观生动地展示了复数在实际问题中的应用价值。

五、新教材对复数概念的扩展除了传统的笛卡尔坐标系下的复数表示方法外，新教材还引入了极坐标系下的复数表示方法。

通过极坐标系下的复数，可以更加直观地理解和计算复数的乘除法运算，也可以更加方便地解决涉及角度的几何问题。

总结起来，新教材中对高一数学的复数知识点进行了全面的调整和优化，从概念的阐述到运算的法则，以及性质的应用等方面都得到了充分的呈现和拓展。

高三数学复数知识点复数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

在高三数学复习中，复数的学习是一个重点和难点。

本文将以“高三数学复数知识点”为标题，以步骤思维的方式介绍复数的基本概念、运算规则和常见应用。

一、复数的基本概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

我们可以将复数理解为在平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，这样就可以将复数与平面上的点一一对应。

二、复数的运算规则 1. 加法和减法：复数相加减的实部和虚部分别相加减。

例如，(3 + 2i) + (1 - i) = 4 + i，(3 + 2i) - (1 - i) = 2 + 3i。

2. 乘法：复数的乘法满足分配律和虚数单位的平方等于-1的性质。

例如，(3 + 2i) * (1 - i) = 5 + i。

3. 除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。

例如，(3 + 2i) / (1 - i) = 1.5 + 0.5i。

三、复数的常见应用 1. 解方程：复数可以用于解决一些实数范围内无解的方程，如x^2 + 1 = 0。

它的解为x = ±√(-1)，即x = ±i。

复数解在工程、物理等领域中有着重要的应用。

2. 极坐标形式：复数可以用极坐标形式表示，即z = r(cosθ +isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。

极坐标形式可以简化复数的运算，特别适用于乘法和乘方运算。

3. 复数平面：复数可以表示为平面上的一个点，利用复数平面可以更直观地理解复数的性质和运算规则。

复数平面上的点与复数一一对应，使得复数的加减乘除等运算可以通过平面上的点的移动来实现。

总结：在高三数学复习中，复数是一个重要的知识点。

复数的基本概念包括实部、虚部和虚数单位i，复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。

第三节实数域和复‎数域1．实数和实数‎域前节所说的‎，用N中自然‎数序对作为‎新数——整数，用Z中整数‎序对作为新‎数——有理数，使数系扩充‎的方法，称为代数扩‎张．但这种数系‎扩充法，并不都是成‎功的；有理数向实‎数的扩充，就不能套用‎上一节所用‎的代数扩张‎法(因这种扩充‎，需对极限运‎算封闭)．但是从Q扩‎充到R，数系扩充原‎则和步骤，依然与前面‎一致．(1)定义含有有理数‎域为其子域‎的连续域R‎称为实数域‎，R的元素称‎为实数．如果实数域‎R存在，它应当是由‎所有有理数‎基本列组成‎的序域．事实上，设R的任一‎元素a都是‎某个有理数‎基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．1＋|a k| 是有理数，有理数域是‎阿基米德序‎域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．因此，R是阿基米‎德序域．反之，设R是实数‎域，则对于任意‎a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大‎数m∈Z，于是即liman‎＝a即R中任意‎数a都是有‎理数基本列‎的极限．若R1，R2是两个‎实数域，则它们的元‎素都是有理‎数基本列的‎极限．现作映射f‎：R1→R1，使对任意a‎∈R1，若lima‎n=a，｛a n｝为有理数基‎本列，｛a n｝在R2中极‎限为a′，则f(a)=a′．易知f是R‎1同构映射．因此，符合定义的‎实数域在同‎构的意义上‎是唯一的．到R2的‎(2)构造设M是所有‎有理数基本‎列的集合．在M中定义‎等价关系、加法、乘法及序如‎下：对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当l‎i m(a n－b n)=0；2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存‎在有理数ε‎＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n＞ε．由有理数的‎性质知，上述基本列‎的加法、乘法满足结‎合律、交换律和分‎配律．所定义的基‎本列的序，是全序．作商集M／～＝R0，在R0中定‎义等价类的‎加法、乘法及序如‎下：对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．不难验证，这样定义的‎运算及序与‎代表元的选‎取无关；R0中加法‎、乘法满足结‎合律、交换律和分‎配律．若α＞0，称α为正元‎；若α＜0，称α为负元‎．对任两正元‎α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基‎米德序域.(3)嵌入理常数列｛a｝所代表的类‎的集合，R2是R0‎中其余的类‎所组成的集‎合，设R1是R‎0中所有有‎则R0=R1∪R2．作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构‎映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．作集合R=Q∪R2，R中的运算‎由f的扩张‎决定．则R是通常‎所说的实数‎域．R2中的．实‎数，称作无理数‎．有时为了方‎便，将正实数集‎合记为R＋实数集R的‎若干性质．1°有理数集Q‎在R中处处‎稠密对任意两实‎数a，b，若a＜b，则必存在c‎∈Q，使a＜c＜b．2°连续统实数集R与‎直线上点集‎R1一一对‎应．建立对应的‎方法如下：在直线l上‎取O点为原‎点，OA为单位‎，A点所在半‎直线为正向‎，建立直线坐‎标系第一次‎，以OA为单‎位，从O点开始‎，向左、右两边等分‎直线，得第一批分‎点(与单位端点‎重合的点)，它们对应全‎体整数．划分直线，得第n批分‎点，其中p∈N，p＞1，n=2，3，…．＋这样所得分‎点，连同第一批‎分点，对应全体有‎理数．现令第n批‎分点中两个‎相邻分点之‎间(包括两端点‎)所有点组成‎之集为第n‎级子区间Δ‎n，于是，直线l上每‎一点B，如果它不是‎某一批分点‎，它便包含于‎一系列子区‎间Δn之中‎，这些Δn形‎成一个区间‎套｛Δn｝：实数b．这时规定B‎与b对应．建立直线坐‎标系的直线‎R1称为数‎直线，或实直线，或连续统；在它上面已‎不再有“洞”．由于实数集‎R与实直线‎R1等价，以后不再区‎别R与R1‎．3°实数表示成‎无尽小数形‎式由上可知，每一个实数‎都可以表示‎成p进制无‎尽小数．方法如下：设a为正实‎数，它对应R1‎上区间套｛Δn｝(若a为有理‎数，是某些区间‎的端点，则规定它属‎于右边的区‎间)．又令a1为‎Δ1左端点‎对应的整数‎(自然数)；n＞1时，Δn左端点‎为Δn－1中第an‎(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一‎个唯一确定‎的非负整数‎列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．反之，给出一个这‎样的非负整‎数列，可以确定唯‎一的一个区‎间套，从而唯一地‎确定一个实‎数．我们将用上‎述方法得到‎的正实数a‎所对应的非‎负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作a1·a2a3…a n…并称之为实‎数a的p进‎小数表示．在同构的意‎义上，它与实数a‎是一样的，不妨写作a＝a1·a2a3…a n…对每个负实‎数a，-a＞0，故也可表示‎成无尽小数‎形式．为方便起见‎，常取p=10，把实数表示‎成10进小‎数．有理数可以‎表示成无尽‎循环小数，当循环节为‎0时，省略尾部所‎有的0，成为有限小‎数．无理数则是‎无尽不循环‎小数．4° R不是可数‎集这只须指出‎单位区间I‎=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可‎，可用著名的‎“对角线法”证明如下：反证，假定I可数‎，其中数(纯10进小‎数)排成一列：a1=0．a11a1‎2a13…a2＝0．a21a2‎2a23………a n=0．an1an‎2a n3………令b=0．b1b2…b n…，其中显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数‎矛盾．所以I不是‎可数集，因此R也不‎是可数集．*2．实数的公理‎化定义实数域R的‎本质在于，它是一个连‎续的阿基米‎德序域．可以用一组‎公理(实数公理)将它整体地‎给出来．设在集合R‎中定义了两‎种代数运算‎，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关‎系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公‎理(实数公理)：Ⅰ．域公理对于任意x‎，y，z∈R，有Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；Ⅰ2．x＋y＝y＋x；Ⅰ3．存在元素o‎∈R，使0＋x＝x；Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；(至此，(R；＋)为群)Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；Ⅰ6．xy＝yx；Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；Ⅰ8．存在元素1‎∈R，使1·x=x；(至此，(R；＋，·)为具有单位‎元的可换环‎)Ⅰ9．若x≠0，则总存在元‎素x-1∈R，使x-1·x=1．(至此，(R；＋，·)为域)Ⅱ．序公理对任意x，y，z∈R，有Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一‎个成立；Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；(至此，(R；＜)为全序集)Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；(至此，(R；＋，·，＜)为全序域)Ⅲ．阿基米德公‎理对于任意R‎中正元0＜x，0＜y，总存在n∈N，使y＜nx．(至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德‎序域)Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序‎列在R中收‎敛(至此，(R；＋，·，＜)为连续的或‎完备的阿基‎米德序域)公理Ⅳ又称连续公‎理，它有许多等‎价形式：1° (戴德金定理‎) R中任意一‎个分割A|B都确定唯‎一的一个实‎数，即或A中有‎最大数，B中无最小‎数；或B中有最‎小数，A中无最大‎数2° (确界存在定‎理) R中有上(下)界子集必有‎上(下)确界．3° (单调有界定‎理) R中单调有‎界数列必有‎极限．4° (区间套定理‎) R中任意闭‎区间套｛［a n，b n］｝确定唯→0，则存在唯一‎实数a∈［a n，b n］，n=1，2，3，…．6° (致密性定理‎) R中每个有‎界数列必合‎收敛子列．7° (聚点定理) R中有界无‎穷点集至少‎有一个聚点‎．3．复数域从实数集向‎复数集的扩‎充，又可以采用‎代数扩张的‎办法．(1)定义含有实数域‎R和i(i具有性质‎i2=-1)的最小域C‎，称为复数域‎．即1°域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；3°若域(C′；＋，·)满足上述1‎°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．域C中元素‎叫做复数．如果复数域‎C存在，则C具有形‎式C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝因此，所有在此定‎义下的复数‎域C是同构‎的．即复数域C‎若存在，则在同构的‎意义上是唯‎一的．(2)构造作集合C0=｛(a，b)|a，b∈R｝在C0中定‎义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数‎对(a，b)，(c，d)∈C0，规定(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)容易证明，(C0；＋，·)是域．与前节构作‎整数环Z、有理数域Q‎不同，这里无需再‎定义等价关‎系和作商集‎．(3)嵌入令C0=C1∪C2，其中C1=｛(a，0)|a∈R｝C2由C0‎中其余元素‎组成．作映射f：R→C1，使对每一a‎∈R，都有f(a)＝(a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射‎，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．令C＝R∪C2，C中的运算‎由f的扩张‎决定，则C就是通‎常所说的复‎数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质‎1°复数域是代‎数闭域这由下面定‎理保证：代数基本定‎理复系数n次‎方程x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x+a0＝0在复数域C‎中有n个根‎．只将二次方‎程x2+1=0的一个根‎i添入到R‎，就能获得任‎意n次复系‎数方程的所‎有的根，这真是一个‎数学奇迹．2°复数域不能‎成为序域首先，要明确全序‎集与序域的‎区别．复数集C，可以定义序‎＜，使(C；＜)成为全序集‎．例如，对于任意a‎1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且‎仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个‎全序，从而(C；＜*)是全序集．但是，对于复数域‎C上任意序‎＜，(C；＋，·，＜)都不是序域‎．事实上，只要考虑i‎与0的序关‎系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．若0＜i，由实数序公‎理Ⅱ4，有0＜i·i=-1所以0＜(－1)(－1)=1 (*)又由序公理‎Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与(*)矛盾若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛‎盾．因此，复数域不能‎成为序域，或者说作为‎复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺‎序．这就是通常‎所说的“复数不能规‎定大小”的意义所在‎．在数系的扩‎充过程中，数的范围不‎断扩大，数的结构逐‎渐完善，数的性质有‎所增加，但有时也失‎去一些原有‎性质．例如，N扩充到Z‎，失去了良序‎性等．当复数域再‎扩充到四元‎数、八元数、十六元数等‎等时，数的一些基‎本性质，如乘法交换‎律，甚至连乘法‎的结合律都‎要失去，与“数”的传统概念‎就相去很远‎了．因此，通常所说的‎数，都是指实数‎或复数．第四节代数数、超越数和作‎图不能问题‎1．代数数和超‎越数有理系数(或整系数)多项式p(x)＝a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0(1)的根，称作代数数‎；非代数数的‎复数，称为超越数‎．以下主要讨‎论实代数数‎和实超越数‎．一个代数数‎α所满足的‎有理系数多‎项式的最低‎次数，称作α的次‎为它们满足‎一次方程q‎x-p=0．代数数，而是四次代数‎数，因a5是四‎次方程x4-5x2＋5＝0的根有限次加、减、乘、除和开平方‎这五种运算‎而得到的数‎，都是代数数‎．超越数是无‎理数中的非‎代数数．人们在对代‎数数和超越‎数的认识史‎上，曾经有两个‎误解：①认为在的无‎理数经过四‎则运算与开‎平方而产生‎的．但实际情况‎是，实数中的超‎越数不是很‎少，而是很多，比代数数要‎多得多；代数数也并‎非都能由如‎上方法产生‎出来．第一个问题‎发展为超越‎数论，第二个问题‎与几何作图‎“三大问题”相关．1874年‎，Canto‎r在一篇论‎文中证明了‎，一切代数数‎与正整数可‎以建立一一‎对应，从而证明了‎超越数存在‎，而且还比代‎数数“多得多”．然而人们具‎体认识的超‎越数却很少‎．1873年‎，Hermi‎t e(1822—1901)第一次证明‎了e是超越‎数．1882年‎，Linde‎m ann(1852—1939)越数，列为他著名‎的“23个问题‎”的第7个．1929年‎，Gelfo‎n d(1906—1968)证明了eπ‎是超越数；1930年‎，Kuzmi‎n(1891—1949)将本世纪以来‎，超越数论有‎很大发展，人们已经发‎现了不少超‎越数类．例如sin1，cos3，ln2，ln5，…和都是超越数‎(这方面最主‎要的结果是‎林德曼-外尔斯特拉‎斯定理：若u1，u2，…，un是不同‎的代数数，那么复指数‎eμ1，eμ2，…，eμn在代‎数数域上线‎性无关)．然而，我们所认识‎的超越数，仍然是极少‎极少，连π＋e，πe是不是‎超越数，至今还不知‎道．*2．π和e这是两个最‎常见、最有用的超‎越数．然而人们对‎它们的无理‎性和超越性‎的认识却很‎迟．圆周率π，即圆的周长‎与直径之比‎，直到18世‎纪初，人们还把它‎当作一个有‎理数，企图通过计‎算来得到它‎的精确值．1761年‎，Lambe‎r t(1728—1777)证明了π是‎无理数，这才打破了‎人们的梦想‎．但在这之前‎，Euler‎于1744‎年已证明了‎e的无理性‎，Lambe‎r t是借用‎了与前人类‎似的方法．因e的级数‎表达式简单‎，证明较方便‎，这里只介绍‎e的无理性‎的证明．取自然数n‎＞q，用n！乘下列级数‎表达式两边‎：得n！e＝a n＋b n因n＞1，故0＜b n＜1．即bn不可‎能是整数．产生矛盾．所以e是无‎理数．π和e的超‎越性证明比‎较复杂，这里用初等‎方法只给出‎e不是二次‎代数数的一‎个证明大意‎，方法与上面‎相仿．e不是二次‎代数数即证明：对于任意a‎0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有a0e2＋a1e＋a2≠0事实上，如果有某三‎个整数a0‎(≠0)，a1，a2使a0e2＋a1e＋a2=0即a0e＋a1＋a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！S n＝-(n-1)！R n因(n－1)！Sn为整数‎，故也应为整数‎．令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则因此，(n－1)！R n=0，(n-1)！S n=0．由此可以导‎致矛盾(详见［39］)．证明π是超‎越数，不是代数数‎的意义很大‎，它直接指出‎了古希腊几‎何问题“化圆为方”作图是不可‎能的．3．几何作图不‎能问题华罗庚在1‎952年发‎表过一篇题‎为“三分角问题‎”的文章①．他说：“我建议传授‎几何问题的‎人，如要谈到三‎分角问题，就必须把它‎交待清楚(即使不能严‎格证明)，以免引人走‎入歧途．”作为一个数‎学教师，对“三等分角”等几何作图‎不能问题，自己首先要‎弄清楚．古希腊数学‎家提出的所‎谓“几何作图三‎大问题”是1 三等分任意‎角问题；2 倍立方问题‎(作一立方体‎使其体积等‎于已知立方‎体体积2倍‎)；3 化圆为方问‎题(作一正方形‎使其面积等‎于已知圆的‎面积)．如果限于尺‎规作图，即只准使用‎圆规和不带‎刻度的直尺‎作图，那么这三个‎作图问题，都是作图不‎能问题．所谓“作图不能问‎题”，不是没有找‎到作图方法‎的、尚未解决的‎作图问题，而是从理论‎上已经证明‎是不可能用‎尺规作图的‎、已经解决了‎的问题．如何证明它‎们是作图不‎能问题呢？先看看用尺‎规可以作出‎哪些几何图‎形．设给出一单‎位长线段1‎(用线段的长‎度表示该线‎段)，则可作出：1°所有正整数‎n(长度为n的‎线段)；3°上述各种数‎的和、差、积、商及算术平‎方根．如果一个几‎何图形可以‎用尺规作出‎，那么一定是‎从已知线段‎(设为和、差、积、商、开平方的有‎限步复合运‎算产生的“多层平方根‎数”．例其中a，b，A是较低层‎平方根数或‎有理数．每一个这样‎的“多层平方根‎数”，都是一个n‎次整系数方‎程(1)或有理方程‎x n＋a1x n-1＋…＋a n-1x＋a n＝0，a i∈Q (4)的根．反之，方程(4)如果有这样‎“多层平方根‎数”的根x=α，则α是由方‎程(4)的系数经过‎有限步四则‎运算和开平‎方运算产生‎的代数数．设方程(4)的系数域为‎F0=Q，它的根是“多层平方根‎数”，所在生成的‎扩域：x4-5x2＋5＝0于是a5∈F2．为解决几何‎作图问题，我们先证明‎定理Q上三次方‎程x3＋a1x2＋a2x+a3=0 (5)的一个根若‎为“多层平方根‎数”，则一定有有‎理根．证设(5)有一个根x‎1是“多层平方根‎数”：其中a，b，A∈F k-1，k≥1．(6)代入(5)：整理得x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果a∈Q，则定理已经‎证明．若a∈F k-1≠Q，那么又令a‎=a′因此，方程(5)有根x1或x2‎，即由此定理得‎推论如果三次方‎程(5)没有有理根‎，那么这个方‎程的根不是‎有理数域上‎的多层平方‎根数，因而不能尺‎规作图．利用这一推‎论，很容易解决‎“几何作图三‎大难题”．4．“几何作图三‎大难题”的解答(1)三等分角问‎题设给定角A‎，相当于给出‎了cosA‎所对应的单‎位圆上余弦‎线由于4x3-3x-cosA＝0的根．特别地，当A=60°时，cos20‎°是方程8x3－6x－1=0 (8)的根．方程(8)没有有理根‎．事实上，令y=2x，(8)变成y3-3y-1＝0 (9)p3－3q2p＝q3即p(p2－3q2)=q3(10)从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．从而(9)若有有理根‎，则只能为y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根‎．由上段推论‎，(2)倍立方问题‎设已知立方‎体棱长为1‎，2倍体积的‎立方体校长‎为x，则有x3＝2 或x3－2=0 (11)同上可证，(11)也无有理根‎，因此，它的根不能‎尺规作出．方程(8)和(11)都至少有一‎个实根，显然它们都‎是代数数，但却不是“多层平方根‎数”．这说明：代数数并不‎都能用有理‎数的多层平‎方根来表示‎．(3)化圆为方问‎题设给定圆半‎径为1，则其面积为‎π．设正方形边‎长为x，面积为x2‎，与圆面积相‎等，得方程x2＝π 或x2－π=0 (12)有代数数根‎，当然更没有‎有理数域上‎的“多层平方根‎数”根，所以它的根‎不能尺规作‎出．至此，三个几何作‎图不能问题‎，均化为二次‎或三次方程‎有理根的判‎定问题，从而得到彻‎底解决．研究与思考‎题1．试说明在数‎的扩充过程‎中，从N→C的每一步‎，数的性质增‎加了什么？减少了什么‎？2．试证明：有理数域Q‎是最小的无‎限域；实数域R是‎最小的完备‎域．3．从Q到R的‎扩充，与数的其他‎几次扩充，在方法上有‎何不同？原因何在？4．证明：实数集R中‎实数项基本‎列｛rn｝不再定义出‎新数．5．证明：代数数集A‎构成实数域‎R的子域．又问，超越数集T‎是否也构成‎R的子域？6．作图不能问‎题的含义是‎什么？希腊“几何作图三‎大难题”是怎样解决‎的？7．“复数不能规‎定大小”的含义是什‎么？8．能否用尺规‎作图方法，作出正七边‎形？为什么？。

实数与复数集合的性质实数和复数是数学中最基本的数集之一，它们在各个领域有着重要的应用。

本文将从定义、性质和应用方面对实数和复数集合展开讨论。

一、实数集合实数集合由有理数和无理数组成。

有理数是可以用两个整数的比表示的数，而无理数则不能被这种方式表示。

实数集合具有以下性质：1. 密度性质：对于任意两个实数a和b（a<b），存在一个实数c，使得a<c<b。

也就是说，实数集合中不存在孤立的点，任意两个实数之间总存在其他实数。

2. 无界性质：实数集合既没有上界也没有下界。

对于任意实数M，总存在另一个实数N，使得N>M。

同样地，对于任意实数K，总存在另一个实数L，使得L<K。

这意味着实数集合中的数值可以无限增大或无限减小。

3. 连续性质：实数集合是一个连续的数轴。

它可以被划分为任意小的区间，每个区间内都包含无限个实数。

这种连续性质使得实数集合可以用于描述物理量、测量和度量等方面。

二、复数集合复数由实数和虚数单位i组成，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数。

复数集合具有以下性质：1. 虚数单位i：虚数单位i定义为i^2 = -1。

它是复数集合中的一种特殊元素，引入了虚数的概念。

虚数在几何上可以表示为平面上的点。

2. 复平面：复数可以在复平面上表示。

复平面将实数部分表示为x 轴，虚数部分表示为y轴，复数a+bi表示平面上的一个点(x, y)。

3. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi。

共轭复数在复数的运算和方程求解中起着重要的作用。

4. 模和幅角：复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

复数的幅角表示复数和正实轴之间的夹角，可以用反正切函数计算。

三、实数和复数的应用实数和复数广泛应用于数学的各个领域，包括代数、几何、物理学和工程学等。

以下是一些实际应用的例子：1. 代数方程求解：复数集合扩展了实数集合，使得许多代数方程的解得以存在。

例如，二次方程ax^2+bx+c=0的解可以是实数也可以是复数。

高中数学复数的基本概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。

本文将对高中数学中复数的基本概念与运算进行详述，以帮助读者更好地理解和应用复数。

1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi ，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位，满足基本性质 i² = -1。

实数部分和虚数部分的乘积形成了复数的乘法关系。

2. 复数的表示形式复数可以用代数形式表示，如 a + bi，也可以用极坐标形式表示，如r(cosθ + isinθ)。

极坐标形式涉及到复数的模和辐角，用于方便进行复数的乘法和除法运算。

3. 复数的运算复数的加法和减法运算与实数的运算相似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

复数的乘法运算可以通过展开运算来实现，使用分配律进行实部和虚部的运算。

复数的除法运算可以通过乘以共轭复数的方法进行。

复数的运算满足交换律和结合律，但不满足除法的交换律。

4. 复数的共轭一个复数的共轭是保持实部不变，虚部取相反数的复数。

共轭复数在复数的乘法和除法运算中起到重要的作用。

两个复数的乘积的虚部为各自虚部的乘积取相反数，除法的结果为被除数与除数的共轭的商。

5. 复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，用数学符号表示为 |z|，计算公式为|z| = √(a² + b²)，其中 a 和 b 分别为复数的实部和虚部。

复数的辐角表示复数与实轴正半轴之间的夹角，用数学符号表示为 arg(z)。

辐角的计算可以利用三角函数的关系进行，例如tanθ = b/a。

6. 复数的幂与根对于一个复数 z = a + bi，它的整数幂可以通过将复数展开为极坐标形式来计算，即zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + isin(nθ))，其中 r 和θ 分别为复数 z 的模和辐角。

复数的平方根可以通过解方程 z² = a + bi 来计算，解得的两个根分别为原根和共轭根。

高中数学复数知识点总结一、复数的定义复数是实数的扩展，形式为 `a + bi`，其中 `a` 和 `b` 是实数，`i` 是虚数单位，满足 `i^2 = -1`。

二、复数的代数形式1. 复数的加减法- 两个复数相加或相减时，分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。

- 例如：`(2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i`。

2. 复数的乘法- 两个复数相乘时，使用分配律和虚数单位 `i` 的性质。

- 例如：`(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i`。

3. 复数的除法- 两个复数相除时，先将分母的复数取共轭，然后相乘，最后将结果化简。

- 例如：`(2 + 3i) / (1 - 4i) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 -4i)(1 + 4i) = (8 + 10i + 12i + 12i^2) / (1 + 16i^2) = (20 +22i) / 17 = 20/17 + (22/17)i`。

三、复数的几何意义复数 `a + bi` 可以对应于平面上的点 `(a, b)`，其中 `a` 是横坐标，`b` 是纵坐标。

这种表示方法称为复数的几何表示或阿尔冈图。

四、复数的模和幅角1. 模（Magnitude）- 复数 `z = a + bi` 的模是`|z| = √(a^2 + b^2)`。

- 模表示复数在复平面上的长度。

2. 幅角（Argument）- 复数 `z = a + bi` 的幅角（或称为相位）是`θ =arctan(\frac{b}{a})`。

- 幅角表示复数与实轴正方向的夹角，取值范围为 `0` 到`2π`。

五、复数的极坐标形式复数 `z = a + bi` 可以表示为极坐标形式`r(cosθ + isinθ)`，其中 `r` 是模，`θ` 是幅角。

11 实数集与复数集内的分解因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，23x -没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内23x -是既约多项式，但是在实数集内，因为23(x x x -=，所以23x -不是实数集内的既约多项式．到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求根公式一次多项式永远是既约的．x 的二次三项式2ax bx c ++在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得2b x a-±=，（1）从而2ax bx ca x x ++⎛=- ⎝⎭⎝⎭． （2）在实数集内，当240b ac -≥时，2ax bx c ++也可以用（2）式分解．如果240b ac -<，那么2ax bx c ++是实数集内的既约多项式．如果24b ac -不是有理数的平方，那么2ax bx c ++就是有理数集内的既约多项式．如果24b ac -是有理数的平方，那么2ax bx c ++可以有（2）分解，其实，用十字相乘更为方便． 例1．分解因式：2237x x --． 解：由于237a b c ==-=-，，，224(3)42(7)650b ac -=--⨯⨯-=>，65不是有理数的平方，所以在有理数集内2237x x --是既约多项式．在实数集与复数集内可得223733244x x x x --⎛=-- ⎝⎭⎝⎭． 例2．分解因式：2237x x -+．解：由于237a b c ==-=，，，224(3)427470b ac -=--⨯⨯=-<，所以在实数集内2237x x -+是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得22372x x x x --⎛= ⎝⎭⎝⎭，其中i 称为虚数单位，满足等式2i 1=-．例3．分解因式：29238x x -+． 解：由于9238a b c ==-=，，，2294(3)4208b ac -=--⨯⨯=，所以在有理数集内可得229323284x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．这也是29238x x -+在实数集与复数集内的分解式． 例4．分解因式：2232x x --． 解：由于232a b c ==-=-，，，2224(3)42(2)255b ac -=--⨯⨯-==，所以2232x x --在有理数集内可以分解，事实上，由十字相乘可得2232(21)(2)x x x x --=+-．当然，这式子也可以用（2）来分解．11.2 代数基本定理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++（n 是正整数），一定有复数c 使得()0f c =．这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式()f x 都有一次因式x c -，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式()f x 恰好有n 个根．如果12n x x x ，，，是1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的n 个根，那么12()()()()n n f x a x x x x x x =---．（3）这就是()f x 在复数集内的分解式．每一个复数都可以写成i a b +的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位．在0b ≠时，i a b +称为虚数．虚数i a b +与i a b -称为共轭复数，它们的和为(i)(i)2a b a b a ++-=，它们的积为222222(i)(i)i 1a b a b a b a b +-=-=+=-（因为i ），即共轭复数的和与积都是实数．如果1i x a b =+与2i x a b =-是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为12222()()[(i)][(i)]2()x x x x x a b x a b x ax a b --=-+--=-++，是实系数的多项式．对于实系数多项式()f x ，我们可以用（3）式把它分解为复数集内的一次因式的积，有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的12x x 、），我们把相应的两个共轭的一次因式（例如1x x -与2x x -）乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了()f x 在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出()f x 的根，就可以把()f x 分解．三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解． 例5．分解因式：421x x -+．解：由第9单元例3，我们知道421x x -+不能分解为两个有理系数的二次因式的积．它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，421x x -+是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到42422222221(21)3(1)3(1)(1)x x x x x x xx x -+=++-=+-=+++．在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到42221(1)(1)x x x x x x x x -+=++-+⎛=++- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．11.3 单位根多项式1n x -的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1． 由于4221(1)(1)(1)(1)(i)(i)x x x x x x x -=-+=+-+-，所以四次单位根有4个，即±1，±i ，前两个是实数，后两个是虚数． 例6．分解因式：31x -． 解：在有理数集内，熟知321(1)(1)x x x x -=-++，这也是31x -在实数集内的分解式．在复数集内，21x x ++还可用（2）进一步分解为21x x x x ⎛++= ⎝⎭⎝⎭，所以31(1)x x x x ⎛-=- ⎝⎭⎝⎭．是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根）记为ω，容易看出212ω-=， 并且322111ωωωωω=+=-+=-，，．（4）一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是22cosisin (12)k k k n n nππ+=，，，， （5）其中22cosisin 1n n n nππ+=． 例7．分解因式：51x -． 解：在复数集中，51x -的根为2244cosisin cos isin 55556688cos isin cos isin 5555ππππππππ++++，，，，1，由（3），得512244(1)cos isin cos isin 55556688cos isin cosisin 5555x x x x x x ππππππππ-⎛⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为8822cosisin cos isin5555ππππ+=-， 与22cosisin55ππ+共轭，又 6644cosisin cos isin5555ππππ+=-， 与44cosisin55ππ+共轭，并且 22sin cos 1αα+=，所以22222222cos isin cos isin 555522cos sin 5522cos 154444cos isin cos isin 555542cos 15x x x x x x x x x ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．所以在实数集内，可得522124(1)2cos12cos 155x x x x x x ππ-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． 在有理数集内，由第2单元例13，得54321(1)(1)x x x x x x -=-++++，4321x x x x ++++在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在（5）中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么22cosisink k n nππ+称为本原单位根．例如，对于15n =，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根．可以证明，与n 次本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式．例如4321x x x x ++++就是一个分圆多项式．11.4 攻玉之石“他山之石，可以攻玉”．三次虚单位根ω可以帮助我们在有理数集内分解因式． 例8．分解因式：5422x x x x ++++．解：ω是多项式5422x x x x ++++的一个根．事实上，利用（4），可知542222222(1)0ωωωωωωωωωω++++=++++=++=，于是x ω-是5422x x x x ++++在复数集内的因式，它的共轭因式2x ω-也是5422x x x x ++++的因式，又22()()1x x x x ωω--=++,从而21x x ++是5422x x x x ++++的因式．所以542543322232()()(222)(1)(2)x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++-+++++=++-+．这里，32x x -+没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式()f x 有虚根ω（即()0f ω=），那么()f x 就有因式21x x ++． 例9．证明：在m 、n 为自然数时，多项式32311m n x x ++++有因式21x x ++． 证明：因为32312110m n ωωωω+++=++=，所以，21x x ++是32311m n x x ++++的因式． 例10．分解因式：1051x x ++．解：21x x ++是1051x x ++的因式，所以把1051x x ++分组分解，得10510989877656545433222875431()()()()()()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++-+++++-+++++-+++++=++-+-+-+．875431x x x x x x -+-+-+是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明．例11．分解因式：151x -． 解：155351054322875431()1(1)(1)(1)(1)(1)(1).x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++=-++++++-+-+-+ （6）（最后一步利用了例7及例10）． 如果沿另一途径分解：1535334333232129631()1(1)[()()()()1](1)(1)(1).x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++++=-++++++ [根据例7]（7）比较（6）、（7），我们知道129631x x x x ++++不是有理数集内的既约多项式，它可分解为12963432875431(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+-+-+．例12．分解因式：444()x y x y +++．解：ω是多项式441(1)x x +++的根．事实上，利用（4），可得442421(1)1()10ωωωωωω+++=++=++=，因此，21x x ++是441(1)x x +++的因式，22x xy y ++是444()x y x y +++的因式（这个判断对解决这个问题是十分重要的）．44444432234432234432232232234222()(464)2(232)2[()()()]2()x y x y x y x x y x y xy y x x y x y xy y x x y x y x y x y xy x y xy y x xy y +++=++++++=++++=++++++++=++．小结在复数集内，(1)n n ≥次多项式1110()n x n n f x a x a x a x a --=++++．可以分解为一次因式的积：12()()()()n n f x a x x x x x x =---．（3）其中，12n x x x ，，，是()f x 的n 个根．在实数集内，多项式()f x 可以分解为一次因式与二次因式的积．把（3）中的共轭因式两两相乘就得到它在实数集内的分解式．二次三项式2ax bx c ++在复数集内可以分解为a x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 如果240b ac -≥，这个式子也是2ax bx c ++在实数集内的分解式．在有理数集内，如果24b ac -是平方数，2ax bx c ++也可以用上述公式分解，但是不如用十字相乘简单．1的立方虚根12ω-+=很有用处．如果ω是实系数多项式()f x 的根，那么21x x ++就是()f x 的因式．习题111．用求根公式分解因式：235x x -+； 2．用求根公式分解因式：227x x --； 3．用求根公式分解因式：2352x x --； 4．用求根公式分解因式：2251x x -+； 5．22x xy y ++是不是777()x y x y +++的因式？ 6．分解因式：432422x x x x +++-．习题111． x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭；2． (11x x -+--；3． ()()312x x +-；4． 2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭； 5．是；6． ()()22132x x x x +++-．。

实数体与复数体的数学性质比较分析实数体和复数体是数学中两个重要的数域。

在这篇文章中，我们将比较和分析实数体和复数体的数学性质。

一、定义和构成1. 实数体是由所有实数组成的数域，表示为R。

实数是有理数和无理数的并集，可以表示为一个点在数轴上的位置。

实数体包括所有形如a + b√2的数，其中a和b为有理数。

2. 复数体是由所有复数组成的数域，表示为C。

复数是实数和虚数的和，其中虚数单位i定义为√-1。

复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b为实数。

二、运算性质1. 实数体和复数体都是数域，它们都满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律和分配律。

2. 对于实数体，加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律。

实数体中存在加法和乘法的单位元，分别为0和1。

实数体中每个非零元素都存在加法和乘法的逆元。

3. 对于复数体，加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律。

复数体中存在加法和乘法的单位元，分别为0和1。

对于任意非零复数a + bi，存在加法和乘法的逆元。

三、有序性质1. 实数体具有全序性质，即在实数轴上任意两个实数之间存在大小关系，可以比较大小。

实数体可以表示为一个完全有序的数轴。

2. 复数体无法定义大小关系，即复数体没有全序性质。

复数体可以表示为复平面上的点，但无法按照大小进行比较。

四、根的性质1. 实数体中的正实数都有唯一的平方根，非负实数都有平方根。

例如，2的平方根为√2。

2. 复数体中的每个非零复数都有无限多个平方根。

复数的平方根可以表示为r∠θ的形式，其中r为非负实数，θ为实数。

五、解方程的性质1. 实数体中的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实根的充要条件是判别式D =b^2 - 4ac大于等于0。

2. 复数体中的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0始终有两个复数根，无论判别式D的值。

六、拓展性质1. 实数体是复数体的一个子集，即实数是复数的一种特殊形式。

2. 由于复数包含实数，复数体具有更广泛的运算规则并能够涵盖更多的数学问题。

复数运算和实数运算的类比复数运算与实数运算的类比数是数学的基础，数的本质在于运算。

复数集是实数集的扩展，在扩展中引入新数“i ”,既虚数单位,因此实数a 成为复数a+bi 在b=0时的特殊情况.复数运算和实数运算都是数的运算，因此它们有许多类似的性质，如果在复数运算的教学中借助于类比思想方法，通过对实数运算的回忆类比，可以使学生猜想出复数运算的规律与特点,尤其在高三复习教学中效果更佳.本文通过类比法归纳总结出复数运算中的若干技巧.1.启发引导:通过类比实数运算的若干规律. 如交换律、结合律、乘法对加法的分配律、幂指数的运算等作为一个模式,然后利用这些模式进行有关复数的运算.例:⑴(1+i)(3+4i)(2-2i)(6-8i)=____________.分析:本题若按照顺序计算,显然较繁.观察到(1+i)(2-2i)=4、(3+4i) (6-8i)=50很好运算,故利用交换律很容易算得结果. ⑵.____________ )8636(,243=+++++=ii z z ii z 则若分析:本题利用分配律化为ii zz z 8636+++,计算起来很方便.(3) .___________11129950=+??-++i i i ⑷()().__________1175=+-+i i分析:注意到(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,i ii =-+11,再利用运算法则aaa nm mn +=,aaa nm nm-=, ()()a a amnnmmn==,m 、n ∈N ，可简化计算。

2.横向类比:㈠在实数运算中,运用乘法公式与提取公因式(数).同样在复数运算中提取虚数i 成为一种特有的简便算法.例:的值为全国ii 212)05).(1(3-- ( )(A) i (B)-i (C)i-22 (D)i+-22分析: i ii i ii ii =--=-+=--21)21(212212.3.故选A.下面两题也可以用提取公因式法进行简便运算,读者不妨一试.⑵??+-i i 2122000+??++-i i 2212000=____________.⑶若z 1=1,z1≠z2, 则z z z z 21211++=___________.㈡因式分解、配方是实数运算中一种常用技巧，将它类比运用于复数运算中，会产生意想不到的效果。

引言概述:数学中的复数是指由实数和虚数构成的一类数。

虽然复数在现实生活中使用较少，但它在数学中有着广泛的应用。

本文将围绕着数学复数的知识点展开，旨在为读者提供深入理解复数的基础知识。

正文内容:一.复数的定义和表示法1.1复数的定义:复数是实数和虚数的组合，形如a+bi。

1.2复数的实部和虚部:实部是复数的实数部分a，虚部是复数的虚数部分bi。

1.3符号表示法:复数可以用符号表示法r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

二.复数的运算法则2.1复数的加法和减法:实部相加，虚部相加(或相减)。

2.2复数的乘法:利用分配律进行计算，注意i的平方等于1。

2.3复数的除法:复数的除法可以通过乘以倒数来实现，分子分母同时乘以共轭的复数。

三.复数的共轭和模3.1复数的共轭:复数的共轭是保持实部不变，虚部取负的操作。

3.2复数的模:复数的模是复数到原点的距离，可以通过平方根来计算。

四.复数的指数和对数4.1复数的指数:将复数表示为指数形式，利用欧拉公式进行计算。

4.2复数的对数:将复数表示为对数形式，利用对数运算法则进行计算。

五.复数在几何上的应用5.1复数的平面表示:复数可以通过复平面表示，实部在x轴上，虚部在y轴上。

5.2复数的加法和减法的几何解释:可以通过向量的和(或差)来表示复数的加法(或减法)。

5.3复数的乘法和除法的几何解释:可以通过向量的旋转和伸缩来表示复数的乘法和除法。

总结:通过本文的介绍，我们了解了复数的定义和表示法，以及复数的运算法则、共轭和模、指数和对数运算以及复数在几何上的应用。

复数作为数学中的重要概念，在计算、工程和物理等领域有着广泛的应用。

深入理解复数的知识，将为我们的数学学习提供更广阔的空间和深入的思考。

复数是数学中的一个重要概念，它包括实数和虚数两部分。

实数是我们平常所使用的数，而虚数则在实数无法解决的问题中起到了重要作用。

本文将介绍复数的基本概念、性质以及在实际问题中的应用，以及复数的运算规则和解析表示。

高中数学的归纳复数与解析几何总结高中数学涵盖了多个分支，其中归纳复数与解析几何是其中的重要内容之一。

本文将对高中数学的归纳复数与解析几何进行总结，并探讨其应用领域与重要性。

一、归纳复数归纳复数是指由实数与虚数构成的数，其公式表达为Z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

在高中数学中，学习归纳复数的主要目的是为了加深对复数的理解并能够灵活运用它们。

1.1 复数运算复数之间可以进行加、减、乘、除的运算。

例如，对于复数Z1=a+bi和Z2=c+di，其加法表示为Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i，减法表示为Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i，乘法表示为Z1*Z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，除法表示为Z1/Z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。

1.2 模与共轭复数复数的模表示为|Z|=sqrt(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。

共轭复数表示为Z*=a-bi，其中实部不变，虚部取负值。

对于复数Z=a+bi，其模和共轭复数可以通过公式计算得出。

1.3 欧拉公式欧拉公式是归纳复数与三角函数的重要联系，表示为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e为自然对数的底。

欧拉公式将复数与三角函数相联系，为解决问题提供了一种新的思路。

二、解析几何解析几何是以代数方法和运算来研究几何图形的一门学科，旨在通过坐标系与方程相结合，用代数的方法研究几何问题。

2.1 坐标系解析几何的基础是坐标系，其中直角坐标系是最常用的一种。

在直角坐标系中，点的位置可以由有序数对(x,y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

通过坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，从而进行计算和讨论。

2.2 直线与曲线方程在解析几何中，直线与曲线可以由方程表示。

对于直线而言，可以使用一般式方程Ax+By+C=0或斜截式方程y=kx+b来表示，其中A、B、C、k、b为常数。

对于曲线而言，例如圆的方程可以由标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2来表示，其中(a,b)表示圆心坐标，r表示半径。

12.2 复数的几何意义及复数集内的方程【学习重点】1.复平面：成立直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，x 轴、y轴分别叫做实轴和虚轴，原点表示复数 0，表示实数的点都在x 轴上，表示纯虚数的点都在 y 轴上.2.复数的向量表示：设复数z a bi (a、 b R) 在复平面内对 z(a, b) 应点，连结 OZ ，那么向量oz表示复数z a bi，且规定相等的向量表示同一个复数 .3.复数z a bi (a、b R) 的模就是其在复平面内所对应的点Z ( a, b) 到坐标原点的距离 .4.设复数z1 a bi ，z2 c di (a,b,c, d R) 在复平面上所对应的向量分别是，(,d ) ，则z z( a c) (b d )i，OZ1OZ 2(a c, b d ) .OZ1 (a,b) OZ2c12两个复数z1 , z2和的几何意义能够在复平面上用平行四边形法例解释.5.对于一元二次方程ax 2bx c 0(a 0) ，当0 时，方程有两个互相共轭的虚数根 x b4ac b2i .并且这两个根相同知足韦达定理.6.共轭虚根定理：如果虚数z是实系数一元 n 次方程a n x n a n 1x n 1a1 x a00 (a0, a1a n R, a n0) 的根，那么 z 也是这个方程的根.【例题解说与训练】例 1.已知 a R ,请判断复数z a22a 4 (a22a 2)i 在复平面上对应的点 Z 在第几象限？〖变式训练 1〗1.复数z m 2i(m R, i 为虚数单位）在复平面上对应的点不行能位于12i（）（A)第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D)第四象限2.若5sin ) (sin cos )i 在复平面内所对( ,) ，则复数(cos4应的点在 ()(A) 第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D)第四象限3.设 z C ，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在（）（A)实轴上（ B)虚轴上（ C)直线y x(x 0) 上（ D)以上都不对例 2.设复数z x yi ( x, y R) 在复平面上所对应的点是z ，画出知足以下条件的点 z 的会合所表示的图形.（1）Rez 2 ， Im z1；（2）z2,Re z Im z 2〖变式训练 2〗1.设复数z x yi(x, y R) 在复平面上所对应的点是z ，画出知足下列条件的点 z 的会合所表示的图形.（1）2 z 3 ；（2） z 2 ，Im z1.2.已知向量AB对应的复数为1i ，若 A 点坐标为(1,3) ，则B点坐标为.3.若复数z a i (a R) 与它的共轭复数z所对应的向量相互垂直，则a 的值为例 3.已知复数 z1、z2知足z1z21，且z1z22，求证：z1 z2 2 .〖变式训练 3〗1.若复数复数 z1、 z2满足z1z2 1 ，且z1z2 3 ，则z1z2 =.2.若复数复数 z1、 z2知足z1z2z1z2 1，则 z1z2=.3.在复平面上，正方形ABCD的两个极点A, B对应的复数分别为12i ，35i .求此外两个极点 C, D 对应的复数.例 4.若复数z知足z 1 i 1，求z的最大值和最小值.〖变式训练 4〗1.若z C ，且 z1i 1 ，求 z 2 2i 的最大值；2.若 z C ，且z 2 i 2 ，求z的最大值；3.若复数z知足z1z1 4 ，求 z 1 的最大值和最小值.例 5.已知z1z21， z1z213i ，求复数z1、z2.22〖变式训练 5〗已知复数z 、 z知足 z171， z27 1，且z z 4，求z11.1212z2与 z1 z2的值.已知复数 z 知足 z 2 ，z2的虚部为，设 z 、z2、 z z2在复平2.2面上的对应点分别为 A 、 B 、C ，求 ABC 的面积.3.z5z1，求复数z .已知 z 1 ，且例已知对于 x 的方程x 2ax b0(,b)的一个根为 34i ，求a，6.a Rb的值 .〖变式训练 6〗1.方程4x2mx 1 0 ( m R) ，则结论正确的选项是（）（A）方程的两根互为共轭复数（B）方程的两根互为共轭复数，则 m 0（C）若x为方程的一个虚根，则x也为方程的根（D）若m 0，则方程的两根必定为正数2.在复数集内分解因式：（1）x2x 1 0 ；（） x44.23.已知12i 是实系数方程 x2px q0 的一个虚根，求 p q 的值.例 7.已知对于x的方程x2px1 0( p R)的两个根为x1、x2，若x1 x2 1 ，务实数 p 的值 .〖变式训练 7〗1. 已知对于x的方程x25x m0 (m R) 的两个根为x1、 x2，且x1 x2 3 ，求 m 的值.2.已知对于 x 的方程2x23ax a2a 0 起码有一个模为1的复数根，务实数 a 值.3.已知关于x的方程3x26( m 1)x m 210 的两根x1, x2满足x1x22，务实数 m 的值.例 8.若对于x的方程x2(1 i) x m 2i 0 有实数根，务实数 m 的值及方程的根.〖变式训练 8〗1.若对于x的方程x2(k 2i) x 2ki 0 有实数根，求此实根及实数k 的值 .2.已知对于x的方程x2(k2k 2kx)i 0 (k R) 有一个纯虚数根，求k 的值 .3.已知对于x的方程x2zx 4 3i 0 有实数根，求复数z 的模的最小值.例 9.已知方程2x313x246x 65 0 有一个根是23i ，求该方程其余的根 .〖变式训练 9〗1.已知方程x53x45x35x24x 20 有两个根1和i，求方程其余的根.2.解对于 x 的方程x25x 6( x 2)i0 .已知 z 为复数，若对于 z的方程 z a z 1 i 0 有解，务实数 a 的3.取值范围 .。

复数的定义和基本性质复数的定义复数是形如a＋bi的数。

式中a，b为实数，i是一个满足i^2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。

在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。

由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

复数常用形式z＝a ＋bi叫做代数式。

基本性质1、共轭复数所对应的点关于实轴对称。

2、两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。

3、在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称。

复数的表示形式1.几何形式。

复数z＝a＋bi用直角坐标平面上点Z（a，b）表示。

这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。

也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

2.向量形式。

复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。

这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。

3.三角形式。

复数z＝a＋bi化为三角形式。

z＝｜z｜（cosθ＋isinθ）式中｜z｜=，叫做复数的模（或绝对值）；θ是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。

这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

4.指数形式。

将复数的三角形式z＝｜z｜(cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为eiq，复数就表为指数形式。

z＝｜z｜eiq，复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。

实数是什么实数有哪些性质
实数，是有理数和无理数的总称。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

实数集通常用黑正体字母R表示。

实数是不可数的。

实数是实数理论的核心研究对象。

实数介绍
实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合可称为实数系（real number system）或实数连续统。

任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。

在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。

由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的性质
1、封闭性，实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

2、有序性，实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一，a<b，a=b，a>b。

3、传递性，实数大小具有传递性，即若a＞b，且b>c，则有
a>c。

阿基米德性质，实数具有阿基米德性质，即（倒A）a，b∈R，若a>0，则正整数n，na>b。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第3讲复数的概念和性质通关一、复数的定义要点诠释：（1）因为实数a可写成0a i+⨯，所以实数一定是复数；（2）复数构成的集合叫复数集，记为C通关二、虚数单位i的周期性通关三、复数核心运算)*∈.结论一、复数的分类【例1】已知a ∈R ,若1(2)i(i a a -+-为虚数单位)是实数,则a =（） A.1 B.1- C.2 D.2-【答案】C【解析】因为1(2)i a a -+-是实数,所以20a -=,所以2a =.故选C. 【变式】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“0ab ="得0a =或0b =,只有0a =,且0b ≠,复数iba +为纯虚数,否则 不成立;复数i iba ab +=-为纯虚数,所以0a =且0b ≠,所以0ab =.因此,a b ∈R ,i 是虚数单位,则0ab ="是“复数iba +为纯虚数"的必要不充分条件.故选B . 结论二、复数相等【例2】若复数(21)i (2)i(,)x y y x y -+=+-∈R , 则x y +=（） 【答案】 5【解析】因为复数(21)i (2)i(,)x y y x y -+=+-∈R , 所以2121x y y -=⎧⎨-=⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩,故5x y +=.【变式】已知i 是虚数单位,若( 2i)34i m +=-,则实数m 的值为（） A.2- B.2± C. D.2【答案】A【解析】因为2(i)34i m +=-, 所以222i i 34i m m ++=-, 即22i 13m m +-=-4i,所以22413m m =-⎧⎨-=⎩,解得2m =-. 故选A .结论三、共轭复数【例3】若(1i)1i z +=-, 则z =（）A. 1i -B. 1i +C.i -D. i【答案】D【解析】因为21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2z ---====-++-, 所以i z =. 故选 D.【变式】若复数21iz =-, 其中i 为虚数单位,则共若复数z =（）A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --答案B【解析】因为复数22(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+--+, 所以1i z =-. 故选B . 结论四、复数的加法与减法及意义【例4】设复数z 满足i 3i z +=-,则z =_______________ 【答案】32i +【解析】复数z 满足i 3i z +=-,所以32i z =-,故32i z =+.【变式】设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,12i z =+,则12z z +=（）A.2iB.2i -C.4-D.4【答案】A【解析】12i z =+对应的点的坐标为(2,1),因为复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(2,1)-,则对应的复数22i z =-+,则12(2i)(2i)2i z z +=++-+=.故选A .结论五、复数的乘法要点许释:2222()()||||z z a bi a bi a b z z ⋅=+⋅-=+==. 【例5】(1i)(2i)+-=（）A.3i --B.3i -+C.3i -D.3i +【答案】D【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+.故选D . 【变式】设a ∈R ,且2(i)i a +为正实数,则a =（）A.1±B.1C.0D.1-【答案】D【解析】()()222(i)i 12i i 1i 2a a a a a +=-+=--是正实数,故210120a a a ⎧-=⇒=-⎨->⎩. 故选D.结论六、复数的除法【例6】2i)12i-=+（）A.1B.1-C.iD.-i【答案】D 【解析】2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5----===-++-. 故选D . 【变式】32(1i)( )(1i)+=-A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --【答案】D【解析】32(1i)2i(1i)(1i)1i(1i)2i++==-+=----. 故选 D.结论七、复数的模【例7】已知复数2iz=-, 则||z=（）【解析】因为复数2iz=-,所以||z=.【变式】已知i为虚数单位,复数1i1iz-=+, 则||z=【答案】 1【解析】因为i为虚数单位,复数1i1iz-=+,则1i|1i|||11i|1i|z--===++. 故答案为1.结论八、复数常见运算技巧【例8】已知复数1z i=-，则221z iz-=-（）.A ．2iB ．-2iC ．2D ．2-【答案】B【解析】22-2--2--2===-2. -11--1-z z i i i z i i （1）（1）故选B.【变式】设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假命题是（）.A. 若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12z =z ，则2212z =z【答案】D【解析】对于A 选项，若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以12z z =为真命题; 对于B 选项，若12z =z ，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z =z 为真命题;； 对于C选项，设111222,=z a b i z a b i=++，若12z =z ，则222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z =z z ⋅⋅为真命题；对于D 选项，若121,z z i ==则12z =z 为真，而2212z =1z =-1，所以2212z =z 为假命题. 故选D.结论九、复数的几何意义在复平面内，每一个复数(,)z a bi a b R =+∈都对应着一个点(,)Z a b （有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.【例9】已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）.A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(1,)+∞D ．(,3)-∞-【答案】 A【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(3,1)m m +-，所以30,10m m +>-<,解得31m -<<.故选A.【变式】若复数1)()i a i -+（在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（）.A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】复数(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在复平面内对应的点在第二象限，所以101-0a a +<⎧⎨>⎩,解得1a <-.则实数的a 取值范围是--1∞（，）.故选B .。