高一数学必修一函数与方程3.1.1

3.1.1函数的概念（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教材地位本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.二、学情分析1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.三、教学目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识.（难点）3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.四、教学重点用集合语言和对应关系刻画函数的概念.五、教学难点对函数概念的理解.六、教学过程1.函数概念的形成1.1创设情境，引发思考思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ； (3)若正方形的边长为x ，则其周长l= ；【预设答案】（1）4（2）8（3）4x【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.思考2：初中学习的函数的概念是什么？【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.思考3：请同学们考虑以下两个问题【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.1.2探究典例，形成概念问题1： 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？44y x l x ==（1）与周长是同一函数吗？22x y x y x==（）与是同一函数吗？【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t ，其中 }1750|{},5.00|{11≤≤=∈≤≤=∈s s B s t t A t .问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w .思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？【预设答案】是，t 的变化范围是}240|{A 3≤≤=t t ，I 的范围是}1500|{I B 3<<=I .问题4： 国际上常用恩格尔系数）总支出金额食物支出金额=r r ( 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 来表示；（2）都有一个对应关系不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.函数概念：一般地，设A , B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A |∈叫做函数的值域.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：正比例函数：y kx =的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.一次函数：(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x =≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x 和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉2.例题讲解，理解概念例1.判断下列对应是否是函数【预设答案】（1）是（2）是（3）不是【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（）【预设答案】D【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗？【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0<x<10},y的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.3.课堂练习，巩固新知练习1.若函数y=f(x)的定义域为{x|−3≤x≤8,x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}，则y=f(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B练习2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))=；f(g(2))=．【答案】4 3练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A 到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=√x来描述.【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=√x，其中x的取值范围是A={x|0<x},y的取值范围是B={y|0<y}4.课堂小结，思想升华本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。

3．1.1 函数的概念考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域，并会用区间表示数学运算同一个函数掌握同一个函数，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域，并会用区间表示值域数学运算问题导学预习教材P60－P66，并思考以下问题：1．函数的定义是什么？2．函数的自变量、定义域是如何定义的？3．函数的值域是如何定义的？4．区间的概念是什么？如何用区间表示数集？1．函数的有关概念■名师点拨对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间的概念及表示(1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a≤x<b} 半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b} 半开半闭区间(a，b](2)无穷概念及无穷区间表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) ■名师点拨关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )(4)区间可以表示任何集合．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C.因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.函数f(x)＝14－x的定义域是( )A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选A.由4－x>0，解得x<4，所以此函数的定义域为(－∞，4)．已知全集U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁U A用区间表示为________．解析：∁U A＝{x|x≤1或x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)下图中能表示函数关系的是________．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 答案：①②④函数的概念(1)如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )(2)下列三个说法：①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素； ②若f (x )＝5(x ∈R )，则f (π)＝5一定成立； ③函数就是两个集合之间的对应关系． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(3)已知集合A ＝[0，8]，集合B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A 到B 的函数关系的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x【解析】 (1)观察图象可知，A ，B ，C 中任取一个x 的值，y 有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函数图象．(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素； ②正确．因为f (x )＝5，这个数值不随x 的变化而变化，所以f (π)＝5； ③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．(3)对于A 中的任意一个元素，在对应关系f ：x →y ＝18x ；f ：x →y ＝14x ；f ：x →y ＝12x 下，在B 中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A 中的元素8，在对应关系f ：x →y＝x 下，在B 中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】 (1)D (2)B (3)D(1)判断所给对应关系是否为函数的方法 ①先观察两个数集A ，B 是否非空；②验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性． (2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C.由函数的定义知选C.2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．解析：②显然正确，由于①中的集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而①③不正确．答案：②求函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝3－x |x |－5.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，|x |－5≠0，解得x ≤3，且x ≠－5，即函数的定义域为{x |x ≤3，且x ≠－5}．(1)求函数定义域的常用方法①若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； ②若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；③若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； ④若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； ⑤若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．(2)第(1)题易出现化简y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域为{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (2)y ＝（x ＋1）|x |－x ；(3)f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. 解：(1)要使此函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4，所以此函数的定义域是{x |1≤x ≤4}． (2)因为00无意义，所以x ＋1≠0， 即x ≠－1.①作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负， 所以|x |－x >0，即x <0.②由①②可得函数y ＝（x ＋1）|x |－x 的定义域是{x |x <0且x ≠－1}．(3)要使此函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，x ≠－2⇒x ≥－3且x ≠－2.所以f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}．同一个函数(1)给出下列三个说法：①f (x )＝x 0与g (x )＝1是同一个函数；②y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 可能是同一个函数；③y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (t )，t ∈R 是同一个函数．其中正确说法的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3.其中表示同一个函数的是________(填上所有同一个函数的序号)．【解析】 (1)①错误．函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，函数g (x )＝1的定义域是R ，不是同一个函数；②正确．y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有2个．(2)①定义域不同，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为R .不相等． ②对应关系不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .不是同一个函数．③定义域、对应关系都相同．同一个函数．④对应关系不同，f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝x ＋3.不是同一个函数． 【答案】 (1)B (2)③判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝1与g (x )＝(x ＋1)0C ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x 2－1x －1解析：选A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；C 项中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；D 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B ，C ，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是相等函数．故选A.求函数值和值域已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f (g (x ))．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f (g (x ))＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．(变设问)在本例条件下，求g (f (1))的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g (f (1))＝g (1)＝1＋4＝5.f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，且x ≠12. 2．(变条件)若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域．解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}，所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7.所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义；②然后将变量取值代入解析式计算，对于f (g (x ))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．1．已知函数f (x )＝x －1，且f (a )＝3，则a ＝________． 解析：因为f (x )＝x －1， 所以f (a )＝a －1. 又因为f (a )＝3， 所以a －1＝3，a ＝16. 答案：162．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示．所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求．y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1(x ≠－1)， 显然4x ＋1可取0以外的一切实数， 即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)，y ＝u 2＋u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋122－14(u ≥0)．由u ≥0，可知⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．1．若f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2D ．10解析：选A.因为f (x )＝x ＋1，所以f (3)＝3＋1＝2. 2．对于函数f ：A →B ，若a ∈A ，则下列说法错误的是( ) A ．f (a )∈BB ．f (a )有且只有一个C ．若f (a )＝f (b )，则a ＝bD ．若a ＝b ，则f (a )＝f (b )解析：选C.根据函数的定义可知，A ，B ，D 正确；C 错误． 3．若[0，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a －1>0，解得a >13，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞4．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________．答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，4] (3)(－1，2)∪(2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4.(1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．解：(1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，所以x ≥－4且x ≠1， 即函数f (x )的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.[A 基础达标]1．下列对应关系是从集合M 到集合N 的函数的是( ) A ．M ＝R ，N ＝{x ∈R |x >0}，f ：x →|x | B ．M ＝N ，N ＝N *，f ：x →|x －1| C ．M ＝{x ∈R |x >0}，N ＝R ，f ：x →x 2D ．M ＝R ，N ＝{x ∈R |x ≥0}，f ：x →x解析：选C.对于A ，集合M 中x ＝0时，|x |＝0，但集合N 中没有0；对于B ，集合M 中x ＝1时，|x －1|＝0，但集合N 中没有0；对于D ，集合M 中x 为负数时，集合N 中没有元素与之对应；分析知C 中对应是集合M 到集合N 的函数．2．下列四个图中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x 的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A ，B ，D 满足函数的定义，而选项C 不满足，故选C.3．区间(－3，2]用集合可表示为( ) A ．{－2，－1，0，1，2} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |－3<x ≤2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：选C.由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x |－3<x ≤2}，故选C.4．已知函数f (x )＝x 21＋|x －1|，则f (－2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.由题意知f (－2)＝（－2）21＋|－2－1|＝44＝1.故选C.5．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为( )A ．{－2，0，4}B ．{－2，0，2，4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3} 解析：选A.依题意，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝3时，y ＝0，所以函数y ＝x 2－3x 的值域为{－2，0，4}．6．将函数y ＝31－1－x 的定义域用区间表示为________． 解析：由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得x ≤1且x ≠0， 用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．答案：(－∞，0)∪(0，1]7．若f (x )＝5x x 2＋1，且f (a )＝2，且a ＝________． 解析：令5a a 2＋1＝2，即2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12或a ＝2，故a 的值为12或2. 答案：12或2 8．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ，故函数值域为{1，2，3，4}．答案：{1，2，3，4}9．已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )． (1)求f (2)，g (3)的值；(2)求f (g (3))的值及f (g (x ))．解：(1)因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (2)＝1－21＋2＝－13. 因为g (x )＝x 2－1，所以g (3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f (g (3))＝f (8)＝1－81＋8＝－79， f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1）＝2－x 2x2(x ≠0)． 10．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值． 解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解．当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ， 因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.[B 能力提升]11．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( )A ．p ＋qB ．3p ＋2qC ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2 解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )，所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .12．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1. 故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]．答案：[－1，1]13．求下列函数的值域．(1)y ＝x －1(x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1，2，3，4，5}；(3)y ＝x ＋2x －1；(4)y ＝x 2－2x －3(x ∈[－1，2])．解：(1)因为x ≥4，所以x ≥2，所以x －1≥1，所以y ∈[1，＋∞)．(2)y ＝{3，5，7，9，11}．(3)设u ＝2x －1，则u ≥0，且x ＝1＋u 22， 于是，y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12， 所以y ＝x ＋2x －1的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (4)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，因为x ∈[－1，2]，作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．14．已知函数f (x )＝x 2－mx ＋n ，且f (1)＝－1，f (n )＝m ，求f (－1)，f (f (－1))的值及f (f (x ))的表达式．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝－1，n 2－mn ＋n ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1，所以f (x )＝x 2－x －1，故f (－1)＝1，f (f (－1))＝－1，f (f (x ))＝f (x 2－x －1)＝(x 2－x －1)2－(x 2－x －1)－1＝x 4－2x 3－2x 2＋3x ＋1.[C 拓展探究]15．(2019·石家庄检测)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的发现． (3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值．解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下： f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值．(3)由(2)知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1， 因为f (1)＋f (1)＝1，f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1， … f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝1， 所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝2 018.。

第三章 函数的应用一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业 1课时小结 1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

第三章 函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.1.函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的交点和相应的ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的关系函数图象判别式 Δ>0 Δ＝0Δ<0 与x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个方程的根 ____个 ____个 无解2.对于函数y ＝f(x),我们把________________叫做函数y ＝f(x)的零点.3.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y ＝f(x)的图象______________⇔函数y ＝f(x)__________.4.函数零点的存在性定理如果函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线,并且有____________,那么,函数y ＝f(x)在区间(a,b)内________,即存在c ∈(a,b),使得__________,这个c 也就是方程f(x)＝0的根.一、选择题1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A .0个B .1个C .2个D .无法确定2.若函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )A .若f(a)f(b)>0,不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0B .若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0C .若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0D .若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝03.若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A .0,－12B .0,12C .0,2D .2,－124.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A .(－2,－1)B .(－1,0)C .(0,1)D .(1,2)5.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( ) A .0 B .1C .2D .36.已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示,则实数b 的取值范围是( )A .(－∞,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,＋∞)二、填空题7.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,－2是它的一个零点,且在(0,＋∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.8.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________.9.根据表格中的数据,可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ,k ＋1)(k ∈N ),则k 的值为________.三、解答题10.证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解.11.关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.能力提升12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0),f (－2)＝－2,则方程f (x )＝x 的 解的个数是( )A.1B.2C.3D.413.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k 的取值范围.第三章 函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1.2 1 0 2 12.使f(x)＝0的实数x3.有实数根 与x 轴有交点 有零点4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0作业设计1.C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中,∵ac<0,∴a ≠0,∴Δ＝b 2－4ac>0,即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根,则对应函数的零点个数为2个.]2.C [对于选项A ,可能存在根；对于选项B ,必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立.]3.A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0,∴b ≠0,a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0,得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4.C [∵f(x)＝e x ＋x －2,f(0)＝e 0－2＝－1<0,f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.]5.C [x ≤0时,令x 2＋2x －3＝0,解得x ＝－3.x>0时,f(x)＝ln x －2在(0,＋∞)上递增,f(1)＝－2<0,f(e 3)＝1>0,∵f(1)f(e 3)<0∴f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.总之,f(x)在R 上有2个零点.]6.A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ,则由f (0)＝0可得d ＝0,f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ,又由x ∈(0,1)时f (x )>0,可得a >0,∴b <0.]7.3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)＝0,又∵f (x )在(0,＋∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f (x )在(－∞,0)上也单调递增,由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0,＋∞)上只有一个零点,综上f (x )在R 上共有3个零点,其和为－2＋0＋2＝0.8.2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点.9.1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2),由题意知f (－1)<0,f (0)<0,f (1)<0,f (2)>0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k ＝1.10.证明 设f (x )＝x 4－4x －2,其图象是连续曲线.因为f (－1)＝3>0,f (0)＝－2<0,f (2)＝6>0.所以在(－1,0),(0,2)内都有实数解.从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.11.解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧ m <0f (4)>0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0,解得－1913<m <0. 12.C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时,方程为x 2＋4x ＋2＝x ,即x 2＋3x ＋2＝0,∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时,方程为x ＝2,∴方程f (x )＝x 有3个解.]13.解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。