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专题04 相似三角形的判定（基础）【目标导向】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【精讲例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°, 又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.【精练巩固】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC 的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（上海闵行一模）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G 点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【精练答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定3==226第三边，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴AB CDCD DE,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．。
九年级数学上22.2.1相似三角形的判定（最新沪科版）相似三角形的判定一、授目的与考点分析：相似三角形的判定二、授内容：(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．强调：①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．强调：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△AB∽△A′B′′的对应边的比，即相似比为，则△A′B′′∽△AB的相似比，当它们全等时，才有=′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥B，∴△AB∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△AB∽△ADE．例2、如图，E、F分别是△AB的边B上的点，DE∥AB,DF∥A ,求证：△AB∽△DEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第4课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生探究相似三角形的判定方法，让学生通过观察、操作、猜想、推理、交流等活动，体会数学的转化思想，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识有一定的了解。
但是，学生对相似三角形的判定方法可能还比较陌生，需要通过实践活动来理解和掌握。
此外，学生可能对数学的转化思想、逻辑思维能力和空间想象能力等方面的要求还比较高，需要教师的引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、推理、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：使学生体验到数学学习的乐趣，培养学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：对相似三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、猜想、推理、交流，发现相似三角形的判定方法。
2.实践活动法：让学生通过实践活动，理解和掌握相似三角形的判定方法。
3.讲解法：教师对相似三角形的判定方法进行讲解，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.课件：相似三角形的判定方法的动画演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示相似三角形的判定方法，让学生初步感知相似三角形的判定方法。
3.操练（10分钟）教师引导学生用三角板、直尺、圆规等工具进行实践活动，让学生自己发现和总结相似三角形的判定方法。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的性质、三角形的全等、三角形的相似等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握相似三角形的判定方法，并通过实例让学生学会如何应用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定方法。
2.教学难点：如何运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如建筑物的设计、图案的绘制等，引出相似三角形的概念，激发学生的兴趣。
2.新课导入：介绍相似三角形的定义和性质，引导学生思考如何判断两个三角形是否相似。
3.判定方法的学习：通过具体的实例，引导学生探索相似三角形的判定方法，并进行总结。
4.练习与巩固：提供一些练习题，让学生应用所学的判定方法进行解答，巩固知识点。
5.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用相似三角形的判定方法进行解决，提高学生的应用能力。
6.总结与反思：让学生回顾本节课所学的知识，进行总结和反思，提高学生的思维能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
相似三角形的判定【教学目标】1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角：2.掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；3.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学重点】灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学难点】三角形相似的判定定理的探索与证明。
【课时安排】5课时。
【教学过程】【第一课时】三角形相似判定定理的“预备定理”。
一、复习旧知：前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？3.什么样的两个多边形是相似多边形？4.什么是相似比（相似系数）？（二）简答：1.正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。
2.正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。
3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解：概念：如图1,AAB（2与八AB。
相似。
记作“△ABCs/XABt，”,读作“Z\ABC相似于左ABC，”。
注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
, 、ZA=ZA\ZB=ZB；ZC=ZC；△ABCs/XABC，V〉AB BC CA明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……（引导学生明白定义的双重性。
）问题：将左ABC与左ABC，相似比记为ki，△ABC与8ABC相似比记为k?,那么幻与灯有什么关系？ki=k2能成立吗？说明：三角形全等是三角形相似的特例。
（一）类比猜想：1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？和对应角都相等？有没有简便的方法？（二）简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS,ASA、SSS,AAS,直角三角形还有HL。
相似三角形的判定课前测试【题目】课前测试如图，已知CD 是△ABC 的高，D E⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF ∽△CBA.【答案】见解析 【解析】证明：∵CD ⊥AB，即∠CDA=∠CDB=90°，则∠A+∠ACD=90°， 又∵DE⊥CA，∴∠ACD+∠CDE=90°， ∴∠A=∠CDE，又∠ACD=∠DCE，∴△CAD ∽△CDE ，则CECDCD CA =，即CD 2=CA ·CE 同理可得△CBD ∽△CDF ，则CFCDCD CB =，即CD 2=CD 2=CB ·CF ∴CA ·CE=CB ·CF ，又∠ECF=∠BCA ，∴△CEF ∽△CBA总结：本题考察学生是否掌握“母子三角形”相似模型，待证的两个三角形中有一组公共角，因而再找出一组对应角相等或者是其夹角的两边成比例，经过分析发现，从角度入手基本不可能找出对应角相等，因而需要从夹角的两边证明. 该题属于典型的“母子三角形”模型，给出众多垂直关系，应该想到利用角度互余找等量. 只要“心中有模型”，对于这类题型的证明还是比较容易的. 【难度】3CAEDFB【题目】课前测试已知：如图，在ABC △中，AB AC =，M 是边BC 的中点，DME B ∠=∠，MD 与射线BA相交于点D ，ME 与边AC 相交于点E . （1）求证：BD CMDM EM=； （2）如果DE ME =，求证：//ME AB ；（3）在第（2）小题的条件下，如果DM AC ⊥，求ABC ∠的度数. 【答案】（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDM ∽△CME ，EM DM CM BD =,即EMCMDM BD = （2）证明：∵△BDM ∽△CME,∴EC EMBM DM =， ∵DE=ME ，BM=CM ，∴ECDECM DM =，∠DME=∠EDM ， ∵∠DME=∠B=∠C ，∴∠EDM=∠C ，∴△DME ∽△CME ， ∴∠EMC=∠EMD ，∴∠EMD=∠B ，∴EM//AB ； （3）30° 【解析】（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM ，∠DMC=∠DME+∠EMC ，∠DME=∠B ， ∴∠BDM=∠EMC ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDM ∽△CME ，EMDMCM BD =,即EMCMDM BD = （2）证明：∵△BDM ∽△CME,∴ECEMBM DM =， （第24题图）EMCBAD适用范围：各版本，初三年级知识点概述：相似三角形作为中学阶段最重要的知识点之一，既是中考重点，也是难点. 重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合. 本讲义主要讲解相似三角形相关的判定定理以及几个常见的基本相似模型，学生在学习过程中务必理解熟记每个相似模型，能够在已知题干中发现并证明三角形相似.适用对象：中等成绩及偏上注意事项：相似三角形判定定理的学习应该牢牢掌握不同模型之间的区别，此外，在平时的学习过程中还应该多积累不同题型的解题思路. 对于这一部分的学习，基础中等的学生应该掌握几种常见的相似模型，能够结合图形和已知条件进行分析证明，基础较好的学生应该培养分类讨论思想以及数形结合的思想，逐渐熟悉综合性大题的解题思路.重点选讲：①相似三角形之一线三等角模型；②相似三角形之母子三角形模型；③相似三角形之公共边角模型；④相似三角形的综合应用知识梳理1：相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.说明：（1）相似三角形的定义虽然可以用来判断三角形相似，但是要求角与边的条件同时都满足的情况下才能使用；（2）相似三角形的书写具有严格的顺序性，不同的顺序代表不同的含义；（3）将两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）；（4）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.知识梳理2：相似三角形的判定定理相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.强调：（1）有平行线时，用预备定理；（2）已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；（3）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3，但是在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.知识梳理3：全等三角形与相似三角形判定定理比较知识梳理4：相似三角形基本相似模型的认识三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角及一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS) 直角边与斜边对应相等(HL) 两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例 直角边与斜边对应成比例基本相似模型有：公共边角型（A 字型、斜A 型、8字型、斜8型）、母子型、一线三等角等例题精讲【题目】题型1：相似三角形之一线三等角模型如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF.（1）求证：DE = DC ；（2）如果BE 2=BF ·BC ，求证：BEF CEF ∠=∠. 【答案】见解析【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =； （2）∵BE 2=BF ·BC ，B B ∠=∠， ∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =， ∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠， ∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠.总结：本题考查了 “一线三直角”模型及相似和全等三角形的综合应用，通过已知条件构造一线三等角，可以实现快速解题的效果. 【难度】4A BCDEFA BCDEFH【题目】题型1变式练习1相似三角形之一线三等角模型等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时. 求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC 于点E、F.①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；；【答案】见解析【解析】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=150°，又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=150°，∴∠BEP=∠CPF，∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．（2）解：①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．下面证明结论：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP/BE=PF/PE，又CP=BP，∴BP/PF=BE/PE,∵∠EBP=∠EPF ，∴△BPE ∽△PFE总结：“一线三等角”模型经常出现在等腰三角形、等边三角形、正方形、等腰梯形等几何图形中，因而当题干中出现以上图形时应当注意，有时候当题干给出了一条直线/线段上有两个角相等时，可以考虑构造第三个等角，利用“一线三等角”相似模型进行求解，如上题型1所示. 【难度】4【题目】题型1变式练习2相似三角形之一线三等角模型如图（1），在△ABC 中， AB=AC=5，BC=8，点P 、Q 分别在射线CB ，AC 上（点P 不与点C ，B 重合），且保持∠APQ=∠ABC.（1）若点P 在线段CB 上，且BP=6，求线段CQ 的长；（2）若BP=x ，CQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）正方形ABCD 的长为5，如图（2），点P ，Q 分别在直线CB ，DC 上（点P 不与点C ，B 重合），且保持∠APQ=90°. 当CQ=1时，求出线段BP 的长. 【答案】 （1）125；（2）P 在BC 线段上：y=1(8)5x x -（0<x<8）；P 在BC 的延长线上：y=1(8)5x x +（x ≥8）； （3）当P 在线段BC 上，BP=552+或BP=552-；当P 在BC 的延长线上，PB=5352+ （2）（1）ABCDABPQ CQP【解析】（1）∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△CPQ∽△BAP．∴CQ CP BP AB=，∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，∴265CQ=∴CQ=125（2）若点P在线段CB上，由（1）知CQ CP BP AB=，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC-BP=8-x，又∵CQ=y，AB=5，∴85y xx-=即y=1(8)5x x-，故所求的函数关系式为y＝1(8)5x x-（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB，又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴CQ CP BP AB=，∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴85y xx+=∴函数解析式为y=1(8)5x x+（x≥8）.（3）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5-BP）=BP：1，ABCDEF解得：BP ＝552+或BP=552- ②当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上， 同理可得：△ABP ∽△PCQ ，∴AB ：PC=BP ：CQ ，∴5：（BP-5）=BP ：1， 解得：BP ＝5352+或BP=5352-（舍）总结：本题考查一线三等角模型的相似问题，注意根据点的位置关系进行相应的讨论，属于模拟题以及中考真题中的常考压轴题型，这类题型的综合性一般较强，学生在平时的学习过程中应该养成良好习惯，培养分类讨论的思想. 【难度】5【题目】题型2：相似三角形之母子三角形模型在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF.（1）求证：CB 2=BF ·BE ； （2）求证： BF ·AE=FD ·BA【答案】见解析 【解析】ABCDE 证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=，又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽，∴CB BEBF CB=，∴CB 2=BF ·BE （2）90ACB ∠=，CD BA ⊥， ∴90ACB CDB ∠=∠=，又CBD CBA ∠=∠， ∴CBD ABC ∆∆∽， ∴CB ABBD CB=，即CB 2=BD ·BA ， ∴BF ·BE=BD ·BA ， ∴FB BDBA BE= ，又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽，∴FB FDBA AE=，∴ BF ·AE=FD ·BA 总结:本题考查了三角形相似的判定定理与性质定理，当题干中出现较多垂直、直角时，可以考虑利用母子三角形模型证明三角形相似进行求解. 【难度】4【题目】题型2变式练习1：相似三角形之母子三角形模型如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长. 【答案】3625【解析】3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒，225AB AC BC ∴=+=，根据面积法，可知CD AB AC BC ⋅=⋅，解得125CD =， 又CD AB ⊥，=90ACB ∠︒，可得ADC ∆∽ACB ∆， AD AC AC AB ∴=， 代入可得：95AD =，90ACB CED ∠=∠=︒，//DE BC ∴，925DE AD BC AB ∴==， 代入得：3625ED =总结：考查对于“母子三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中对应边之比转化为同一三角形中边长比的思想，实际上这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两两相似. 【难度】3【题目】题型2变式练习2：相似三角形之母子三角形模型在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 垂直AC 交AC 于点F ，求证： （1）=；（2）∠EFD=∠DBC【答案】见解析 【解析】证明：（1）∵AC ⊥BE ，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠AFE=∠BAE ， 又∵∠AEF=∠BEA ，∴△AEF ∽△BEA ， ∴=（2）∵点E 是AD 的中点，∴AE=ED ，∴=，又∵∠FED=∠DEB ， ∴△DEF ∽△EBD ， ∴∠EFD=∠EDB ， ∵AD//BC ， ∴∠DBC=∠EDB ， ∴∠EFD=∠DBC .总结：本题（1）利用母子三角形模型比较容易证明，第（2）问通常可以使用（1）中的结论进行命题的证明，属于比较常规的证明题. 【难度】3【题目】题型3：相似三角形之公共边角模型四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ： （1）若4=EA ，5=EB ，6.1=ED ，2=EC ，求证△EAD 与△EBC 是相似三角形；（2）若∠ABE=∠DCE ，求证AD ·CE=BC ·DE.【答案】见解析 【解析】 （1）∵54EC DE EB EA ==，又∠AED=∠BEC ，∴△EAD ∽△EBC（2）AD 、DE 在△AED 中，BC 、CE 在△BEC 中，即证△EAD ∽△EBC ∵在△ABE 与△DCE 中，∠ABE=∠DCE ，∠AEB=∠DEC ∴△ABE ∽△DCE ，则ECBEDE AE =，又∠AED=∠BEC ∴△EAD ∽△EBC ，即AD ·CE=BC ·DE总结：本题中（2）中的两个相似三角形符合“斜8字”模型，这类模型通常会有一对对顶角，然后再给出一组非内错角相等，通过相似三角形判定定理1即可得证. 对于求证四条线段之间的比例关系，一般按照先定、后找、再证的顺序进行分析，先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；再找出两个三角形相似所需的条件；最后根据分析，写出证明过程. 【难度】3BA BCDEF 【题目】题型3变式练习1：相似三角形之公共边角模型如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H. 求证： 4DH ·DA=BC 2【答案】见解析 【解析】 证明：AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=，∴90HBD C ∠+∠=， 90CAH C ∠+∠=，∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽，∴HD BDCD AD=， 即DH ·AD=BD ·CD ， AB AC AD BC =⊥，， ∴12BD DC BC ==， ∴214DH AD BC =， ∴24DH AD BC =． 总结：本题考查“公共边角”模型，该题中一对直角三角形中不仅出现公共角，还出现了一对对顶角，这些元素很容易证明相应三角形的相似关系，再利用等腰三角形三线合一这一特点即可证明问题. 【难度】3【题目】题型3变式练习2：相似三角形之公共边角模型如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=ABCDE H【答案】见解析【解析】证明：（1）AD // BC，AB = DC，BAD CDA∴∠=∠，AB DC AD AD==，，ABD DCA∴∆≅∆，ACD ABD∴∠=∠，CDE ABD∠=∠，ACD CDE∴∠=∠，∴AC//DE，AD // BC，∴四边形ACED是平行四边形．（2）//AD BC，∴AD DFBC FB=，AD DFBC AD DF FB∴=++，四边形ACED是平行四边形，∴AD CE=，∴AD DFBC CE DF FB=++，即AD DFBE DB=，//AD BE，∴DG ADGB BE=，∴DG DFGB DB=.总结：考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化，【难度】3【题目】题型4：相似三角形的综合应用如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则EBG∆的周长为______cm.【答案】见解析【解析】设DF x=，根据翻折的性质，则有EF x=，6AF x=-，在Rt AEF∆中，用勾股定理，则有222AE AF EF+=，即()22236x x+-=，解得154x=，则94AF=，由90A∠=︒，则有90AFE AEF∠+∠=︒，AB CDEFG HQMNH G FED CBA同时90FEG D ∠=∠=︒，则90AEF EBG ∠+∠=︒，得：AFE BEG ∠=∠，由90A B ∠=∠=︒，可证AEF ∆∽BGE ∆，则AE AF EFBG BE GE==，即9153443BG GE==，解得4BG =，5EG =，故12EBG C cm ∆=． 总结： 本题属于“一线三直角”基本模型，结合翻折、勾股定理相关知识点进行考查，是模拟题中常考题型，一般找出相似三角形，通过线段之间的比例关系列出等式求解，有时还会用到勾股定理或者锐角三角比等. 【难度】4【题目】题型4变式练习1：相似三角形的综合应用如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H.（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长.【答案】（1）见解析；（2）ECM ∆；（3）223【解析】（1）证明：EF AE ⊥，90AEB FEC ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒ 90AEB BAE ∴∠+∠=︒ BAE FEC ∴∠=∠ 90ABE ECF ∠=∠=︒ ∴ABE ∆∽ECF ∆（2）由（1）BAE FEC ∠=∠，又90ABG GBC GBC BCG ∠+∠=∠+∠=︒ABG ECM ∴∠=∠ ，∴ABH ∆∽ECM ∆（3）作MN BC ⊥交BC 于点N ，则有//MN AB ，由BC = 2AB ，得2CN MN =， 2BC AB BE CE ==，45AB BE AEB FEC ∴=∠=∠=︒，12EN MN CN ∴==，得1233EN EC ==，则2223EM EN ==． 总结：该题涉及了“一线三等角”模型、“ 母子三角形”模型，一般而言，在这些模型中需要从角度入手，通过等量代换达到相似的目的，而在第二问中，往往需要第一问求出的相似，得出对应边或者对应角相等. 【难度】4【题目】题型4变式练习2：相似三角形的综合应用已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折得到FPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G.（1）如图，当BP = 1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP = x ，DG = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE ∆∽FHG ∆，求BP 的长.【答案】（1）83；（2）()21616124x y x x -=<<-；（3）233或23 【解析】 （1）连结QE ，ABCD EF GP QABCD EFGP Q290BE EF CE QE QE QFE C ====∠=∠=︒，，， QFE QCE ∴∆≅∆， 12FEQ CEQ FEC ∴∠=∠=∠，()1902PEQ BEF FEC ∴∠=∠+∠=︒， BPE QEC ∴∠=∠， BPE ∴∆∽CEQ ∆， BP BE CE CQ ∴=，即1.522CQ =，解得：83CQ =． （2）由（1）可得：BPE ∆∽CEQ ∆，由BP x =，可得：4CQ x =，则44DQ x=-，4AP x =-， 由//AB CD ，则有DQ GD AP GA=， 即4444y x x y -=-+，整理，得：()21616124x y x x -=<<-． （3）由题意知，90C GFH ∠=︒=∠，①G 在线段AD 的延长线上时，由CQE ∆∽FHG ∆，可知G CQE ∠=∠， CQE FQE ∠=∠，2DQG FQC G ∴∠=∠=∠， 90DQG G ∠+∠=︒，30G BEP ∴∠=︒=∠，BP ∴==， ②G 在线段AD 的反向延长线上时，同理可得：30G BPE ∠=︒=∠，BP ∴==总结：考查翻折与全等、相似等知识点，本题中出现了“母子三角形”比较隐蔽，需要一定的分析才能发现，第二问中出现了“A 字”型模型，通过表示出不同线段的长度，列出比例式即可求解，第三问考察分类讨论的思想，在平时的模拟考中比较常见，需要学生养成良好的解题习惯. 【难度】5【题目】兴趣篇1如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ，AD=BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F.（1）AF = BE ； （2）AF 2 = AE ·EC【答案】见解析 【解析】（1）EF// AB ，AF 不平行EB ，∴四边形FABE 是梯形，又AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠，∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =；（2）90AEB CEB ∠=∠=，∴90EBA EAB ∠+∠=， 90ECB EAB ∠+∠=，∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴EB EAEC EB=， ∴EB 2=EA ·EC ， ∴AF 2=EA ·EC ．总结：本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质，注意图形中出现“母子三角形”模型，结合第一问的结论就可以得出待证式. 【难度】3【题目】兴趣篇2ABCD EF如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F.（1） 当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小 始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值. 【答案】（1）EDF ∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD ∆∆∽，证明见解析；D 移动到AC 中点处时，这两个三角形的相似比为1； （3）45BE BF = 【解析】（1）翻折前后对应角相等，EDF ∠始终不变，且等于60； （2）相似比为1，说明ADE CFD ∆≅∆，得DE DF =； 又DB EF ⊥，所以DB 垂直平分EF ，得BD 平分ABC ∠，则ABC ∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AED CFD C BE DE BF DF C ∆∆=== 总结：本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识，通过折叠等边三角形的一个角，可以实现“一线三等角”的效果. 【难度】4【题目】备选试题1ABCDEF如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E 是AD的中点.（1） 求证：CDE ∆∽EAB ∆； （2） 证明CDE ∆与CEB ∆相似.【答案】见解析 【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图： 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴，又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形， 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=， 点E 是AD 的中点 2ED EA ∴==， ∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴CDE ∆∽CEB ∆． 总结：本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型． 【难度】3ABCDEFABCDE【题目】备选试题2如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C 重合），DE 与AC 相交于点F. （1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当x 为何值时，79AEF ABD S S ∆∆=？【答案】（1）见解析；（2）y=-x 2+x(0<x<1)；（3）2133x x ==或【解析】（1）ABC ∆、ADE ∆是等边三角形 60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=CDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽； （2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BDDC CF∴= 11x x y ∴=-()201y x x x ∴=-+<<；（2）易证ABD AEF ∆∆∽， AB ADAE AF∴= 279AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 222279AE AF AB AD ∴== ADE ∆是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 224981AF AB ∴= 1AB = 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 229x x ∴-+=解得1221,33x x == ∴当2133x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=． 总结：本题考查旋转的相关知识，本题将相似三角形与旋转部分的知识点结合进行考察，利用“一线三等角”模型能够比较容易找出相似关系.A BCDEF【难度】4。
相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形的判定（一）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理1知识精讲DAB CEABCA 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：【例1】根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．【答案】（1）相似，ABC ∆∽DFE ∆；（2）相似，ABC ∆∽DEF ∆．【解析】（1）根据三角形内角和180︒，可得50C E ∠=︒=∠，又70A D ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DFE ∆；（2）根据三角形内角和180︒，可得60C F ∠=︒=∠，又80B E ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DEF ∆【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和180︒进行求解．【例2】如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中 有哪几对相似三角形？【答案】EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，EBC ∆∽CDF ∆．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得： ////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理， 可得：EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，进而可得：EBC ∆∽CDF ∆，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．【例3】如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？例题解析ABCDEFC【答案】ADE ∆∽ABC ∆，ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆，BCD ∆∽CDE ∆．【解析】根据1=2=3∠∠∠，同时有A ∠公共角必相等， 根据相似三角形判定定理1，可得ADE ∆∽ABC ∆， ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆；同时由1=3∠∠， 可得：//DE BC ，进而EDC DCB ∠=∠，又23∠=∠，根据相似三角形判定定理1，可得：BCD ∆∽CDE ∆．【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．【例4】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB =．【答案】略．【解析】证明：AED B A A ∠=∠∠=∠，， AED ∴∆∽ABC ∆，AD AEAC AB∴=，即AE AC AD AB =．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．【例5】如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．ABCD E 12 3ABCDEABCDEABC DE 【答案】3:2．【解析】90ACB ∠=︒，即90ACD BCD ∠+∠=︒， 又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒． A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆，AD DC ACDC BD BC ∴==．:9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =．::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型．【例6】如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE ∆相似于．【答案】ACE ∆． 【解析】90BAC ∠=︒，即90BAD CAD ∠+∠=︒，又AE AD ⊥，即90BAD BAE ∠+∠=︒， CAD BAE ∴∠=∠．又D 为Rt ABC ∆斜边BC 中点，12AD BC CD ∴==．BAE C ∴∠=∠，由E E ∠=∠， BAE ∴∆∽ACE ∆．【总结】对于相等有公共角的两角，可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直角三角形分成了两个等腰三角形．【例7】如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．【答案】3625．【解析】3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒，AB CD E225AB AC BC∴=+=．根据面积法，可知CD AB AC BC⋅=⋅，解得125CD=．又CD AB⊥，=90ACB∠︒，可得ADC∆∽ACB∆．AD ACAC AB∴=，代入可得：95AD=．90ACB CED∠=∠=︒，//DE BC∴，925DE ADBC AB∴==．代入得：3625ED=．【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两两相似．【例8】如图，AB BD⊥，ED BD⊥，点C在线段BD上运动，1ED=，4BD=，4AB=，若ABC∆与CDE∆相似，求BC的值．【答案】165或2．【解析】（1）ABC∆∽EDC∆时，则应有4BC ABCD DE==．由4BD=，可得：41655BC BD==；（2）ABC∆∽CDE∆时，则应有BC ABDE CD=．由4BD=，代入得：44BCBC=-，解得：2BC=．【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论．【例9】如图，ABC∆是等边三角形，120DAE∠=︒，求证AD AE AB DE=．【答案】略．【解析】证明：ABC∆是等边三角形，60BAC ACB∴∠=∠=︒．120DAE∠=︒，60DAB CAE∴∠+∠=︒．AB C DEABCD EFOE MDCBA 又60ACB E CAE ∠=∠+∠=︒，DAB E ∴∠=∠．D D ∠=∠，DAB ∴∆∽DEA ∆，AD ABDE AE ∴=， 即AD AE AB DE =． 【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用．【例10】正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．1255cm ．【解析】四边形ABCD 是正方形，690//BC CD AD AB cm D AD BC ∴====∠=︒，，． DEC BCM ∴∠=∠， 又90BMC D ∠=∠=︒， BMC ∴∆∽CDE ∆，BM DCBC EC ∴=， ∵E 是AD 中点，∴132DE AD cm ==． 由勾股定理可得：2235CE DE CD cm =+=， 代入可得：BM =1255cm ． 【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似．【例11】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联 结BO 交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．【答案】略． 【解析】证明：90BAC ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，90ABO AOB ∠+∠=︒，又AD BC ⊥，OE OB ⊥，ABCP9090C CAD AOB EOC∴∠+∠=︒∠+∠=︒，．BAD C ABO EOC∴∠=∠∠=∠，．∴ABF∆∽COE∆．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．【例12】如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，AC BC=，P是ABC∆内一点，且135APB APC∠=∠=︒．求证：CPA∆∽APB∆．【答案】略．【解析】证明：90ACB∠=︒，AC BC=，45CAB∴∠=︒．即45CAP PAB∠+∠=︒．135APB∠=︒，45CAP ACP∴∠+∠=︒．ACP PAB∴∠=∠．135APB APC∠=∠=︒，∴CPA∆∽APB∆．【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化．【例13】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，且2AB CD=，点E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．（1）求证：EDM∆∽FBM∆；（2）若6DB=，求BM．【答案】（1）略；（2）2BM=．【解析】（1）证明：2AB CD=，E是AB的中点，BE CD∴=，又AB//CD，∴四边形EBCD是平行四边形．//BC DE∴，A BCDEFMABCDE FGABCDE F GH∴EDM ∆∽FBM ∆．（2）解：//BF DE ，F 为BC 中点，2DM DE BC MB BF BF ∴===，13BM BD ∴=．代入可得：2BM =．【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用．【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点 G ，且EDF ABE ∠=∠．（1）求证：DEF ∆∽BDE ∆；（2）DG DF DB EF =．【答案】略．【解析】证明：（1）DE //BC ，ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠，．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ADE AED ∴∠=∠，BDE FED ∴∠=∠，EDF ABE ∠=∠，∴DEF ∆∽BDE ∆．（2）DEF ∆∽BDE ∆，EF DEDE BD∴=，DEB DFE ∠=∠，即2DB EF DE ⋅=．EDG EDF ∠=∠，DGE ∴∆∽DEF ∆，DG DEDE DF∴=，即2DG DF DE ⋅=． DG DF DB EF ∴⋅=⋅．【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所求进行相应比例线段的转化．【例15】如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．【答案】BDE ∆∽CEH ∆． 【解析】ABC ∆、DEF ∆是等边三角形，60B C DEF ∴∠=∠=∠=︒．DEC DEF HEC BDE B ∠=∠+∠=∠+∠，HEC BDE ∴∠=∠， ∴BDE ∆∽CEH ∆．同理可证得：BDE ∆∽AGD ∆∽FGH ∆．【总结】考查“一线三等角”模型的建立，根据外角可证相似．ABCA 1B 1C 1ABCDO1、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例19】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =， 4OD =．求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【答案】略．【解析】证明：2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，242363OA OD OB OC ∴===，， OA OCOB OD ∴=．AOD BOC ∠=∠，∴OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【总结】考查相似三角形判定定理2，对应边成比例且夹角相等．模块二：相似三角形判定定理2知识精讲例题解析ABCDABCDE【例20】如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =．求证：ACD ∆∽ABC ∆．【答案】略．【解析】证明：2AC AD AB =，AD ACAC AB ∴=， A A ∠=∠，∴ACD ∆∽ABC ∆．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．【例21】如图，在ABC ∆与AED ∆中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC ∆∽AED ∆．【答案】略． 【解析】证明：BAD CAE ∠=∠，BAD CAD CAD CAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．AB ACAE AD=，∴ABC ∆∽AED ∆． 【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似．【例22】下列说法一定正确的是（）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．【例23】在ABC ∆和DEF ∆中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（）CABCDEAB CE FG（A ）AB ACDE DF=，B E ∠=∠ （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠（C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠（D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠【答案】A【解析】C 选项根据相似三角形判定定理2可知，B 和D 选项中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知顶角相等，即两腰夹角相等，根据相似三角形判定定理2可推知．【总结】考查相似三角形判定定理2的运用．【例24】如图，D 是ABC ∆内一点，E 是ABC ∆外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．【答案】略． 【解析】证明：EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，BAD ∴∆∽BCE ∆，ABC DBE ∠=∠． BA BD BC BE ∴=， 即BA BCBD BE=，BAC ∴∆∽BDE ∆，∴BDE BAC ∠=∠．【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化．【例25】已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC =；（2）AFE ACB ∠=∠．【答案】略． 【解析】证明：（1）90AFC BEC ∠=∠=︒，ACF GCE ∠=∠，GCE ∴∆∽ACF ∆，GC CEAC CF∴=，即AC CE CF GC =． （2）90AFC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，ABE ∴∆∽ACF ∆． AE AB AF AC ∴=，即AE AF AB AC=，又A A ∠=∠，AEF ∴∆∽ABC ∆，∴AFE ACB ∠=∠．【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形．【例26】如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交 CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE ∆∽OCA ∆．【答案】略．ABCB ’C ’MDA【解析】证明：O 是ABC ∆的垂心，90AEO CDO ∴∠=∠=︒． O O ∠=∠，AOE ∴∆∽COD ∆，AO OECO OD ∴=， 即AO COOE OD=． O O ∠=∠，∴ODE ∆∽OCA ∆．【总结】考查“双高型”模型的建立，在钝角三角形中仍成立，该图中共有8对相似三角形，注意进行相似三角形性质和判定的转换．【例27】如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ． 求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．【答案】略．【解析】证明：ABC ∆∽''AB C ∆，''''AB ACBAC B AC AB AC ∴=∠=∠，，''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，，∴'ABB ∆∽'ACC ∆．【总结】考查相似三角形性质和判定的转换，题目中出现一对相似三角形往往与之关联的三角形也是一对相似三角形．【例28】如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN =．【答案】略．【解析】证明：延长MN 、BC 相交于点E ，过点E 作EF BM ⊥ 交BM 于点F ，四边形ABCD 是正方形，90//AD BC AB ABC AD BC ∴==∠=︒，，．设AB a =，则12AM DM a BM ===，，BMN MBC ∠=∠，BN MN ∴=，12BM FM BM ∴===． 又90A BFE ∠=∠=︒，AM B M BE ∠=∠， ABM ∴∆∽MEB ∆，BE BMBF AM ∴=54BE a ∴=，14CE BE BC a ∴=-=．又//AD BC ，2DN DMCN CE∴==．【总结】考查正方形和相似三角形的性质，由对应边比例关系转化到一个三角形中边的比例关系，推导结论．【例29】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥． 【答案】略． 【解析】证明： （1）EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，90ADC EGC ∴∠=∠=︒． C C ∠=∠， EGC ∴∆∽ADC ∆，∴EG CG AD CD=． （2）90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴四边形是AFEG 矩形，AF EG ∴=． EG CGAD CD =， AF ADCG CD∴=． EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，即有9090DAC DAF DAC C ∠+∠=︒∠+∠=︒，，DAF C ∴∠=∠， FAD ∴∆∽GCD ∆，FDA GDC ∴∠=∠，FDA GDA GDC GDA ∴∠+∠=∠+∠，即FDG ADC ∠=∠，∴FD DG ⊥．【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换．【习题1】如图，在ABC ∆中，如果EF //AB ，DE //BC ，那么你能找出哪几对相似三角形？随堂检测ABCDEFGABCDEFABCDABCDE【答案】ADE ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ADE ∆． 【解析】DE //BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆．EF //AB ，∴EFC ∆∽ABC ∆，∴EFC ∆∽ADE ∆．【总结】考查相似三角形预备定理，同时建立两两相似的概念．【习题2】如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，6BC ，3AC =，则CD 的长为．【答案】2．【解析】DBC A ∠=∠，C C ∠=∠，ABC ∴∆∽BDC ∆．AC BCBC CD∴=，代入可得：2CD =【总结】考查相似三角形的判定定理1并进行相似三角形性质应用．【习题3】根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来． （1）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =； （2）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =； （3）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =． 【难度】★【答案】（1）相似，ABC ∆∽DEF ∆；（2）相似，ABC ∆∽EFD ∆；（3）不相似 【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均 符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似． 【总结】考查相似三角形判定定理2的条件，尤其注意是对应成比例边的夹角．【习题4】如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．【答案】3． 【解析】BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，BD BD =，BCD BED ∴∆≅∆，CD ED ∴=．同时又A A ∠=∠，ADE ∴∆∽ABC ∆，ABCDEABCDEFABCDOM SDE ADBC AB∴=，由勾股定理可得：2210AB AC BC =+=，代入即为：8610DE DE-=，解得：3DE =，∴CD =3． 【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的性质，注意根据对应边相似关系转化到一个三角形中边的对应比例关系．【习题5】如图，AB //CD ，图中共有对相似三角形．【答案】6．【解析】根据AB //CD ，由相似三角形预备定理，可知图中有6对相似三角形，分成“A ”字型和“X ”字型两个类别．【总结】考查相似三角形的一些常见模型，由相似三角形预备 定理可推知，如“A ”字型和“X ”字型．【习题6】如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD=．22．【解析】四边形ABCD 是矩形， //90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，． DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠．ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CDCD CE∴=．设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：22CD a =，∴2::222CD AD a ==． 【总结】考查“子母三角形”基本图形，同时考查比例中项比值的求法．【习题7】如图，ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点， ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=． 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，即9090A ACD BCD ACD ∠+∠=︒∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠CD AB ⊥，E 是AC 中点，ABCDE12DE AC AE ∴== A ADE ∴∠=∠ BDF ADE ∠=∠BDF BCD ∴∠=∠ F F ∠=∠CDF ∴∆∽DBF ∆∴FB FD FD FC= 【总结】考查“子母三角形”基本模型的建立，同时与直角三角形斜边中线分直角三角形为两等腰三角形知识点相结合，推出角相等，根据相似三角形判定定理1可证相似．【习题8】如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠． 求证：（1）2AD DE DB =；（2）DEC ACB ∠=∠．【答案】略． 【解析】证明：（1）DAE ABD ∠=∠，ADE ADB ∠=∠，ADE ∴∆∽BDA ∆，AD DEDB AD∴=，即2AD DE DB =． （2）2AD DE DB =，AD CD =，2CD DE BD ∴=⋅，即DE CD CD BD=．A BCD EDC BDC ∠=∠，CDE ∴∆∽BDC ∆，∴DEC ACB ∠=∠．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性质，证明过程中注意公共线段的充分利用，往往可以作为中间量．【作业1】如图，已知AD BC ⊥，CE AB ⊥，且交AD 于点P ，试写出图中所有的相似三角形．【答案】BAD ∆∽BCE ∆∽PCD ∆∽PAE ∆．【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1 可知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形．【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似．【作业2】如图，在ABC ∆中，3AB =，3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．【答案】略． 【解析】证明：:1:2AD DC =，3AC =，1AD ∴=．3AB =，33AD AB AB AC ∴==． A A ∠=∠，∴ABD ∆∽ACB ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理2，根据题目条件变形应用．课后作业ABCDEPABCDEF【作业3】如图，ABC∆中，P为AB上一点，在下列四个条件下，①ACP B∠=∠；②APC ACB∠=∠；③2AC AP AB=；④AB CP AP CB=，组合起来能得出：ABC∆∽ACP∆的是（）（A）①、②、④（B）①、③、④（C）②、③、④（D）①、②、③【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角A∠，可知①②可判断相似；由相似三角形判定定理2，③变形即为AP ACAC AB=，加上公共夹角A∠，可知③正确，④不正确．【总结】考查相似三角形的判定定理的掌握，考查判定定理2的条件．【作业4】如图，在ABC∆中，15AB=厘米，12AC=厘米，AD是BAC∠的外角平分线，DE//AB交AC的延长线于点E，求CE的长．【答案】48CE cm=．【解析】AD是BAC∠的外角平分线，FAD EAD∴∠=∠．DE//AB，FAD ADE∴∠=∠，EAD ADE∴∠=∠，AE DE∴=．又由DE//AB，可得AB ACDE CE=，即151212CE CE=+，解得48CE cm=．【总结】考查平行线与角平分线一起出现等腰三角形的基本模型，同时根据平行即可判定对应线段成比例即可．AB CPA B CD E A B C DE【作业5】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆； （2）22BC BE CD =． 【答案】略【解析】证明：（1）90AB AC BAC =∠=︒，，45B C ∴∠=∠=︒．45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆， ∴ABE ∆∽DCA ∆． （2）ABE ∆∽DCA ∆，AB BE CD AC ∴=，即CD BE AB AC ⋅=⋅．90AB AC BAC =∠=︒，， 22222BC AB AC AB AC CD BE ∴=+=⋅=⋅．【总结】考查相似三角形的判定和相关性质，注意相似的传递性，先判定相似再应用相似性质证明相关题目．【作业6】如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆． 求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．【答案】略．【解析】证明：（1）EDC ∆∽ABC ∆，EC DC AC BC∴=，DCE ACB ∠=∠，即EC AC DC BC =，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆． （2）AB AC =，B ACB ∴∠=∠．ACE ∆∽BCD ∆，CAE B ∴∠=∠． CAE ACB ∴∠=∠，∴AE //BC ．【总结】由一对三角形的相似，根据相似三角形的性质，往往能推出其它的三角形的相似，注意多观察题目需要证明的结论，运用性质往结论方向综合证明．。
