人教高中数学必修一B版 《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT教学课件

解析：f（x）＝x（x－1）（x＋1），令 x（x－1）（x ＋1）＝0，解得 x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为 －1，0，1，共 3 个。
答案：D
4．若函数 f（x）＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3， 则函数 g（x）＝bx2－ax－1 的零点是________。
解析：由2322－－23aa－－bb＝＝00，，
答案：B
2．函数 f（x）＝ 3x－x2的定义域为（ ）
A．[0，3]
B．（0，3）
C．（－∞，0]∪[3，＋∞） D．（－∞，0）∪（3，
＋∞）
解析：要使函数 f（x）＝ 3x－x2有意义，则 3x－ x2≥0，即 x2－3x≤0，解得 0≤x≤3。
答案：A
3．函数 f（x）＝x3－x 的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
求函数 y＝f（x）的零点通常有两种方法：其一是 令 f（x）＝0，根据解方程 f（x）＝0 的根求得函数的零 点；其二是画出函数 y＝f（x）的图像，图像与 x 轴的 交点的横坐标即为函数的零点。
跟踪训练 1 若函数 f（x）＝x2＋x－a 的一个零点是 －3，求实数 a 的值，并求函数 f（x）其余的零点。
函数与方程、不等式之间的关系
最新课程标准： 运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）， 再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本 过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决 问题的方法。
知识点一 函数的零点 1．零点的定义 一般地，如果函数 y＝f（x）在实数 α 处的函数值 等于零，即 f（α）＝0，则称 α 为函数 y＝f（x）的零点。 2．方程的根与函数零点的关系
a＝5， 得b＝－6
∴g（x）＝－6x2－5x－1 的零点是－12，－13。

这种解决问题的方法，就是二分法.
试求函数f(x) = x 2 − 2x + 2在区间(−2,0)内的近似零点x1 ，使
|x1 − x0 | <
1
.
8
(−) >
(−) <
−2
E
D
−1
取中点
() >
0
参考维修工人的维修
方法来解决这个问题
追问1：如果在区间(−2,0)中任取一个数作为0
{−5, −3, −1,2,4,6}
() > 0的解集为
(−5, −3) ∪ (2,4) ∪ (4,6)
() ≤ 0的解集为
[−6, −5] ∪ [−3,2] ∪ {4,6}
因此，解不等式() > 0,
可以先解对应方程 () = 0 ，
再根据函数性质得到解集.
例2 （课本例5）求函数() = ( + 2)( + 1)( − 1)的零点，并
的近似值，那么误差小于多少? 误差小于2
追问2：如果取区间(−2,0)的中点作为0 的近似
值，那么误差小于多少? 误差小于1
怎样才能不断缩小误差？
误差小于区间长度
通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间
【解析】列表如下：
零点所在区间
(−2,0)
(−2, −1)
3
(−2, − )
2
7
(−2, − )
x1
0
y
y
x2
x
(x1,0),(x2,0)
0
x1
(x1,0)
x
0
没有交点
x
例3 利用函数求下列不等式的解集：
（1） 2 − − 6 < 0;

x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
-136
-21
6
19
13
-1
-8
-2
4
29
98
则下列判断正确的是
.(填序号)
①函数f(x)在区间(-1,0)内至少有一个零点;
②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点;
③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点;
④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点.
)
解析:
A
×
解方程x+7=0,得x=-7
B
×
解方程x2-1=0,得x=±1
C
×
解方程x3+8=0,得x=-2
D
√
无法通过方程x3-x+1=0得到零点
答案:D
探究三
用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点的近似值.(精确度小于0.1)
解:由于f(1)=-2<0,f(2)=6>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间.
内有且只有一个零点.( √ )
(3)如果函数零点两侧的函数值同号,那么不适合用二分法求此零点近似
值.( √ )
(4)用二分法最后一定能求出函数的零点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
函数零点存在定理及应用
【例1】 (1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零
[1.375,1.5]
1.5 + 1.375

一交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
所以相应的方程(x-2)(x-5)-1=0有两个相
异的实数解,且一个大于5,一个小于2
12
考点一 函数零点的判断与求解
1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;
(1)解法一: ∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.
个函数在(a,b)内必有唯一的一个零
点。
新知应用
用一用
例 1: 已知函数 f (x) 3x x2 ，问：方程 f (x) 0在区间
[-1，0]内有没有实数解？为什么?
分析：判定方程有没有实数解即可以等价 转化为相应函数有没有零点 解：因为
又 的图象是连续的,所以 在区间[-1,0] 内有零点,即 在区间 [-1,0] 内有实数解。
y
y
x
x
0
0
y
y
x
x
0
0
例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精度为0.01 解析:考察函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号 的
区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经
试算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x3=0在[0,1]内有解.
如此下去,得到方程2x3+3x-3有解区间的表如下:
端点函数值异号的 单调函数
标
b
0a
x
③ 零点存在性定理
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上(b)<0,则函数在（a,b）内有零 学 点。

■名师点拨 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法， 找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间 内的某个数值近似地表示真正的零点.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜ 0.( ) (2)所有函数的零点都可以用二分法来求.( ) (3)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
已知函数 f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件 的 a 的取值范围. (1)函数 f(x)没有零点； (2)函数 f(x)有两个零点； (3)函数 f(x)有三个零点； (4)函数 f(x)有四个零点.
解：函数 g(x)＝|x2－2x|的图像如图所示. (1)函数 f(x)没有零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2 －2x|的图像没有交点，观察图像可知，此时 a＜0. (2)函数 f(x)有两个零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2－2x|的图像有 两个交点，观察图像可知此时 a＝0 或 a＞1.
第二步 计算区间[a，b]的中点a＋2 b对应的函数值，若 fa＋2 b＝
0，取 x1＝a＋2 b，计算结束；若 fa＋2 b≠0，转到第三步.
第三步
若
f(a)f
a＋b 2
＜
0
，
将
a＋b 2
的值赋给源自b用a＋2 b→b表示，下同，回到第一步；否则必有 fa＋2 bf(b)＜
0，将a＋2 b的值赋给 a，回到第一步.
《函数与方程、不等式之间 的关系》函数(第2课时零点 的存在性及其近似值的求法)
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x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;

课堂总结 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区 间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 称为二分法.
课堂总结 二分法求函数近似零点的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上 的图像是连续不断的，且 f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε， 用二分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤 如下：
是否存在以及求零点, 都不是容易的事 (事实上, 数学家们已经证明:
次数大于 4 的多项式方程,不存在通用的求根公式). 因此, 我们有必要探
讨什么情况下一个函数一定存在零点.
新知探索 知识点一：零点存在定理
尝试与发现
如图所示, 已知
都是函数
图像上的点,
而且函数图像是连接
两点的连续不断的线, 作出 3
课堂练习
【训练 3】(多选)在用二分法求函数 f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，
4]，则第三次所取的区间可能是( )
A.
－2，－1 2
B.[－2，1]
C.
5，4 2
D.
－1，1 2
【 解 析 】 ∵第一次所取的区间是[－2，4]，
∴第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，
∴第三次所的区间可能为
新知探索 知识点一：零点存在定理 一次函数、二次函数的零点是否存在, 并不难判别, 这是因为一元一次方 程、一元二次方程实数解的情况, 都可以根据它们的系数判别出来, 而且 有实数根的时候, 都能够写出求根公式.
但是, 对于次数大于或等于 3 的多项式函数 (例如