人教高中数学必修一B版《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT优质教学课件

∴方程 f(x)＝x 的解有 3 个．故选 C.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
解析
题型三 利用函数的零点求不等式的解集 例 3 利用函数求下列不等式的解集： (1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0.
[解] (1)设 f(x)＝－2x2＋x－6，令 f(x)＝0，得 2x2－x＋6＝0，即 2x－142 ＋487＝0，该方程无解．因此函数 f(x)无零点，从而 f(x)的图像与 x 轴没有交 点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为 R.
解 (1)因为 Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0 有两个不等实根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13，又二次函数 y＝－x2＋8x－3 的图 象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－ 13<x<4＋ 13}．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
(2)因为 Δ＝9－4＝5>0，所以方程 x2－3x＋1＝0 有两个不等实数根 x1＝
3－ 2
5，x2＝3＋2
5，所以原不等式的解集为x3－2
5≤x≤3＋2
5

.

(3)设 f(x)＝－4x2＋4x－1，令 f(x)＝0，得 4x2－4x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，
从而 x＝12.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
解得 x1＝－ 2，x2＝ 2，x3＝1，x4＝2，所以所求函数的零点为－ 2， 2， 1,2.
③因为 x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6) ＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1) ＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，所以由 x3－7x＋6＝0，得 x1＝ －3，x2＝1，x3＝2，所以所求函数的零点为－3,1,2. ④由于 f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， 所以方程 x4－1＝0 的实数根是 x1＝－1，x2＝1. 故函数的零点是－1,1.

• 要点归纳：
在函数图像连续的前提下， f (a) f (b) 0 ，能判断出在区间（a,b) 内有零点，但不一定只
有一个；而 f (a) f (b) 0 ，却不能判断在区间（a,b) 内无零点。
• 变式训练：
函数 y x2 8x 16 在区间3,5上（ ）
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
• （1）函数图像在零点附近连续不断；
• （2）在该零点左右的函数值异号。
•
变式训练
用二分法求方程
2
x
3x
7
0
在区间（1,3）内的根，取区间的中点为
x0
2
，那么下一个
有根的区间是
.
题型三：用二分法求函数零点
例 3.用二分法求函数 f (x) x3 x 2 的一个正实数零点（精确度小于 0.1）.
D.有一无数个零点
题型二：二分法的概念 例 2.（1）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A. f (x) 3x 1 B. f (x) x3 C. f (x) x D. f (x) x2 2x
（ 2 ） 用 二 分 法 求 函 数 f (x) 4x2 8x 1 的 零 点 时 ， 第 一 次 计 算 得
解： 因为 f (1) 2 0, f (2) 4 0
我们可以将区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，具体如表所示.
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
a0 1, b0 2
f (1) 2, f (2) 4
x0
1 2 2
1.5
1.5 2 x1 2 1.75
x2
1.5
• 要点归纳
• 用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较繁琐，一般借助 表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过 程；有时也利用数轴来表示这一过程。

的零点,并作出函数图像的
和
的解集.
.函数的定义域被这三个点分成了四部分, 每一部分函
-
+
-
+
由此可以作出函数图像的示意图, 如图所示.由图可知 的解集为
的解集为
课堂练习
【训练 1】函数 y＝x2－4 的图像与 x 轴的交点坐标及函数的零点分别是 () A.(0，±2)；±2 B.(±2，0)；±2 C.(0，－2)；－2 D.(－2，0)；2
令 3－2x＝2，解得 x＝12；当 x>1 时，
令 x2＝2，解得 x＝ 2或 x＝－ 2(舍去)，
所以函数 g(x)的零点为1， 2.故选 AB. 2
课堂总结
一般地,如果函数
在实数 处的函数值等于零,
即
,则称 为函数
的零点.上述集合 就
是函数所有零点组成的集合.
一般地, 由一元二次方程解集的情况可知, 对于二次函 数
,不等式
的解集为
在图中作出函数
的图像,总结上述
方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.
新知探索 知识点一：函数的零点
由尝试与发现中的例子可以看出, 根据函数值的符号能 够把函数的定义域分为几个不相交的集合.具体来说, 假
设函数 的定义域为 , 若
，
，
，
显然,
两两的交集都为空集,且
.
新知探索 知识点一：函数的零点
教材例题 【典例 1】如图所示是函数
的图像,分别写出
,
的解集.
【解析】由图可知, 的解集为： 的解集为：
的解集
教材例题 【典例 2】利用函数求下列不等式的解集:
(1)
;(2)

一交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
所以相应的方程(x-2)(x-5)-1=0有两个相
异的实数解,且一个大于5,一个小于2
12
考点一 函数零点的判断与求解
1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;
(1)解法一: ∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.
个函数在(a,b)内必有唯一的一个零
点。
新知应用
用一用
例 1: 已知函数 f (x) 3x x2 ，问：方程 f (x) 0在区间
[-1，0]内有没有实数解？为什么?
分析：判定方程有没有实数解即可以等价 转化为相应函数有没有零点 解：因为
又 的图象是连续的,所以 在区间[-1,0] 内有零点,即 在区间 [-1,0] 内有实数解。
y
y
x
x
0
0
y
y
x
x
0
0
例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精度为0.01 解析:考察函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号 的
区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经
试算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x3=0在[0,1]内有解.
如此下去,得到方程2x3+3x-3有解区间的表如下:
端点函数值异号的 单调函数
标
b
0a
x
③ 零点存在性定理
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上(b)<0,则函数在（a,b）内有零 学 点。

归纳提升：已知函数有零点(方程有根)求参数的方法 1．直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过 解不等式(组)确定参数的取值范围． 2．数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x) ＝g(x)(h(x)，g(x)的图像易画出)，在同一平面直角坐标系中 画出函数h(x)，g(x)的图像，然后利用数形结合思想求解。
依照零点的定义可知，求函数y=f(x)的零点，实质上就是要解 方程f(x)=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函 数图象与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似 f(x)>0等不等式的解集。
思考：(1)函数的零点是点吗？ (2)所有的函数都有零点吗？
提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数 f(x)＝x＋1 的 零点是－1，而不是(－1,0)。
解析：(1)由 f(x)＝0，即 x2－7x＋12＝0 得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程 x2－7x＋12＝0 有两个不相等的实数根 3,4， ∴函数 f(x)有两个零点，分别是 3,4.
(2)解法一：由 f(x)＝0，得 x2－1x＝0， ∴x3－x 1＝0，∴x3－1＝0 且 x≠0， ∴x＝1.故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点。 解法二：由 x2－1x＝0，得 x2＝1x. 令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图像，由图可知两函数图像只有 一个交点，故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点。
即解集为x|x＝－13.
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝_2___，b＝－8
______.
[解析] 由题意可知，2 和－4 是方程 x2＋ax＋b＝0 的两根，

■名师点拨 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法， 找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间 内的某个数值近似地表示真正的零点.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜ 0.( ) (2)所有函数的零点都可以用二分法来求.( ) (3)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
已知函数 f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件 的 a 的取值范围. (1)函数 f(x)没有零点； (2)函数 f(x)有两个零点； (3)函数 f(x)有三个零点； (4)函数 f(x)有四个零点.
解：函数 g(x)＝|x2－2x|的图像如图所示. (1)函数 f(x)没有零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2 －2x|的图像没有交点，观察图像可知，此时 a＜0. (2)函数 f(x)有两个零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2－2x|的图像有 两个交点，观察图像可知此时 a＝0 或 a＞1.
第二步 计算区间[a，b]的中点a＋2 b对应的函数值，若 fa＋2 b＝
0，取 x1＝a＋2 b，计算结束；若 fa＋2 b≠0，转到第三步.
第三步
若
f(a)f
a＋b 2
＜
0
，
将
a＋b 2
的值赋给源自b用a＋2 b→b表示，下同，回到第一步；否则必有 fa＋2 bf(b)＜
0，将a＋2 b的值赋给 a，回到第一步.
《函数与方程、不等式之间 的关系》函数(第2课时零点 的存在性及其近似值的求法)
人教版高中数学B版高中数学必修 一
生动有趣的课程,搭配各个互动环节助理您教学成功

（1） x2 4x 6 0 ；
（2） x2 4x 6 0
要点归纳
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些？
（1）化标准。通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为 正。
（2）判别式。对不等式的左侧进行因式分解，若不等分解，则计算对应方 程的判别式。
（3）求实根。求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根。
得到类似 f (x) 0 等不等式的解集.
题型二：一元二次不等式的解法
例2.利用函数求下列不等式的解集
（1） x2 x 6 0 ；
（2） x2 x 6 0
例3.利用函数求下列不等式的解集
（1） x2 2x 3 0 ；
（2） x2 2x 3 0
例4.利用函数求下列不等式的解集
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 函数的零点 二次函数的零点及其与对应方程、不 等式解集之间的关系
第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
第一课时 函数的零点 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
引入
R 已知函数 f (x) x 1，我们知道，这个函数的定义域为
，而且可以求出，方程
1 f (x) 0 的解集为
，不等式 f (x) 0 的解集为 x x 1 ，不等式 f (x) 0 的解
集为 x x 1。
2、在图中作出函数 f (x) x 1的图像，总结上述方程、不等式的解集与函
数定义域、函数图像之间的关系。
由问题探究中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集
合.具体来说，假设 f (x) 的定义域为 D ，若
A {x D | f (x） 0}，
B {x D | f (x） 0}，