10.3.1概率的基本性质

大一高等数学上册教材目录1. 引言1.1 数学的背景与发展1.2 高等数学的重要性与应用领域2. 函数与极限2.1 实数与实数集2.2 函数的基本概念2.2.1 函数的定义与表示2.2.2 函数的分类与性质2.3 极限的概念与性质2.3.1 数列极限2.3.2 函数极限2.3.3 极限的计算方法3. 导数与微分3.1 导数的定义与基本性质3.2 常见函数的导数3.2.1 幂函数、指数函数与对数函数的导数3.2.2 三角函数的导数3.2.3 反三角函数的导数3.3 高阶导数与隐函数求导3.4 微分的概念与应用3.4.1 微分的定义3.4.2 微分中值定理与Taylor公式4. 定积分4.1 定积分的基本概念与性质4.1.1 定积分的定义4.1.2 定积分的性质与计算方法 4.2 定积分的应用4.2.1 几何应用：面积与曲线长度4.2.2 物理应用：质量与质心5. 微分方程5.1 常微分方程的基本概念与解法 5.1.1 一阶线性微分方程5.1.2 二阶线性齐次微分方程5.1.3 高阶线性齐次微分方程5.2 变量可分离的微分方程5.3 非齐次线性微分方程5.4 高阶齐次线性微分方程6. 多元函数与偏导数6.1 二元函数的概念与性质6.1.1 二元函数的定义与表示6.1.2 二元函数的极限与连续6.2 偏导数的概念与计算6.3 高阶偏导数与全微分6.4 隐函数与参数方程7. 多元函数的极值与条件极值7.1 多元函数的极值与极值判定条件7.2 条件极值的求法与拉格朗日乘数法8. 多元函数的积分8.1 二重积分与二重积分的计算方法 8.1.1 二重积分的定义与性质8.2 三重积分与三重积分的计算方法8.2.1 三重积分的定义与性质8.2.2 三重积分的计算方法9. 空间解析几何9.1 空间直线与平面的方程9.2 空间曲线与曲面的方程9.2.1 空间曲线的参数方程与一阶导数 9.2.2 空间曲面的参数方程与切平面9.3 空间曲线和曲面的相交与重合10. 多元函数微分学的进一步应用10.1 向量及其运算10.2 曲线积分与曲线积分的计算方法 10.2.1 第一类曲线积分10.2.2 第二类曲线积分10.3 曲面积分与曲面积分的计算方法 10.3.1 曲面积分的定义与性质11. 幂级数与傅里叶级数11.1 幂级数的概念与性质11.1.1 幂级数的收敛域与收敛半径 11.1.2 幂级数的运算性质11.2 幂级数函数的性质与展开式11.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开12. 泰勒级数与麦克劳林级数12.1 泰勒级数与余项估计12.2 麦克劳林级数与应用13. 线性代数初步13.1 线性空间与子空间的概念与性质 13.2 线性映射与线性变换13.3 线性方程组的解法与矩阵求逆 13.3.1 线性方程组的解法13.3.2 矩阵求逆与矩阵的秩13.4 特征值与特征向量14. 初等概率论14.1 随机试验与事件的概念14.2 概率的定义与性质14.3 条件概率与乘法定理14.4 离散型随机变量与概率分布14.5 连续型随机变量与概率密度函数15. 统计基础15.1 抽样与抽样分布的基本概念15.2 参数估计15.3 假设检验15.4 方差分析16. 其他附录16.1 常用数学符号与单位16.2 数学常用公式与定理以上是大一高等数学上册教材目录的简要内容安排。

教学计划教材版本人教A版必修第二册授课教师授课班级高一（3）班时间2022年3月5日2019统编人教版高中数学A版必修第二册教学计划高一数学是高中数学的重要组成部分，通过本学期的教学，要使学生学会适应日常生活，参加生产和进一步学习所必须的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力、思维能力和空间观念：能够运用所学的知识解决简单的实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质及初步的辩证唯物主义的观点。

一、学情分析：根据分班考试的情况来分析学生的数学成绩并不理想，总体的水平一般，尖子生少、低分的学生较多，而且学习欠缺勤奋，学习的自觉性不高。

高一年级学生往往沿用初中的学习方法，死记硬背，这样既没读懂弄透，又使其自学能力和实际应用能力得不到很好的训练，要重视对学生的读法指导。

高一年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，要重视听法的指导。

学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。

高一年级学生常常固守小学算术中的思维定势，思路狭窄、呆滞，不利于后继学习，要重视对学生进行思法指导。

学生在解题时，在书写上往往存在着条理不清、逻辑混乱的问题，要重视对学生进行写法指导。

学生是否掌握良好的记忆方法与其学业成绩的好坏相关，高一学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，识记知识时机械记忆的成份较多，理解记忆的成份较少，这就不能适应高一教学的新要求，要重视对学生进行记法指导。

学生大多存在学习粗心，作业马虎，对数学学习缺乏兴趣和信心的整体弱点，学习习惯差。

在知识结构上：学生在小学已学过的概率的运算，相应的较为简单的应用题，对图形、图形的面积、体积，数据的收集与整理上有了初步的认识，无论是代数的知识，图形的知识都有待于进一步系统化、理论化，这就是高中的内容，本学期将要学习有关统计与概率的认识，对图形的进一步认识；在数学的思维上：学生正处于形象思维向逻辑抽象思维的转变期，这期间，结合教学，让学生适当思考部分有利于思维的题目，无疑是对学生终身有用的；另一方面关注一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，培养学生数学思维的活跃性和敏感性。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：
教学内容
,取到方块（事件B）的概率是, 问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解：（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得
P(C)=P(A)+P(B)=.
（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P(D)=1-P(C)=.
例2、某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
四练习巩固
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 1/3 ，得到。

突破10.3 频率与概率一、学情分析二、学法指导与考点梳理内容考点关注点概率与频率事件的关系和运算互斥事件、对立事件古典概型概率求值概率的基本性质概率性质、公式事件的相互独立性求概率三、重难点题型突破考点1 随机事件的关系与性质例1．(1)、（2022·全国·高二单元测试）“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）. A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．【答案】A【解析】【分析】理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.【详解】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A(2)、（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）（多选题）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）A ．m 的值是32%B ．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C ．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D ．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A 选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为97.6%，即可求解；对B 选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C 选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D 选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A 选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星， 则24.0%32.9%8.7%97.6%m +++=，所以32%m =，故A 正确；对B 选项，随机抽取100名观众，可能有10024.0%24⨯=人评价五星，但不是一定的，故B 错误； 对C 选项，由A 选项，评价是三星或五星的概率约为32%24.0%56%+=，故C 正确；对D 选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D 正确； 故选：ACD【变式训练1-1】、（2022·全国·高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是 A ．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜 B ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜 C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜 D ．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD 【解析】分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可. 【详解】选项A 中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A 符合题意;选项B 中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B 不符合题意;选项C 中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C 符合题意;选项D 中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D 符合题意. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题,属于基础题型.【变式训练1-2】、（2022·全国·高二课时练习）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（ ）A ．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；B ．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；C ．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；D ．以上说法都不对． 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的定义判断即可； 【详解】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C 正确；如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为10090%90⨯=人，不一定必有90人被治愈，故A 错误；如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为()21190%99%--=，也可能不被治愈，故B 错误； 故选：C考点2 古典概型例2．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A =“表示的四位数能被3整除”，B =“表示的四位数能被5整除”，则（ ）A ．()38P A =B ．()13P B =C ．()1116P A B ⋃=D ．()316P AB =【答案】ACD 【解析】 【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项． 【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是4216=，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是246C =，所以63()168P A ==， 能被5带除的四位数个数为328=，81()162P B ==，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是133C =，概率为3()16P AB =， 31311()()()()821616P A B P A P B P AB =+-=+-=．故选：ACD ．【变式训练2-1】、（2022·全国·高一单元测试）1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是________. 【答案】23【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求出不超过30的所有质数，再利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】根据题意可知，不共有超过30的所有质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选取2个不同的数有21045C=种，和超过30的共有(2,29),(3,29)(5,29)(7,29)(11,29)(13,29)(17,29)(19,29)(23,29)(11,23)(13,23)(17,23)(19,23)(13,19)(17,19)15种，所以两数之和不超过30的概率是45152 453-=．【点睛】本题主要考查古典概型概率的求解．考点3 随机模拟例3．（2022·河南·模拟预测（理））在圆224x y +=内随机地取一点(,)P x y ，则该点坐标满足(2)(21)0y x x y -++≤的概率为（ ） A ．12B ．22C ．6πD ．510π 【答案】A 【解析】 【分析】由目标式得20210y x x y -≤⎧⎨++≥⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≤⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=、210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可得概率.【详解】由20210y x x y -≤⎧⎨++≥⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≤⎩，如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(,)P x y 在阴影部分，而20y x -=过圆心(0,0)，且20y x -=与210x y ++=相互垂直，所以阴影部分为圆面积的12，故概率为12. 故选：A【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是40cm 的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（ ）A ．2500cmB ．2560cmC ．2820cmD ．21040cm【答案】B 【解析】 【分析】设“福”字的面积为2cm x ，由几何概型建立比例关系，可以求出. 【详解】设“福”字的面积为2cm x ， 根据几何概型可知21006510040x-=，解得()2560cm x =. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 考点4 概率统计的综合应用例4．（2022·全国·高二课时练习）甲乙两名选手在“10米气步枪”训练赛上的成绩（环数）如茎叶图所示．(1)成绩不低于590环即可通过预选赛进入初赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性，据此估计哪位选手更有可能通过预选赛；(2)按往年记录，成绩不低于594环即有大概率进入决赛，估计甲乙两位选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性，据此估计哪位选手更有可能进入决赛． 【答案】(1)乙选手 (2)甲选手 【解析】 【分析】（1）由茎叶图，数出甲乙总共射击的次数和不低于590环的次数，可得到概率，进而比较得出结果； （2）由茎叶图，数出甲乙总共射击的次数和不低于594环的次数，可得到概率，进而比较得出结果；(1)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为8 15，乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于590环的可能性为102 153=，28315>，所以，乙选手更有可能通过预选赛．(2)甲选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为62 155=，乙选手在“10米气步枪”比赛中成绩不低于594环的可能性为2 15，22515>，所以，甲选手更有可能进入决赛．【变式训练4-1】、（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））家庭教育是现代基础教育必不可少的一个重要组成部分，家庭教育指导师是一个新兴的行业.因为疫情的影响，某家庭教育指导师培训班转为线上教学.已知该培训班推出网课试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：第n次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.9 0.8 0.7 0.6听课课时数1课时2课时3课时不少于4课时频数50 20 10 20假设网课的成本为每课时50元.(1)根据以上信息估计1位学员消费三次及以上的概率；(2)若一位学员听课4课时，求该培训班每课时所获得的平均利润.【答案】(1)3 10(2)25元【解析】【分析】（1）根据样本数据中，消费三次及以上的频数除以样本容量可得；（2）根据收费标准直接计算出学费，用学费减去成本费，然后除以4可得.(1)由题知，在100名学员中听课三次及以上的有30人， 故1位学员消费三次及以上的概率大约为30310010=. (2)当一位学员听课4课时时，学费为100(0.90.80.70.6)300⨯+++=元， 网课成本共504200⨯=元，所以培训班每课时所获得的平均利润为300200254-=元.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2022·全国·高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A =“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）A ．抛掷硬币10次，事件A 必发生5次B ．抛掷硬币100次，事件A 不可能发生50次C ．抛掷硬币1000次，事件A 发生的频率一定等于0.5D ．随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系可得答案. 【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A 发生的次数是随机事件，故ABC 错误；随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小； 故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）独立地重复一个随机试验()*,1n n N n ∈≥次，设随机事件A 发生的频率为()f n ，随机事件A 发生的概率为P ，有如下两个判断：①如果(){},1f n n N n *∈≥是单元素集，则1P =；②集合(){},1f n n N n *∈≥不可能只含有两个元素，其中（ ）A ．①正确，②正确B ．①错误，②正确C ．①正确，②错误D ．①错误，②错误【答案】B 【解析】 【分析】对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论. 【详解】对于①，比如定义随机试验：从10个红球中任意抽取3个球，定义随机事件:A 三个球中有一个白球，则0P =，且(){}{},10f n n N n *∈≥=，①错；对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，因此，(){},1f n n N n *∈≥不可能只含有两个元素，②对.故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】【分析】由频率和概率的定义可得答案.【详解】不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率是由试验的次数决定的；故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错. 故选：C.4．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）下列说法错误的是（）A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为1 3B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为1 6C．若A，B为两个任意事件，则事件A B+对立事件是事件A，B都发生D．试验次数足够多，事件A发生的频率其实就是事件A发生的概率【答案】AD【解析】【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为2142P==，故A错；对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有(1,1),(2,2),,(6,6)，6个基本事件，故由古典概型可知61366P==，故B正确；对于C，和事件A B+发生，就是A，B事件至少一个发生，它的对立事件就是A，B事件都不发生，即事件A，B都发生，故C正确；对于D，试验次数足够多，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近，不一定是事件A发生的概率，故D错误.故选：AD5．（2022·山东滨州·高二期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 【答案】110##0.1 【解析】【分析】设该校有a 名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过2h 的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案．【详解】解：设该校有a 名同学，则约有0.3a 的学生近视，约有0.4a 的学生每天玩手机超过2h ，且每天玩手机超过2h 的学生中近视的有0.40.60.24a a ⨯=的学生，所以有0.6a 的学生每天玩手机不超过2h 且其中有0.30.240.06a a a -=的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.0610.610a P a ==． 故答案为：110． 6．（2022·全国·高二课时练习）根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%．某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜不少于______副．【答案】225【解析】【分析】根据题中给出的近视率，估算出近视人数，进而估算出应带的眼镜数【详解】由已知得，该学校需要佩戴眼镜的人数大概为：60037.4%224.4225⨯=<（人），所以，该眼镜商应带眼镜不少于225副故答案为：2257．（2021·全国·高一课时练习）VBA （Visual Basic for Application ）是Excel 自带的一种程序设计语言，它具有一般程序设计语言所具有的功能，可由手工写入或宏记录器两种方式生成．使用VBA 宏记录器无须亲自写VBA 的代码，在计算机内会自动生成VBA 的代码．你只要打开宏记录器，做1次你所需要的操作．例如，画1个经常要用的表格，宏记录器会用代码记录下你的每一步操作，操作完成后，保存为一个叫宏的文件．下次再做同样的事，你只要执行该文件，就可以自动画出已设计好的表格．当然，如果没有相关记录，就要靠人工编写VBA 程序来弥补．如图，在Excel 工作表中，选择“开发工具/VisualBasic 编辑器”．在VB 编辑器窗口中选择“工具/宏”，在弹出的对话框中，在“宏名称”栏内输入宏的名称，如“抛掷硬币”，单击“创建”，出现宏主体语句Sub 和End Sub ，输入你的程序后按F5即可运行．如不满意，可随时修改．当抛掷次数为10000时，可得出现正面的频率为0.4944（你的模拟结果可能与此不同），并填写下表：模拟次数正面向上的频率10100100050001000050000100000500000【答案】见解析【解析】【分析】根据模拟结果直接求出频率即可.【详解】我的试验结果如下表：模拟次数正面向上的频率10 0.6100 0.511000 0.4995000 0.49610000 0.501050000 0.5066100000 0.4996500000 0.50062随着试验次数的增加，正面向上的频率越来越稳定在0.5附近，即试验次数越多，概率的估计值就越来越准确.。

《概率论与数理统计》教案第一章：概率的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布2.4 随机变量的数字特征（期望、方差）第三章：多维随机变量及其分布3.1 多元随机变量的概念3.2 联合分布及其性质3.3 独立性及其检验3.4 随机向量的数字特征（协方差、相关系数）第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的分布第五章：假设检验与置信区间5.2 常用的检验方法5.3 置信区间的估计5.4 功效分析与错误类型第六章：抽样调查与样本分布6.1 抽样调查的基本概念6.2 随机抽样方法6.3 样本分布的性质6.4 抽样误差的估计第七章：回归分析与相关分析7.1 线性回归模型7.2 回归参数的估计7.3 回归模型的检验与诊断7.4 相关分析与判定系数第八章：时间序列分析8.1 时间序列的基本概念8.2 平稳时间序列的模型8.3 时间序列的预测8.4 季节性分析与指数平滑第九章：非参数统计与生存分析9.1 非参数统计的基本概念9.2 非参数检验方法9.4 生存函数与生存分析的估计第十章：贝叶斯统计与统计软件应用10.1 贝叶斯统计的基本原理10.2 贝叶斯参数估计与预测10.3 贝叶斯统计的应用10.4 统计软件的使用与实践重点和难点解析一、随机现象与样本空间补充说明：事件的关系与包含关系，概率的基本性质（互补性、传递性等），概率的计算方法。

二、随机变量及其分布补充说明：概率质量函数与概率密度函数的区别与联系，分布函数的性质，随机变量的期望与方差的计算。

三、多维随机变量及其分布补充说明：二维随机变量的联合分布函数，条件概率的计算，独立性的数学表述与检验方法。

四、大数定律与中心极限定理补充说明：大数定律的数学表述及其含义，中心极限定理的条件与结论，样本均值与标准差的性质。

第十章概率10.3.1频率的稳定性一、教学目标1．通过实验能让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率.2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.3.通过对频率的稳定性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点1.理解频率和概率的区别和联系.2. 大量重复实验得到频率的稳定值的分析.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，完成下列填空：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．（2）新知探究问题1:小组合作探究概率与频率的区别与联系学生回答，教师点拨并提出本节课所学内容（3）新知建构概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率（4）数学运用例1.给出下列说法：①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④频率就是概率．其中正确的是（）A．①B．①②④C．①②D．③④【答案】C【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确；对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错误；对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．故选：C．变式训练1:（多选）下列说法正确的有（）A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；C.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；D.若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.【答案】AB【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴A正确．∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴B正确．∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴C错误．若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴D错误∴说法正确的有两个，故选:AB．变式训练2:（多选）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是51 100B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是9 50D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率【答案】CD【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD.例2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.变式训练:某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.（1）求x，y的值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.【答案】（1）x＝15，y＝20；（2）0.3.【解析】（1）由已知得2510553045yx++=⎧⎨+=⎩，，所以x＝15，y＝20.（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝20100+10100＝0.3.例3:2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：（Ⅰ）求a 的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.【答案】（Ⅰ）250a =，平均数为52.2；（Ⅱ）0.38.【解析】（Ⅰ）由题意知50320300801000a ++++=，∴250a =，年龄平均数1050302505032070300908052.21000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. （Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人， 所以年龄不小于60岁的频率为3800.381000=， 用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为0.38.四、小结：1．频率的稳定性2.概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率五、作业：习题10.3.1。

2024年第6期教育教学SCIENCE FANS 高中数学人教版和湘教版教材“概率与统计”内容比较研究*辛小刚，马 健，黄商商（甘肃省陇南市武都实验中学，甘肃 陇南 746000）【摘 要】“概率与统计”是高中数学课程的重要组成部分，同时也是高考的热门考点之一。

教材比较研究是目前国内教育领域的热门话题，有关高中数学教材的比较研究以人教版与北师大版、苏教版、华师版的对比分析为主，湘教版与其他版本教材的对比研究较少。

基于此，文章以“概率与统计”内容为例，从体例结构、内容分布、内容呈现方式、习题配置四个方面对高中数学人教版以及湘教版教材进行比较分析，进而提出湘教版“概率与统计”的教学新思路、复习课教学策略，以供相关教师参考。

【关键词】高中数学；人教版；湘教版；概率与统计；比较研究【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2024）06-0064-03近几年来，国内学者对教材的比较研究的关注度越来越高。

但在高中数学教材的比较研究中，大多数学者都热衷于对人教版与北师大版、苏教版、华师版教材进行比较研究，湘教版与其他版本教材的比较研究较少[1]。

数学学科是我国基础教育体系中的重要组成部分，“概率与统计”则是高中数学课程中不可或缺的组成部分，不仅是学生的学习难点，同时也是高考的重要考点之一。

对此，本文将湖南教育出版社出版的高中数学必修教科书（以下简称“湘教版”）以及人民教育出版社出版的高中数学必修教科书（以下简称“人教A版”）作为研究对象，围绕“概率与统计”板块的内容进行比较分析，旨在为使用湘教版高中数学教材的教师提供一些教学 建议。

1 高中数学人教A版和湘教版“概率与统计”内容比较分析1.1 体例结构的对比体例结构是教材结构形式编排上的特点，包括章节图、复习题等各部分组织的搭配及安 排[2]。

经过对比研究发现，两版教材的体例结构在宏观层面上基本一致，每章都由“章节图”“章节语”“节”“小结与复习”“复习题”五部分组成，每节都包括正文、习题、旁白等构成 元素。