概率的基本性质

概率的基本概念与性质概率是数学中一个非常重要的概念，在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。

本文将介绍概率的基本概念和其性质，以帮助读者对概率有更深入的了解。

一、概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。

0表示不可能事件，1表示必然事件。

在概率理论中，把某个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间Ω，包含于样本空间Ω的每一个结果称为样本点。

设A是样本空间Ω中的一个事件，则A的概率P(A)是指事件A发生的可能性大小。

二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，概率值P(A)大于等于0。

2. 规范性：对于样本空间Ω，其概率值为1，即P(Ω)=1。

3. 容斥性：对于两个事件A和B，概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

4. 加法性：对于两个互斥事件A和B（即事件A和B不可能同时发生），概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)。

5. 频率解释：概率可以通过重复试验的频率来估计。

当试验重复次数趋于无穷大时，某个事件发生的频率将接近其概率值。

三、计算概率的方法1. 古典概率：适用于每一个样本点发生的可能性相等的情况。

即P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间Ω中的样本点数。

2. 几何概率：适用于具有几何结构的问题。

概率可以通过几何图形的面积、长度或体积来计算。

3. 统计概率：通过统计数据来计算概率，具体包括频率概率和条件概率。

四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

条件概率可以通过求解P(A∩B)/P(B)得到。

五、独立事件两个事件A和B是独立的，当且仅当事件A的发生不依赖于事件B的发生。

对于独立事件，乘法公式可以表示为P(A∩B)=P(A)P(B)。

六、贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算反向概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

概率的基本性质事件的关系：1.包含：如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B⊇A ( 或A⊆B )；注：不可能事件记作Φ，任何事件都包含不可能事件.2.相等事件：若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.和事件：当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).4.积事件：当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）5.互斥事件：两个事件的交事件为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B 互斥，其含义为事件A与事件B在同一次试验中不会同时发生.6.对立事件：若A∩B＝Ф，A B＝必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在同一次试验中有且只有一个发生.7. 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则（A∪B）＝P（A）＋ P（B）8. 对立事件公式：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.9. 相互独立事件：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B为相互独立事件，即事件A是否发生对事件B的概率没有影响。

例1 某射手进行射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．例2 一个人打靶时连续射击两次,下列各事件是“至少有一次中靶”的互斥事件的是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶例3 某射手连续射击两次，试判断下列事件的关系？事件A：第一次命中环数大于7环；事件B：第二次命中环数为10环；事件C：第一次命中环数都小于6环；事件D：两次命中环数都小于6环．练习1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有一名女生的概率为.A,两个口袋, A袋中装有4个白球, 2个黑球; B袋中装有3个白球, 4个黑球. 从2.有BA,两袋中各取2个球交换之后, 则A袋中装有4个白球的概率为.B3. 甲、乙二人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是（ ）A.P 1+P 2B.P 1·P 2C.1-P 1P 2D.1-（1-P 1）·（1-P 2）4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率是0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问至少一根熔断的概率为 .5. 10颗骰子同时掷出,并掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 .6. 有三个形状相同的小罐，在第一罐中有2个白球和1个黑球，在第二罐中有3个白球和1个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，从中各摸一个球，3个球都不是白球的概率为____ _.7. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为_______8. 某市派出甲, 乙两只球队参加全省篮球冠军赛, 甲, 乙两队夺取冠军的概率分别是73和41, 则该市夺得全省篮球冠军的概率是_______8. 口袋中装有10个相同的球, 其中6个球标有数字0, 4个球标有数字1, 若从袋中摸出5个球, 那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_______9. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.(Ⅰ)求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率；（Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．3只果蝇的概率.10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是_______11.12. 在放有5个红球, 4个黑球, 3个白球的袋中, 任意取出3个球, 分别求出3个球全是同色球的概率及三个颜色互不相同的概率.13. 在一个袋子中装有7个红球, 3个绿球, 从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色球的概率;(4)至少取得一个红球的概率.1/24 7/3011．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32，43假设两人每次射击是否 击中相互之间没有有影响，求：（1）求甲射击5次，有两次未击中的概率 （2）假设某人连续2次未击中目标，就停止射击，求乙恰好射击5次后，被终止射击的概率12．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．概率练习二1. 在一次试验中，事件A 出现的概率为P,则在n 次独立重复试验中,A 出现k 次的概率为__ __.k n k k n p p C --)1(2. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他只在第n 次击中目标的概率为_ _.p p n 1)1(--3. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他在第n 次恰是第k 次击中目标的概率为_ _.k n k k n p p C ----)1(11 4. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 1,3 （写出所有正确结论的序号）5. 某气象站对天气预报的准确率为60%，那么连续5次预报中有4次准确的概率为0.25926. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为12581 7. 在一次考试中出了6道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号，若某生完全随机记上6个符号，则全部是正确的概率为 1/64 ；正确解答不少于4道的概率为 11/32 ；至少正确解答一半的概率为 21/32 .8. 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为32,则在三局两胜的赛制下甲获胜的概率为 20/27 , 比赛进行了两场即结束的概率为 5/9 , 在五局三胜的赛制下甲获胜的概率为 64/81 , 比赛进行了四场结束的概率为 10/279. 下列各图中，每个开关闭合的概率都是0.75，且是相互独立的，分别求灯亮的概率 9/16 15/16 57/64 249/2562． 2．1条件概率学案一、教学目标：条件概率定义的理解。