概率的基本性质
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概率的基本性质概率是用来描述随机事件发生的可能性的数学工具。
在统计学和数学中,概率具有一些基本的性质。
本文将介绍概率的基本性质,包括概率的定义、概率的性质以及概率的运算性质。
一、概率的定义:1. 随机事件:随机事件是对结果不确定的事件的称呼,例如掷硬币的结果可能是正面或反面,这就是一个随机事件。
2. 样本空间:所有可能结果的集合称为样本空间,用S表示。
例如,掷硬币的样本空间是{正面,反面}。
3. 事件:样本空间的子集称为事件,用A、B等表示。
例如,正面朝上是一个事件。
4. 概率:概率是随机事件发生的可能性的度量,用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间,其中0表示不可能事件,1表示必然事件。
二、概率的性质:1. 非负性:对于任何事件A,有0≤P(A)≤1。
2. 必然事件的概率:对于样本空间S,有P(S) = 1,即必然事件发生的概率为1。
3. 不可能事件的概率:对于空集∅,有P(∅) = 0,即不可能事件发生的概率为0。
4. 互斥事件的概率:如果两个事件A和B不可能同时发生,称它们为互斥事件,则有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
5. 加法定理:对于任意两个事件A和B,有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示事件A和B同时发生的概率等于各自发生的概率之和减去它们共同发生的概率。
6. 对立事件的概率:对于事件A的对立事件,记为A',有P(A') = 1 - P(A)。
这个公式表示事件A不发生的概率等于1减去事件A发生的概率。
三、概率的运算性质:1. 乘法规则:对于任意两个事件A和B,有P(A∩B) = P(B|A)P(A),其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2. 全概率公式:对于一组互斥的事件B1,B2,...,Bn,它们的并集为样本空间S,有P(A) = ΣP(A|Bi)P(Bi),其中Σ表示求和。
3. 贝叶斯公式:对于一组互斥的事件B1,B2,...,Bn,它们的并集为样本空间S,有P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)/ΣP(A|Bj)P(Bj),其中P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率。
概率的基本性质事件的关系:1.包含:如果当事件A发生时,事件B一定发生,则B⊇A ( 或A⊆B );注:不可能事件记作Φ,任何事件都包含不可能事件.2.相等事件:若B⊇A,且A⊇B,则称事件A与事件B相等,记作A=B.3.和事件:当且仅当事件A发生或事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作 C=A∪B(或A+B).4.积事件:当且仅当事件A发生且事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作C=A∩B(或AB)5.互斥事件:两个事件的交事件为不可能事件,即A∩B=Ф,此时,称事件A与事件B 互斥,其含义为事件A与事件B在同一次试验中不会同时发生.6.对立事件:若A∩B=Ф,A B=必然事件,则事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在同一次试验中有且只有一个发生.7. 概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则(A∪B)=P(A)+ P(B)8. 对立事件公式:若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1.9. 相互独立事件:若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B为相互独立事件,即事件A是否发生对事件B的概率没有影响。
例1 某射手进行射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环;事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.例2 一个人打靶时连续射击两次,下列各事件是“至少有一次中靶”的互斥事件的是()A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶例3 某射手连续射击两次,试判断下列事件的关系?事件A:第一次命中环数大于7环;事件B:第二次命中环数为10环;事件C:第一次命中环数都小于6环;事件D:两次命中环数都小于6环.练习1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中至少有一名女生的概率为.A,两个口袋, A袋中装有4个白球, 2个黑球; B袋中装有3个白球, 4个黑球. 从2.有BA,两袋中各取2个球交换之后, 则A袋中装有4个白球的概率为.B3. 甲、乙二人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2,那么其中至少一人解决这个问题的概率是( )A.P 1+P 2B.P 1·P 2C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)·(1-P 2)4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率是0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少一根熔断的概率为 .5. 10颗骰子同时掷出,并掷5次,至少有一次全部出现一个点的概率为 .6. 有三个形状相同的小罐,在第一罐中有2个白球和1个黑球,在第二罐中有3个白球和1个黑球,在第三个罐中有2个白球和2个黑球,从中各摸一个球,3个球都不是白球的概率为____ _.7. 一个袋中有带标号的7个白球,3个黑球.事件A :从袋中摸出两个球,先摸的是黑球,后摸的是白球.那么事件A 发生的概率为_______8. 某市派出甲, 乙两只球队参加全省篮球冠军赛, 甲, 乙两队夺取冠军的概率分别是73和41, 则该市夺得全省篮球冠军的概率是_______8. 口袋中装有10个相同的球, 其中6个球标有数字0, 4个球标有数字1, 若从袋中摸出5个球, 那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_______9. 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.(Ⅰ)求笼内至少剩下....5只果蝇的概率;(Ⅱ)求笼内至少剩下....3只果蝇的概率.10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是_______11.12. 在放有5个红球, 4个黑球, 3个白球的袋中, 任意取出3个球, 分别求出3个球全是同色球的概率及三个颜色互不相同的概率.13. 在一个袋子中装有7个红球, 3个绿球, 从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色球的概率;(4)至少取得一个红球的概率.1/24 7/3011.甲,乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是32,43假设两人每次射击是否 击中相互之间没有有影响,求:(1)求甲射击5次,有两次未击中的概率 (2)假设某人连续2次未击中目标,就停止射击,求乙恰好射击5次后,被终止射击的概率12.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:(Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率;(Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;(Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.概率练习二1. 在一次试验中,事件A 出现的概率为P,则在n 次独立重复试验中,A 出现k 次的概率为__ __.k n k k n p p C --)1(2. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他只在第n 次击中目标的概率为_ _.p p n 1)1(--3. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他在第n 次恰是第k 次击中目标的概率为_ _.k n k k n p p C ----)1(11 4. 某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 1,3 (写出所有正确结论的序号)5. 某气象站对天气预报的准确率为60%,那么连续5次预报中有4次准确的概率为0.25926. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为12581 7. 在一次考试中出了6道是非题,正确的记“√”号,不正确的记“×”号,若某生完全随机记上6个符号,则全部是正确的概率为 1/64 ;正确解答不少于4道的概率为 11/32 ;至少正确解答一半的概率为 21/32 .8. 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为32,则在三局两胜的赛制下甲获胜的概率为 20/27 , 比赛进行了两场即结束的概率为 5/9 , 在五局三胜的赛制下甲获胜的概率为 64/81 , 比赛进行了四场结束的概率为 10/279. 下列各图中,每个开关闭合的概率都是0.75,且是相互独立的,分别求灯亮的概率 9/16 15/16 57/64 249/2562. 2.1条件概率学案一、教学目标:条件概率定义的理解。
简述概率的性质概率的性质:1. 非负性:任何概率值范围都是非负的,即概率的取值范围始终为[0,1]。
2. 统计独立性:独立事件的概率为这两个事件的概率的乘积,即事件A和事件B的概率为P(A)* P(B)。
3. 加法性:两个互斥事件的概率可以由其各自的概率之和得出,即事件A和事件B的概率为P(A)+ P(B)。
4. 条件概率:如果两个事件A和B是有关联的,则事件A发生时事件B发生的概率是由事件A、B(同时)发生的概率(全概率)与事件A发生的概率(假设概率)的比值而定的P(B|A)= P(A、B)/ P (A)。
5. 期望的边际概率:边际概率是指一个双变量函数的一个变量确定时,函数值在一定范围内期望值。
即在事件A发生时,概率无条件若求,可以把另一个变量也称为边际概率。
6. 条件概率的乘法定理:如果事件A和B相互独立,那么在事件A发生条件下事件B发生的概率即P(B|A)= P(A、B)= P(A)*P (B)。
7. 全概率:全概率定理指的是概率的性质下的一个重要定理,它规定:随机变量X的概率可以由其有关的随机事件的概率之积获得。
即P(X)= P(Ai)* P(X|Ai)。
8. 贝叶斯定理:贝叶斯定理是贝叶斯统计学的基础定理,它是物理学家帕斯卡尔·贝叶斯在九十世纪初提出的,它提出了条件概率的关系对事实事件A发生时,改变对事实事件B的结论概率所获得的新概率。
即P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。
9. 后验概率:后验概率是指在已知某一经验之后,概率值随着新数据的不断增加而改变的新概率。
后验概率表示的是既定信息条件下事件发生的概率,即P(A/B)=P(B/A)*P(A)/P(B)。
概率的定义和基本性质(二)引言概述:概率是概率论研究的基本概念,也是统计学中重要的概念之一。
它用来描述事件发生的可能性大小,并在统计推断和决策制定中起着关键作用。
本文将进一步介绍概率的定义和基本性质,以帮助读者更好地理解和应用概率理论。
正文内容:一、概率的定义1. 频率定义:概率是基于大量实验的观察结果,通过事件发生的频率来估计其发生的可能性。
2. 古典定义:概率是基于等可能性假设,通过事件发生的总数与样本空间的大小之比来估计其发生的可能性。
3. 主观定义:概率是基于个人主观判断和经验,通过主观分配可能性大小来估计事件发生的可能性。
二、概率的基本性质1. 非负性:概率值始终大于等于0,表示事件发生的可能性不会是负数。
2. 零和性:对于必然事件,其概率值为1,表示该事件一定会发生。
3. 互斥性:对于两个互斥事件,其概率值之和为1,表示这两个事件有且只能发生一个。
4. 加法法则:对于两个不互斥事件,其概率值之和为两个事件发生概率之和减去两个事件同时发生的概率。
5. 乘法法则:对于两个独立事件,其概率值之积为两个事件发生概率之积。
三、条件概率和独立性1. 条件概率:给定一个条件下,事件发生的概率。
表示为P(A|B),表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
2. 乘法法则的条件形式:根据条件概率定义,可以将乘法法则扩展为条件形式。
3. 独立性:表示两个事件的发生与否相互独立,即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
4. 独立性的判定:根据条件概率和乘法法则,可以通过计算条件概率来判断事件之间的独立性。
四、事件的关系与运算1. 事件的包含与不包含关系:一个事件发生必然导致其包含事件的发生,而不包含事件的发生则不一定导致该事件的发生。
2. 事件的并与交运算:事件的并运算表示多个事件中至少有一个事件发生的情况,交运算表示多个事件同时发生的情况。
3. 事件的补运算:事件的补运算表示不发生该事件的情况。
4. 事件的差运算:事件的差运算表示一个事件发生,而另一个事件不发生的情况。