《线性代数(一)》2011年下半年第一次

2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。

本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。

一、第一节：向量与矩阵1. 2010年考题考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。

最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。

在本题中，通过计算可知行最简形为：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此，向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。

2. 2014年考题考题描述：设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]，若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\]，其中\[I\)为单位矩阵，求矩阵\[B\)的秩。

《线性代数》第一章习题解答1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列.（1） 41253 （2）654321 （3）(1)(2)321n n n --⋅⋅ 解：（1）(41253)4τ=偶排列（2）(654321)15τ=奇排列（3）12((1)321)(1)n n n n τ-⋅⋅=- ， 当441n =ℜℜ+或时：偶排列 当4243n =ℜ+ℜ+或时，奇排列.2．设四阶行列式1325127064311916231419--，试求：142232,,A A A .解：14141270(1)4311908162314A +=--=， 2222125(1)4119803161419A +-=--=-，2332125(1)1206660161419A +-=-=-3．设四阶行列式1241111125683152----，试求：41424344.A A A A +++ 解：4142434412411111025681111A A A A -+++==-.4．计算下列行列式：（1）352423124-（2）11121321223100a a a a a a （3）1210032141031263------（3）14232432333441424344000000a a a a a a a a a a （5）100110011001a b c d ---（6）0000a b aa ab b a a a b a （7）1111111111111111x xy y+-+-解：（1）-69 （2）132231a a a -（3）0 （4）14233241a a a a（5）1abcd ab cd ad ++++（6）222(4)b b a -（7）22x y 5．证明：（1）22322()111a ab b aa b b a b +=-（2）33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b y zx az bxax by ay bz zxy++++++=++++ （3）222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++(4)222244441111()()()()()()()a b c da b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++解：证明略. 6．已知：0231111xy z=，求下列各行列式的值. （1）11133323111xyz （2）111134111x y z --- （3）33436111xyzxy z x y z +++++解：（1）13（2）1 （3）2 7．n 阶行列式111213121222323132333123nnn n n n n nna a a a a a a a D a a a a a a a a =中，若： ,1,2,,ij ji a a i j n =-= 那么称n D 为反对称行列式（n 阶）.证明：奇数阶反对称行列式等于零.证明：11213111112131122232221222321132********333123123nn n n n n n nnn nnn nnnna a a a aaa a a a a a a a a aD a a a a a aa a a a a a a a a a --------==--------21(1)(1)n n n n D D D ℜ+=-⋅=-=-，0n D ∴=.8． 计算n 阶行列式（1）00010200100000n n-（2）010000200010n n-（3）000000000x y x x y yx（4）121212n nn mx m x x x x m x x x x ---（5）12311100002200011n n n n-----（6）1231111111111111111na a a a ++++（7）01211111001001n a a a a -(120n a a a ⋅≠ ) 解：（1）(3)2(1)!n n n +-⋅（2）1(1)!n n +-⋅ （3）1(1)nn nx y ++-（4）11()()nn i i m x m -=--∑（各列加到第一列）（5）1(1)(1)!2n n -⋅⋅+（各列加到第一列） （6）112211111111111100111n n a a a a D a ++++=+12111210000111n n n n n a a a D a D a a a ---=+=+12122121[]n n n n n a a D a a a a a a ----=++12123122121n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---==++++111(1)n ni i i ia a ===⋅+∏∑ (7) 1121011()n n n i ia a a a a a --=-∑ (各列乘1i a -加到第一列11i n ≤≤-) 9． 证明： （1）（2）cos 100012cos 100cos()012cos 00012cos n ααααα=（3）123112231111000000(1)00000n n nin i in n na x a a a a x x x x a x x x x x x -=--+--=+-∑，这里 1230n x x x x ⋅⋅⋅⋅≠ .（4）11000100()01000001n n a b ab a b aba b a b a ba ba b++++-=≠+-+证明：（1）左121212110000100001n n nn n xx C xC a a a x a x a x a -----+-+++211211010000010001n n nn in i i C xC C xC x a x x a ---=--++-++∑111(1)()(1)nn nn i n i i x a x +--==-+⋅-∑111n n n x a x a x x --=++++ =右（2）当1n =时成立，设当n k =时成立，则当1n k =+时，行列式按第1k +行展开1cos 1012cos 02cos 2cos 011D D θθθθℜ+ℜ=⋅-12cos 2cos cos cos(1)cos(1)D D k k k θθθθθℜℜ-=⋅-=⋅--=+故命题成立. （3）.31121231121110001100(1)()0001000011n n n na a a a a x x x x x n j n x x x χ--+--≤≤-j 各列提出因子左32231121210100)()011001in inna a a a x x x x i n n C C C x x x =++++-∑121()(1)ii na n x i x x x ==+∑ =右 （4） 00001000000001n a a b ab D a b ab a b+==+++左 00010000001b ab a b ab a b ab a b+++=110001000001n a a b ab a D ba b -+⋅++1100001000001n b ab a D ba b-=⋅++ 1n n a D b -=⋅+同理由,a b 的对称性，可得：1n n n D b D a -=⋅+两式联立消去1n D -，得11n n a b n a bD ++--=10．利用范德蒙行列式计算（1）1111437516949256427343125--（2）1111234514916182764解：（1）10368 （2） 12 11．用拉普拉斯定理计算下列行列式（1）560001560015600015600015（2）a a a b x y yb y x y byy xλ解： （1）56016056501560561516015015D =⋅-⋅=665 （2）0000000a a a a bx y y y y x x y D y x x y x yλ--=---(1)(2)00000000000n a a a a b x n yy y y x y x y x yλ-+--=--00000000(1)0000(2)00000x y x y n a x y bx n yx y x yλ----=⋅+---2[(2)(1)]()n x n y n ab x y λλ-=+-⋅---12. 用克莱姆法则解下列线性方程组（1）123412423412342583682254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩（2）123412341234123425323321348256642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎪--+=⎩解：（1）123427,81,108,27,27∆=∆=∆=-∆=-∆=12343,4,1,1x x x x ==-=-=（2）123417,34,0,17,85∆=∆=-∆=∆=∆= 12342,0,1,5x x x x =-===13. 求k 的值，使下列方程组有非零解0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：211113404 1.211kk k k k ∆=-=--=∴==--或k 14．设有方程组33331x y z ax by cz d a x b y c z d ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩试求它能用克莱姆法则求解的条件，并求出解. 解：333111()()()()0a bc b a c a c b a b c a b c ∆==---++≠,,,0a b a c b c a b c ∴≠≠≠++≠时有解，且解为：123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()b dcd c b d b c x b a c a c b a b c d a c a c d d b c x b a c a c b a b c b a d a d b a b c x b a c a c b a b c ---++=---++---++=---++---++=---++14. 设121222212111111211111()n n n n n n n xa a a F x xa a a x a a a -------=，其中11,n a a - 互不相同。

|||生活|一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..|-----郭敬明线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

线性代数一一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设行列式|1212k 0110|，则k 的取值为（ C ）A. -1B.0C. 2D. 12.设k 为不为零的实数，则k ×|1234|=（ B ） A.|1k 234| B.|1k 2k 34| C.|1k 2k 3k 4| D.|1k 2k 3k 4k|3.设矩阵A=[-1 2]，B=[1 -1]T ，则AB=（ D ）A. 1B. -3C. [-2]D. [-3]4.对任意n 阶方阵A 、B ，总有（B ）A. AB=BAB.|AB|=|BA|C. (AB)T =A T B TD. |A T |=-|A|5.矩阵A=[143286012] 的秩为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知A 是三阶矩阵，则|-2A|=（C ）A. -2|A|B. -6|A|C. -8|A|D. 6|A|7.当k=（ B ）时，方程组{kx1+x2+x3=02x1+x2+x3=0x1−x2+3x3=0有非零解A. 1B. 2C. 3D. -18.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，1，0，则|A+E|=（ B ）A. 3B. 6C. 9D. 129.若A 和B 相似，则下列说法错误的为（ B ）A. A 与B 等价B. A 与B 合同C. |A|=|B|D. A 与B 有相同的特征值10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，3，0，则（ A ）A. A 正定B. A 半正定C. A 负定D. A 半正定二、填空题（每空2分，共10分）1. |311131113|=（ 45 ）2. A= [23−1312]，B=[−12342−1]，A-B=（ [31−4−1−13] ）3. 设向量（2,4,-1）与（-2，k,1）线性相关，则k=（ -4 ）4. 设矩阵A=[101210010]，已知α=[121]是A 的一个特征向量，则α所对应的特征值为（2）5矩阵A=[10202020−3]所对应的二次型X T AX=（ x 2+2y 2-3z 2+4xz）三、简答题（每小题10分，共40分）1.通过对线性代数的学习，请谈谈对矩阵和行列式的理解。