高三数学二轮复习专题第一讲函数与方程思想(课堂PPT)

则|AB|＝t－a2＋1＝t－t＋2ln
t＋1＝2t －ln2
t＋1.

设g(t)＝2t －ln2 t＋1(t＞0)，
则g′(t)＝12－21t＝t－2t1，令g′(t)＝0，得t＝1， 当t∈(0，1)时，g′(t)＜0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＞0， 所以g(t)min＝g(1)＝32，所以|AB|≥32， 所以|AB|的最小值为32. 答案：(1)D (2)D
又|AB|＝ 22＋12＝ 5，
所以四边形AEBF的面积为
S＝12|AB|(h1＋h2)＝12· 5·45（（11＋＋24kk）2）＝
2（11＋＋42kk2）＝2 1＋1＋4k24＋k24k＝2
1＋1k＋44k≤2 2，
当且仅当4k2＝1(k＞0)，即当k＝12时，上式取等号． 所以S的最大值为2 2. 即四边形AEBF面积的最大值为2 2.
解方程组yy＝＝x1＋3－3，x，得点 C(5，8)． 所以 f(x)max＝8. (2)在同一坐标系中作出 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象如图 所示，
由图象可知当 x＞0 时，有 4 个零点，当 x≤0 时，有 2 个零点，所以一共有 6 个零点．
答案：(1)C (2)B
[探究提高] 1．第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的 讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图 象的交点问题，利用几何直观求解． 2．探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解 (或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论 两曲线的交点问题；(2)正确作出两个函数的图象是解决 此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意 去用数形结合．
应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用
【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，

D．E∩F＝∅
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多 有关函数的问题也可以用方程的方法来解决．函数与方程思想 是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点和热点．
1．函数的思想：它是用运动和变化的观点，分析和研究数 学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，并运用函数的图 象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数 思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函 数知识或函数观点观察、分析和解决问题．

【配对练习】
1．(2011 年全国)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]
时 f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝|lgx|的图象的交
点共有( A )
A．10 个
B．9 个 C．8 个 D．1 个
解析：由题意作出函数图象如图 D45，由图象知共有 10 个 交点．
图 D45
函数与方程思想在不等式中的应用
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．在含有多 个变量的数学问题中，需要确定合适的变量或参数，能使函数 关系更加清晰明朗．一般地，已知存在范围的量为变量，而待 求范围的量为参数．
例 1：设集合 A＝{x|4x－2x＋2＋a＝0，x∈R}． (1)若 A 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 B； (2)若对于任意 a∈B，不等式 x2－6x＜a(x－2)恒成立，求 x 的取值范围． 解：(1)令2x＝t(t＞0)，设f(t)＝t2－4t＋a. 由f(t)＝0在(0，＋∞)有且仅有一实根或两相等实根，得 ①当f(t)＝0有两相等实根时，Δ＝0⇒16－4a＝0⇒a＝4. 验证：t2－4t＋4＝0⇒t＝2∈(0，＋∞)，这时x＝1. ②当f(t)＝0有一正实根和一负实根时，f(0)＜0⇒a＜0，

函数与方程思想在解题中的应用
函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，
1 就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决 有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． 2 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函 数的观点去处理数列问题十分重要． 解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能 解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论． 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常
1 1 1 ＝ ＋ ＋„ ＋ n＋1n＋2 n＋2n＋3 2n2n＋1 1 1 1 1 1 1 ＝ － ＋ － ＋„＋ － 2n 2n＋1 n＋ 1 n ＋ 2 n＋ 2 n＋ 3 1 1 n ＝ － ＝ n＋1 2n＋1 2n2＋3n＋1 1 ＝ ， 1 2n ＋ n ＋ 3 1 令f(x)＝2x＋x(x≥1)， (构造函数)
解得x>2或x<－1. ∴x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
运用函数与方程思想解决几何问题
[典例] x2 y2 已知椭圆 C： 2＋ 2＝ a b
1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，设左顶 点为 A，上顶点为 B，且 OF · FB ＝ AB · BF ，如图所示． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过 F 的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，试确定 FM · FN 的取值范围．
函数与方程思想的含义
函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究 数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数 的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解 决的数学思想． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关 系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方 程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获 得解决的数学思想.

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突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
(方法二)因为f(x)=1-2sin2x+2sin x,
设t=sin x,又x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],即t∈(0,1].
则y=1-2t2+2t=-2t2+2t+1(t∈(0,1]).
如图,作出函数y=-2t2+2t+1的图象.
导函数,则关于x的不等式exf(x)>ex-1的解集是( C )
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
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分析推理(1)首先根据对数函数的单调性确定集合A,然后以m为
变量构造与不等式对应的函数,根据函数的图象和性质确定参数所
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高考命题聚焦
素养思想诠释
1.函数与方程思想的含义
(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关
系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数
的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想
方法.
(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或
数列之间的关系,通过构造相应的函数,转化为函数问题求解.
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突破点三
突破点四
即时巩固3已知数列{an},其前n项和为Sn.当n≥2时,都有2an=an-1
+an+1,且S5=0,S6=3.

图 7－1－1 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程．
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【思路点拨】 (1)由条件确定关于 a，c 的代数方程，求 得 a，b，c.(2)将△ABP 的面积表示为关于直线 l“截距”的函 数，运用导数求最值，进而求出直线 l 的方程．
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【解析】 (1)令 f(x)＝0，则 x＝cos x，在同一坐标系中 作出 y＝ x和 y＝cos x 的[0，＋∞)上的图象(如图)，由图知 f(x) 在[0，＋∞)有且仅有一个零点．选 B.
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f－4＝f0， (2)f－2＝－2
⇒146－－24bb＋＋c＝c＝－c，2
⇒bc＝＝24.，
第一讲 函数与方程思想、数形结合思想
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思想解读 一、函数与方程思想 函数与方程思想是中学数学的基本思想，依据题意，构
建函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点 和热点．
方程思想与函数思想密切相关：方程 f(x)＝0 的解就是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 y＝f(x)也可以 看作二元方程 f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域；函数与方程的这种相 互转化关系十分重要．
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当 t>1 时，g′(t)<0，g(t)单调递减． 故当 t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1. 因此，当且仅当 a＝1 时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．
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(2)证明 由题意知，k＝fxx22－－fx1x1＝exx22－－exx1 1－a. 令 φ(x)＝f′(x)－k＝ex－exx22－－exx1 1，则 φ(x1)＝－x2e－x1x1[ex2－x1－(x2－x1)－1]， φ(x2)＝x2e－x2x1[ex1－x2－(x1－x2)－1]． 令 F(t)＝et－t－1，则 F′(t)＝et－1. 当 t<0 时，F′(t)<0，F(t)单调递减； 当 t>0 时，F′(t)>0，F(t)单调递增． 故当 t≠0 时，F(t)>F(0)＝0，即 et－t－1>0.

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典例 3 关于 x 的不等式 ex－x22－1－a－94x≥0 在12，＋∞上恰成立，则 a 的取值集合为__{_2__e_}__. 思维升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问 题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方 程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题.
即a13＝aa，所以a＝13 .经检验知a＝13 符合要求.
解析 6 答案
方法二
平面向量问题的函数(方程)法
7
模型解法 平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转 化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方 程思想来处理有关参数值问题.破解此类题的关键点： ①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、 数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程). ②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性 质求解问题. ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论.
4
典例1 函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点( a，a)，则a的值为
A.2
B.3
C.2或
1 2
√D. 12
解析 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， 且y＝logax的图象过点( a，a)， 所以a＝loga a，所以aa＝ a ， 所以a＝12，检验易知当a＝12 时，函数有意义.故选D.
方程思想的实质就是将所求的 量设成未知数，根据题中的等 量关系，列方程(组)，通过解方 程(组)或对方程(组)进行研究， 以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的.函

＝－sin
x－122＋a＋14.
因为－1≤sin x≤1，所以当 sin x＝12时， 函数有最大值 f(x)max＝a＋14， 当 sin x＝－1 时，函数有最小值 f(x)min＝a－2. 因为 1≤f(x)≤147对一切 x∈R 恒成立， 所以 f(x)max≤147且 f(x)min≥1， 即a＋14≤147，解得 3≤a≤4，
1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的 数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函 数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问 题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立 方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运 用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
(2)证明 因为 an＝3n，所以 bn＝n32n. 所以 bn＋1－bn＝（n3＋n＋11）2－n32n＝－2n23＋n＋21n＋1(n∈N*)， 若－2n2＋2n＋1＜0，则 n＞1＋2 3， 即当 n≥2 时，有 bn＋1＜bn， 又因为 b1＝13，b2＝49，故 bn≤49.
探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型： (1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或 不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式 组aann－≥1≤ana＋n1，，aann－≤1≥ana＋n1，求解. (3)数列中前 n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单 调性或求使 an≥0(an≤0)成立时最大的 n 值即可求解.
解 (1)依题意得椭圆的方程为x42＋y2＝1，直线 AB，EF 的方程分 别为 x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2， kx2)，其中 x1＜x2，且 x1，x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4，

第一讲 函数与方程思想——求解数学问题最用运动和变化的观点，分析和研究数学中 的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想． 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立 方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用 方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇，在第(1)问中，是 由一元二次不等式转化为数列， 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立， 在证明中， 利用了函数思想， 要注意定义域范围． (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系， 将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值． 但由于数列的通项是一类特 殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列 中的自变量只能取正整数这一特点．
1 3 (2) ， 2 2
利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函
数值大小关系转化为不等式求解． ∵ f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴ 在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， 1 |a－1| |a－1| ∴ f(2 )＞f( 2)，∴ 2 ＜ 2＝2 ， 2 1 1 1 1 3 ∴ |a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.

( B)
A．[0，＋∞)
B．－14，＋∞
C．14，＋∞
D．12，＋∞
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；
2 思想方法 · 应用
∴g(t)的最小值为2－2ln 2，即f(x)的最小值为2－2ln 2，
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；
(C)
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】 (1)函数 f(x)＝x3＋lg( x2＋1＋x)是奇函数，f(a1－1)＝－10， f(a2 020－1)＝10，
可得：a1－1＝－a2 020＋1， 即 a1＋a2 020＝2， 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则 S2 020＝a1＋2a2 020×2 020＝2 020． 故选 C．
范围问题，应用函数思想来解决．
应用三 函数与方程思想在解析几何中的应用
典例3
(1)(2019·昆明评估)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆
交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，|DE|＝
2 5，则 C 的焦点到准线的距离为
( B)
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)如图，已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为 A，O 为 坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，
• 故选C．
• 函数与方程思想在不等式中的应用
• 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的 图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大 小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．