等比数列的性质及应用

等比数列的性质及其应用等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比值相等。

具体地说，如果一个数列的首项为a1，公比为q，那么它的第n个项an应该为an=a1*q^(n-1)。

等比数列常常出现在各种数学问题中，尤其是有关增长和衰减的问题，同时也被广泛地应用在物理、工程、经济和环境等领域。

在本文中，我们将介绍等比数列的一些基本性质，以及它们在实际问题中的应用。

1. 比率在等比数列中，每一项和前一项的比值是相等的。

如果我们设第k 项和第k-1项的比值为r，那么有r=ak/ak-1=q，其中q为等比数列的公比。

这意味着，对于任意两项之间，你都可以用它们的比率r = ak / ak-1 来计算它们之间的关系。

2. 前n项和等比数列的前n项和可以用下面的公式来计算：sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1是等比数列的首项，q是等比数列的公比。

3. 通项公式中的a1和q等比数列的通项公式是an=a1*q^(n-1)。

从这里可以发现，当我们知道首项和公比时，我们可以轻松地计算出数列中的任何一项。

另外，如果我们知道数列中的两项，我们也可以计算出公比和首项。

4. 应用等比数列在各种实际问题中都有广泛的应用。

以下是一些例子：成倍增长：如果一个流行病的感染者数量每天都成倍增长，那么这个增长就可以被建模为一个等比数列。

在这种情况下，第n天的感染者数量可以表示为P=Pa^(n-1)，其中P是第n天的感染者人数，Pa是第一天的感染者人数，a是增长的倍数（公比）。

污染问题：如果我们知道一个环境污染物的衰减速率和初始浓度，那么等比数列就可以被用来建立这个污染物的浓度随时间变化的模型。

在这种情况下，等比数列的首项是污染物的初始浓度，公比是污染物每一次衰减的比率，数列的第n项则是随着时间推移被衰减后的污染物浓度。

财务问题：等比数列也被用来描述各种财务问题中的增长或衰减。

例如，如果一笔投资的每年增长率是10%（利率固定），那么等比数列就可以被用来计算出投资在未来数年中的总价值。

高中数学等比数列的性质及应用策略数列是高中数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊情况。

在学习数列时，我们经常会遇到等比数列的问题。

本文将重点讨论等比数列的性质以及应用策略，帮助高中学生更好地理解和运用等比数列。

一、等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为an = ar^(n-1)。

1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是关键，它可以帮助我们求解等比数列中的任意一项。

通过观察数列中的规律，我们可以发现每一项与前一项的关系，从而得到通项公式。

例如，考虑等比数列1，2，4，8，16，...。

我们可以发现每一项都是前一项乘以2，即an = 2 * an-1。

而首项为1，因此通项公式为an = 2^(n-1)。

2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。

求解等比数列的前n项和可以帮助我们计算数列的总和，从而解决实际问题。

等比数列的前n项和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。

这个公式可以通过数学归纳法证明得出。

例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以计算出前3项的和为7，前4项的和为15，前5项的和为31，依次类推。

二、等比数列的应用策略等比数列在实际问题中有着广泛的应用。

在解决问题时，我们可以运用等比数列的性质和应用策略，快速解决问题。

1. 求解未知项通过等比数列的通项公式，我们可以根据已知的首项和公比求解数列中的任意一项。

这在实际问题中非常有用。

例如，某公司的年收入是等比数列，已知第1年的收入为100万元，公比为1.2。

我们可以利用通项公式an = 100 * (1.2)^(n-1)求解第5年的收入为多少。

2. 求解总和通过等比数列的前n项和公式，我们可以计算数列的总和。

这在求解累加问题时非常方便。

例如，某人每天存钱，第1天存1元，第2天存2元，第3天存4元，以此类推。

等比数列的性质与应用教学备课一、引言在数学中，数列是一个非常重要的概念，而等比数列是其中一种特殊的数列。

等比数列具有独特的性质和广泛的应用，因此在教学中备课时，我们需要全面了解等比数列的性质，并掌握其应用方法。

本文将针对等比数列的性质和应用进行教学备课。

二、等比数列的定义与性质1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中任意两项的比例都相等的数列。

如果一个数列的任意两项之间的比例都相等，那么这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示首项，q表示公比。

3. 等比数列的公比和首项的关系：公比q是等比数列中任意两项之间的比值，即q = an / a(n-1) =a(n+1) / an-1。

通过公式的转换，我们可以得到公比和首项之间的关系：q = (an)^(1/n)。

4. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。

三、等比数列的教学应用1. 等比数列在几何图形中的应用：等比数列可以用于描述几何图形中的一些特殊性质。

例如，在正多边形中，每条边的长度可以构成一个等比数列。

在绘制正多边形的过程中，学生可以通过等比数列的概念，计算出每一条边的长度，从而完成几何图形的绘制。

2. 等比数列在利润计算中的应用：在经济学中，等比数列可以用于计算利润的增长情况。

假设某公司的利润年增长率为10%，那么每年的利润可以构成一个等比数列。

通过利用等比数列的性质，我们可以根据首年的利润和公比，计算出未来多年的利润情况，为企业的发展提供参考依据。

3. 等比数列在科学实验中的应用：在科学实验中，等比数列可以用于描述某种物质的增长或变化规律。

例如，在细胞分裂的过程中，每次分裂细胞的数量可以构成一个等比数列。

通过等比数列的性质，我们可以计算出每一次分裂后细胞的数量，从而推断出整个分裂过程的变化趋势。

等比数列的性质及应用与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22233610812n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，有t kp m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若99123992a a a a =···…·，求50a ． 解：19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为mq （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．设112341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。

初中数学知识归纳等比数列的性质与应用初中数学知识归纳：等比数列的性质与应用在初中数学学习中，等比数列是一个重要的概念。

它的性质和应用广泛存在于各类数学题目中。

本文将对等比数列的性质与应用进行归纳和阐述。

一、等比数列的基本性质等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与它的前一个数的比等于一个常数。

该公比常被表示为q。

1. 公比的概念公比q是等比数列中相邻两项的比值，可以通过以下公式计算：```q = 第n项 / 第(n-1)项```其中，n表示数列的项数。

在等比数列中，任意两项之间的比值都相等，即相邻两项的比值等于公比q。

2. 通项公式等比数列的通项公式可以根据已知条件得到。

设首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则通项公式为：```aₙ = a₁ * q^(n-1)```这个公式可以帮助我们直接计算等比数列中任意一项的值。

3. 等差数列与等比数列的区别等比数列与等差数列是两个不同的数列概念。

在等差数列中，两个相邻项之间的差是常数，而在等比数列中，两个相邻项之间的比是常数。

因此，等比数列中的项之间的增长或减小呈倍数关系，而等差数列中的项之间的增长或减小是固定的。

二、等比数列的应用等比数列的性质使得它在各类数学题目中有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用场景。

1. 成绩评定某班级的同学们在一次数学测验中，考试分数符合等比数列的规律。

已知第1位同学得了80分，而第5位同学得了5分。

我们可以利用等比数列的通项公式来求得第n位同学的分数。

设第n位同学的分数为aₙ，则有：```a₁ = 80a₅ = 5q = a₅ / a₁ = 5 / 80```带入通项公式，我们可以得到：```aₙ = 80 * (5 / 80)^(n-1)```这样我们就可以根据题目给出的条件，计算任意一位同学的分数。

2. 几何图形等比数列的概念也与几何图形有关。

例如，在绘制分形图形时，我们经常使用等比数列来确定各个图形的大小比例。

等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。

在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。

1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。

假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。

等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。

2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。

以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。

例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。

根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。

2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。

例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。

在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。

2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。

例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。

2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。

利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。

3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。

通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。

3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。

等比数列的性质与应用等比数列（geometric progression）是指数列中任意两个相邻项的比等于同一个常数的数列。

在数学中，等比数列具有一些独特的性质和应用，本文将介绍这些性质以及如何应用等比数列解决一些实际问题。

一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比例都相等。

具体而言，如果一个数列满足对于任意的正整数 n，都有 an/an-1 = r (r ≠ 0)，其中an 表示数列的第 n 项，an-1 表示数列的前一项，r 表示公比，则该数列可以被称为等比数列。

二、等比数列的性质1. 公比的性质等比数列的公比 r 是决定数列特征的重要因素。

当 r 大于 1 时，数列呈现递增的趋势；当 0 < r < 1 时，数列呈现递减的趋势；当 r 等于 1 时，数列的各项相等；当 r 小于 0 时，数列的各项交替变号。

2. 通项公式对于等比数列的通项公式，即 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示数列的首项，an 表示数列的第 n 项。

3. 等比数列的和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) 求得。

三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，特别是在金融、工程、物理等领域中。

以下将介绍一些等比数列的典型应用。

1. 财务投资在财务投资中，利率往往以等比数列的形式递增或递减。

通过计算等比数列的前 n 项和，可以帮助投资者评估不同时间段内的资金增长情况，从而做出更明智的决策。

2. 网络传输等比数列在网络传输中的应用非常广泛。

例如，下载文件时，下载速度可能以等比数列递增或递减；发送数据包时，包的大小可能以等比数列的形式递增或递减。

3. 器械运动许多器械运动（如弹簧）的行为都可以通过等比数列来描述。

器械的某些性质随着使用次数的增加而发生变化，这种变化往往符合等比数列的规律。

4. 科学实验在科学实验中，等比数列被广泛用于模拟实验数据。

等比数列的性质与应用等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数被称为公比。

等比数列的性质与应用在数学中具有重要的地位和应用价值。

一、等比数列的性质1. 公比的性质：在等比数列中，公比不为0。

当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。

2. 通项公式：对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ... ，若 a₁是首项，r 是公比，n 是项数，则第 n 项 aₙ = a₁ * r^(n-1)。

3. 特殊性质：若等比数列的首项不等于0，则任意一项都不为0。

若等比数列的首项为a，公比为r，则数列中除了首项以外的其他项的和为 S = a * (r^n - 1) / (r - 1)。

二、等比数列的应用1. 高利贷问题：高利贷问题中的本金和利息往往呈现等比数列的关系。

通过计算等比数列的和，可以帮助我们理解高利贷背后的利息计算原则，并避免陷入高利贷的陷阱。

2. 折半查找算法：在计算机科学中，折半查找算法常常运用等比数列的性质。

该算法通过将查找范围不断折半，缩小查找范围，直到找到目标元素为止。

这种算法的时间复杂度为 O(log n)，具有高效的特点。

3. 复利计算：在金融领域中，复利计算常常与等比数列紧密相关。

当存款、贷款或投资的利率按照一定的期限计算时，利息会按照等比数列的方式不断增长。

通过对等比数列的计算，可以帮助我们了解复利计算的规律，指导我们做出科学的理财决策。

总结：等比数列作为一种数学工具，具有重要的性质和广泛的应用。

通过了解等比数列的性质，我们可以在数学问题中灵活运用，提高解题能力；同时，等比数列的应用也渗透到各个领域，为我们解决实际问题提供了理论和方法支持。

因此，熟练掌握等比数列的性质和应用，对于我们的数学学习和实际生活都具有积极的意义和影响。

等比数列的性质与应用等比数列，又称为几何数列，是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比。

等比数列常用的表示形式为：a，a*r，a*r^2，a*r^3，……等比数列的性质涉及到数列的通项公式、前n项和、无穷项和以及与其他数学概念的关系等方面。

在此，本文将从这些方面介绍等比数列的性质和应用。

一、数列的通项公式对于等比数列来说，其通项公式可以通过以下方式得出：假设第一项为a，公比为r。

首先，我们可以观察到每一项与其前一项之间的关系，即：第二项：a*r第三项：a*r*r = a*r^2第四项：a*r*r*r = a*r^3由此可见，等比数列的第n项可以表示为a*r^(n-1)。

二、前n项和计算等比数列的前n项和可以使用以下公式：前n项和 = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为公比。

这个公式可以通过数学归纳法得到证明。

三、无穷项和无穷项和是指等比数列所有项的和在n趋向于无穷时的极限值。

对于绝对值小于1的公比，等比数列的无穷项和存在并且可以通过以下公式计算得出：无穷项和 = a / (1 - r)这个公式也可以通过数学推导得到。

应用：等比数列在现实生活中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 财务问题在财务领域中，利息、折扣和股价等问题往往涉及到等比数列。

例如，在银行存款中，如果某笔存款按照一定的年利率计算利息，并且每年将利息和本金一起再次存入银行，那么存款的金额就构成了一个等比数列。

2. 科学研究等比数列在科学研究中也有着广泛的应用。

例如，在生物学中，细胞的数量经常呈现出等比数列的规律。

通过研究和分析等比数列的性质，可以更好地理解和描述细胞的生长和变化过程。

3. 工程问题在工程问题中，等比数列常常用于计算材料的消耗和成本的增长。

例如，在建筑施工中，某种材料的每层用量都是前一层用量的3倍，那么每层用量就可以表示为一个等比数列。

等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。

在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。

一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。

这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。

用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。

二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。

设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。

2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。

求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。

3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。

当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。

当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。

4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。

这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。

这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。

三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。

我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。

2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。

通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。

等比数列的性质与应用等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一些独特的性质和广泛的应用。

在本文中，我们将介绍等比数列的性质，并讨论它在实际问题中的应用。

一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一个项与它前一项的比值都相等。

这个比值被称为公比，通常用字母q表示。

具体地，如果一个数列满足an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，则称该数列为等比数列。

二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以为正数、负数或零。

当q>1时，数列呈递增趋势；当0<q<1时，数列呈递减趋势；当q=1时，数列呈恒定趋势；当q<-1时，数列呈震荡趋势。

2. 通项公式：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。

3. 求和公式：等比数列的前n项和可通过求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1) 来计算，其中Sn表示前n项和。

4. 任意项与首项的关系：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出an和a1的关系为an = a(k) * q^(n-k)，其中a(k)是该数列的第k 项。

三、等比数列的应用等比数列在实际问题中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个常见应用。

1. 财务领域：等比数列被广泛应用于财务计算中，特别是复利计算。

当某笔资金按照一定的利率复利计算时，投资者的收益往往呈现等比数列的形式。

2. 几何学：在几何学中，等比数列被用于描述一些几何图形的性质。

例如，等比数列可以用来计算等比比例图中的边长，或者描述螺旋线的形成过程。

3. 自然科学：等比数列在自然科学中也有一些应用。

例如，生物学中的细胞分裂过程和物理学中的波动传播过程都可以使用等比数列来描述。

4. 经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述一些经济指标的增长或者下降趋势。

例如，人口增长、GDP增长等都可以看作是等比数列。

等比数列的性质及应用等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值均相等的数列。

在数学中，等比数列有许多重要的性质和应用。

本文将详细介绍等比数列的性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、等比数列的基本性质1. 公比在等比数列中，公比表示相邻两项之间的比值。

如果一个等比数列的首项是a，公比是r，那么第n项可以表示为an=a×r^(n-1)。

公比r的绝对值决定了数列的增长或者减小趋势。

2. 通项公式对于一个等比数列，通项公式可以通过首项和公比来表示。

在上述的an=a×r^(n-1)公式中，an表示第n项，a表示首项，r表示公比。

3. 前n项和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn=a×(1-r^n)/(1-r)。

其中，Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。

二、等比数列的应用举例等比数列在各个领域都有着广泛的应用。

下面将介绍一些典型的应用。

1. 财务领域在财务领域，等比数列的应用极为常见。

例如，复利是指一笔资金在每个计息期内的增长情况，而复利的计算正好是一个等比数列的求和问题。

另外，企业盈利的增长也可以用等比数列进行建模和预测。

2. 科学研究在科学研究中，等比数列经常被用来描述和解决问题。

例如，放射性衰变的过程可以用等比数列描述，其中公比为衰变常数。

此外，生物群落中物种数量的变化、病毒感染的传播速度等现象也可以用等比数列进行建模。

3. 工程技术工程技术领域也广泛应用了等比数列。

例如，电路中的电阻、电容和电感等元器件的数值序列通常是按等比数列排列的。

此外，工程建设中材料的使用量、工作人员数量的调配等问题也可以通过等比数列来计算和规划。

4. 数学教育等比数列是数学教育中不可或缺的一部分。

通过学习等比数列的性质和应用，可以帮助学生提高数学思维能力和问题解决能力。

等比数列也经常被用作基础数学题目和竞赛数学题目的考察内容。

总结：通过上述的介绍，我们可以看出等比数列具有重要的性质和广泛的应用。

考纲传真1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.1．等比数列2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则a m·a n＝a p·a q＝a2k.(2)通项公式的推广：a n＝a m q n－m(m，n∈N*)(3)公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n不一定构成等比数列．(4)若数列{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{1a n}，{a2n}，{a n·b n}，{a nb n}(λ≠0)仍是等比数列．高三数学学案第12期课题：等比数列性质及应用第12课时第四部分数列1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12『解析』 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 『答案』 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11『解析』 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2， 则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5S 2＝－11. 『答案』 A3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 『答案』 B4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________． 『解析』 ∵S 3＝21，q ＝4，∴a 1（1－q 3）1－q ＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.『答案』 4n －15．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．『解析』 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝1－（－2）53＝11. 『答案』 11(1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n .『思路点拨』 建立关于a 1与公比q 的方程，求出基本量a 1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．『尝试解答』 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2（1＋q 2）＝5q ， ② 由①得a 1＝q ；由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n .『答案』 2n(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4[1－（－12）n ]1－（－12）＝83『1－(－12)n 』．,1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．(2013·泰安调研)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .『解』 (1)设公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2（1a 1＋1a 1q），a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64（1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4）.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n＝4n －14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.(2013·徐州质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．『思路点拨』 正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问． 『尝试解答』 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d .依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．,1．本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．证明数列{a n }是等比数列一般有两种方法： (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)．(1)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．『解析』 (1)由题意知a n －2a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.『答案』 2n ＋1－2(2)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ，∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1. 又∵a 1－1＝－12，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，∴数列{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．则c n ＝－12×(12)n －1＝－(12)n ，∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .(1)(2013·嘉兴模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90 (2)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．『思路点拨』 (1)利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列的性质求解；(2)灵活应用a 2n ＝a n －1·a n ＋1，求a 1与公比q ，进而求出a n ，b n ，然后利用裂项相消法求和． 『尝试解答』 (1)∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴S 3·(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)2，又S 3＝40，S 6＝40＋20＝60， ∴40(S 9－60)＝202，故S 9＝70. 『答案』 B(2)①设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .②b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2『(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)』＝－2n n ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2nn ＋1.,1．本题充分利用已知条件，数列的性质，简化了运算．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)(2012·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2『解析』 (1)由于a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，a 4＋a 7＝2，∴a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解之得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝4×(－2)＋(－2)×(－12)＝－7，当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－2－2＋4×(－2)＝－7.(2)∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，且a n ＞0，∴a n ＝2n ，∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1， ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.『答案』 (1)D (2)C已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.『思路点拨』 (1)可用基本量法求解；(2)作差a n ＋1－a n ＝c nb n .『尝试解答』 (1)由已知a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(∵d ＞0)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 （n ＝1）2·3n －1 （n ≥2）.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32010)＝32 010.,1．本题中第(2)题相当于已知数列{c n b n }的前n 项和，求c nb n.2．在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式．本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差a n ＋1－a n 时，要注意n ≥2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．『解』(1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2) 将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1. 上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和公式． 两个防范1.由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止忽略q ＝1这一特殊情形．两种方法证明{a n }是等比数列的主要方法：(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n 项和公式及等比数列的性质，各种题型均有可能出现．注重等比数列与相关知识综合交汇，或“非标准”的等比数列是命题新的生长点．创新探究之七 等比数列与三角函数的交汇创新(2011·福建高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．『规范解答』 (1)由q ＝3，S 3＝133，得a 1（1－33）1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．创新点拨：(1)等比数列和三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力． (2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，放在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．应对措施：(1)采取先局部，后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数，再从整体上考虑两部分知识之间的联系．(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面考虑．1．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 『解析』 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋1a n ＝q ，①中，f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，∴①满足定义，②中，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2(q －1)a n 不满足定义．对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1a n|＝|q |满足定义． 对于④，取a n ＝2n ，则f (a n )＝ln|2n |＝n ·ln 2不是等比数列． 综上知，①、③是“保等比数列”函数． 『答案』 C2．(2012·陕西高考)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)对任意k ∈N *，证明S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 『解』(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3. 由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)证明 对任意k ∈N *，由(1)知，S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2＝S k ＋a k ＋1－2a k ＋1＝S k －a k ＋1， 且S k ＋1＝S k ＋a k ＋1，∴S k ＋2＋S k ＋1＝2S k ，从而对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．。

知识点什么是等比数列
等比数列是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍等比数列的定义、性质以及一些常见的应用。

一、等比数列的定义
等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比
值都相等。

这个比值称为公比，通常用字母q表示。

具体地说，设等
比数列的第一项为a1，公比为q，则该数列的通项公式为an = a1 *
q^(n-1)。

二、等比数列的性质
1. 任意一项与它的前一项构成的比值都相等。

2. 两个非零项的比值不受它们具体数值的影响，只与它们在数列中
的位置有关。

3. 等比数列的前n项和为Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中n为正整数。

三、等比数列的应用
1. 财务领域：等比数列可以用来计算复利的增长情况。

例如，一个
初始金额为a1的投资，在每年以相同的比率q增长。

那么经过n年，
它的价值为an = a1 * q^(n-1)。

2. 自然界中的现象：某些自然现象的变化规律可以用等比数列来描述。

比如，细菌繁殖的数量、物种的进化过程等。

3. 几何问题：等比数列可以与几何图形相联系。

例如，等比数列的前n项和可以与等比数列的“部分和”的面积相联系。

4. 算法设计：在编程中，等比数列的概念常常用于设计算法，特别是循环结构的算法。

总结：
等比数列是数学中一种重要的数列，具有许多特点和应用。

它的定义、性质和应用可以帮助我们更好地理解数学知识和解决实际问题。

无论在数学学习中，还是在日常生活中，了解和运用等比数列都具有重要意义。

等比数列通项的性质及应用一．知识整理 1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q≠0），即：)0(:1≠=-q q a a n n 2.等比数列的通项公式 通项公式为11-⋅=n nq a a3.等比数列的通项公式推广：m n m n q a a -⋅= 4．等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k，…仍是等比数列，公比为q k；一、等比数列通项的性质及应用1.在等比数列中，若696,9a a ==，则3a =.【解答】.42.等比数列{}n a 中，3021=+a a ，6043=+a a ，则=+87a a ．【解答】2403.｛n a ｝是公比为2的等比数列，且28741a a a a ++++ =100，则30963a a a a ++++ 等于．【解答】4004.等比数列{}n a 中，0n a >3632a a •=，则212228log log log a a a +++=变式1等比数列{}n a ，____________,10,5654987321===a a a a a a a a a 则 变式2已知等比数列{}n a 各项为正数，且3是1032163a a a a a a 的等比中项，则和=__________________5.在等差数列{}n a 中，若010=a ， 则有等式n na a a a a a -+++=+++192121 ()*∈<N n n ,19成立。