线性代数上机作业一

线性代数机算与应用作业题主要练习线性代数课本上所讲函数的用法以及用这些函数解简单的实际问题 一、机算题1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。

（1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()TAB ，TTB A 和()100AB（3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1A -和1B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。

2．求解下列方程组（1）求非齐次线性方程组1234123412341234224514171278776652921710x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-+=⎪⎨+++=⎪⎪--+-=⎩的唯一解。

（2）求非齐次线性方程组123451234512345123455972844228252398881266977x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩的通解。

3．已知向量组134083α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，211022α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=160323α，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212394α，50822110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。

4．求向量空间3R 中向量325α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在基1231230,1,2001βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标5．求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。

（1）1232563625A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）203131061622B -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦6．用正交变换法将下列二次型化为标准形。

()222123123112213323,,23f x x x x x x k x x k x x k x x =+++++其中“123k k k ”为自己学号的后三位。

上机作业（一）随机生成5阶方阵A,B,C及5维列向量b，求：①A+B,A-B.解：在Matlab中输入：A=rand(5,5);B=rand(5,5);C=rand(5,5);b=rand(5,1);得：输入A+B；A-B.得：②A*B+B*A.解：输入A*B+B*A.得：③Ax=b的解,并验证克莱姆法则.解：输入：x=A\b.得：输入：D=A;D1=A;D2=A;D3=A;D4=A;D5=A;D1(:,1)=b;D2(:,2)=b;D3(:,3)=b;D4(:,4)=b;D5(:,5)=b; Y=[det(D1)/det(D);det(D2)/det(D);det(D3)/det(D);det(D4)/det(D);det(D5)/det(D)].得：发现：x=y,故克莱姆法则成立.④A,B的行列式，逆，秩.解：输入：det(A);det(B);inv(A);inv(B);rank(A);rank(B).得：⑤A*B的行列式，逆，秩，并验证det(A*B)=det(A)*det(B).解：输入det(A*B);det(A)*det(B).得：可见det(A*B)=det(A)*det(B).⑥验证(AB)T=B T A T,(AB)−1=B−1A−1,AB≠BA.解：输入(A*B)’;B’*A’;inv(A*B);inv(B)*inv(A);A*B;B*A.由此可见(AB)T =B T A T ,(AB)−1=B −1A −1,AB ≠BA . ⑦求矩阵X 使得AXB=C. 解：输入X=(A\C)/B. 得：上机作业（二）验证：对于一般的方阵A,B,C,D ， 若A,C 均为对角矩阵，且A 可逆，则：解：输入：A=rand(3,3);B=rand(3,3);C=rand(3,3);D=rand(3,3);E(1:3,1:3)=A;E(1:3,4:6)=B;E(4:6,1:3)=C;E(4:6,4:6)=D;det(E);det(A)*det(D)-det(B)*det(C).A B A D B CC D≠-A B AD CB C D =-由此可见在Matlab中输入：A=diag(diag(rand(3,3)));B=rand(3,3);C=diag(diag(rand(3,3)));D=rand(3,3);E(1:3,1:3)=A;E(1:3,4:6)= B;E(4:6,1:3)=C;E(4:6,4:6)=D;det(E);det(A*D-C*B).由此可见上机作业（三）N= 201465004共9位 a=最后两位 04. b=第4-5位 46. c=第6-7位 50. d=第4,8位 40. e=第1,8位 20. f=第5,9位 64. g=第4,9位 44. h=第5,7位 60.求A 列向量组的一个最大无关组，并把不属于 极大无关组的向量利用极大无关组表示.解：由题意可得该矩阵为：A=[44650123403444312152220644417576080]. 在MAtlab 中输入A=[4,46,50,40,3,4;1,2,3,4,4,3;12,15,22,17,5,7;20,64,44,60,8,0];b=rref(A).所以α1,α2,α3,α4是一个极大无关组，且有：α5=−0.2945α1−1.4863α2−0.0062α3+1.8214α4 α6=−0.0863α1−1.3001α2+0.3643α3+1.1484α4上机作业（四）Ax=b的解在下列不同的取值时变化如何？34123443121522175780a b c dA e f g h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：在Matlab 中输入syms x; syms y; B=[1;2+x;64;50];A=[4,46,50,40;1+y,2+2*y,3+3*y,4+4*y;12,15,22,17;20,64,44,60]; A\B. 得：即X=[(2∗(12597∗ε − 362∗δ + 11873))/(3975∗(ε + 1)) −(3298∗δ − 4563∗ ε+ 2033)/(7950∗(ε + 1))(4791∗ε − 61∗δ + 4669)/(3975∗(ε + 1)) −(4413∗ε − 818∗δ + 2777)/(1590∗(ε + 1))].上机作业（五）随机生成4个5维向量，并进行正交化.解：在Matlab 中输a=rand(5,1);b=rand(5,1);c=rand(5,1);d=rand(5,1);M=[a,b,c,d];N=orth(M). 得：121223344,,121522170.1,0.2,0.5,0.7,0.9,0.95ab c d b A f c ef g h δεεεεδε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++++⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--=----即：四个五维向量为: [ 0.78030.38970.24170.40390.0965] 、[ 0.13200.94210.95610.57520.0598] 、[ 0.23480.35320.82120.01540.0430] 、[ 0.16900.64910.73170.64770.4509].正交化向量为: [ −0.2454−0.5709−0.6522−0.4052−0.1559] 、[ 0.8748−0.0664−0.42190.22230.0533] 、[ −0.40650.1428−0.47270.64500.4182] 、[ 0.0895−0.50680.2989−0.12680.7935]. 在Matlab 中输入N’*N 验证答案，得：由结果可知答案正确.上机作业（六）I 、随机生成5阶矩阵 ，求其特征值及对应特征向量. 解：在Matlab 中输入A=rand(5,5); [X,B]=eig(A).其中B 的对角线元素是特征值, X 的列是相应的特征向量.II 、随机生成5维列向量x ，求矩阵XX′的特征值并观察结果，尝试得出一般性结论.解：在Matlab 中输入syms a; syms b; syms c; syms d; syms e; x=[a;b;c;d;e]; y=x*x’; [X,B]=eig(y).故当a,b,c,d,e 是实数时，矩阵XX′的特征值为(0,0,0,0,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2).上机作业（七）化简下列二次型，并判断正定性:()2221231122233,,32fx x x x x x x x x x =+-++()22123121323,,44fx x x x x x x x x =-+-解：在Matlab中输入A=[1,1.5,0;1.5,-1,1;0,1,1];[P,D]=schur(A).得：P就是所求的正交矩阵,使得P’AP=D,所以令X=PY,化简后的二次型为g=−2.0616y12+ y22+2.0616y32.此二次型非正定非负定.在Matlab中输入A=[1,0,2;0,-1,-2;2,-2,0] ;[P,D]=schur(A).得：P就是所求的正交矩阵,使得P’AP=D,所以令X=PY,化简后的二次型为g=−3y12+3y32.此二次型非正定非负定.上机作业（八）某城市共30万人从事农业、工业、商业工作，假定此人数不变，另外，社会调查表明：（1）在此30万人中，目前约15万人从事农业，9万人从事工业，6万人从事商业；（2）农业人员中，每年20%转为工业，10%转为商业；（3）工业人员中，每年20%转为农业，10%转为商业；（4）商业人员中，每年10%转为农业，10%转为工业；预测一、二年后各行业人数，及若干年后各行业人数。

线性代数上机作业一、单项选择题。

1、可逆矩阵用用det()函数求行列式判断，选C 代码如下：A = [2 3 0; 0 -2 -3; -6 -5 6];B = [-3 2 3; 2 2 -1; -1 4 2];C = [3 -2 2;3 -1 2 ; 0 -1 -1];D = [2 1 1; -6 -3 -3; 3 -2 2];det(A)ans =>> det(B)ans =1.1102e-15>> det(C)ans =-3>> det(D)ans =Det(B) 可近似为02、用代数余子式求行列式：C>> 1*(-9)+(-5)*2+5*(-6)+(-9)*(-6)ans =53、n阶线性相关即行列式为0：A>> syms x>> A = [-35 56 x -43;-10 17 21 -14;-5 8 9 -6;20 -31 -34 23] A =[ -35, 56, x, -43][ -10, 17, 21, -14][ -5, 8, 9, -6][ 20, -31, -34, 23]>> det(A)ans =5*x - 320>> x = 320/5x =644、f为正定二次型，用特殊值判断t的范围：At=2行列式大于0和t = 5时行列式小于0A =1 -5 4-5 26 184 -22 22>> det(A)ans =82>> A = [1 -5 -10; -5 26 -52; -10 48 22];>> det(A)ans =-282.00005、因特征值与特征向量对应,选D二、填空题：1、147：由行列式互换行列改变符号，所以|B|=7，>> (-3)^3*(-7)-6*7ans =1472、B = [-2 2 0 ] 由B = 2*(A-E)^-1*A得[-6 6 -2][ 0 -2 4]A = [2 -1 -1; 3 -1 -2; 3 -2 0];>> B = 2*(A-eye(3))^-1*AB =-2.0000 2.0000 0-6.0000 6.0000 -2.00000 -2.0000 4.00003、-13 -7 -13 由f(A)=f(λ) f(x) = -x^2+x-1 所以特征值为f(-3)= -13 ;f(3)=-7; f(4)=-134、10 -4 2 化为行最简型：A = [1 4 4; 0 1 4; 0 0 1];>> a = [2 4 2]';>> rref([A a])ans =1 0 0 100 1 0 -40 0 1 25、>> A = [3 0 2 4; 4 4 0 -3; 4 0 4 4; 2 3 1 0];>> B = [4 -3 4 0; 2 0 4 0; 0 2 -1 2; 0 4 3 1];>> (A*B)^2ans =872 100 1197 34338 1128 471 5341032 128 1432 404404 470 710 3566、-3 求行列式直接用det()即可A = [1 3 2 -3 3; 5 0 1 9 -6; 5 3 3 4 -2; 3 5 1 1 6; 0 0 2 -2 -1];>> det(A)-3.00007、3 求秩用rank()函数。

《线性代数》作业一、选择题1．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ，则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 答案：（1）、ylitw2008 （2）↑↑↑微信↑↑↑ （3）智金宝资料库2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：A ．A 的解不可逆B ．0=AC.A 中所有r 阶子式全不为零D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：A ．存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于DC ．E B E A λλ-=-D ．B A ≠4．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A ． 6B ． -9C ．-3D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：A ．r<mB ．r<nC ．A 中r 阶子式不为零D ．A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E ， 其中E 为r 阶单位阵。

6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是：A ．nA1-λ B ．A λ C ．A 1-λD ．nA λ7．如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。

A ． k =0B ． k =1C ． k =2D ． k =-2 8．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*A 是A 的伴随阵，那么：___________。

A ． 0≠*AB ． ()0R A *= C ． 1-*=n AA D ． 2)(≤*A R9．设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是：A ． A 的列向量线性无关B ． A 的列向量线性相关C ． A 的行向量线性相关D ． A 的行向量线性相关10．如果⎝⎛=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k 应为：________。

西南交通大学网络教育学院线性代数在线作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。

(A)(B)(C)(D)你选择的答案： B [正确]正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。

2. 则。

(A)(B)(C)(D)你选择的答案： D [正确]正确答案：D解答参考：A错误，因为m<n ，不能保证R(A)=R(A|b) ；B错误，Ax=0 的基础解系含有n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n 。

3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。

(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。

(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组{ a 11 x 1 + a 12 x 2 +⋯+ a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2, ⋯⋯⋯⋯a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m }的系数矩阵为A,增广矩阵为A ¯,则它有无穷多个解的充要条件为。

(A) R(A)=R( A ¯)<n(B) R(A)=R( A ¯)<m(C) R(A)<R( A ¯)<m(D) R(A)=R( A ¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, α s (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵A的特征值为1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0 的基础解系的是(A) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 +2 α 2 + α 3(B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1(C) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1(D) α 1 − α 2 ,0, α 2 − α 3正确答案：C解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。

19春地大《线性代数》在线作业一(判断题)1:满足A的平方=A的n阶方阵的特征值的和等于1.A:错误B:正确标准解答:(判断题)2:如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)3:两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵A:错误B:正确标准解答:(判断题)4:满秩方阵的列向量组线性无关。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)5:反对称矩阵的主对角线上的元素和为0A:错误B:正确标准解答:(判断题)6:(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)7:对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)A:错误B:正确标准解答:(判断题)8:等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)9:矩阵的合同关系是等价关系A:错误B:正确标准解答:(判断题)10:若A某=0只有零解，那么A某=b有唯一解。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)11:两个矩阵A与B，若AB=0则一定有A=0或者B=0A:错误B:正确标准解答:(判断题)12:n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.A:错误B:正确标准解答:(判断题)13:A某＝b有无穷多解，那么A某=0有非零解。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)14:两个对称矩阵不一定合同。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)15:如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)16:如果线性方程组的系数矩阵满秩则该方程组一定有解且解是唯一的。

A:错误B:正确标准解答:(判断题)17:如果方阵A是不可逆的，则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合A:错误B:正确标准解答:(判断题)18:齐次线性方程组任意两个解之线性组合仍然是原方程组的解A:错误B:正确标准解答:(判断题)19:相似的两个矩阵的秩一定相等。

线性代数机算与应用作业题学号： 姓名： 成绩： 一、机算题1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。

（1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()TAB ，T T B A 和()100AB（3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1A -和1B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。

解 输入：A=round(rand(5)*10)B=round(rand(5)*10) 结果为：A =2 4 1 63 2 2 3 74 4 9 4 25 3 106 1 1 9 4 3 3 3B =8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3（1）输入：A+B 结果为：ans=10 10 6 10 122 4 5 11 1213 14 9 12 610 20 12 1 414 9 10 12 6输入：A-B结果为：ans =-6 -2 -4 2 -62 0 13 -4-5 4 -1 -8 4-4 0 0 1 -24 -1 -4 -6 0输入：6*A结果为：ans =12 24 6 36 1812 12 18 42 2424 54 24 12 3018 60 36 6 654 24 18 18 18 （2）输入：(A*B)'结果为：ans =82 112 107 90 135100 121 107 83 12280 99 105 78 10761 82 137 121 10978 70 133 119 134输入：B'*A'结果为：ans =82 112 107 90 135100 121 107 83 12280 99 105 78 10761 82 137 121 10978 70 133 119 134输入：(A*B)^100结果为：ans =1.0e+270 *1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.63991.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.94992.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.43132.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.02682.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 （3）输入：D=det(A)结果为：D =5121输入：D=det(B)结果为：D =-9688输入：D=det(A*B)结果为：D =-49612248（4）输入：inv(A)结果为：ans =0.0217 -0.0662 -0.0445 -0.0135 0.14530.1845 -0.1582 0.0264 0.0475 -0.0334-0.3199 0.2742 -0.0457 0.1178 -0.00880.1707 0.0283 -0.1343 0.0471 -0.0002-0.1619 0.1070 0.2785 -0.1877 -0.0490 输入：inv(B)结果为：ans =0.1726 -0.1560 0.0357 -0.0667 -0.0471-0.2642 0.2693 0.1786 0.2157 -0.20070.1982 -0.2957 -0.3214 -0.0993 0.4005-0.1305 0.1478 0.1429 0.0050 -0.05530.0818 0.0577 -0.0357 -0.0316 -0.0223 （5）输入：rank(A)结果为：ans =5输入：rank(B)结果为：ans =5 2．求解下列方程组（1）求非齐次线性方程组12341234123412342245 14171278776652921710x x x xx x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪-+-+=⎪⎨+++=⎪⎪--+-=⎩的唯一解。

1下面论断错误的是(C)。

A)若干个初等阵的乘积必是可逆阵B)可逆阵之和未必是可逆阵C)两个初等阵的乘积仍是初等阵D)可逆阵必是有限个初等阵的乘积2下列说法错误的是（C）A)若n阶线性方程组Ax=b的系数矩阵行列式|A|≠0，则该方程组存在唯一解；B)若n阶线性方程组Ax=0的系数矩阵行列式|A|≠0，则该方程组只有零解；C)一个行列式交换两列，行列式值不变；D)若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零3A)PA=BB)AP=BC)PB=ADBP=参考答案：B4设A为3阶矩阵且行列式|A|=0，则下列说法正确的是（C）A)矩阵A中必有一列元素等于0B)矩阵A中必有两列元素对应成比例C)矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合D)矩阵A中任一列向量是其余列向量的线性组合5设矩阵A=(aij)mxn的秩为r，则下列说法错误的是（D）A)矩阵A存在一个阶子式不等于零；B矩阵A的所有r 1阶子式全等于零C)矩阵A存在r个列向量线性无关D)矩阵A存在m-r个行向量线性无关6设A是m*n阶矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为t，则下列结论成立的是（C）A)r>tB)r<="" div="" style="box-sizing: border-box;"> C)r=tD)r与t的关系不定7(10.0分)对n阶实矩阵A和非零常数k，下列等式中正确的是（B）A)|kA|=k n AB)|kA|=k n|A|C)|kA|=k|A|D)|kA|=kA8(10.0分)设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是( B)。

A)A与B等价的充要条件是rank(A)=rank(B)B)若A与B等价，则|A|=|B|C)A与B等价的充要条件是存在可逆阵P、Q ，使A=PBQD)A可逆的充要条件是A等价于E n9设n阶实方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则下列关系式成立的是( D）A)ACB=EB)CBA=EC)BAC=ED)BCA=E10(设A和B皆为n阶实方阵，则下面论断错误的是( D)。