高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究

高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。

把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。

高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。

关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。

教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。

”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。

所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。

其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。

罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。

因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。

我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。

我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。

“高观点”视角下的初中数学教学作者：杭静来源：《数学教学通讯·初中版》2019年第09期[摘 ;要] “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而是用高观点思想、方法、知识、思维统领、驾驭、关联学生的初中数学学习. 只有从高观点视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. “高观点”视角下的初中数学教学，能让学生的数学学习呈现出勃勃生机和新的景象.[关键词] 初中数学;高观点;数学教学所谓“高观点”是指用高等数学、现代数学的知识、思想和方法来分析、解决初等数学（中小学数学）知识. “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而重点是“用通俗易懂的语言向学生介绍或适当补充一些与高等数学相关的思想、方法等” . 只有从较高视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. 这其中，最为常用的教学方法就是渗透、植入、嵌入和融入.渗透“高观点”思想，改变初中数学教学观念德国著名数学家、数学教育家克莱因深刻地指出，许多初等数学知识，只有放置到高等数学视角下，才能得到较为合理、较为科学的理解. 渗透高观点思想，是高观点视角下初中数学教学的基本内涵.比如，化归思想是初中数学的一种高阶思想. 在化归思想下，解决初中数学问题有许多具体的方法. 这些方法，一般都能将未知化为已知、将陌生化为熟悉，因而都受化归思想的统摄. 比如教学函数y=ax2+bx+c的图像这一部分内容，教师可以从学生已有知识经验出发，切入学生数学认知的“最近发展区”. 针对学生已学的三个简单的二次函数——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a （x-b）2”入手，通过类比法、数形结合法等，引导学生自主探究，逐步推出函数“y=a（x-b）2+c”这一新教学内容. 可以将“y=ax2”的函数图像沿着y轴向上或者向下平移若干个单位，再向左或向右平移若干个单位，得到“y=a（x-b）2+c”图像. 如此，教师运用学生所熟悉的知识，构建新的数学知识. 这个过程，教师要充分发挥学生的主观能动性，既让学生理解了数学知识的来龙去脉，更让学生洞察了数学知识的内在关联. 在具体的数学知识实践过程中，学生自己展开严谨的推导，自己进行理性的计算. 在这个过程中，数学的转化思想牵引学生的数学学习，学生主动地类比、将数与形结合思考. 用数学的思想牵引、指导数学教学，让数学课堂教学焕发出生命的活力，学生能深刻理解、把握数学知识的实质.植入“高观点”方法，丰富初中数学教学形式“高观点”思想下的方法，是具有统摄作用的方法，其运用性强、组织性高，具有再生性、生长性等特性. 从学生学习视角看，“高观点”视角下的数学方法，具有一种活性以及知识的繁殖性. 换言之，数学方法是贯穿于学生数学学习始终的，是贯穿于不同的数学知识学习之中的.以类比方法为例，所谓“类比”，是指根据两个或者两类对象之间某些相同或相似属性，推导、推演出它们在其他方面也存在着某些相同或相似属性. 类比，是一种重要的数学思考方法，它是合情推理的一种. 比如学生学习“一元一次不等式的解法”可以类比“一元一次方程的解法”，因为它们都要经过“去分母、去括号、移项、合并同类项”等过程，都是将未知项的系数化为1;比如分数加减法可以类比分式加减法，因为数与式具有一种通性，都是借助于基本性质、通分、约分、四则运算等展开;再比如，学生学习“圆与圆的位置关系”可以类比“直线与圆的位置关系”，学习反比例函数、二次函数可以类比一次函数，等等. 在数学教学中，植入数学方法，能够丰富初中数学教学形式. 从学生学习数学视角来看，方法犹如一个纲，纲举目张;方法犹如一个支点，抓住方法，所有的数学知识都可以被撬动;方法是一个连心锁，能够赋予学生数学活动的力量.作为数学教师，只有站在高观点视角下运用数学方法来组织数学课堂教学，才能将复杂的、抽象的数学教学内容以一种生动的、直观的形象呈现在学生面前. 只有站在方法的制高点上，才能有效地驾驭数学教学，从而达到举一反三的高效教学目的.嵌入“高观点”知识，丰盈初中数学教学内容初中数学教材中的几何、函数、概率等内容在高中数学乃至于高等数学教学中同样会出现. 当然，其中知识的深浅、难易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教师，在初中数学教学中，可以相机嵌入一些“高观点”数学知识，丰盈初中数学教学内容. 高观点知识，能够统领初等数学知识，能激发学生的好奇心、求知欲，从而能够改变学生被动学习、机械模仿的学习样态.比如教学“一次函数”“反比例函数”“二次函数”等知识内容时，教师可以渗透函数发展史的知识. 通过函数发展史，让学生明晰函数概念诞生的来龙去脉，从而洞察函数的本质. 应该说，函数思想史是一种高观点知识，因为其中涉及学生还没有学习的导数、微积分等知识. 但对函数发展史、函数知识背景的认知，能让学生体认到函数知识的文化价值. 函数源于力学的应用诉求，其中涉及了行星运行轨道的原理等知识. 当微积分建立的时候，还没有采用函数的概念，牛顿运用的是“流量”，莱布尼兹首次使用“函数”的概念表示幂. 在微积分经历了两百多年的锤炼、变革后，逐步形成了函数的概念. 这样的高观点知识的嵌入，不仅让学生了解了函数的发展史，还让学生认识到，初中函数的学习是非常重要的，许多高等数学知识的学习都必须运用函数知识，从而增强了学生学习函数的自觉性、能动性. 这种嵌入高观点知识的教学，改变了教师以往仅限于初等知识层面实施教学的机械模式，彰显了数学知识的连续性、学生数学学习的连续性的法则. 当然，在这个过程中，教师不能揠苗助长，拔高知识教学要求，而是可以通过适当的方式让学生了解，从而起到开阔学生数学视野的作用. 高观点知识的适度嵌入，提高了数学课堂教学效率.融入“高观点”思维，简化初中数学解题思路“高”者，超出常态也. “高观点”视角下的数学教学，比如融入高观点思维，能简化初中数学问题解决思路. 高观点思维，能让初中数学教学深入浅出，将最为复杂的知识用浅显的、明白的方式表征出来.比如对于这样的问题——“满足‘SSA’的两个钝角三角形全等吗”，有教师认为，这个判断需要具体地分清楚这个三角形是怎样的三角形，如果两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，那么就可以判定两个三角形全等. 其实，如果我们从高观点思维看，通过正弦定理就会发现，当两个三角形都是钝角三角形，并且只有当“两个钝角三角形中的两个钝角相等，并且两个钝角所对边以及另一个对边也相等时，这两个钝角三角形才会全等”. 而更一般的表述是：三角形中的两组边以及两组边中的较大的边所对的角相等，这两个三角形才会全等. 作为教师，可以通过高中数学知识，将这一过程详细地证明. 在初中数学教学中，教师可以通过引导学生画图探究的方式，催生学生的数学思考，提升学生的数学认知. 正如德国著名数学教育家克莱因所说：“理解初等数学知识，只有采用高观点思维，事情才会变得简单而明了. ”“高观点”视角下的初中数学教学，要站在学科知识结构与学生认知结构相关联的视角，渗透思想、植入方法、嵌入知识、融入思维. 从而能够让初中数学教学实现知识与思想的统一，文化与精神的和谐. 如此，学生的数学学习一定会呈现出勃勃生机和新的景象.。

高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义篇一：高观点下的中学数学课程是指在现代数学的高度基础上，重新审视中学数学的教学内容，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养。

在中学数学课程中，主要任务包括以下几个方面:1. 培养学生的数学思维能力。

中学数学是数学的基础，对学生的数学思维能力有重要的培养作用。

通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生的数学思维能力。

2. 提高学生的数学素养。

数学素养是数学教育的核心，通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的意义和价值，提高学生的数学素养。

这不仅有利于学生在未来的学习和工作中更好地运用数学，也有利于培养学生的逻辑思维能力和科学素养。

3. 帮助学生更好地理解数学。

高观点下的中学数学课程旨在在现代数学的高度上重新审视中学数学的教学内容，帮助学生更好地理解数学的本质和意义。

通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生对数学的认识和理解。

高观点下的中学数学课程具有重要的指导和借鉴意义。

通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养和思维能力，为学生在未来的学习和工作中更好地运用数学打下坚实的基础。

同时，高观点下的中学数学课程也具有重要的启示作用，为数学教育的改革和发展提供了重要的参考和借鉴。

篇二：高观点下的中学数学课程是指采用数学史和数学哲学的高度来重新审视中学数学课程，旨在帮助学生建立全面的数学素养，为其未来数学和科学领域的学习打下坚实的基础。

在这篇文章中，我们将探讨中学数学课程的主要任务和指导意义。

中学数学课程的主要任务是培养学生的数学思维能力和创新意识。

数学是一门抽象的学科，需要学生具备一定的思维能力才能更好地理解和掌握。

高观点下的中学数学课程通过引入数学史和数学哲学的概念，帮助学生理解数学的本质和内在联系，从而培养学生的数学思维能力和创新意识。

“高观点”下的中学数学的实践与认识一、概述“高观点”下的中学数学，是指站在更高层次的理论和知识视角，重新审视和教授中学数学内容的一种教学理念。

它不仅仅关注中学阶段的具体数学知识和技能，而是将中学数学置于更广阔的数学科学体系中，引导学生更早地接触和了解高层次的数学概念和思想。

这种教学方式有助于培养学生的数学素养，加深他们对数学本质的理解，激发他们的创新思维和解决问题的能力。

在实践中，“高观点”下的中学数学需要教师具备深厚的数学基础和广博的知识视野，能够灵活地将高层次数学知识和思想融入中学数学教学中。

同时，也需要教师不断更新教学理念，积极探索适合学生认知发展的教学方法和手段。

通过“高观点”下的中学数学的教学实践，学生可以更早地接触到一些高层次的数学概念和思想，从而更深入地理解数学的本质和精髓。

这种教学方式不仅可以提高学生的数学素养和思维能力，还可以为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。

“高观点”下的中学数学也面临一些挑战和困难。

如何根据学生的认知特点和实际情况，合理地选择和运用高层次数学知识和思想，使其与中学数学教学有机结合，是教师需要思考和解决的问题。

同时，如何激发学生的学习兴趣和积极性，使他们在学习过程中保持持久的动力和热情，也是教师需要关注的重要方面。

1. 阐述“高观点”在中学数学教学中的重要性。

“高观点”在中学数学教学中具有至关重要的地位。

所谓“高观点”，是指在教学过程中，教师不仅关注具体的数学知识点和解题技巧，更重视从更高层次、更广阔的视角来引导学生理解数学的本质和内在逻辑。

这种教学方法能够帮助学生跳出繁琐的公式和计算，深入理解数学的内在美感和应用价值，从而培养他们的数学素养和创新能力。

“高观点”有助于提升学生的数学思维能力。

通过从高层次审视数学问题，学生能够更好地理解数学概念和原理之间的内在联系，形成系统的数学知识体系。

这种思维方式不仅有助于学生在解题时灵活运用所学知识，还能够培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。

2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14)［M..福建教育,2020(11)〜2021(1-3).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教学,2020(12).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5),。

高三数学复习中学生存在的困惑及应对方法江苏省镇江第一中学孙宇江高考作为一种教育评价的手段和选拔人才的途径，一直以来受到教师、学生、家长、乃至整个社会的关注。

基于此，高三数学复习，尤其重要。

学生在复习过程中会产生烦躁、无所适从、自卑和好高骛远等毛病，教师如何帮助学生解决这些问题，培养学生的数学素质和创造能力，真正有利于人才选拔，笔者在多届高三数学复习中采用以下的应对策略：一、建构主义教学法的运用学生对一章一节的知识掌握不觉困难，遇到综合问题，则显力不从心，会出现烦躁情绪，不利于知识的掌握，教师不仿溶建构主义教学法于教学中，因为学习并不是简单的信息积累和死记硬背，重要的是新旧知识经验的冲突，以及由此而引发的认知结构的重组，教师要适应角色的变换，从传统的传授知识者，转变为学生学习的辅导者、合作者。

评价一节课的好坏，不是以教师讲多少、语句是否华丽和方法是否体现为标准，而是以学生学了多少、掌握多少、问题解决了多少来衡量，建构主义教学法，作为一种新的教学方法，避免了传统教学中只强调教学的统一性、规范性、模仿继承性，以不变应万变地消极适应高考的缺陷，为学生创造了更多提高自己和展示自己的机会，学生应是建构教学的主动者，而不是被动接受知识，这样最大限度地开发学生的潜能和特长，避免了教师的满堂灌，对教师而言，要求不仅没有降低，而是更高，不仅事先的准备工作，组织工作大大增加，而且要提出有质量的学习任务，利于学生知识的掌握、能力的提高和个性的发展，让学生思考、讨论、发现、联系建构自己熟悉和易懂的数学模型，教师适宜地给予指导，那么，学生在完成学习任务的同时，弄清了相应的数学概念和基本知识，理顺了各个基本概念的联系，不仅有利与提高学生学习数学的能力，也有利于学生建构能力的提高。

二、解题方法的指导到了高三，学生除了要理清基本概念外，关键在于会解题，要能在较短的时间内，判断出题目所考查的知识点，及时选择正确的解题方法。

这对学生来说是最困难的，他们往往会感到无所适从，不知从何入手，甚至害怕。

高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义
高观点下的中学数学课程是指在数学教育的高层次视角下，强调数学学科的核心素养和数学思维能力的构建，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和数学应用的价值。

在中学数学课程中，高观点下的任务主要包括以下几个方面:
1. 培养学生的数学思维能力。

中学数学课程是培养学生数学思维能力的重要途径。

通过数学知识的传授和数学方法的教授，学生可以逐步掌握数学思维的基本方法和技巧，如逻辑思维、分析问题的能力、空间想象力等。

这些能力不仅是中学数学教育的核心，也是后续学习和职业发展的基础。

2. 强调数学学科的核心素养。

数学学科的核心素养包括数学思维能力、数学语言能力、数学应用能力和数学创新意识。

在高观点下，中学数学课程应该注重培养学生的这些核心素养，使学生能够更好地理解数学的本质和价值。

3. 引导学生探究数学问题的本质。

中学数学课程应该注重引导学生探究数学问题的本质，而不是仅仅掌握数学知识的皮毛。

通过探究问题，学生可以更好地理解数学知识的内在联系和使用方法，从而更好地掌握数学知识。

4. 培养学生的数学应用能力。

数学是一门应用广泛的学科，中学数学课程应该注重培养学生的数学应用能力。

通过实际应用，学生可以更好地理解数学知识的意义和价值，同时也能够更好地掌握数学方法和技术。

高观点下的中学数学课程对于数学教育的指导意义在于，它更加注重数学学科的核心素养和数学思维能力的构建，注重引导学生探究数学问题的本质，注重培养学生的数学应用能力。

这些理念对于数学教育的改革和推进具有重要的指导意义，也为学生的未来发展和职业发展打下了坚实的基础。

２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀高观点下的高考数学试题研究◉北京师范大学贵阳附属中学㊀张㊀兴㊀㊀摘要:以近几年高考数学中的压轴题为例,从 高观点 的角度分析这类题目命制背景㊁解题思路,以此突出 高观点 的思维在解决高考压轴题中的优势．关键词:高考数学;高观点;解题思路㊀㊀高考作为高等学校选拔人才的主要形式,数学在高考中发挥着基础学科的独特作用,它是衡量一个人思维能力的重要学科．纵观近几年的高考试题,经常从高等数学的背景命题来考查学生的数学知识和思维能力,这类题目往往就成为了压轴题,学生的得分率通常比较低．掌握这类题目的命制背景,对广大高三师生的备考复习显得至关重要．１高观点 的概念界定本文中的 高观点 是指运用高等数学和现代数学的经典知识㊁方法和思想去分析㊁解决初等数学问题的思路和策略,不追求严谨的推理与证明,突出高等数学的思想和方法．２高观点 下的高考试题２．１以洛必达法则为背景例１㊀(２０１８年全国高考数学Ⅱ理科第２１题)已知函数f (x )＝e x－a x ２．(１)若a ＝１,证明:当x ȡ０时,f (x )ȡ１;(２)若f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点,求a ．解析:(１)当a ＝１时,f (x )ȡ１等价于exx ２＋１ȡ１．设g (x )＝e x x ２＋１－１,则g ᶄ(x )＝e x (x －１)２(x ２＋１)２．所以g ᶄ(x )ȡ０,当且仅当x ＝１时等号成立,则g (x )在(０,＋ɕ)单调递增．而g (０)＝０,故当x ȡ０时,g (０)ȡ０,即f (x )ȡ１．(２)f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点,当且仅当f (x )＝０(x ＞０),即e x －a x ２＝０(x ＞０)只有一个实数根．显然x ＝０不是f (x )的零点,故可转化为方程exx ２＝a (x ＞０)只有一个实根．令h (x )＝ex x２,则问题等价于当函数h (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点时,求a 的值．由h ᶄ(x )＝e xx ２－２e x x x ４＝exx３(x －２),可知当x ɪ(０,２)时,h ᶄ(x )＜０;当x ɪ(２,＋ɕ)时,h ᶄ(x )＞０．所以h (x )在(０,２)上单调递减,在(２,＋ɕ)上单调递增．故h (２)＝e２４是h (x )在(０,＋ɕ)的最小值．当x ң０时,x ２ң０,e xң１,则h (x )ң＋ɕ．又l i m x ң＋ɕe xx ２＝l i m x ң＋ɕe x２x ＝l i m x ң＋ɕe x２＝＋ɕ．所以,当a ＜e２４,h (x )与y ＝a 无交点;当a ＝e ２４,h (x )与y ＝a 只有一个交点;当a ＞e ２４,h (x )与y ＝a 有两个交点．综上,f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点时,a ＝e２４．评析:第(２)问的解题思路有好几种,如果运用初等数学的思想和方法,需要对参数a 进行分类讨论,但是分类讨论对大多数高中生来说是一个难点．因此,在 高观点 的角度下只需要学生对洛必达法则有一定认识就可以掌握,整个思路严谨连贯,顺理成章．２．２以拉格朗日中值定理为背景例２㊀(２０１８年全国高考数学Ⅰ理科第２１题)已知函数f (x )＝１x－x ＋a l n x ．(１)讨论f (x )的单调性;(２)若f (x )存在两个极值点x １,x ２,证明:f (x １)－f (x ２)x １－x ２＜a －２．解析:(１)f (x )的定义域为(０,＋ɕ),且fᶄ(x )＝－１x ２－１＋a x ＝－x ２－a x ＋１x ２．(ⅰ)若a ɤ２,则f ᶄ(x )ɤ０,当且仅当a ＝２,x ＝１时f ᶄ(x )＝０,所以f (x )在(０,＋ɕ)单调递减．(ⅱ)若a ＞２,令f ᶄ(x )＝０,得x ＝a ʃa ２－４２．当x ɪ(０,a －a ２－４２)ɣ(a ＋a ２－４２,＋ɕ)９５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀时,fᶄ(x )＜０;当x ɪ(a －a ２－４２,a ＋a ２－４２)时,fᶄ(x )＞０．故函数f (x )在(a －a ２－４２,a ＋a ２－４２)上单调递增,在(０,a －a ２－４２)上单调递减．(２)根据拉格朗日中值定理可知,若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,且在开区间(a ,b )内可导,则在(a ,b )内至少存在一点ξ,使得f ᶄ(ξ)＝f (b )－f (a )b －a 成立．由(１)知,f (x )存在两个极值点,当且仅当a ＞２．不妨设f (x )的两个极值点x １,x ２满足x １＜x ２．因为f (x )在区间[x １,x ２]上连续,在区间(x １,x ２)内可导,所以存在ξɪ(x １,x ２),使得f ᶄ(ξ)＝f (x １)－f (x ２)x １－x ２．因此只需证明f ᶄ(ξ)＜a －２．令g (ξ)＝f ᶄ(ξ)＝－１ξ２－１＋aξ,则g ᶄ(ξ)＝２ξ３－a ξ２＝２－a ξξ３．当ξ＜２a 时,g ᶄ(ξ)＞０,函数g (ξ)为增函数;当ξ＞２a 时,g ᶄ(ξ)＜０,函数g (ξ)为减函数．所以g (２a )＝(a ＋２)(a －２)４为函数g (ξ)在区间[x １,x ２]上的最大值．又因为a ＞２,所以a ＋２４＞１．故g (ξ)＜a －２,即f ᶄ(ξ)＜a －２．所以f (x １)－f (x ２)x １－x ２＜a －２．评析:本题第(１)问比较常规,考查运用导数研究函数的单调性,只要合理进行分类讨论就可以解决问题;第(２)问是函数与不等式的有机融合,解答思路比较广阔,可以充分去想象,但是需要打破常规思路,利用化归与转化的思想将不等式的证明转化为单变量函数进行研究,这对很多学生来说很难想到．但是,如果了解拉格朗日中值定理,就可以将不等式的证明转化为拉格朗日中值定理进行求解,思路清晰㊁计算量小,容易理解．２．３以泰勒展开式为背景例３㊀(２０２２年全国高考甲卷数学理科第１２题)已知a ＝３１３２,b ＝c o s １４,c ＝４s i n １４,则(㊀㊀)．A．c ＞b ＞a ㊀㊀㊀㊀㊀B ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞c ㊀㊀D．a ＞c ＞b该题若将目光转向 泰勒公式 c o s x ＝１－x ２２!＋x ４４!－x ６６!＋ ,s i n x ＝x －x ３３!＋x ５５!－x ７７!＋ ,则可以快速判断．解析:由泰勒公式,易知b ＝c o s１４＝１－１４２ˑ２!＋１４４ˑ４!－ ＞１－１３２＝３１３２＝a ,即b ＞a ;c ＝４s i n １４＝４(１４－１４３ˑ６＋１４５ˑ５!－ )＞４(１４－１４３ˑ６)＝１－１６ˑ１６＞１－１２ˑ１６＝a ,即c ＞a ;因为c b ＝４t a n １４＞４ˑ１４＝１,所以c ＞b ．综上c ＞b ＞a ．评析:此题如果运用高中数学知识求解,对学生的综合能力要求比较高,需要具备一定的视野．其实,泰勒公式对学生并不陌生,在人民教育出版社２０１９版普通高中教科书数学必修第一册第２５６页第２６题已经提到英国数学家泰勒发现了公式s i n x ＝x －x ３３!＋x ５５!－x ７７!＋ ,c o s x ＝１－x ２２!＋x ４４!－x ６６!＋ ,其中n !＝１ˑ２ˑ３ˑ４ˑ ˑn ．例４㊀(２０２０年全国高考数学Ⅰ理科第２１题)已知函数f (x )＝e x＋a x ２－x ．(１)当a ＝１时,讨论f (x )的单调性;(２)当x ȡ０时,f (x )ȡ１２x ３＋１,求a 的取值范围．解析:(１)略(２)当x ȡ０时,f (x )ȡ１２x ３＋１等价于㊀㊀㊀㊀㊀e x－１２x ３－x －１ȡ－a x ２．①(ⅰ)当x ＝０时,不等式①恒成立,即a ɪR ;(ⅱ)当x ＞０时,有e xx２－１２x －１x －１x ２ȡ－a ．令g (x )＝e xx ２－１２x －１x －１x ２(x ＞０),则g ᶄ(x )＝２e x (x －２)－x ３＋２x ＋４２x３＝２e x(x －２)－(x －２)(x ２＋２x ＋２)２x ３＝(x －２)(２e x －x ２－２x －２)２x３．由泰勒公式有e x＝１＋x ＋x ２２!＋x ３３!＋ x nn!＋o (x n ),得e x－１－x －x ２２!＝x ３３!＋ x nn!＋o (x n )．０６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀显然e x－１－x －x ２２＞０,则２e x－２－２x －x ２＞０．所以当x ɪ(０,２)时,gᶄ(x )＜０;当x ɪ(２,＋ɕ)时,g ᶄ(x )＞０．故函数g (x )在(０,２)上单调递减,在(２,＋ɕ)上单调递增．所以g (２)＝e ２－７４为函数g (x )在区间(０,＋ɕ)上的最小值．于是－a ɤe ２－７４,即a ȡ７－e２４．综上,实数a 的取值范围为[７－e２４,＋ɕ)．评析:根据泰勒公式e x＝１＋x ＋x ２２!＋x ３３!＋x n n !＋o (x n ),可得e x－１－x ＝x ２２!＋x ３３!＋ ＋x n n!＋o (x n )．当x ＞０时,等式两边同时除以x ２,可得e x－１－x x ２＝１２＋x ６＋ ,令h (x )＝e x－１－xx ２,则函数h (x )在x ＝２处的切线方程为y ＝１２x ＋e ２－７４．通过G e o ge b r a 软件画出函数h (x )的图象和在x ＝２处的切线,发现函数h (x )的图象恒在切线y ＝１２x ＋图１e ２－７４的上方(如图１),也即e x－１－x x２ȡ１２x ＋e ２－７４,变形得e xȡ１２x ３＋e ２－７４x ２＋x ＋１．我们把e ２－７４换为a ,则e xȡ１２x ３＋a x ２＋x ＋１．这就是本题的来源背景．事实上,通过分析新课改以来的高考导数解答题,发现大多数题目的命制背景都是泰勒展开式,因此了解泰勒展开式的知识,可以避免转太多的弯路,从而快速找到解题的思路．２．４以极点㊁极线为背景例５㊀(２０２２年全国高考数学乙卷理科第２０题)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴㊁y 轴,且过A (０,－２),B (３２,－１)两点．(１)求E 的方程;(２)设过点P (１,－２)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段A B 交于点T ,点H 满足M T ң＝TH ң．证明:直线HN 过定点．评析:(１)设出椭圆的一般方程m x ᶄ＋n y ᶄ＝１(m ,n ＞０),再将点A ,B 坐标代入方程,即可求出椭圆的方程．图２(２)本题的背景就是椭圆的极点和极线理论．如图２,因为点P (１,－２)对应的极线为l :x ３＋(－２)y ４＝１,即２x －３y ＝６,即为直线A B ．过点P 的直线与椭圆交于M ,N 两点,则P ,M ,N 以及A B 所在的直线与MN 所在的直线的交点Q 构成一组调和点列,在直线外取一点A ,则直线A P ,AM ,A Q ,A N构成一族调和线束．因为A P //MH ,则MH 与三条直线A M ,A T ,A H 交于三点,且T 为M ,H 中点,因此可以推断A M ,A T ,A H 也为一簇调和线束,则有A N ,A H 共线,所以直线恒过点A ．故直线HN 过点(０,－２)．近年来,高考数学中的很多圆锥曲线的试题的背景可以归结为极点极线理论,因此掌握一些极点极线的知识,可以从 高观点 的角度看待圆锥曲线的有关问题,更容易抓住问题的本质．虽然在书写解答过程时不能直接用相关的结论,但是可以先猜出结果,然后用初等数学的方法书写解答过程,这种先猜再证的想法是比较常见的．３教学建议高中数学承载着立德树人㊁为国育才之责,对很多学生来说,是一门学不懂的科目．作为一线教师,我们有义务反思我们的教学,让每一位学生都获得应有的数学教育．«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»强调要教给学生真正的数学[１],题海战术和机械记忆只会加重学生学习数学的负担,对培养数学学科核心素养毫无帮助;只有教师抓住了数学的本质,让学生知道知识点的来龙去脉,编织知识的网络,才能教给学生真正的数学．近几年的高考压轴题呈现出起点高㊁落点低的特征,试题的背景源于高等数学,但运用高中所学的数学知识和方法就可以解决．站在 高观点 的角度去看待高中数学知识和方法,会看得更远更透．一线教师了解一些 高观点 的知识和方法,可以达到登高望远,以较高的观点去看待高考题目的效果,有利于中学数学的教学,并没有任何将高等数学引进高考的误导[２]．学生了解一些 高观点 的知识和方法,可以快速找到题目的证明方向或猜出答案,再运用初等数学的知识和方法完善解答过程,缩短思考时间,提高解题效率．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[S ]．北京:人民教育出版社,２０２０．[２]白志锋．评析高考数学试题中的高观点题[J ]．数学通报,２００２(８):３７Ｇ３９．Z １６Copyright ©博看网. 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