八年级上册数学ppt

图11.1-3
我们再来看与三角形有关的线段。
如图11.1-4（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D， 所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
(1) 图11.1-4
(2)
如图11.1-4（2），三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中 线的交点叫做三角形的重心。
图11.1-5
如图11.1-5，画∠A的平 分线AD，交∠A所对的边 BC于点D，所得线段AD叫 做△ABC的角平分线 （angular bisector）。
11.2.2三角形的外角
三角形的一边 与另一边的反向 延长线组成的 角．
练习 1.如图,从A处观测C处时仰角 ∠CAD＝30°,从B处观测C处时 仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、 B两处时视角∠ACB是多少? 解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °,
∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °,
在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° , ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °, ∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °.
B
图11.2-3
C
D
证法二
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
∠B=∠2
(两直线平行，内错角相等),
(两直线平行，同位角相等), E 1 2
∵∠1+∠2+∠ACB=180°, A
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
B
图11.2-3
C
证法三
三角形的内角和等于1800.
练习
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形
第1题
2.（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？ 为什么？
（1）3，4，8 （2）5，6，11 （3）5，6，10.
11.1.2 线
三角形的高、中线与角平分
与三角形有关的线 段，除了三条边，还有我们 已经学过的三角形的高。如 图11.1-3，从△ABC的顶点A 向它所对的边BC所在直线画 垂线，垂足为D，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC上的高。
三角形的稳定性和四边形的不稳定性都有广泛的应用，下图表示其中 一些例子，你能再举一些例子吗?
11.2
与三角形有关的角
• 11.2.1 三角形的内角
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等 于180°.我们是通过度量或剪拼得出这一结论的。 通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等 于180°.但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是 “数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的三 角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角 形的内角和等于180°.所以，需要通过推理的方法去证明： 任意一个三角形的内角和一定等于180°.
三角形
等腰三角形 等边三角形
探究
对于任意一个V ABC,如果把其中任意两个顶点（例 如B, C）看成定点,有“两点之间,线段最短”可得
AB+AC>BC
同理有 AC+BC>AB AB+BC>AC 一般的,我们有
①
② ③
三角形两边的和大于第三边.
由不等式②③移项可得BC>AB-AC,BC>AC-AB.这就是说,三 角形两边的差小于第三边.
探究
1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？
2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？
3.在四边形木架上再钉一根木条，将它一对顶点连 接起来，然后再扭动它，这是木架的形状还会改变 吗？为什么？
可以发现，三角形木架形状不会改变，而四边形木架的形状会改变， 这就说明，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性. 还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，这是因为 斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形具有稳定性，斜 钉一根木条的窗框在未安装之前也不会变形.
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°.
证法一
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A，
于是CE∥BA ∴∠B=∠2
(内错角相等，两直线平行).
(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
A
1
E2ຫໍສະໝຸດ ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
A
b
c
B a
C
图11.1-1
我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形（11.12（1））两条边都相等的三角形叫做等腰三角形（11.1-2 （2））.
图11.1-2（3）中的三角形是三边都不相等的三角形.
（1）
（2）
（3）
图11.1-2
思考
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角
三角形、直角三角形和钝角三角形。如何按照边的关系对 三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流.
∠A +∠B+ ∠C=180°,
A
即
∠A +∠B+ 90°=180°,
所以
∠A +∠B= 90°.
B
图11.2-6
C 也就是说， 直角三角形的两个锐角互余.
• 由三角形内角和定理可得： • 有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直 角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
第十一章 三角形
• 11.1 与三角形有关的线段
• 11.2 与三角形有关的角 • 11.3 多边形及其内角和
11.1.1 三角形的边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相 接所组成的图形叫做三角形. 在图11.1-1中，线段 AB, BC, CA 是三角形 的边,点 A, B, C是三角形的顶点.∠A, ∠ B,∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称 三角形的角. 顶点是A, B, C的三角形,记作△ABC,读作“三 角形 ABC”. △ABC的三边，有时也用 a, b, c来表示,如图 11.1-1，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对 的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示
延安大学西安创新学院 专业实训报告
题 目：人教版八年级上册 专 业：数学与应用数学 姓 名：高 建 指导老师：陈 婷 学 号：1043031019 毕业时间：2014年6月
目录
• 11.1 与三角形有关的 • 14.1 整式的乘法 线段 • 11.2 与三角形有关的 • 14.2 乘法公式（平方 角 差公式） • 11.3 多边形及其内角 • 14.3. 2完全平方公式 和
练习
(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（1）3°， 150°， 27° （2）60°， 40°， 90°
（是 ）
（ 不是）
（3）30°， 60°， 50°
（ 不是）
练习
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= 102 ° .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
L
例：已知： △ ABC（图11.2-2） 求证： ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°. 图11.2-2
证明：如图11.2-2，过点A做直线L,使L∥BC，
∵ L∥BC, ∴ ∠ 2=∠4 (两直线平行，内错角相等);
同理 ∠ 3=∠5. ∵ ∠1, ∠4,∠5组成平角; ∴ ∠1+∠4+∠5= 180°（平角定义）; ∴ ∠1+∠2+∠3= 180°（等量代换）. 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到 如下定理：
图11.2-7
2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现 在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那 么最省事的办法是 ( C )
①
②
③
(A)带①去 (C)带③去
(B)带②去 (D)带①和②去
3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( A、锐角三角形 C、钝角三角形 B、直角三角形 D、等腰三角形
∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补);
E
A
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
B
图11.2-5
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上 添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通 常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角 或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方 法.
探究
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起， 就得到一个平角，从这个操作过程中，你能发现证明思路吗？
L L
A B
（ 1）
图11.2-1
A B C
（ 2）
C
在图11.2-1（1）中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个 角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线L，移动后的 ∠B和∠C各有一条边在直线L上，想一想，直线L与△ ABC的边 BC有什么关系？由这个图你能想出证明“三角形内角和等于 180°”的方法吗? 由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线L 平行于△ ABC的边BC（图11.2-2），那么由平行线的性质与平 角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° .
（3）一个三角形中最多有 （4）一个三角形中最多有 1 个直角？为什么？ 1 个钝角？为什么？ 2 个锐角？为什么？
（5）一个三角形中至少有