高观点下的的中学数学

“高观点”下的中学数学的实践与认识一、本文概述《“高观点”下的中学数学的实践与认识》是一篇旨在探讨如何在中学数学教育中融入高观点教学理念的文章。

文章首先介绍了“高观点”教学理念的定义和内涵，指出这种教学理念对于提升学生数学素养、培养学生的创新能力和解决问题的能力具有重要意义。

接着，文章分析了当前中学数学教育面临的挑战，如教学内容单教学方法陈旧、学生缺乏实践机会等问题，并提出了在“高观点”下解决这些问题的策略和方法。

文章强调，中学数学教育的目标不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。

因此，文章提倡将高观点教学理念引入到中学数学教学中，通过引导学生从更高的层次和更广阔的视角去理解和应用数学知识，提升学生的数学素养和创新能力。

文章还指出，实现这一目标需要教师不断更新教育观念，改进教学方法，为学生提供更多的实践机会和探究空间。

在文章的结构上，本文先对“高观点”教学理念进行阐述，然后分析当前中学数学教育的问题和挑战，接着提出在“高观点”下解决这些问题的策略和方法，最后对实施这些策略和方法可能遇到的困难和挑战进行讨论和展望。

通过这篇文章，我们希望能够引起广大中学数学教师和教育管理者的关注，共同推动中学数学教育的发展和进步。

二、“高观点”下的中学数学教学实践“高观点”下的中学数学教学，不仅要求教师对数学知识有深入的理解和掌握，还需要他们具备从更高层次、更宽广的视角去看待和教授数学知识的能力。

这种教学方法的实践，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的数学素养和解决问题的能力。

将高等数学的知识和思维方法引入中学数学教学。

高等数学的知识和思维方法往往具有更高的抽象性和普适性，能够帮助学生更好地理解和掌握中学数学知识。

例如，在中学数学中引入微积分、线性代数等高等数学的知识，可以帮助学生更好地理解函数的性质、变量的变化等概念。

注重数学知识的应用和问题解决。

数学是一门应用广泛的学科，将数学知识应用到实际问题中，能够帮助学生更好地理解数学的应用价值，提高他们的数学素养和解决问题的能力。

高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。

把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。

高等数学观点下的中学数学高等数学观点下的中学数学，这个话题听上去有点儿高大上，对吧？说白了，就是把那些看似复杂的数学概念，搬到我们熟悉的中学数学里，没错，咱们都曾在课堂上认真听讲的那些内容。

说到高等数学，大家脑海里肯定浮现出那一堆看起来像外星文的公式和符号，让人头大。

但是，如果你稍微把视角拉回一点，看看中学数学，哎，真的有惊喜。

先说说代数。

大家应该都经历过那个让人捧心口的“解方程”的过程，哎，心里想着：“这玩意儿到底有什么用？”当我们用高等数学的眼光去看待代数，哇，发现它其实是解谜的游戏。

就像找寻宝藏一样，把未知数藏在方程里，咱们用各种方法挖掘出来，真是过瘾！你看，代数的公式就像是魔法，运用得当，什么都能解决。

想想看，生活中那些看似复杂的问题，其实归根结底也是在“解方程”嘛。

无论是购物算折扣，还是计划行程，都可以用代数的方式来思考。

再聊聊几何。

几何就像是在画画，线条、角度、面积……都是画布上的元素。

高等数学里的几何则把这些元素放大，变成一幅幅美丽的画卷。

想象一下，平面图形转化成立体，真是像魔法一样！中学的时候，咱们常常用直尺和圆规，画出各种图形，嘿，实际上，高等数学告诉我们，这些图形背后还有深刻的逻辑和美感。

比如，圆的性质让人感叹，什么直径、弦、切线，简直像是在解读宇宙的奥秘！我们用几何学来理解世界，理解那些隐藏在平凡背后的不平凡。

再看看函数，啊，函数可谓是数学中的明星。

中学的时候，我们学习的那些图像，像是抛物线、正弦波，简直就是数学的舞蹈。

高等数学则把这些舞蹈推向了更高的境界。

想象一下，把函数的变化当作生活中的各种情绪波动，是不是更贴近我们自己的经历？生活不就是一场函数的图像吗？高兴时，上升，低落时，下降。

用函数来解释生活的起伏，听起来是不是特别有意思？当你能用函数去描绘自己的生活状态，那种感觉就像是找到了人生的说明书。

还有微积分，哎呀，这个东西初听起来就让人觉得复杂，它就像是观察时间的流逝和变化。

就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。

高观点下的中学解题策略1 对于解题课教学有关概念的把握1.1数学家对数学“问题”及其解决的论述美国当代数学家哈尔莫斯详细阐述了问题对数学的重要性：“数学家存在的理由，就是解决问题．因此，数学的真正组成部分是问题和解．”“数学的产生及发展都是为了回答人们提出问题的需要，是问题的不断提出与解决在向数学输送着新鲜的血液，促进着数学的生长与发育，所以说，问题是数学的心脏．”数学家波利亚长期致力于“怎样解题”的研究，他指出：“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”法国著名数学家阿达玛在其名著《数学领域中的发明心理学》把学生的解题过程与数学家的发明创造相提并论：“一个学生解决某一代数或几何问题的过程与数学家做出发现或创造的过程具有相同的性质，至多只有程度上的差异．”1.2数学问题的意义数学问题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾，是为实现教学目标而要求师生解答的问题系统．一个完整的数学题包含条件、结论、解题方法三个要素．从具体范围看，数学问题可以是一个待求解的答案、一个待证明的结论、一个待求作的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题、一个待寻求的问题解法等形式；从教学场景看，数学问题有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的课外作业和测验试题，有师生共同进行的研究性课题等；从问题要素看，可分为标准性题（三个要素都已知）、训练性题（三个要素中有一个未知）、探索性题（三个要素中有两个未知）．传统意义上的数学问题具有接受性、封闭性和确定性的特征．其内容是熟知的，学生通过对教材的模仿操作性练习，就能较好地完成；其结构是常规的，答案基本确定、条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决．主要目的在于巩固和变式训练，题目的挑战性不是很强．现代意义上的数学问题具有灵活性、应用性和探究性等特征．包含数学情景题、数学应用题、数学开放题、数学探究题等崭新形式．它们拉近了数学与实际、数学与自然、数学与其它学科的距离，正在改变着传统解题教学的环境、格局和意义．1.3数学解题的认识解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．教学中的解题是一个再创造或再发现的过程，是数学学习的核心内容．解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉．解题是掌握数学并学会“数学地思维”的基本途径．概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动．解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式．尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式．可以说解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程．解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”．对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标．传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求．波利亚在《数学的发现》中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的．解决问题就是寻找这种活动．”第六届国际数学教育大会报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题．从信息论的观点探讨解题的思维过程．数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用．数学解题的过程是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．数学解题的思维过程是“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”三位一体的工作．有用捕捉，即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．有效组合．即将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．1.4高中学生的心理和认知发展规律高中学生处于青少年中期，是个体身心发展的剧变期．青少年的可能性思维使他们能运用假设检验去解决问题，提高了问题解决的速度和效率，能够有计划和预见地解决问题，思维和推理更具抽象性、预测性和灵活性．高中生的思维中虽然仍有形象思维的成分，但抽象逻辑思维已经占主导地位．除把具体情景和环境作为思维对象外，还开始实际思考自己和他人的思维，把抽象的思想意识作为思维对象．高中生的元认知能力大大增强，能够更好地监控自己的思维活动．他们运用更多的时间反思自己将要解决问题的思想观念和表象，具有了自我反省能力．他们的元记忆知识更加丰富，元理解能力已经发展到一个较高水平．根据高中学生的心理和认知发展规律可以看出，高中生已经能够承担较为复杂的学习任务，有能力参与高中数学解题课的教学，并顺利完成相应的教学任务．中学数学解题方法是数学方法论、学习论、思维论研究的重要组成部分．数学解题课具有教学功能、思想教育功能、发展功能和反馈功能．数学解题课的教学，可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构．数学解题课的教学，达到知识的应用，有利于启发学生学习的积极性．它是采用一段原理去解释具体的同类事物，由抽象到具体的过程．数学解题课的教学，也是一种独立的创造性活动．数学问题所提供的问题情境，需要探索思维和整体思维，也需要发散思维和收敛思维．因而可培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象等合情推理以及寻找论证方法等演绎推理能力，准确、简要、清晰地表述以及判断、决策等一系列数学素养和能力，给学生以施展才华、发展智慧的机会．数学解题课是高中数学重要的基本课型之一．2 高中数学解题课的教学要求2.1课程标准对数学解题课的基本要求高中教育首先是人生发展的一个重要阶段，是学生生活的一部分，而不是服务于某一个既定目标的工具．高中阶段的任务应超越“单一任务”和“双重任务”这种教育工具化的倾向，实现从精英教育到大众教育的转变．定位于奠定高中生进一步学习的基础学力，养成其人生规划能力，培养公民基本素养并形成健全人格上．《数学课程标准》指出：“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”《数学课程标准》在界定高中数学课程性质时指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人文社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．”《数学课程标准》关于高中数学课程性质中专门对数学的应用提出要求：“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力．”《数学课程标准》在“建立合理、科学的评价体系”中提出，要“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”．2.2数学解题课的教学目标高中数学解题课的目标是：在数学方法论、学习论、思维论、多元智能、建构主义等教育理论指导下，培养学生形成“提出问题—分析问题—解决问题—反思问题”的良好习惯和品质，形成理性思维，发展智力和创新能力．培养学生实事求是的态度、锲而不舍的精神，学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．培养学生在数学解题过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神，全面提高学生的综合素质．倡导积极主动，创新学习方式；经历思维过程，培养数学素养；开展数学建模，培养应用意识；强调返璞归真，揭示发展规律；体验数学美感，强化文化价值．解题课的教学应突出三个方面：一是使学生准确、灵活地掌握数学知识，扩大知识的联系；二是使学生形成分析和求解数学问题的思路和方法；三是发展学生的思维能力．数学解题教学的根本任务是发展学生的思维潜能，促进学生整体素质的提高，通过素质的全面提高反过来带动学业成绩的提高．2.3数学解题课的特点该课型应体现学生的学习活动是在“解决问题中学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决问题的方法．解题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程，充分发掘数学教材中没有具体表述的能力、智力的教育因素，注意对解题策略、思维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价．根据数学问题的难度、学生的知识基础及思维能力水平，铺设合适的梯度，设计好同类知识的训练题组．解题课的教学，应让师生共同交流解题思维的全过程，引导学生自己动脑、动手、动口，积极参与解题教学活动；引导学生自我评价、优化解题思路，改进解题策略，从而寻求最优的解题方法．解题活动以思维的“动”为最大特点．要提高数学解题能力，就必须拓展学生自由思维和联想的空间，让思维“动”起来．在传统的数学解题课教学中，课堂由老师支配，对课堂问题的思考、回答和讨论都是教师预设的，学生的一切活动都依赖于老师．学生不敢也不愿意突破固有的框架，学生的个性受到压抑，主体性得不到发挥，思维得不到发展．新课程理念要求教师的课堂以学生为主体，创设民主、和谐、宽松、自由的课堂环境，调动一切因素和状态，拓展学生思维活动空间．使学生主动地参与教学．在这样的环境里，师生平等，学生消除了胆怯和依赖心理，他们可以无拘无束地表现自己，表达自己对问题的想法和认识．学生的积极参与和质疑扩大了生生之间的信息交流与师生之间的信息反馈，有利于新思想、新方法的展示，也有利于问题的发现．这样，教师才能沿着学生的思想轨迹，综合学生反映出来的各种问题因势利导，澄清疑点，纠正错误，优化思想品质．2.4数学解题的规范解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段．规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平．在学习过程中做一定量的练习题是必要的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担，弱化解题的作用．要克服题海战术，强化解题的作用，就必须加强解题的规范．做到审题规范、表达规范、答案规范．审题规范是正确解题的关键．审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分．明确条件与目标，一是找出题目中明确告诉的已知条件，发现题目的隐含条件并加以揭示，二是明确要求什么或要证明什么，把复杂目标转化为简单目标；把抽象目标转化为具体目标．一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁．数学解题就是根据这些联系所遵循的数学原理确定解题思路．数学解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配．有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示；有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因．叙述规范是数学解题的重要环节．语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据．数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云．怎样把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到的事，这有着较高的能力要求．总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚．把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基本要求．对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性．要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复．任何数学问题的解答都有一定的格式要求，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范．这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正确，疏密适度，行款得体．所有这些能力的培养有一个渐进的过程．在不同的学习阶段，应提出不同的要求，教师在解题课教学过程中要作出示范，使学生学有榜样，逐步培养严谨的表达能力．答案规范是数学解题的成果体现．答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整．要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答．在数学解题课上，常常是先把问题转化成一般数学问题，再把一般数学转化为规范数学问题，最后的答案必须进一步转化到原有问题中去，并考虑到原有问题对解的各种限制和要求．2.5数学解题课教学的基本要求培养学生的问题意识．解题活动不仅指解决问题的过程，更重要的是指提出问题的过程，解决问题最困难的部分之一是提出正确的问题．问起于题，疑源于思．数学学习过程是一个复杂的思维过程，也是一个不断地“生题——质疑——释疑”的过程．大胆怀疑，是数学创造活动的特征．质疑，表现了一种求知欲，包含着智慧的火花；质疑，是一种探索精神，孕育着创造．要逐步培养学生敢于提出问题，勇于提出问题，善于提出问题的问题意识．合情推理与问题解决．数学既是严谨的演绎科学,又是实验性的归纳科学．数学的发生、发展过程是观察、实验、归纳、类比、猜想等合情推理与判断、证明等演绎推理的交织互动．数学问题的分析过程就是一种数学发现，观察、联想、类比、猜想、归纳、概括等合情推理是数学问题分析过程的主要形式．在数学问题解决教学过程中，引导学生通过经历可信的、自然的、有一定弯拐歧路的知识生长过程，模拟数学家研究数学的过程．从合情推理发现数学命题及其证明思路，再由演绎推理证明命题的真伪，正是人们发现、发明、创造的一般程序．数学探索、研究中艰难坎坷的体验和成功的喜悦，是人生十分珍贵的经历．只要引导学生勤于思考，他们在日常的阅读中，在听讲中，在解题中，总会有所思考，有所猜想，有所发现．这日常中的点滴发现，与重大的数学发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．多元智能与问题解决．数学问题的解决依赖于逻辑/数学智能，又是空间智能、语言智能、自我认识智能、人际交往智能等综合作用的过程．数学解题课中要充分考虑多元智能在问题解决中的重要作用，分析不同个性特征对“问题解决”的影响，发展学生的数学心智．一般解题方法的教学．学习借鉴波利亚《怎样解题表》，逐步培养学生养成“理解题意——拟定方案——执行方案——反思回顾”的科学、规范的一般解题过程．了解波利亚的数学启发法与数学解题的常用模式及其在数学解题教学中的意义．从认知心理学与数学教育学的角度认识数学基础知识、基本技能与数学解题的关系，认识知识的合理组织、调控、信念在分析与解决问题中的意义，将数学解题与思维培养紧密结合起来．要熟悉数学解题的常用策略和方法，理解数学解题策略在数学解题及生活中的意义．熟悉数学解题的一般方法与技巧．重视学生的发散思维．思维是人脑反映事物的一般特性和事物之间规律性的联系，以已有知识为中介进行推断和解决问题的过程．任一思维现象均是多种思维形态的综合．根据思维所承担的任务不同，而对于某种思维形态有所侧重．发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径．具体地说，就是依据定理、公式和已知条件，产生多种想法，广开思路，提出新的设想，发现和解决新的问题．发散思维富于联想，思路宽阔，善于分解、组合、引申、推广，灵活采用各种变通方法，在数学教学中，可以培养学习兴趣，提高解题能力．在解题课教学中，对于数学问题的讲解，要结合对方法的思考及方法的选择过程，应注意“抛砖引玉”，决不“能越俎代庖”．要引导学生“察言观色”，广泛地开展联想，寻找解决问题的多种途径．学会举一反三，重视学生发散思维的培养．重视解题的基本理念．无论解决什么问题，我们都不忘从“知识—方法—观念”的角度去审视题目，做到让学生心里有数，做到知识熟、方法活、观念有．基本知识熟就是熟悉知识的等价表述，熟悉知识的有关范例，做到“一道题就是一个观点，就是一种方法”；基本方法活就是活用“基本的逻辑证法、数形结合法、待定系数法与估算法”，做到用“有限去把握无限”；基本观念有则要求学生心中要有“一与多”、“有限与无限”、“数与形”、“整体与部分”等观念．重视学生的反思能力．在数学解题课教学中，要引导学生摆脱“题海战术”，提高数学素质，培养数学能力．使学生学会“反思”．做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训．搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”．一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等．反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础．长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣．2.6精心设计数学解题课的问题解题课的问题要处于学生的“最近发展区”．学生的认知系统和教师的认知系统是不一样的，教师在进行问题设计时，必须根据学生的“最近发展区”进行设计．学生的发展必须在现有的基础上发展，而学生课堂上的认知系统，就是他们以后逐步提高的“最近发展区”．要想使设计出的问题能达到预设目的，使学生根据问题进行讨论和学习，教师必须能够设计出切入到学生的认知系统的问题．反之，武断地根据教师自己的认知系统设计，只能使学生产生厌倦和畏难情绪，常有教师抱怨说“在课堂上无论怎样引导，学生总是启而不发”，其实关键是没有找出学生的“最近发展区”．如果问题处于学生的“最近知识区”，在老师的引导下，他们会很快解决这个问题，并能够获得独立完成思考的能力和成就感．解题课问题的设计要多功能化．数学问题应使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成和完善合理的认识结构．体现其教学功能、发展功能、检查功能和思想教育功能．解题课问题的选择要有针对性．问题要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状．问题选择要注意可行性，不宜过易也不宜过难．问题选择要有典型性，要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的．要注意对课本例题的挖掘，课本例题均是经过专家多次筛选后精品，教师要精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力．解题课的问题要有很强的探索性．一个问题的好坏，不在于它一定有多大的实用价值，而在于在该问题实施的过程中是否具有探索性，能否让学生更深入挖掘问题深处的内涵，能。

作业标题：期末考核题目 作业要求：就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。

高观点下的部分中学数学问题155370 林妙红摘要:随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。

中学数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。

随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。

他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。

本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。

关键词：高等数学；初等数学；函数的拐点问题；函数的凸凹性；分解因式；数列；不等式 一、引言随着高中课程的深入改革，大学高等数学的内容被引入了很多，如选修部分。

而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。

比如导数部分内容就丰富了很多。

1、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解析：（II ）思路一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =-- 点评 本题中“l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象”实际上是指点A 处是函数的拐点。

《高观点下的中学数学》教学大纲《高观点下的中学数学》教学大纲一、课程简介本课程旨在通过高观点的教学设计，帮助学生理解和应用中学数学的基础知识，培养其数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标1. 掌握数学的基本概念和性质，理解数学的逻辑思维；2. 建立数学模型，掌握数学方法解决实际问题；3. 培养学生的创新思维、团队合作和信息技术运用能力；4. 提高学生的数学表达和交流能力。

三、教学内容1. 数与代数1.1 数的性质与运算1.2 代数式的应用1.3 一次函数与二次函数2. 几何与图形2.1 基本几何概念与性质2.2 直线与圆的性质2.3 平面与空间图形的性质3. 数据与统计3.1 数据的收集与整理3.2 统计分析与图表的应用3.3 概率与统计的基本概念四、教学方法1. 探究式学习：通过问题引导学生自主探索、发现数学规律；2. 创新实践：组织学生进行实践性活动，将数学知识应用于实际问题中；3. 讨论交流：倡导学生进行小组讨论、合作研究，提高数学交流能力；4. 多媒体辅助：利用多媒体技术丰富教学内容，提高教学效果。

五、评价方式1. 日常表现：包括课堂表现、课后作业完成情况、参与讨论等；2. 平时考查：通过小测验、课堂练习等形式测试学生对知识的理解和应用能力；3. 期中和期末考试：考察学生对整个学期教学内容的掌握情况。

六、教学资源1. 教材：根据学校或地方教育部门制定的教材；2. 多媒体教辅：利用计算机、投影仪等多媒体设备辅助教学；3. 实验器材：根据实际教学需要配备相应的实验器材，如几何模型、统计图表制作工具等。

七、参考书目1. 教材：根据教材要求选用与教学大纲相符合的辅导教材；2. 数学参考书：选用与教学内容结合紧密、理论与实践相结合的中学数学参考书。

八、备注本教学大纲综合运用国内外数学教育的先进理念，并根据学校实际情况进行优化调整，以满足学生的学习需求和素质培养。

高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义篇一：高观点下的中学数学课程是指在现代数学的高度基础上，重新审视中学数学的教学内容，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养。

在中学数学课程中，主要任务包括以下几个方面:1. 培养学生的数学思维能力。

中学数学是数学的基础，对学生的数学思维能力有重要的培养作用。

通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生的数学思维能力。

2. 提高学生的数学素养。

数学素养是数学教育的核心，通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的意义和价值，提高学生的数学素养。

这不仅有利于学生在未来的学习和工作中更好地运用数学，也有利于培养学生的逻辑思维能力和科学素养。

3. 帮助学生更好地理解数学。

高观点下的中学数学课程旨在在现代数学的高度上重新审视中学数学的教学内容，帮助学生更好地理解数学的本质和意义。

通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生对数学的认识和理解。

高观点下的中学数学课程具有重要的指导和借鉴意义。

通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养和思维能力，为学生在未来的学习和工作中更好地运用数学打下坚实的基础。

同时，高观点下的中学数学课程也具有重要的启示作用，为数学教育的改革和发展提供了重要的参考和借鉴。

篇二：高观点下的中学数学课程是指采用数学史和数学哲学的高度来重新审视中学数学课程，旨在帮助学生建立全面的数学素养，为其未来数学和科学领域的学习打下坚实的基础。

在这篇文章中，我们将探讨中学数学课程的主要任务和指导意义。

中学数学课程的主要任务是培养学生的数学思维能力和创新意识。

数学是一门抽象的学科，需要学生具备一定的思维能力才能更好地理解和掌握。

高观点下的中学数学课程通过引入数学史和数学哲学的概念，帮助学生理解数学的本质和内在联系，从而培养学生的数学思维能力和创新意识。

高观点下的中学数学
数学是今日中学课程中必不可少的学科，被公认为是所有学科中最抽象最深奥的一科。

它不仅能够帮助学生掌握世界的各种信息，还能锻炼学生的推理能力、思考能力和创新能力，从而形成良好的思维模式，为他们的未来学习和生活打下了坚实的基础。

然而，从高观点来看，中学数学不仅仅是一门学科，它具有超越学科范畴的深远意义。

首先，它可以激发学生的探索精神和实践能力。

当数学学习到一定阶段时，学生们就能体会到抽象思维方法的魅力，学会思考复杂问题，并能根据自己的分析结果进行有效的推理和解决。

同时，学习数学还可以构建健全的数学思维网络，增强学生的数学计算能力和解决实际问题的能力，为他们今后的学习和生活打下坚实的基础。

此外，学习数学也可以帮助学生理解复杂的知识，提高他们的观察能力、分析能力和推理能力。

从抽象现象中抽取它的特征、模式和机理，可以让学生们懂得对复杂的社会现象进行思考和分析，更好地适应社会生活，为他们未来的社会发展打下坚实的基础。

此外，数学还能激发学生的创新思维。

当孩子们在学习数学的过程中发现一些问题时，他们需要发挥自己的创新思维，去开发新的做法去解决这些问题。

通过对复杂数学公式的推导，可以锻炼学生的综合能力，培养他们的创新意识，从而为未来的社会发展奠定基础。

总之，从高观点看，中学数学不仅仅是一门学科，它还具有超越学科范畴的深远意义。

它有助于学生培养探索精神、加强实践能力、
提升观察能力、提升分析能力以及培养创新思维，为他们的未来学习和生活打下坚实的基础，也是社会发展的重要助推力。