人教版高中数学必修一函数与方程、不等式之间的关系(2)-课件

则函数y = f x − 2x的零点是(
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横

即(0 )f(0 ) <0 ,零点位于区间[a0 , b0 ] 中.
(2)取区间[0 ，0 ]的中点,则此中点对应的坐标为
0 = 0 +
1
2
0 − 0 =
1
(0
2
+ 0 ) 计算f(0 )和f(0 )，并判断：
①如果f(0 )＝0，则0 就是f(x)的零点，计算终止；
[1.3125, 1.375]
1.34175
f(1.34375)>0
[1.3125, 1.34375]
∵1.3125 ≈ 1.3, 1.34375 ≈ 1.3, 即两端精确到0.1时的近似
值相等了,
∴ 结束，且知: 近似解为1.3.
3. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)在D内取一个闭区间 [a0 , b0 ] D, 使 f (a 0 )与 f (b0 ) 异号，
1
故判别式 1 4a 0, a ,
4
1
综上，当a 0或 a 时，函数f(x)仅有一个零点.
4
例4. 若二次函数f(x)＝x2 − 2x＋m在区间(0,4)上存在零
点，求实数m的取值范围.
解析： m＝ − x2＋2x在(0,4)上有解，
又− x2＋2x＝ −(x − 1)2＋1，
B. [2, 3]和[3, 4]
C. [2, 3],[3,4]和[4, 5]
D. 以上均有可能
答案： D
5
-52.488
6
-232.064
（一）二分法
1. 二分法的概念
对于在区间 [a, b] 上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区

根x1=x2
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2

2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥

有零点的区间，函数在端点
处的函数值异号，那么这两
者之间有什么必然关系吗？
思考2：已知、都是函数 = ()图象上的点，而且函数图
象是连接, 两点的连续Biblioteka 断的线，作出3种 = ()的可能的
图象并判断函数是否一定存在零点.
y
y
函数()在区间(, )
中一定存在零点，但
不能确定零点个数
>0
2
2
2
8
−2 − 3ൗ2
7
7
9
=−
2
4 (− 4) = 64 > 0
−2 − 7ൗ4
15 取− 15为零点近似值
=−
8
2
8
1
1
2
1
4
1
8
二分法的定义：
前提条件
对于在区间[,]上_________且()
∙ () < 0的函数 =
连续不断
(),通过不断地把函数()的零点所在的区间_________，使区
即(2 − )( + 2) < 0，解得 < −2或 > 2.
1

二分法
定义
求函数零点近
三种思想
逼近思想 函数思想
似值的步骤
口
诀
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办? 精确度上来判断.
1
.
8
(−) >
(−) <
−2
E
D
−1
取中点
() >
0
参考维修工人的维修
方法来解决这个问题
追问1：如果在区间(−2,0)中任取一个数作为0

• 要点归纳：
在函数图像连续的前提下， f (a) f (b) 0 ，能判断出在区间（a,b) 内有零点，但不一定只
有一个；而 f (a) f (b) 0 ，却不能判断在区间（a,b) 内无零点。
• 变式训练：
函数 y x2 8x 16 在区间3,5上（ ）
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
• （1）函数图像在零点附近连续不断；
• （2）在该零点左右的函数值异号。
•
变式训练
用二分法求方程
2
x
3x
7
0
在区间（1,3）内的根，取区间的中点为
x0
2
，那么下一个
有根的区间是
.
题型三：用二分法求函数零点
例 3.用二分法求函数 f (x) x3 x 2 的一个正实数零点（精确度小于 0.1）.
D.有一无数个零点
题型二：二分法的概念 例 2.（1）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A. f (x) 3x 1 B. f (x) x3 C. f (x) x D. f (x) x2 2x
（ 2 ） 用 二 分 法 求 函 数 f (x) 4x2 8x 1 的 零 点 时 ， 第 一 次 计 算 得
解： 因为 f (1) 2 0, f (2) 4 0
我们可以将区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，具体如表所示.
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
a0 1, b0 2
f (1) 2, f (2) 4
x0
1 2 2
1.5
1.5 2 x1 2 1.75
x2
1.5
• 要点归纳
• 用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较繁琐，一般借助 表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过 程；有时也利用数轴来表示这一过程。

则方程的根所在区间为
√A.(1.5,2)
B.(1,1.5)
C.(2,3)
D.不能确定
解析 由题意知f(1.5)·f(2)<0， 所以方程的根在区间(1.5,2)内.
123
3.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据 如下：
f(1)＝－2 f(1.375)＝－0.260
A [设函数 f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则由 题意可画出函数 f(x)的草图如图所示，由图可得
f0＝－m－2＞0，
f1＝－2m－8＜0， f2＝－3m＞0，
解得－4＜m＜－2.
故实数 m 的取值范围为(－4，－2)．]
C [对于 A 选项，可能存在，如 y＝x2；对于 B 选项，必存在但 不一定唯一，选项 D 一定存在．]
类型 2 对二分法概念的理解 【例 2】 下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数 零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在 选项 B 中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由 于 A、C、D 中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
[跟进训练] 1．若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线， 则下列说法正确的是( ) A．若 f(a)f(b)＞0，则不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 B．若 f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 C．若 f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 D．若 f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0
第三章 函数

[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.

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(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的 零点 ；
(3)画出二次函数的 图像 ；
(4)结合图像写出一元二次不等式的 解集 ．
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1．函数 y＝1＋1的零点是 课件
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( 课件
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1．方程 f(x)＝g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图像交点的横坐标，也
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是函数 y＝f(x)－g(x)的图像与 x 轴交点的横坐标． 课件
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2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的零点．
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(2)试比较 f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与 0 的大小关系．
[解] (1)由图像可知，函数 f(x)的两个零点分别是－3,1. (2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.
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二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
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原不等式的解集为－∞，23∪23，＋∞.
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这种解决问题的方法，就是二分法.
试求函数f(x) = x 2 − 2x + 2在区间(−2,0)内的近似零点x1 ，使
|x1 − x0 | <
1
.
8
(−) >
(−) <
−2
E
D
−1
取中点
() >
0
参考维修工人的维修
方法来解决这个问题
追问1：如果在区间(−2,0)中任取一个数作为0
{−5, −3, −1,2,4,6}
() > 0的解集为
(−5, −3) ∪ (2,4) ∪ (4,6)
() ≤ 0的解集为
[−6, −5] ∪ [−3,2] ∪ {4,6}
因此，解不等式() > 0,
可以先解对应方程 () = 0 ，
再根据函数性质得到解集.
例2 （课本例5）求函数() = ( + 2)( + 1)( − 1)的零点，并
的近似值，那么误差小于多少? 误差小于2
追问2：如果取区间(−2,0)的中点作为0 的近似
值，那么误差小于多少? 误差小于1
怎样才能不断缩小误差？
误差小于区间长度
通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间
【解析】列表如下：
零点所在区间
(−2,0)
(−2, −1)
3
(−2, − )
2
7
(−2, − )
x1
0
y
y
x2
x
(x1,0),(x2,0)
0
x1
(x1,0)
x
0
没有交点
x
例3 利用函数求下列不等式的解集：
（1） 2 − − 6 < 0;

第三页，共十九页。
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
第四页，共十九页。
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
第十页，共十九页。
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
第十五页，共十九页。
1．若 a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.( )
第二页，共十九页。
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc， 同理1b－1≥2 bac，1c－1≥2 cab. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．

③当a<0时，原不等式可化为(x－2)x－2a<0.
∵2a<2，∴2a<x<2.
综上，当a＝0时，原不等式解集为{x|x<2}；
当0<a<1时，原不等式解集为x|
x<2或x>2a；
当a≥1时，原不等式解集为x|
x<2a或x>2；
当a<0时，原不等式解集为x|
2 a<x<2.
(2)Δ＝m2＋12m＝m(m＋12)．
②若a≠±1，则当
Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）<0，
a2－1<0
时，不等式的解集为
R，解得－35<a<1.
综上，实数a的取值范围是a|
－35<a≤1.
题型三 实际应用题 例3 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为 1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次， 适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提 高的比例为0.75x，同时预计年销量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－ 投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x之间的关系 式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则每辆车投入成本增加的比例x应 在什么范围内？
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)
题型一 解含参数的一元二次不等式
例1 (1)解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. (2)解关于x的不等式3x2－mx－m>0. 【解析】 (1)原不等式可化为(x－2)(ax－2)>0， ①当a＝0时，原不等式可化为x－2<0，∴x<2. ②当a>0时，原不等式可化为(x－2)x－2a>0. 若0<a<1，则2<2a，∴x<2或x>2a. 若a≥1，则2≥2a，∴x<2a或x>2.

2
f
a＋b 2
f(b)<0，将a＋b的值赋给
2
a，回到第一步.
新知探索 知识点二：二分法
注意：(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过 x 轴，这样的零点为
变号零点)的近似值.
(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极
端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现.
－2，－1 2
，－12，1
，1，52
，
5，4 2
.故选
ACD.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ堂练习
【训练 4】(多选)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的 零点所在区间为( ) A.(－∞，a) B.(a，b) C.(b，c) D.(c，＋∞)
【 解 析 】 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)·(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)， f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选 BC.
课堂总结
第一步 检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取
x1＝a＋2 b，计算结束；如果不成立，
转到第二步.
第二步
计算区间(a，b)的中点a＋b对应的函数值，若
2
f
a＋b 2
＝0，取
x1＝a＋2 b，计算结束；
若
f
a＋b 2
≠0，转到第三步.
第三步
若