2.4.2等比数列的基本性质及其应用

第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.知识点一 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列.答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.梳理 (1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：123,,,,,,n k k k k a a a a ……若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么123,,,,,n k k k k a a a a ……是等比数列.(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}是等比数列.知识点二 等比数列的性质思考 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2，n ∈N *)是否成立？ 答案 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立.同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立. 梳理 一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).1.a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n －1.(√)2.等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列.(√)3.若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列.(×)类型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{a n }中. (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34， ∴a n ＝a 4·qn －4＝2·(34)n －4＝22543332(2)2.n n --⋅=(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n －1＝2n .反思与感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0. 跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 5＝________；(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2·…·a n 的最大值为__________. 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 答案 (1)8 (2)64解析 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝164＝4，∴q 2＝2.∴a 5＝a 3q 5－3＝4·q 2＝4×2＝8. (2)设该等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)[()]222411()(),22n n n ---== 当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取得最小值－6， 此时21749[()]2241()2n --取得最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64. 类型二 等比数列的性质 命题角度1 序号的数字特征 例2 已知{a n }为等比数列.(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n >0， ∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质，得 a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10) ＝log 395＝10.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题. 跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 128解析 ∵a 3a 5＝a 24＝4，a n >0， ∴a 4＝2.∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1a 7)·(a 2a 6)·(a 3a 5)·a 4 ＝43×2＝128.命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎨⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧.一般地，三个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题 解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )，2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.1.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( )A.2B.3C.4D.8考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案 A解析由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.2.在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于()A.9B.6C.3D.2考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案8解析设这8个数组成的等比数列为{a n}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.4.已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？考点等比数列的判定题点判断数列为等比数列解不是等比数列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列.1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1.在等比数列{a n }中，a 2 015＝8a 2 012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8考点 等比数列基本量的计算 题点 求等比数列公比 答案 A解析 ∵a 2 015＝8a 2 012＝a 2 012·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.16 考点 等比数列的判定 题点 判断数列为等比数列 答案 B解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8. 3.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000D.－10 000考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.4.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且 a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.解得q ＝26或q ＝36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13 B.3 C.±13 D.±3 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项均为正数，∴a 5＝1650. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.7.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2考点 等比数列基本量的计算 题点 利用基本量法解题 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. ∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.二、填空题8.设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18.9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10.在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·q 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 8解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. 三、解答题12.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，求{a n }的通项公式.考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 解 设数列{a n }的公比为q (q >0).∵a 1＋a 2＝2·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2， ∴a 1＋a 1q ＝2·1＋q a 1q ，即a 1＝2a 1q .①又∵a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，∴a 3(1＋q ＋q 2)＝64·q 2＋q ＋1a 3q 2，即a 3＝64a 3q 2.② 联立①②，解得q ＝2，a 1＝1， 故a n ＝2n －1(n ∈N *).13.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合 (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1， 因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22. 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4， 即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *).(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0， 所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12， a 7＝14，a 8＝18， S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N *时，a n ＞S n .四、探究与拓展14.已知等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A.2nB.2n 2C.n 2D.n考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析 log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1) 2222222121252522log ()log ()log (2)log 2.n n n n n n n a a a a n --=====15.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……也成等比数列，求数列{k n }的通项公式.考点 等比数列基本量的计算题点 利用基本量法解题解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3， ∴n k a ＝a 1·3n ＋1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n ＋1.。

等比数列的性质及其应用等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比值相等。

具体地说，如果一个数列的首项为a1，公比为q，那么它的第n个项an应该为an=a1*q^(n-1)。

等比数列常常出现在各种数学问题中，尤其是有关增长和衰减的问题，同时也被广泛地应用在物理、工程、经济和环境等领域。

在本文中，我们将介绍等比数列的一些基本性质，以及它们在实际问题中的应用。

1. 比率在等比数列中，每一项和前一项的比值是相等的。

如果我们设第k 项和第k-1项的比值为r，那么有r=ak/ak-1=q，其中q为等比数列的公比。

这意味着，对于任意两项之间，你都可以用它们的比率r = ak / ak-1 来计算它们之间的关系。

2. 前n项和等比数列的前n项和可以用下面的公式来计算：sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1是等比数列的首项，q是等比数列的公比。

3. 通项公式中的a1和q等比数列的通项公式是an=a1*q^(n-1)。

从这里可以发现，当我们知道首项和公比时，我们可以轻松地计算出数列中的任何一项。

另外，如果我们知道数列中的两项，我们也可以计算出公比和首项。

4. 应用等比数列在各种实际问题中都有广泛的应用。

以下是一些例子：成倍增长：如果一个流行病的感染者数量每天都成倍增长，那么这个增长就可以被建模为一个等比数列。

在这种情况下，第n天的感染者数量可以表示为P=Pa^(n-1)，其中P是第n天的感染者人数，Pa是第一天的感染者人数，a是增长的倍数（公比）。

污染问题：如果我们知道一个环境污染物的衰减速率和初始浓度，那么等比数列就可以被用来建立这个污染物的浓度随时间变化的模型。

在这种情况下，等比数列的首项是污染物的初始浓度，公比是污染物每一次衰减的比率，数列的第n项则是随着时间推移被衰减后的污染物浓度。

财务问题：等比数列也被用来描述各种财务问题中的增长或衰减。

例如，如果一笔投资的每年增长率是10%（利率固定），那么等比数列就可以被用来计算出投资在未来数年中的总价值。

2.4.2等比数列性质学案一.复习引入：问题：已知等比数列{}n a 中，179a a ⋅=，求26a a ⋅和35a a ⋅值，从中你有何结论？二.新课：等比数列性质探究类比等差数列的定义和性质，猜想等比数列对应的性质，并证明.1.证明性质（1）{}()+⋅=⋅∈比,,,,n n m p q a m n p q a a a a n m p q N 在等数列中:若＋＝＋，则2.证明性质(2){},(,)n m nn ma a q n m N a -+=∈在等比数列中，已知公比为q,则有例：1.在等比数列{}n a 中，已知15a =，910100a a =，求18a2. 在等比数列{}n a 中，352,8a a ==，求7a3. 在等比数列{}n b 中，32b =，求该数列前五项之积4.在等比数列{}n a 中，11,a =，公比1q ≠，若23m a a a =，求m 值.注意点：等比数列角标性质中要求等号两侧项数相同随堂练习： 1.已知等差数列{}n a 满足27124,a a a -+=数列{}n b 是等比数列，且77b a =，求311b b 值2. 已知等比数列{}n a 满足3424a a a =，求15a a3.已知等比数列{}n a 中各项均为正数，且+=564718a a a a ，求+31310log log a a 值4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13795,20a a a a ==，求46a a 值小结：等比数列的角标性质及通项公式的推广通过与等差数列的性质相类比对等比数列性质进行探究课后思考：你能通过类比等差数列其他性质的到别的等比数列的性质吗？试证明.作业：{}==求37114,6,n a a a a 1.等比数列中{}+=+++=等比数列的各项均为正数，且则56473132393102.18,log log log log __________n a a a a a a a a a{}=求162284,n a a a a a a 3.等比数列中{}{}{}求证：4.n n n n a b a b 若数列是项数相同的等比数列，数列也是等比数列。

等比数列的性质与应用等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一些独特的性质和广泛的应用。

在本文中，我们将介绍等比数列的性质，并讨论它在实际问题中的应用。

一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一个项与它前一项的比值都相等。

这个比值被称为公比，通常用字母q表示。

具体地，如果一个数列满足an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，则称该数列为等比数列。

二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以为正数、负数或零。

当q>1时，数列呈递增趋势；当0<q<1时，数列呈递减趋势；当q=1时，数列呈恒定趋势；当q<-1时，数列呈震荡趋势。

2. 通项公式：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。

3. 求和公式：等比数列的前n项和可通过求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1) 来计算，其中Sn表示前n项和。

4. 任意项与首项的关系：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出an和a1的关系为an = a(k) * q^(n-k)，其中a(k)是该数列的第k 项。

三、等比数列的应用等比数列在实际问题中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个常见应用。

1. 财务领域：等比数列被广泛应用于财务计算中，特别是复利计算。

当某笔资金按照一定的利率复利计算时，投资者的收益往往呈现等比数列的形式。

2. 几何学：在几何学中，等比数列被用于描述一些几何图形的性质。

例如，等比数列可以用来计算等比比例图中的边长，或者描述螺旋线的形成过程。

3. 自然科学：等比数列在自然科学中也有一些应用。

例如，生物学中的细胞分裂过程和物理学中的波动传播过程都可以使用等比数列来描述。

4. 经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述一些经济指标的增长或者下降趋势。

例如，人口增长、GDP增长等都可以看作是等比数列。

等比数列的性质及应用等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值均相等的数列。

在数学中，等比数列有许多重要的性质和应用。

本文将详细介绍等比数列的性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、等比数列的基本性质1. 公比在等比数列中，公比表示相邻两项之间的比值。

如果一个等比数列的首项是a，公比是r，那么第n项可以表示为an=a×r^(n-1)。

公比r的绝对值决定了数列的增长或者减小趋势。

2. 通项公式对于一个等比数列，通项公式可以通过首项和公比来表示。

在上述的an=a×r^(n-1)公式中，an表示第n项，a表示首项，r表示公比。

3. 前n项和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn=a×(1-r^n)/(1-r)。

其中，Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。

二、等比数列的应用举例等比数列在各个领域都有着广泛的应用。

下面将介绍一些典型的应用。

1. 财务领域在财务领域，等比数列的应用极为常见。

例如，复利是指一笔资金在每个计息期内的增长情况，而复利的计算正好是一个等比数列的求和问题。

另外，企业盈利的增长也可以用等比数列进行建模和预测。

2. 科学研究在科学研究中，等比数列经常被用来描述和解决问题。

例如，放射性衰变的过程可以用等比数列描述，其中公比为衰变常数。

此外，生物群落中物种数量的变化、病毒感染的传播速度等现象也可以用等比数列进行建模。

3. 工程技术工程技术领域也广泛应用了等比数列。

例如，电路中的电阻、电容和电感等元器件的数值序列通常是按等比数列排列的。

此外，工程建设中材料的使用量、工作人员数量的调配等问题也可以通过等比数列来计算和规划。

4. 数学教育等比数列是数学教育中不可或缺的一部分。

通过学习等比数列的性质和应用，可以帮助学生提高数学思维能力和问题解决能力。

等比数列也经常被用作基础数学题目和竞赛数学题目的考察内容。

总结：通过上述的介绍，我们可以看出等比数列具有重要的性质和广泛的应用。

§2.4 等比数列(二)1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2， 则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013， 又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.答案 4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧ x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94. 12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13当⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323时q ＝2 ∴a n ＝13·2n －1 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1 当⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n 23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

2.4.2 等比数列的基本性质及其应用 第十七课时教学目标 1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.教学重点 1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点 渗透重要的数学思想.教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.第3题解答： (1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.第4题解答： (1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8,而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=an -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0). 推进新课［合作探究］例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？［教师精讲］从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出q s a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp s k a a a a q p s k . 所以a k +a s =a p +a q . 结论、；猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t . 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.例题2 （1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18;（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.解：(1)∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2) b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4. ∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5， ∴前七项之积(32)3×3=37=2 187.(3) ∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458.［合作探究］判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列.证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p nb 1q n，因为 pq q b p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==∙--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题.。