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北师大版高中数学必修一-4.函数与方程PPT全文课件

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一次函数的图象与直线的方程,直线的倾斜角、斜率及其关系(课件)高二数学(北师大版选择性必修第一册)

一次函数的图象与直线的方程,直线的倾斜角、斜率及其关系(课件)高二数学(北师大版选择性必修第一册)
合时，上述公式还适用吗？为什么？
y
y2
P2 ( x2 , y2 )
y1
P1 ( x1 , y1 )
o
x
y2 y1 y2 y1
k=
=
x2 x1
0
不成立，因
为分母为0。
26
－－由两点确定的直线的斜率
3.直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点
P1 ( x1, y1 ),
P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线斜率公式：
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( √
)
450
4．一条直线的斜率等于 1，则此直线的倾斜角等于________．
【解析】∵ = tan = 1，且0° ≤ < 180° ， ∴ = 45° .
5．如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则( D )
A．k1＜k2＜k3
的坐标是（0，1）；而直线上每一点的坐标都满足函数解析式＝2 +
1，如直线上点的坐标是（1，3），数对（1，3）同时也满足函数解
析式＝2 + 1.
归纳总结
一般地，一次函数＝ + （ ≠ 0）的图象是一
条直线，它是以满足＝ + 的每一对， 的值
为坐标的点构成的.同时函数解析式＝ + 可以
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2
直线的倾斜角、斜率及其关系
一、一次函数的图象与直线的方程
在平面直角坐标系中，一次函数的图象是一条直线.
例如，函数＝2 + 1的图象过点（0，1），图象是直线（如图所示）.
这时，满足函数解析式＝2 + 1的每一对， 的值都是直线上点的坐

北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT

北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
(2)求g(f(2)),求f(g(x));
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,

北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件

北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件
图像自左至右是上升的，说明是增函数，图像位于x轴上方，说明
值域大于0。图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0
＜y＜1；x＞0时，y＞1。图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，
说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实 数。图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上 方，说明值域大于 0 。图像经过点 (0,1) ，且 y 值分布有以下特 点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1。图像不关于x轴对称，
答案：b＜a＜c (a，b 可利用指数函数的性质比较，而 c 是大于 1 的)。
2．比较 a 与 a 的大小(a＞0 且 a≠0)。
1 3
1 2
答案：分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论： 当 0＜a＜1 时， a ＞ a ； 当 a＞1 时， a ＜ a 。
1 3 1 2 1 3 1 2
例题解析
2x 1 x 1
故函数 y＝10
的值域是{y|y≥1，y≠10}。
变式训练
3、求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1
2 x x2
；(2)y＝ 32 x 1 ；(3)y＝ ax 1 (a＞0，a≠1)。
1
2 x x2
1 9
答案：(1)函数 y＝ 2
自左向右，图像逐渐 自左向右，图像逐 上升 在第一象限内的图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1
x＞0， ax＞1 x＜0， ax＜1
x＞0， ax＜1ห้องสมุดไป่ตู้x＜0， ax＞1

北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件

北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
数的零点，方程的根，图象与x轴交点 数零点与方程解的关系.
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )

2020年高中数学第四章函数应用第1节1.2利用二分法求方程的近似解课件北师大版必修1

2020年高中数学第四章函数应用第1节1.2利用二分法求方程的近似解课件北师大版必修1
【答案】 A
1．准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通 过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的 区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
[再练一题] 2．利用计算器，求方程 lg x＝2－x 的近似解．(精确到 0.1)
【解】 作出 y＝lg x，y＝2－x 的图像，可以发现，方程 lg x＝2－x 有唯一解，记为 x0，并且解在区间[1,2]内．
设 f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得 f(1)＜0，f(2)＞2⇒x∈[1,2]； f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x∈[1.5,2]； f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x∈[1.75,2]；
二分法求解步骤： (1)确定区间[a，b]．验证 f(a)·f(b)＜0，初始区间的选择不宜过大，否则易增 加运算的次数； (2)求区间[a，b]的中点 c；
(3)计算 f(c)： ①若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点． ②若 f(a)·f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈[a，c])． ③若 f(c)·f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈[c，b])． (4)判断 a，b 的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复 (2)～(4)步．特别注意要运算彻底．
次数
左端点
左端点 函数值
右端点
右端点 函数值
第1次
1
－2
2
5
第2次
1
－2
1.5
0.375
第3次
1.25 －1.046 9

高中数学必修一课件全册课件(2024)

高中数学必修一课件全册课件(2024)
高中数学必修一课件 全册课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 集合与函数概念 • 基本初等函数（Ⅰ） • 函数的应用 • 空间几何体 • 点、直线、平面之间的位置关系
2
01
集合与函数概念
2024/1/28
3
集合的含义与表示
01 集合的概念
集合是由一个或多个确定的元素所构成的整体。
02 集合的表示方法
01 中心投影与平行投影
02 三视图的形成及其投影规律 02 由三视图还原成实物图
2024/1/28
22
空间几何体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的表面 积与体积
空间几何体的表面积和体 积的计算方法
2024/1/28
球的表面积和体积
23
点、直线、平面之间的位置
05
关系
2024/1/28
24
空间点、直线、平面的位置关系
平面与平面平行的判定
若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则 这两个平面平行。
平行直线的性质
平行于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一平面的 两个平面互相平行。
26
直线、平面垂直的判定及其性质
01
直线与平面垂直的判定
若直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与该平面垂直。
02
平面与平面垂直的判定
2024/1/28
5
集合的基本运算
并集
由所有属于集合A或属于 集合B的元素所组成的集 合。
补集
在全集U中，不属于集合 A的所有元素组成的集合 称为集合A的补集。
2024/1/28
交集
由所有既属于集合A又属 于集合B的元素所组成的 集合。

新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法

新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法

题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4

高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数 对数函数y=log2x的图象和性质课件北师大版必修第一册

高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数 对数函数y=log2x的图象和性质课件北师大版必修第一册

(2)因为函数 y＝log2x 在定义域(0，＋∞)上是增函数，且 0.5＜0.8，
所以 log20.5＜log20.8＜0，所以log120.8＜log120.5．
(3)因为函数 y＝log1x 在定义域(0，＋∞)上是减函数，且 3.2＜3.6，
4
所以 log13.2＞log13.6．
4
4
[归纳提升] 关于对数大小的比较 (1)对于底数相同的数,首先考查所涉及的函数的单调性,再比较真数 的大小,最后利用单调性比较两个数的大小． (2)对于底数不同的数,可以借助换底公式化同底,再比较大小．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数 y＝log2x 的图象都在 y 轴的左侧．
(2)函数 y＝log1x 在定义域(0，＋∞)上是增函数．
2
(×) (×)
(3)函数 y＝log2x 的图象在直线 x＝1 右侧，图象位于 x 轴上方；在直
线 x＝1 左侧，图象位于 x 轴下方．
题型三
函数y＝log2x的性质的应用
例 3 使不等式log2(2x)＞log2(5x－3)成立的实数x的集合为 ___x_35_＜__x_＜__1__．
[解析] 因为函数 y＝log2x 是(0，＋∞)上的增函数， 2x＞0，
所以52xx－＞35＞x－03，，解得35＜x＜1． 所 以 使 不 等 式 log2(2x) ＞ log2(5x － 3) 成 立 的 实 数 x 的 集 合 为 x35＜x＜1．
【对点练习】❷ 已知 a＝log20.2，b＝log10.2，c＝log42，则 a，b，
2
c 由小到大的顺序为___a_＜__c_＜__b___．
[解析] 因为 a＝log20.2＜0，b＝log120.2＝log1251＝log25，c＝log42＝

「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件

「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件

∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？

高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4

高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4

故
故函数的值域为[- ,2].
上的值域.
第十五页，共51页。
【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b的值域(最值)的求解策略 (1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),结合函数y=Asinx+b中sinx的有界 性求其值域. (2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”的 范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像 求解.
3因为x08由2知函数fx在02上是增加的在28上是减少的所以当x2时fx有最大值为当x8时fx有最小值为1故fx的值域为1类型二函数yasinx性质的综合应用典例已知函数fxasinxa00的图像在y轴上的截距为1它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为解题探究1怎样确定周期和a的值
1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(tú xiànɡ)与性
误的是 ( )
A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称12
C.函数f(x)在区间
内是增加的
D.由y=3cos2x得图像向右平移(pínɡ yí) 个单位长度可以得到图像C
第二十七页，共51页。
【解析】选C.A,B经验证可知正确(zhèngquè),C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 5个单位长度可以得到y=3cos
12 因为 正确(zhèngquè).
第二十八页，共51页。
【补偿(bǔcháng)训练】已知函数f(x)=2sin
(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的递增区间.

北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件

北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件

+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是

北师大版高中数学必修第一册 第一章 4-1《一元二次函数》课件PPT

北师大版高中数学必修第一册 第一章 4-1《一元二次函数》课件PPT

函数在 = ℎ处有最大值,记作 =
最值
提示：y=ax2+bx+c=a
2 4−2

4−2
x+ 2 + 4 (a≠0).所以h=-2,k= 4 .
即时巩固
1 +2
时,y等于(
2
设一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标为x1,x2,且x1≠x2,则当x=
3
(2)该函数的对称轴为x=2,所给区间[2,3]在对称轴的同侧,都在右侧,
又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大,
所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数有最大值,最大值为-7.
反思感悟
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结
新知学习
情境导学
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米
的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取
何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,
知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( B )
A.(4,1)
B.(0,1) C.(2,3) D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( C )
A.最大值-5
B.最小值-5C.最大值-4
D.最小值-4

《函数与方程、不等式之间的关系》(第1课时)-高中数学B版必修一PPT课件

《函数与方程、不等式之间的关系》(第1课时)-高中数学B版必修一PPT课件

数学抽象的素养．
点)
2．通过函数与方程、不等式之间
2．会求函数的零点．(重点)
的关系的学习，提升逻辑推理的素
3．掌握函数与方程、不等式之间 养．
的关系，并会用函数零点法求不等 3．利用零点法求不等式的解集，
式的解集．(重点、难点)
培养数学运算的素养.
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自
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(1)函数零点的概念：一般地，如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的函数
值 等于零 ，即 f(α)＝0 ，则称实数 α 为函数 yFra bibliotekf(x)的零点．
(2)三者之间的关系：
函数 f(x)的零点⇔函数 f(x)的图像与 x 轴有交点⇔方程 f(x)＝ 0__有__实__数__根____．
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2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
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1．函数的零点
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高中数学新北师大版必修第一册 第1章 4.1 一元二次函数 课件(48张)

高中数学新北师大版必修第一册 第1章 4.1 一元二次函数 课件(48张)
5.体会抽象概括的过程,加强直观想象素养的培
养.
一、二次函数的配方法
【问题思考】
1.y=4x2-4x-1如何配方?你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗?
提示:y=4(x2-x)-1
=4 - ×
=4


+




- -2.
能求出方程的根,令 4
-1

-2=0
解法1:y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对
∀x∈[1,+∞)恒成立.
设g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),那么问题转化为g(x)>0在
x∈[1,+∞)上恒成立,又g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,从而
g(x)min=3+a.
于是当且仅当g(x)min=3+a>0,即a>-3时,g(x)>0对x∈[1,+∞)
任意三点时,设一般式;抛物线的顶点坐标常设顶点式;抛物线
与x轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式.
【变式训练1】 一元二次函数的图象的对称轴是直线x=-1,
并且经过点(1,13)和(2,28),求一元二次函数的解析式.
解:设一元二次函数的解析式为 y=a(x+1)2+k(a≠0),
+ = ,
数y=f(x)的最值.
解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间[-3,2]上单调递减,在区间[2,4]上
单调递增,所以f(x)的最小值为-8.
又因为x=-3时,y=17,x=4时,y=-4,所以f(x)的最大值为17.
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普通高中课程标准实验教材数学1（必修）北师大版
第四章 函数应用
§1 函数与方程
1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关 系.(重点) 2.掌握零点存在的判定方法．(难点)
1.方程 2x 3 0的根是：
2.函数 y 2x 3的图像
8
6
与 x 轴交点坐标为
4
2
x 3.方程的根与函数图像与 轴 15
如果有请给出一个实数解的存在区间。
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1.一个概念一组关系一个定理： 函数
零点
数值 存在性 个数
方程 根
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零点存在定理:
y
.
0 a.
bx
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续
曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)
至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)
例 2: 判断方程 4x3 + x -15 = 0, 在区间[1,2]内 实数解地存在性，并说明理由。
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例3: 判断方程 2x x 2 0 是否有实数解，
2
在 区 间 (-2,0) 上 有 零 点 _-_1_ ；
-2
-1
1 0
12
345 x
-1
f (2) __5__， f (0) _-_3_；
-2 -3
f (2) · f (0) __<__0（＜或＞）．
-4
在区间(2,4)上有零点__3__；
f (2) · f (4) _<___0 （＜或＞）．
并说明理由。
3.判断方程 x3 x 1 0在区间[1,2]内有没有实数解？
4.判断方程 lg x x 0 是否有实根？并指出所在区间。
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思考题： 方程 ln x 2x 6 0 存在实数解吗？怎样判别？
函数y=f(x)的图像与x轴 有交点
数
形
数
函数y=f(x)有零点
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函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
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A.（1，2） B.（–2，0） C.（0，1） D.（0，0.5 ）
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例 1: 已知函数 f (x) 3x x2 ，问：方程 f (x) 0 在区间 [-1，0]内有没有实数解？为什么?
解:因为 f ( 1) 3 1 ( 1)2
2 0, f (0) 30 02 1 0 ，函数
3
f (x) 3x x2 的图像是连续曲线，
所以 f (x) 在区间[-1,0]内有零点，即 f (x) 0 在区间[-1， 0]内有实数解。
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1.函数y x2 2x 3的零点是
2.由函数图像观察在其零点左右函数值得符号。
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4
2
B = –1
C = 3.00
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f(x) = x2 2∙x 3 2
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y
探究:
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观察函数 f (x) x2 2x 3 的图象：
如果有给出一个实数解的存在区间。(0，2)
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y = 2x
2
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y=2 x
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1.判断函数 f (x) x2 -2x-1 在区间[2,3]内是否有零点。 2.求证：函数 f (x) x3+x2 +1在区间[-2，-1]内存在零点，
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f(x) = 2∙x 3
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A = 1.5
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交点的坐标有什么关系？
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1.定义
函数的零点
函数的零点 ：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的
横坐标称为这个函数的零点.
零点是实数 而不是点
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等价关系
方程f(x)=0有实数根
内至少有一个实数解.
思考：连续函数在区间（a,b）内有零点则
一定有 f(a)·f(b)<0吗?
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（1）判断函数 f (x) x2 2x 1在区间[0,1]内是
否有零点。 答：有零点 （2）函数f(x)=–x3–3x+5的零点所在的大致区间 为（ A ）
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2.两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 3.函数零点存在性判别的三种方法：
（1）解方程 （2）画图像 （3）用定理判定
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本节知识可以概括为：
函数方程本一家， 数学王国它当家； 方程实根存在性， 函数符号来确定。
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